Luận văn thạc sĩ về hệ mật ElGamal trên trường đa thức

Luận văn thạc sĩ phân tích nghiên cứu hệ mật elgamal trên trường đa thức, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Phan Đức Tuân
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Bình
• Trường học: Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
• Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
• Đề tài: Nghiên Cứu Hệ Mật ElGamal Trên Trường Đa Thức
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• LỜI CAM ĐOAN
• DANH MỤC THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT
• DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
• DANH MỤC HÌNH VẼ
• MỞ ĐẦU
• 0.1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 0.1.1. Khái quát về mật mã học
• 0.1.2. Giới thiệu về mật mã học
• 0.1.3. Cơ sở toán học
• 0.1.3.1. Modulo số học
• 0.1.3.2. Nhóm, vành và trường
• 0.1.3.3. Trường hữu hạn GF(p)
• 0.1.3.4. Số học đa thức và trường hữu hạn GF(2n)
• 0.1.3.4.1. Phép toán đa thức thông thường
• 0.1.3.4.2. Trường hữu hạn GF(2n)
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN LOGARIT RỜI RẠC
• 2.1. Tổng quan về bài toán Logarit rời rạc
• 2.2. Bài toán Logarit trên trường số thực R
• 2.3. Bài toán Logarit trên trường hữu hạn. Logarit rời rạc trong trường Galois
• 2.4. Các phương pháp giải bài toán Logarit rời rạc
• 2.4.1. Thuật toán vét cạn
• 2.4.2. Thuật toán bước đi lớn bước đi nhỏ (Baby-step giant-step)
• 2.4.3. Thuật toán Pohlig – Hellman
• 2.4.4. Thuật toán tính chỉ số (Index-Calculus)
• 2.4.4.1. Tính chỉ số trên GF(p)
• 2.4.4.2. Tính chỉ số trên GF(2n)
• 3. CHƯƠNG 3: HỆ MẬT ELGAMAL TRÊN TRƯỜNG ĐA THỨC
• 3.1. Trao đổi khóa Diffie Hellman
• 3.2. Bài toán Diffie Hellman
• 3.2.1. Khởi tạo Diffie Hellman
• 3.2.2. Trao đổi khoá Diffie Hellman
• 3.3. Hệ mật ElGamal
• 3.3.1. Thủ tục tạo khóa
• 3.3.2. Giải mã hệ ElGamal
• 3.3.3. Tính đúng đắn của thuật toán mật mã hệ ElGamal. Thám mã hệ ElGamal
• 3.3.4. Hệ mật ElGamal trên trường đa thức
• 3.3.5. Hệ mã ElGamal theo phương pháp cộng trên vành đa thức với hai lũy đẳng
• 3.3.6. Hệ mã ElGamal theo phương pháp nhân trên vành đa thức với hai lũy đẳng
• DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về hệ mật ElGamal

Hệ mật ElGamal là một trong những hệ mật mã khóa công khai nổi bật, được phát triển dựa trên bài toán Logarit rời rạc. Hệ thống này cho phép người dùng trao đổi thông tin một cách an toàn mà không cần phải chia sẻ khóa bí mật trước đó. Hệ mật ElGamal sử dụng hai khóa: khóa công khai để mã hóa và khóa bí mật để giải mã. Tính an toàn của hệ mật này phụ thuộc vào độ khó của bài toán Logarit rời rạc trong các trường hữu hạn. Hệ mật ElGamal có nhiều ứng dụng trong bảo mật thông tin, đặc biệt trong các lĩnh vực như thương mại điện tử và truyền thông an toàn. Theo nghiên cứu, hệ mật này không chỉ đảm bảo tính bảo mật mà còn hỗ trợ xác thực nguồn gốc và tính toàn vẹn của thông tin.

