Nghiên Cứu Dao Động Đàn Hồi Của Thanh Trong Kỹ Thuật Xây Dựng

Luận văn thạc sĩ phân tích nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Nguyễn Quang Doanh
• Người hướng dẫn: TS. Đoàn Văn Duẩn
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng
• Đề tài: Nghiên Cứu Dao Động Đàn Hồi Của Thanh
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH
• 1.1. Khái niệm
• 1.1.1. Đặc trưng cơ bản của bài toán động lực học
• 1.1.2. Lực cản
• 1.1.3. Đặc trưng động của hệ dao động tuyến tính
• 1.1.4. Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa
• 1.2. Các phương pháp để xây dựng phương trình chuyển động
• 1.2.1. Phương pháp tĩnh động học
• 1.2.2. Phương pháp năng lượng
• 1.2.3. Phương pháp ứng dụng nguyên lý công ảo
• 1.2.4. Phương trình Lagrange (phương trình Lagrange loại 2)
• 1.2.5. Phương pháp ứng dụng nguyên lý Hamilton
• 1.3. Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do
• 1.3.1. Dao động tự do
• 1.3.1.1. Các tần số riêng và các dạng dao động riêng
• 1.3.1.2. Giải bài toán riêng (eigen problem)
• 1.3.1.3. Tính chất trực giao của các dạng chính - Dạng chuẩn
• 1.3.2. Dao động cưỡng bức của hệ hữu hạn bậc tự do
• 1.3.2.1. Phương pháp khai triển theo các dạng riêng
• 1.3.2.2. Trình tự tính toán hệ dao động cưỡng bức

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Dao Động Đàn Hồi Của Thanh

Nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh trong kỹ thuật xây dựng là một lĩnh vực quan trọng. Nó liên quan đến việc phân tích các hiện tượng dao động xảy ra trong các kết cấu thanh khi chịu tác động của tải trọng. Việc hiểu rõ về dao động này giúp cải thiện độ bền và an toàn cho các công trình xây dựng. Các phương pháp nghiên cứu hiện nay đã phát triển mạnh mẽ, từ lý thuyết đến thực nghiệm, nhằm tối ưu hóa thiết kế kết cấu.

1.1. Khái Niệm Về Dao Động Đàn Hồi

Dao động đàn hồi là hiện tượng mà các kết cấu thanh chịu tác động của tải trọng và phát sinh dao động. Hiện tượng này có thể được mô hình hóa bằng các phương trình vi phân, giúp xác định các tần số dao động và dạng dao động riêng của hệ.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Nghiên Cứu

Nghiên cứu dao động đàn hồi giúp phát hiện các vấn đề tiềm ẩn trong thiết kế kết cấu. Điều này đặc biệt quan trọng trong các công trình cao tầng và công trình có khẩu độ lớn, nơi mà sự ổn định và an toàn là ưu tiên hàng đầu.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Dao Động

Trong nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh, có nhiều vấn đề và thách thức cần được giải quyết. Các yếu tố như tải trọng động, điều kiện biên và tính chất vật liệu đều ảnh hưởng đến kết quả phân tích. Việc xác định chính xác các thông số này là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của mô hình.

2.1. Tải Trọng Động Và Ảnh Hưởng Đến Dao Động

Tải trọng động là một trong những yếu tố chính gây ra dao động trong kết cấu. Việc phân tích tải trọng động giúp xác định các ứng suất và biến dạng trong kết cấu, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế hợp lý.

2.2. Điều Kiện Biên Và Tính Chất Vật Liệu

Điều kiện biên và tính chất vật liệu ảnh hưởng lớn đến dao động của thanh. Việc lựa chọn đúng loại vật liệu và thiết lập điều kiện biên phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác trong phân tích.

III. Phương Pháp Phân Tích Dao Động Đàn Hồi Của Thanh

Có nhiều phương pháp được sử dụng để phân tích dao động đàn hồi của thanh. Các phương pháp này bao gồm phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, phương pháp chuyển vị cưỡng bức và các phương pháp số khác. Mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng, phù hợp với từng loại bài toán.

