Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và kết quả cơ bản, mang tính chất chuẩn bị cho các lập luận ở các phần sau của luận văn. Các kết quả này liên quan đến đa tạp xạ ảnh, tính chất bất khả quy của đa tạp xạ ảnh trong không gian xạ ảnh ÏP* đối với tôpô Zariski. Các kết quả này được trình bày chủ yếu dựa theo các tài liệu [5], [6] và [7]. Ngoài ra chúng tôi cũng giới thiệu định nghĩa, một số tính chất cơ bản của các số Stirling loại một (không dấu) và mối liên hệ của các số này với đa thức Stirling.
Các chỉ tiết về các số Striling loại một và đa thức Stirling có thể được tìm thấy trong [0°]. Không gian xạ ảnh Chúng tôi quan tâm đến không gian xạ ảnh trên một trường K bất kì, tuy nhiên ở các chương sau, trường lK được xét là trường các số phức C. Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1. Cho K là một trường.
Trên tập K“*\ {0}, xét quan hệ tương đương sau œ ~ „ nếu và chỉ nếu y = Az với À e K\ {0}. Khi do tap thuong (K"*! \ {0})/ ~ được gọi là không gian zạ ảnh n chiều trên IK, ký hiệu bởi P“(K), khi trường đã được xác định, ta chỉ ký hiệu đơn giản bởi P”. Ta xem K"*! 1A mot không gian véctơ trên trường lK. Khi đó, mỗi không gian con một chiều của K"*! hoan toàn được xác định bởi một véctơ khác không trong K“*!, Hơn nữa, hai véctơ khác không cùng xác định một không gian con khi và chỉ khi chúng sai khác nhau một bội vô hướng.
Do đó không gian xạ ảnh P"(K) có thể được định nghĩa là tập tất cả các không gian con một chiều của không gian vóctơ JKn"T1, Mỗi phần tử trong P” được gọi là một điểm trong không gian xạ ảnh. Giả sử p là một điểm trong PP“. Khi đó bộ (ao, ai.,ø„) trong lớp tương đương của p được gọi là tọa độ thuần nhất (hay tọa độ xạ ảnh) của p và ký hiệu p = (#0 : #1 :. Tiếp theo ta xem xét tập nghiệm của một đa thức trong không gian xạ ảnh.
Giả sử ƒ e K[zo,z\,.,#„] là một đa thức. Nếu đa thức ƒ triệt tiêu tại p e P* thì ƒ phải triệt tiêu tại mọi điểm thuộc lớp tương đương của p. Do đó, trong không gian xạ ảnh, ta sẽ chỉ xét các đa thức thuần nhất. Một đa thức ƒ e IK|zo,z,.,+„] gọi là thuần nhất bậc d nếu mọi đơn thức của ƒ đều có cùng bậc d.
Giá sử ƒ e K|zo,zì,.x„] là một đa thức thuần nhất bậc d 0à A€k. Khi đó f(Ato, AX1,.-52n)- Diéu nguoc lai ding khi K la trudng v6 han. Noi chung, vdi trường K bat ki, da như là một đa thúc trong vanh Kixo, 1,.,2n, A], là đa thúc không. Giả sử ƒ e K[zo,zì,., xạ] là một đa thức thuần nhất bậc d.
Khi đó ƒ được viết dưới dạng d +., nu) = ` Giãn ey.-›Jn„=0 trong đó œ € và 7o + ji +--- + 7„ = d. Với À€ K ta có d f (Aro, Av1,. Jord y--jn=0 d = » ejlot dite ting) ph wale Jord y-+jn=0 = À“ƒ(#0. L] Nhận xét rằng, nếu ƒ là một đa thức bất kỳ bậc đ (không nhất thiết thuần nhất) thì ta có thể viết ƒ=ii++---+ửa, với ƒ; là các đa thức thuần nhất bậc ¿ với mọi ¡ = 0,1,.