1.1. Cấu trúc và hoạt động của hệ mật ElGamal

Cấu trúc của hệ mật ElGamal bao gồm ba bước chính: tạo khóa, mã hóa và giải mã. Đầu tiên, người dùng tạo một cặp khóa gồm khóa công khai và khóa bí mật. Khóa công khai được phát tán cho mọi người, trong khi khóa bí mật được giữ kín. Khi mã hóa, thông tin được chuyển đổi thành dạng mã hóa bằng cách sử dụng khóa công khai. Quá trình giải mã diễn ra khi người nhận sử dụng khóa bí mật để khôi phục thông tin gốc. Hệ mật ElGamal có thể được áp dụng trên các trường đa thức, mở rộng khả năng mã hóa và giải mã thông tin trong các ứng dụng thực tế.

II. Ứng dụng của hệ mật ElGamal trên trường đa thức

Hệ mật ElGamal có thể được áp dụng trên trường đa thức, cho phép mã hóa thông tin một cách hiệu quả hơn. Việc sử dụng trường đa thức giúp tăng cường tính bảo mật và khả năng xử lý thông tin. Các ứng dụng của hệ mật ElGamal trên trường đa thức bao gồm việc bảo vệ dữ liệu trong các hệ thống thông tin, đảm bảo an toàn cho các giao dịch trực tuyến và bảo mật thông tin cá nhân. Hệ mật này cũng có thể được sử dụng trong các ứng dụng như chữ ký số và xác thực thông tin. Theo nghiên cứu, việc áp dụng hệ mật ElGamal trên trường đa thức không chỉ nâng cao tính bảo mật mà còn cải thiện hiệu suất xử lý thông tin.

2.1. Tính toán trên trường đa thức

Tính toán trên trường đa thức là một phần quan trọng trong việc triển khai hệ mật ElGamal. Các phép toán như cộng, nhân và chia trên trường đa thức được thực hiện để mã hóa và giải mã thông tin. Việc sử dụng trường đa thức cho phép thực hiện các phép toán phức tạp một cách hiệu quả, đồng thời đảm bảo tính an toàn cho thông tin. Các nghiên cứu cho thấy rằng việc áp dụng các phép toán này trong hệ mật ElGamal giúp tăng cường khả năng bảo mật và giảm thiểu rủi ro trong quá trình truyền tải thông tin.

III. Đánh giá và triển vọng của hệ mật ElGamal

Hệ mật ElGamal đã chứng minh được tính hiệu quả và an toàn trong việc bảo vệ thông tin. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều thách thức cần được giải quyết, đặc biệt là trong việc tối ưu hóa thuật toán và giảm thiểu thời gian tính toán. Nghiên cứu về hệ mật ElGamal trên trường đa thức mở ra nhiều triển vọng mới trong lĩnh vực mật mã học. Các ứng dụng tiềm năng bao gồm bảo mật thông tin trong các hệ thống IoT, bảo vệ dữ liệu trong các giao dịch tài chính và phát triển các phương pháp mã hóa mới. Việc tiếp tục nghiên cứu và phát triển hệ mật ElGamal sẽ góp phần nâng cao tính bảo mật và an toàn cho thông tin trong kỷ nguyên số.

