I. Thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet từ các tập đặc biệt trong n
Nghiên cứu về hàm phân hình giá trị Fréchet từ các tập đặc biệt trong không gian n là một lĩnh vực quan trọng trong giải tích phức. Đặc biệt, việc xác định các điều kiện cần và đủ cho sự thác triển của các hàm này là một vấn đề trung tâm. Trong phần này, các khái niệm như không gian metric, hàm số, và tính chất Fréchet được làm rõ. Định lý chính trong phần này khẳng định rằng một hàm phân hình xác định trên một tập mở có giá trị trong không gian Fréchet có chuẩn liên tục sẽ có thác triển phân hình. Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận của tập mở mà trên đó hàm này có thể được mở rộng. Kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong lý thuyết thế vị phức. Các ví dụ minh họa cho các điều kiện này cũng được trình bày, cho thấy sự phong phú và đa dạng của các hàm phân hình trong không gian Fréchet.
1.1. Hàm phân hình xác định trên tập mở với giá trị trong không gian Fréchet có chuẩn liên tục
Trong phần này, định lý về hàm phân hình xác định trên tập mở với giá trị trong không gian Fréchet có chuẩn liên tục được chứng minh. Định lý khẳng định rằng nếu F là không gian Fréchet có chuẩn liên tục, thì mọi hàm phân hình xác định trên tập mở X sẽ có thác triển phân hình. Điều này có thể được chứng minh thông qua việc sử dụng các ánh xạ chính tắc và các tính chất của không gian Banach. Kết quả này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu mối liên hệ giữa các hàm phân hình và các không gian metric. Việc áp dụng các định lý này vào các bài toán cụ thể trong lý thuyết thế vị phức cho thấy tính ứng dụng cao của chúng trong thực tiễn.
1.2. Hàm phân hình xác định trên tập compact chính qui với giá trị không gian Fréchet có DN chuẩn
Nghiên cứu về hàm phân hình trên các tập compact -chính qui với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn là một phần quan trọng trong luận án. Định lý trong phần này chỉ ra rằng nếu F là không gian Fréchet có (DN)-chuẩn, thì mọi hàm phân hình xác định trên tập compact -chính qui sẽ có thác triển phân hình. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng các kết quả trước đó về hàm phân hình và thác triển yếu. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho các điều kiện này, cho thấy rằng sự thỏa mãn các điều kiện (DN) là cần thiết để có thể nhận được thác triển phân hình từ thác triển yếu. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
II. Thác triển hàm giải tích thực giá trị Fréchet từ các tập mở
Phần này tập trung vào việc nghiên cứu sự thác triển của các hàm giải tích thực có giá trị trong không gian Fréchet từ các tập mở. Đặc biệt, các điều kiện cần và đủ cho sự thác triển yếu của các hàm này được làm rõ. Định lý chính trong phần này khẳng định rằng nếu một hàm giải tích thực có thác triển yếu từ một tập mở của không gian Fréchet, thì hàm này sẽ có thác triển giải tích. Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đó về hàm phân hình và thác triển yếu, cho thấy rằng sự thỏa mãn các điều kiện (DN) và (LB) là cần thiết để có thể nhận được thác triển giải tích. Các ví dụ minh họa cho các điều kiện này cũng được trình bày, cho thấy sự phong phú và đa dạng của các hàm giải tích trong không gian Fréchet.
2.1. Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có DN chuẩn
Trong phần này, định lý về sự thác triển của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ các tập mở trong không gian Fréchet được chứng minh. Định lý khẳng định rằng nếu F là không gian Fréchet có (DN)-chuẩn, thì mọi hàm giải tích thực có thác triển yếu từ một tập mở sẽ có thác triển giải tích. Kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong lý thuyết thế vị phức. Các ví dụ minh họa cho các điều kiện này cũng được trình bày, cho thấy sự phong phú và đa dạng của các hàm giải tích trong không gian Fréchet.
2.2. Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có LB chuẩn
Nghiên cứu về sự thác triển của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ các tập mở trong không gian Fréchet có (LB)-chuẩn là một phần quan trọng trong luận án. Định lý trong phần này chỉ ra rằng nếu F là không gian Fréchet có (LB)-chuẩn, thì mọi hàm giải tích thực có thác triển yếu từ một tập mở sẽ có thác triển giải tích. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng các kết quả trước đó về hàm giải tích và thác triển yếu. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho các điều kiện này, cho thấy rằng sự thỏa mãn các điều kiện (LB) là cần thiết để có thể nhận được thác triển giải tích từ thác triển yếu.