Ví dụ, cho đa thức ƒ(,) = 2z3 + z”y— 3z + — 1. Khi đó ta có thể viết ƒ = ƒo + ƒi + ƒ2 + ƒa, trong đó fo =—1, h = 3# +, f2 =0 và ƒs = 2z + z2. Cho ƒceKlzo,zi,.,+n]| là một đa thúc bậc lớn hơn 0 uới hệ số trên trường đóng đại số lK. Khi do ton tai a = (ao,a1,.,a4n) € K"*! sao cho f(a) = 0 va v6 han céc diém b = (bo, bi,.,bn) € K"*! théa man f(b) £0.
Ta sẽ chứng mình bằng quy nạp theo số biến của đa thức ƒ. Trường hợp ø = 1 là hiển nhiên vì K là trường đóng đại số. Giả sử mệnh đề đã được chứng minh cho các đa thức ø biến. Xét đa thức ø +1 biến ƒ e JK|zo,z\,.,z„], ta có thể viết dưới dạng ƒ= ầi+ hao +--:+ ai, trong đó ƒ; là các đa thức theo các biến zo.
Nếu ƒ¿ = 0 thì ƒ là đa thức n— 1 biến. Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh. Bởi giả thiết quy nạp, tồn tại vô hạn điểm b = (bq,ba,.,b„) € K” sao cho fa(b) # 0. Với mỗi điểm b như vậy, xét đa thức ø = ƒ(zo,bi,., bạ) ta có ø là đa thức một biến bậc đ > 0.
Do đó có vô hạn điểm bạ e K thỏa mãn 0 # ø(bạ) = ƒ(bo. Tập nghiệm của một da thúc ƒ bậc d > 0 xác định một tập con của IP" khi uà chả khi ƒ là đa thúc thuần nhất. Gia sử ƒ là một đa thức thuần nhất và p = (pọ :pị :. : pạ) € TP" là một nghiệm của ƒ.
Với A e K bất kỳ, Mệnh đề 1.3 chứng tỏ Ap cũng là một nghiệm của ƒ. Do đó tập nghiệm của ƒ xác định một tập con cla P”. Ngược lại, giả sử ƒ không là đa thức thuần nhất. Ta viết ƒ dưới dang f=fotfit.+ fa, trong đó ƒ; ld da thite thuan nhat bac i véi i = 0,1,.
Vi f khong thuần nhất nén ta co thé gia stt fy 40 va ƒ; # 0 với ¡ < d nao do. Dat 7 là chỉ số nhỏ nhất sao cho ƒ; # 0. Khi đó f(xy) = 21 pj(y) +--+ 0 fay) + #4 faly) là một đa thức bậc đ > 0 một biến + thỏa mãn ƒ(zw) chia hết cho z?. Giả sử ƒ(w) = +7g(zp), trong đó g(zw) là đa thức bậc đ— j > 0 theo biến z, có hệ số tự do khác 0.4, tồn tại a,b € k sao cho ø(ø) = 0 và ø(b) # 0, trong đó a #0.
Đặt p = a„ và À = : ta có ƒ(p) = 0 và ƒ(Ap) # 0. Điều này cho ta mâu thuẫn. Ta xét một phản ví dụ cho Mệnh đề 1. Xét đa thức ƒ(z,w) = 1+z+ø Clz,g] không là đa thức thuần nhất.
Tuy nhiên, (1,—2) là một nghiệm của ƒ(z,) còn (2,—4) không là nghiệm. Như vậy, tập nghiệm của một đa thức thuần nhất xác định một tập con của không gian xạ ảnh. Mở rộng ra, tập nghiệm của một tập các đa thức thuần nhất cũng xác định một tập con của không gian xạ ảnh, ta gọi những tập con có dạng này là các đa fạp zạ ảnh. Cụ thể, ta có định nghĩa sau.
Cho ø là một số nguyên dương. () Giả sử 5 C Klzo,zi,.,z„] là một tập các đa thức thuần nhất (không nhất thiết có cùng bậc). Khi đó tập các không điểm của $ được định nghĩa bởi V(S) := {pe P”: f(p) =0 véi moi f € S} CP”. 4 (ii) (iii) Nhu chi ¥ 6 phan trén, V(S) là xác định một tập con của P”.