3.1. Thách thức và cơ hội

Mặc dù hệ mật ElGamal có nhiều ưu điểm, nhưng cũng đối mặt với một số thách thức. Việc tối ưu hóa thuật toán để giảm thiểu thời gian tính toán là một trong những vấn đề quan trọng. Ngoài ra, việc phát triển các phương pháp mã hóa mới dựa trên hệ mật ElGamal có thể mở ra nhiều cơ hội trong việc bảo vệ thông tin. Các nghiên cứu hiện tại đang tập trung vào việc cải thiện hiệu suất và tính bảo mật của hệ mật này, nhằm đáp ứng nhu cầu ngày càng cao về an toàn thông tin trong các ứng dụng thực tế.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin và truyền thông, việc bảo mật thông tin trên mạng ngày càng trở nên cấp thiết. Theo ước tính, hàng tỷ dữ liệu được trao đổi mỗi ngày trên môi trường mạng, kéo theo nhu cầu bảo vệ tính bí mật, toàn vẹn và xác thực của thông tin. Luận văn tập trung nghiên cứu hệ mật ElGamal trên trường đa thức, một hệ mật mã khóa công khai dựa trên bài toán Logarit rời rạc, vốn được xem là bài toán khó giải và là nền tảng cho nhiều hệ thống mã hóa hiện đại. Mục tiêu chính của nghiên cứu là phân tích, xây dựng và đánh giá hệ mật ElGamal trên vành đa thức với hai lũy đẳng nguyên thủy, nhằm nâng cao hiệu quả và tính an toàn trong mã hóa thông tin. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các trường hợp ứng dụng trong môi trường toán học trường hữu hạn GF(2n), với các phép toán đa thức và các thuật toán giải bài toán Logarit rời rạc. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp một giải pháp mã hóa mới, phù hợp với các hệ thống bảo mật hiện đại, đồng thời góp phần phát triển lý thuyết mật mã học ứng dụng trong lĩnh vực kỹ thuật hệ thống thông tin.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai khung lý thuyết chính: lý thuyết đại số trừu tượng và lý thuyết mật mã học hiện đại. Trong đó, lý thuyết đại số trừu tượng bao gồm các khái niệm về nhóm, vành, trường, đặc biệt là trường hữu hạn GF(p) và GF(2n). Các phép toán modulo số học, phép cộng, nhân đa thức và các thuật toán Euclid mở rộng được sử dụng để xây dựng và vận hành các trường hữu hạn này. Lý thuyết mật mã học tập trung vào bài toán Logarit rời rạc trong các nhóm cyclic, là nền tảng cho các hệ mật mã khóa công khai như ElGamal và Diffie-Hellman. Các thuật toán giải bài toán Logarit rời rạc như thuật toán vét cạn, thuật toán bước đi lớn bước đi nhỏ, thuật toán Pohlig-Hellman và thuật toán tính chỉ số (Index-Calculus) được nghiên cứu để đánh giá độ khó và tính an toàn của hệ mật. Khái niệm về hệ mật ElGamal trên trường đa thức được phát triển dựa trên các phép toán trong vành đa thức với hai lũy đẳng nguyên thủy, mở rộng từ hệ mật ElGamal cổ điển trên trường số nguyên tố.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp lý thuyết kết hợp thực nghiệm. Về lý thuyết, tác giả tổng hợp và phân tích các kiến thức về mật mã học, toán học đại số, bài toán Logarit rời rạc và hệ mật ElGamal. Về thực nghiệm, nghiên cứu xây dựng hệ mật ElGamal trên trường đa thức GF(2n), triển khai các thủ tục tạo khóa, mã hóa và giải mã theo cả phương pháp nhân và phương pháp cộng trên vành đa thức. Nguồn dữ liệu chủ yếu là các tài liệu chuyên ngành, các thuật toán mật mã và các bảng biểu toán học được xây dựng trong quá trình nghiên cứu. Phương pháp phân tích bao gồm phân tích toán học, mô phỏng thuật toán và so sánh hiệu quả, độ an toàn của các phương pháp mã hóa. Thời gian nghiên cứu kéo dài trong năm 2020, tập trung tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, với cỡ mẫu là các trường hợp thử nghiệm trên các trường hữu hạn GF(2n) với n từ 3 đến 7, lựa chọn phương pháp phân tích dựa trên tính khả thi và hiệu quả thực tiễn của thuật toán.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Xây dựng thành công hệ mật ElGamal trên trường đa thức GF(2n): Luận văn đã phát triển hệ mật ElGamal trên vành đa thức với hai lũy đẳng nguyên thủy, cho phép thực hiện các phép toán mã hóa và giải mã hiệu quả hơn so với hệ mật ElGamal truyền thống trên trường số nguyên tố. Ví dụ, với trường GF(2^7), hệ mật cho phép biểu diễn và xử lý dữ liệu dưới dạng đa thức bậc thấp, giảm thiểu chi phí tính toán.

2. Phương pháp che giấu dữ liệu theo kiểu cộng và kiểu nhân: Nghiên cứu đề xuất hai phương pháp che giấu dữ liệu trong hệ mật ElGamal trên trường đa thức, trong đó phương pháp cộng đơn giản hơn về mặt tính toán nhưng có độ an toàn thấp hơn so với phương pháp nhân. Số liệu thử nghiệm cho thấy phương pháp nhân giữ được tính bảo mật cao hơn, phù hợp với các ứng dụng đòi hỏi an toàn nghiêm ngặt.

3. Đánh giá độ khó của bài toán Logarit rời rạc trên trường đa thức: Qua phân tích các thuật toán giải bài toán Logarit rời rạc như thuật toán Pohlig-Hellman và thuật toán tính chỉ số, luận văn khẳng định bài toán này vẫn giữ được tính khó trên trường đa thức GF(2n), đảm bảo tính an toàn cho hệ mật ElGamal. So sánh với trường số nguyên tố, trường đa thức có ưu thế về tính toán nhanh và khả năng mở rộng.

4. Ứng dụng thuật toán Euclid mở rộng trong tìm phần tử nghịch đảo đa thức: Thuật toán Euclid mở rộng được áp dụng hiệu quả để tìm phần tử nghịch đảo trong vành đa thức, là bước quan trọng trong quá trình giải mã hệ mật ElGamal. Thời gian thực hiện thuật toán được rút ngắn đáng kể so với các phương pháp truyền thống, góp phần nâng cao hiệu suất hệ thống.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các phát hiện trên xuất phát từ việc tận dụng cấu trúc đại số của trường đa thức GF(2n), cho phép biểu diễn dữ liệu dưới dạng đa thức với các phép toán modulo đa thức bất khả quy. So với các nghiên cứu trước đây tập trung trên trường số nguyên tố, việc mở rộng sang trường đa thức giúp giảm thiểu chi phí tính toán và tăng tính linh hoạt trong ứng dụng. Kết quả thử nghiệm và phân tích cho thấy hệ mật ElGamal trên trường đa thức vẫn duy trì được độ an toàn nhờ vào độ khó của bài toán Logarit rời rạc, đồng thời cải thiện hiệu suất xử lý nhờ các phép toán đa thức. Các biểu đồ so sánh thời gian mã hóa và giải mã giữa phương pháp nhân và cộng minh họa rõ sự khác biệt về hiệu quả và độ an toàn. Kết quả này phù hợp với các báo cáo ngành về ứng dụng mật mã khóa công khai trong môi trường mạng hiện đại, đồng thời mở ra hướng nghiên cứu mới cho các hệ mật mã dựa trên trường đa thức.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Triển khai hệ mật ElGamal trên trường đa thức trong các hệ thống bảo mật mạng: Khuyến nghị các tổ chức và doanh nghiệp ứng dụng hệ mật ElGamal trên trường đa thức GF(2n) để nâng cao hiệu quả mã hóa, đặc biệt trong các hệ thống yêu cầu xử lý nhanh và bảo mật cao. Thời gian triển khai dự kiến trong vòng 12 tháng, do các phòng nghiên cứu và phát triển công nghệ thông tin thực hiện.

2. Phát triển phần mềm hỗ trợ mã hóa theo phương pháp nhân và cộng: Đề xuất xây dựng các công cụ phần mềm mã hóa tích hợp cả hai phương pháp che giấu dữ liệu, cho phép người dùng lựa chọn theo yêu cầu bảo mật và hiệu suất. Mục tiêu giảm thời gian mã hóa xuống dưới 50% so với các hệ thống hiện tại, hoàn thành trong 6 tháng.

3. Nâng cao đào tạo và nghiên cứu về mật mã học trên trường đa thức: Khuyến khích các cơ sở đào tạo và nghiên cứu tăng cường giảng dạy, nghiên cứu chuyên sâu về lý thuyết và ứng dụng mật mã trên trường đa thức, nhằm phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao. Thời gian thực hiện liên tục, ưu tiên các khóa học thạc sĩ và tiến sĩ.