Méi tap con cia P” c6 dang nay được goi IA mot da tap xa anh. Néu S = {fi, fo,., fm} thi ta viét V(f1, ƒa,. Nếu Ø = {ƒ} là tập chỉ gồm một đa thức thuần nhất ƒ thì V{(5) = V{(ƒ) gọi là một siêu mat trong P”. Giả sử 7 C K|zo,zi,.,+„] là một iđêan thuần nhất (iđêan sinh bởi các đa thức thuần nhất).
Khi đó ta đặt V{):={p€ PP": ƒ(p) = 0 với mọi ƒ € 7} C P". Nếu 7 là iđêan sinh bởi tập Š các đa thức thuần nhất thì V(7) = V(9). Cho X là một tập con của P”. Idéan cha X, ký hiệu bởi 7(X) được định nghĩa là iđêan sinh bởi tập hợp {ƒ e Kl[zo,zi,.,#a| thuần nhất : ƒ(@ø) =0 với mọi pe X}.
Trong trường hợp K = C, theo Dinh lý cơ sở của Hilbert!, ta chỉ cần một số hữu hạn các đa thức thuần nhất để xác định một đa tạp xạ ảnh. (¡) Tập rỗng và ÏP" là các đa tap xa anh. Mỗi tập hợp chỉ gồm một điểm trong P” 1A mot da tap xa anh. That vay, gia sử P(ao : ai :.
Xét tập các đa, thức thuần nhất S = {A014 — đị#0, G18 — đq41,. Một đa tạp xạ ảnh được xác định bởi các đa thức thuần nhất bậc một gọi là đa tạp (xạ ảnh) tuyến tính. 'Dinh lý cơ sở của Hilbert: Vành các đa thức với hệ số trên một vành Noether là Noether. Cho Y C P° là một đa tạp xạ ảnh.
Khi đó đó S(Y) := Klzo,zl,.,#za]/1(Y) được gọi là oành tọa độ thuần nhất của Y. Giả sử T là một iđêan của vành S(Y) và X là một tập con của Y. Khi đó ta định nghĩa các tập hợp sau W (1) := {pe Y: f(p) =0 vdi moi f € J}, Ty(X) := (f S(Y) thuần nhất : f(p) =0 véi moi p € X). Mỗi tập con của Y có dạng Wy(7) với 7 là một iđêan thuần nhất trong $(Y) được gọi là một đa tạp (xạ ảnh) con của Y.
Töpô Zariski trên không gian xạ ảnh Định nghia 1. Cho Y C P” la mot da tap xạ anh. Topo Zariski2 trên Y được định nghĩa bởi họ tập đóng gồm các đa tạp con của Y. Giả sử {W„}«er là một họ bất kì các đa tạp xạ ảnh và giả sử W⁄„ = V(a) với œ€T.
Khi đó (Ì„r W¿ cũng là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi họ Ujep Ja cdc da thức thuần nhất. Giả sử W = V(I) và W¿ = V() là các đa tạp xạ ảnh. Khi đó W U W¿ cũng là một da tạp xạ ảnh xác định bởi họ các đa thức thuần nhất Hà ={fg:ƒ<h, ge€ b}. Như vậy ta vừa kiểm tra rằng định nghĩa của tôpô Zariski trên ÏP° là hợp lý.
Tiếp theo ta định nghĩa tính bất khả quy của một đa tạp xạ ảnh. Giả sử X C TP" là một đa tạp xạ ảnh. () Một tập con X” của X được gọi là một thành phần bất khả quy của X nếu X7 đóng (theo nghĩa Zariski), bất khả quy trong không gian tôpô ÏP" (với tôpô Zariski) và là tập con lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) của X có các tính chất trên. (ii) Da tap X goi lA bat kha quy nếu X là thành phần bất khả quy duy nhất của chính nó.
?Oscar Zariski (1899-1986), nhà Toán học người Mỹ gốc Nga.,n}, xét tập hợp Ư; = {(œo : #1 :. Định nghĩa các tập U; này là hợp lý. Thật vậy, giả sử (o,i., „) là một đại diện khác trong lớp tương đương (zọ : z\ :. Khi đó tồn tại A e K khác 0 sao cho j = Àz; với mọi 0 < 7 <n.
Vậy U; là một tập con của Pp”.