4. Tăng cường nghiên cứu các thuật toán giải bài toán Logarit rời rạc: Đề xuất tiếp tục nghiên cứu và cải tiến các thuật toán giải bài toán Logarit rời rạc trên trường đa thức để đánh giá và nâng cao độ an toàn của hệ mật. Mục tiêu phát triển thuật toán có thời gian chạy tiểu hàm mũ hoặc tốt hơn trong vòng 2 năm, do các nhóm nghiên cứu mật mã thực hiện.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Các nhà nghiên cứu mật mã học và toán học ứng dụng: Luận văn cung cấp kiến thức sâu rộng về lý thuyết trường đa thức, bài toán Logarit rời rạc và hệ mật ElGamal, hỗ trợ nghiên cứu phát triển các hệ mật mã mới.

2. Chuyên gia phát triển hệ thống bảo mật thông tin: Các kỹ sư và chuyên gia bảo mật có thể áp dụng các giải pháp mã hóa dựa trên trường đa thức để nâng cao hiệu quả và độ an toàn trong các hệ thống mạng và truyền thông.

3. Giảng viên và sinh viên ngành công nghệ thông tin, kỹ thuật hệ thống thông tin: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá cho việc giảng dạy và học tập về mật mã học, đặc biệt trong các khóa học về mã hóa khóa công khai và toán học ứng dụng.

4. Doanh nghiệp và tổ chức triển khai giải pháp bảo mật: Các đơn vị có nhu cầu xây dựng hoặc nâng cấp hệ thống bảo mật có thể sử dụng kết quả nghiên cứu để lựa chọn và triển khai các thuật toán mã hóa phù hợp với yêu cầu thực tế.

Câu hỏi thường gặp

1. Hệ mật ElGamal trên trường đa thức khác gì so với trên trường số nguyên tố?
   Hệ mật ElGamal trên trường đa thức sử dụng các phép toán đa thức modulo đa thức bất khả quy, giúp giảm chi phí tính toán và phù hợp với biểu diễn dữ liệu nhị phân. Trong khi đó, hệ trên trường số nguyên tố sử dụng phép toán modulo số nguyên tố, có thể tốn kém hơn khi xử lý dữ liệu lớn.

2. Tại sao bài toán Logarit rời rạc lại quan trọng trong mật mã học?
   Bài toán Logarit rời rạc là bài toán một chiều khó giải, tạo nền tảng cho tính an toàn của nhiều hệ mật mã khóa công khai như ElGamal và Diffie-Hellman. Độ khó của bài toán này đảm bảo rằng kẻ tấn công không thể dễ dàng giải mã thông tin mà không có khóa bí mật.

3. Phương pháp che giấu dữ liệu theo kiểu cộng có ưu nhược điểm gì?
   Phương pháp cộng đơn giản và nhanh hơn về mặt tính toán, tuy nhiên độ an toàn thấp hơn so với phương pháp nhân. Do đó, nó phù hợp với các ứng dụng không yêu cầu bảo mật cao hoặc cần xử lý nhanh.

4. Thuật toán Euclid mở rộng được sử dụng như thế nào trong hệ mật ElGamal?
   Thuật toán Euclid mở rộng giúp tìm phần tử nghịch đảo trong vành đa thức, là bước quan trọng để giải mã thông tin trong hệ mật ElGamal trên trường đa thức, đảm bảo tính đúng đắn và hiệu quả của quá trình giải mã.

5. Làm thế nào để lựa chọn đa thức bất khả quy trong xây dựng trường GF(2n)?
   Đa thức bất khả quy được chọn sao cho không thể phân tích thành tích các đa thức bậc thấp hơn trên Z2, đảm bảo tính chất trường hữu hạn. Việc lựa chọn đa thức này ảnh hưởng trực tiếp đến tính toán và độ an toàn của hệ mật.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng và phát triển thành công hệ mật ElGamal trên trường đa thức GF(2n), mở rộng ứng dụng của mật mã khóa công khai.
• Phân tích và đánh giá các phương pháp che giấu dữ liệu theo kiểu nhân và cộng, cung cấp lựa chọn phù hợp cho các ứng dụng khác nhau.
• Khẳng định độ khó của bài toán Logarit rời rạc trên trường đa thức, đảm bảo tính an toàn cho hệ mật.
• Đề xuất các giải pháp triển khai, phát triển phần mềm và nâng cao đào tạo nhằm ứng dụng rộng rãi kết quả nghiên cứu.
• Khuyến khích tiếp tục nghiên cứu các thuật toán giải bài toán Logarit rời rạc để nâng cao độ an toàn và hiệu quả của hệ mật trong tương lai.

Các bước tiếp theo bao gồm triển khai thực tế hệ mật trên các nền tảng phần mềm, mở rộng nghiên cứu về các trường đa thức có cấp cao hơn và phát triển các thuật toán tối ưu hơn. Độc giả và các nhà nghiên cứu được mời tham khảo và áp dụng kết quả nghiên cứu nhằm thúc đẩy sự phát triển của lĩnh vực mật mã học ứng dụng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Khái quát về mật mã học 1. Giới thiệu về mật mã học Mật mã học là ngành khoa học ứng dụng toán học vào việc biến đổi thông tin thành một dạng khác với mục đích che dấu nội dung, ý nghĩa thông tin cần mã hóa.

Đây là một ngành quan trọng và có nhiều ứng dụng trong đời sống xã hội. Ngày nay, các ứng dụng mã hóa và bảo mật thông tin đang được sử dụng ngày càng phổ biến hơn trong các lĩnh vực khác nhau trên thế giới, từ các lĩnh vực an ninh, quân sự, quốc phòng…, cho đến các lĩnh vực dân sự như thương mại điện tử, ngân hàng… Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính và Internet, các nghiên cứu và ứng dụng của khoa học mật mã ngày càng trở nên đa dạng hơn, mở ra nhiều hướng nghiên cứu chuyên sâu vào từng lĩnh vực ứng dụng đặc thù với những đặc trưng riêng. Ứng dụng của khoa học mật mã không chỉ đơn thuần là mã hóa và giải mã thông tin mà còn bao gồm nhiều vấn đề khác nhau cần được nghiên cứu và giải quyết: chứng thực nguồn gốc nội dung thông tin (kỹ thuật chữ ký điện tử), chứng nhận tính xác thực về người sở hữu mã khóa (chứng nhận khóa công cộng), các quy trình giúp trao đổi thông tin và thực hiện giao dịch điện tử an toàn trên mạng. Những kết quả nghiên cứu về mật mã cũng đã được đưa vào trong các hệ thống phức tạp hơn, kết hợp với những kỹ thuật khác để đáp ứng yêu cầu đa dạng của các hệ thống ứng dụng khác nhau trong thực tế, ví dụ như hệ thống bỏ phiếu bầu cử qua mạng, hệ thống đào tạo từ xa, hệ thống quản lý an ninh của các đơn vị với hướng tiếp cận sinh trắc học, hệ thống cung cấp dịch vụ multimedia trên mạng với yêu cầu cung cấp dịch vụ và bảo vệ bản quyền sở hữu trí tuệ đối với thông tin số.

Vấn đề về mã hóa Mật mã học là một lĩnh vực liên quan với các kỹ thuật ngôn ngữ và toán học để Luan van 5 đảm bảo an toàn thông tin, cụ thể là trong thông tin liên lạc. Hiện nay có nhiều kĩ thuật mật mã khác nhau, mỗi kĩ thuật có ưu và nhược điểm riêng. Tùy theo yêu cầu của môi trường ứng dụng ta dùng kĩ thuật này hay kĩ thuật khác. Mật mã cổ điển chủ yếu dùng để che dấu dữ liệu.

Với mật mã hiện đại ngoài khả năng che dấu dữ liệu, còn dùng để thực hiện: Ký số, tạo giao diện thông điệp, giao thức bảo toàn dữ liệu, xác thực thực tế…. Theo nghĩa hẹp, mật mã dùng để bảo mật dữ liệu, người ta quan niệm: Mật mã học là môn khoa học nghiên cứu mật mã: tạo mã và phân tích mã (thám mã). Mật mã đảm bảo những tính chất sau:  Tính bí mật (Bảo mật): Thông tin không bị lộ đối với người không được phép nhận  Tính toàn vẹn (Bảo toàn): Ngăn chặn hay hạn chế việc bổ sung, loại bỏ và sửa chữa dữ liệu không được phép.  Tính xác thực (Chứng thực): Xác thực đúng thực thể cần kết nối, giao dịch.

Xác thực đúng thực thể có trách nhiệm về nội dung thông tin.  Tính sẵn sàng: Thông tin sẵn sàng cho người dùng hợp pháp. Thám mã (phá mã) là tìm những điểm yếu hoặc không an toàn trong phương thức mật mã hóa. Thám mã có thể được thực hiện bởi những kẻ tấn công, nhằm làm hỏng hệ thống, hoặc bởi những người thiết kế ra hệ thống (hoặc những người khác) với ý định đánh giá độ an toàn của hệ thống.

Hệ mã hóa là dùng một quy tắc nhất định để mã hóa thông tin. Hệ mã hóa được định nghĩa là một bộ năm thành phần (P,C,K,E,D) thỏa mãn các tính chất sau:  P (Plaintext) là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể.  C (Ciphertext) là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể.  K (Key) là tập hợp các bản khóa có thể.

 E (Encrytion) là tập hợp các quy tắc mã hóa có thể. Luan van 6  D (Decrytion) là tập hợp các quy tắc giải mã có thể. Quá trình mã hóa được tiến hành bằng cách áp dụng hàm toán học E lên thông tin P ( được biểu diễn dưới dạng số ) để trở thành thông tin đã mã hóa C. Quá trình giải mã được tiến hành ngược lại: áp dụng hàm D lên thông tin C để được thông tin đã giải mã.

Quá trình mã hóa và giải mã Có hai loại mã hóa: Mã hóa khóa đối xứng và mã hóa khóa bất đối xứng Hệ mật mã đối xứng (hay còn gọi là mật mã khóa bí mật): là những hệ mật dùng chung một khóa cả trong quá trình mã hóa dữ liệu và giải mã dữ liệu. Do đó khóa phải được giữ bí mật tuyệt đối. Một số thuật toán nổi tiếng trong mã hóa đối xứng là DES, Triple DES (3DES), AES … Hệ mật mã bất đối xứng (hay còn gọi là mật mã khóa công khai): Các hệ mật này dụng chung một khóa để mã hóa sau đó dùng một khóa khác để giải mã, nghĩa là khóa để mã hóa và giải mã là khác nhau. Các khóa này tạo nên từng cặp chuyển đổi ngược nhau và không có khóa nào có thể suy được từ khóa kia.

Khóa dùng để mã hóa có thể công khai nhưng khóa dùng để giải mã phải giữ bí mật. Do đó trong thuật toán này có hai loại khóa: Khóa để mã hóa được gọi là khóa công khai – Public Key, khóa để giải mã được gọi là khóa bí mật – Private Key. Một số thuật toán mã hóa công khai nổi tiếng: Diffle-Hellman, RSA, ElGamal,… Trong mô hình mật mã cổ điển mà cho tới nay vẫn còn được nghiên cứu Alice (người gửi ) và Bob (người nhận) bằng cách chọn một khóa bí mật K. Sau đó Alice dùng khóa K để mã hóa theo luật ek và Bod dùng chung khóa K đó để giải mã theo Luan van 7 luật giải dk.

Trong hệ mật này dk hoặc ek dễ dàng nhận được vì quá trình giải mã tương tự như quá trình mã hóa nhưng thủ tục khóa thì ngược lại. Nhược điểm lớn của hệ mật này là nếu để lộ ek thì làm cho hệ thống mất an toàn, chính vì vậy chúng ta cần tạo ra cho hệ mật này một kênh an toàn. Ý tưởng xây dựng một hệ mật khóa công khai là tìm ra một hệ mật có khả năng tính toán được dk khi biết được ek. Khi Alice (người gửi) chuyển bản tin cho Bob (người nhận) thì chỉ có duy nhất Bob mới có thể giải được bản tin này bằng cách sử dụng luật giải mã bí mật dk.

Để giải quyết vấn đề phân phối và thỏa thuận khóa, năm 1976 Diffie và Hellman đã đưa ra khái niệm về hệ mật mã khóa công khai và phương pháp trao đổi công khai để tạo ra một khóa bí mật chung. Tính an toàn của hệ mật được đảm bảo bởi độ khó một bài toán học cụ thể (bài toán Logarit rời rạc). Hệ mật mã khóa công khai còn được gọi là hệ mật mã phi đối xứng sử dụng một cặp khóa: khóa công khai(public key) và khóa bí mật(private key). Khóa công khai dùng để mã hóa còn khóa bí mật dùng để giải mã.

Mật mã hóa khóa công khai là một dạng mật mã hóa cho phép người sử dụng trao đổi các thông tin mật mà không cần phải trao đổi các khóa chung bí mật trước đó, được thực hiện bằng cách sử dụng một cặp khóa có quan hệ toán học với nhau là khóa công khai và khóa cá nhân (hay khóa bí mật). Trong mật mã hóa khóa công khai, khóa cá nhân phải được giữ bí mật trong khi khóa công khai được phổ biến công khai. Trong hai khóa, một dùng để mã hóa và khóa còn lại dùng để giải mã. Điều quan trọng đối với hệ thống là không thể tìm ra khóa bí mật nếu chỉ biết khóa công khai.

Hệ thống mật mã hóa khóa công khai có thể sử dụng với các mục đích: Mã hóa, tạo Chữ ký số, Thỏa thuận khóa, cho phép thiết lập khóa dùng để trao đổi thông tin mật giữa hai bên. Các kỹ thuật mật mã hóa khóa công khai đòi hỏi khối lượng tính toán nhiều hơn các kỹ thuật mã hóa khóa đối xứng nhưng có nhiều ưu điểm nên được áp dụng trong nhiều ứng dụng. Cơ sở toán học 1. Modulo số học Modulo số học đã và đang dần trở lên quan trọng trong lĩnh vực mật mã.

Lý thuyết modulo số học được sử dụng trong các thuật toán mã hóa khóa công khai như thuật toán RSA và Diffie-Hellman, các thuật toán khóa đối xứng như AES, DES. Ưu điểm chính của việc sử dụng modulo số học là nó cho phép chúng ta thực hiện phép nhân nhanh hơn. Ví dụ với phép toán phức tạp, việc tính toán đa thức đó (nhân đa thức) với một lượng số nguyên lớn thì việc sử dụng modulo số học sẽ làm giảm thời gian tính toán của phép toán lớn này. Áp dụng vào ứng dụng sửa mã lỗi, bằng việc sử dụng lý thuyết modulo số học mỗi chữ số của mã được liên kết đến các phần tử của trường hữu hạn.

Toán tử modulo (mod n) ánh xạ tới tất cả các số nguyên trong tập {0, 1, 2, ….,(n-1)} và tất cả các phép toán số học được thực thi trong tập hợp này. Kỹ thuật này được gọi là modulo số học. Tập các số nguyên và các số nguyên khác 0 của mod n được ký hiệu bởi Zn và Z*n. Ví dụ: Cộng và nhân modulo trên modulo 23 Giả sử, 12 + 20 = (12 + 20) mod 23 = 32 mod 23 = 9 vì 32 chia cho 23 dư 9 Tương tự phép nhân, 8x9 = 72 mod 23 = 3, vì 72 chia cho 23 dư 3 1.

Nhóm, vành và trường Trong đại số trừu tượng, chúng ta làm việc với các tập mà các phần tử được thao tác một cách đại số. Ví dụ, chúng ta có thể nói rằng bằng cách kết hợp hai phần tử của một tập theo nhiều cách khác nhau, ta có thể tạo ra được phần tử thứ ba của tập hợp. Tất cả các phép toán sẽ tuân theo một số quy tắc cụ thể được định nghĩa trong tập.