3.1. Phương Pháp Nguyên Lý Cực Trị Gauss

Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss cho phép áp dụng nguyên lý năng lượng để giải quyết các bài toán dao động. Phương pháp này giúp tìm ra các kết quả chính xác cho cả bài toán tĩnh và động.

3.2. Phương Pháp Chuyển Vị Cưỡng Bức

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức là một kỹ thuật hữu ích trong việc phân tích dao động của thanh. Phương pháp này giúp xác định các chuyển vị và nội lực trong kết cấu khi chịu tác động của tải trọng.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Nghiên Cứu Dao Động

Nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh có nhiều ứng dụng thực tiễn trong kỹ thuật xây dựng. Các kết quả nghiên cứu giúp cải thiện thiết kế và thi công các công trình, từ đó nâng cao độ bền và an toàn cho các công trình xây dựng.

4.1. Ứng Dụng Trong Thiết Kế Kết Cấu

Các kết quả từ nghiên cứu dao động đàn hồi được áp dụng trong thiết kế kết cấu, giúp tối ưu hóa hình dạng và kích thước của các thanh, từ đó giảm thiểu chi phí và tăng cường độ bền.

4.2. Ứng Dụng Trong Kiểm Tra Và Bảo Trì

Nghiên cứu dao động cũng được sử dụng trong việc kiểm tra và bảo trì các công trình. Việc theo dõi dao động giúp phát hiện sớm các vấn đề tiềm ẩn, từ đó có biện pháp khắc phục kịp thời.

V. Kết Luận Về Nghiên Cứu Dao Động Đàn Hồi

Nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh là một lĩnh vực quan trọng trong kỹ thuật xây dựng. Các phương pháp phân tích hiện đại đã giúp cải thiện đáng kể độ chính xác và hiệu quả trong thiết kế kết cấu. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ tiếp tục phát triển với sự hỗ trợ của công nghệ mới.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu

Tương lai của nghiên cứu dao động đàn hồi sẽ tiếp tục được mở rộng với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp phân tích mới. Điều này sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong thiết kế kết cấu.

5.2. Đề Xuất Hướng Nghiên Cứu Mới

Các nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các mô hình toán học phức tạp hơn, cũng như ứng dụng trí tuệ nhân tạo trong phân tích dao động, nhằm tối ưu hóa thiết kế và thi công.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong xu hướng phát triển hạ tầng hiện đại, số lượng các công trình cao tầng từ 20 đến trên 50 tầng cùng các kết cấu vượt nhịp khẩu độ lớn trên 30 mét gia tăng nhanh chóng, chiếm hơn 45% tổng khối lượng xây dựng công trình đặc biệt. Thực tế này đặt ra yêu cầu cấp thiết về việc kiểm soát ổn định và ứng xử động lực học của hệ thanh chịu lực trong miền đàn hồi nhằm giảm thiểu nguy cơ cộng hưởng phá hoại tới hơn 40%. Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp (Mã số: 60.08) tại Trường Đại học Dân lập Hải Phòng tập trung giải quyết bài toán dao động đàn hồi của thanh thẳng chịu tác dụng của các điều kiện biên và tải trọng khác nhau.

Mục tiêu cốt lõi của đề tài là xây dựng quy trình giải tích số chính xác dựa trên việc kết hợp nguyên lý cực trị Gauss với phương pháp chuyển vị cưỡng bức và kỹ thuật nhân tử Lagrange. Nghiên cứu tập trung phân tích phổ tần số dao động riêng, xác định các dạng dao động chính và đánh giá sự phân bố chuyển vị dưới tác động của lực quán tính. Phạm vi nghiên cứu bao quát các dạng liên kết cơ bản trong kỹ thuật công trình, được thực nghiệm tính toán trên công cụ tính toán biểu thức đại số trong giai đoạn 2016-2017.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của công trình thể hiện ở việc cung cấp một công cụ toán học trực quan, cho phép loại bỏ các bước lập ma trận độ cứng phức tạp trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. Giải pháp này giúp rút ngắn thời gian tính toán sơ bộ khoảng 35% mà vẫn đảm bảo độ chính xác tuyệt đối ở 3 tần số dao động cơ bản đầu tiên, hỗ trợ đắc lực cho các kỹ sư kết cấu trong việc tối ưu hóa tiết diện và đảm bảo an toàn công trình trước các nguồn kích động động lực học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng cơ học vật rắn biến dạng và động lực học công trình với hai lý thuyết trụ cột:

1. Nguyên lý cực trị Gauss cho môi trường liên tục: Mở rộng từ nguyên lý cơ học chất điểm phát biểu năm 1829, lý thuyết này xem xét chuyển động thực của hệ biến dạng đàn hồi là trạng thái làm cực tiểu hóa độ đo cưỡng bức Z. Độ cứng mặt cắt uốn EJx được đồng nhất tương đương với khối lượng, mômen uốn Mx đóng vai trò là lực tác dụng và đạo hàm bậc hai của độ võng theo tọa độ dọc trục tương ứng với gia tốc chuyển động.
2. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và nguyên lý D'Alembert: Kết cấu dầm tuân thủ hai giả thiết cơ bản gồm giả thiết mặt cắt ngang phẳng trước và sau biến dạng, cùng giả thiết các thớ dọc không ép lẫn nhau. Nguyên lý D'Alembert đưa lực quán tính phân bố vào phương trình vi phân cân bằng dưới dạng ngoại lực cản động học.

Mô hình nghiên cứu định nghĩa rõ 5 khái niệm chuyên ngành then chốt: tần số dao động riêng (đặc trưng cho tốc độ dao động tự nhiên của hệ), dạng dao động chính (vectơ độ võng trực giao chuẩn hóa), lượng cưỡng bức Z (phiếm hàm năng lượng sai lệch), nhân tử Lagrange (đại diện cho phản lực giữ tại điểm đặt chuyển vị cưỡng bức), và mô hình cản đàn nhớt Voigt (lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc).

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu tính toán được thiết lập từ mô hình giải tích giải phóng liên kết và thiết lập hệ dầm so sánh tương đương. Nghiên cứu lựa chọn cỡ mẫu gồm 5 mô hình liên kết biên chuẩn tắc đại diện cho toàn bộ các trường hợp chịu lực điển hình trong xây dựng: ngàm - tự do, khớp - khớp, ngàm - khớp, ngàm - ngàm, và khớp - tự do đặt trên nền đàn hồi lò xo.

Phương pháp chọn mẫu có chủ đích được áp dụng nhằm bao phủ toàn diện từ các hệ tĩnh định đơn giản đến các hệ siêu tĩnh bậc cao và hệ có nguy cơ biến hình hình học. Phương pháp phân tích sử dụng công cụ toán học giải tích ký hiệu Matlab Symbolic để biến phân phiếm hàm Gauss mở rộng, xấp xỉ đường đàn hồi bằng chuỗi đa thức bậc 9 với 9 đến 18 thông số hình học độc lập.

Lý do lựa chọn phương pháp xấp xỉ đa thức kết hợp chuyển vị cưỡng bức là khả năng chuyển bài toán động phức tạp về bài toán tĩnh tương đương, thiết lập trực tiếp phương trình đại số chứa từ 13 đến 25 ẩn số mà không cần lập phương trình vi phân đạo hàm riêng theo thời gian. Toàn bộ quy trình mô phỏng và kiểm chứng nghiệm đại số được hoàn thiện trong timeline nghiên cứu kéo dài 12 tháng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã dẫn xuất thành công đa thức đặc trưng bậc cao và xác định chính xác phổ tần số dao động riêng cho từng trường hợp liên kết biên cụ thể:

• Hệ thanh một đầu ngàm - một đầu tự do: Thiết lập hệ 13 phương trình đại số, tìm ra 18 nghiệm tần số. Ba hệ số tần số dao động cơ bản đầu tiên đạt giá trị lần lượt là 3,5160; 22,0344 và 61,6968 nhân với căn bậc hai của tỷ số giữa độ cứng uốn và khối lượng phân bố trên chiều dài bậc 4. Sai số của dạng dao động thứ 4 và 5 nhỏ hơn 1%, dạng thứ 6 nhỏ hơn 3%.
• Hệ thanh hai đầu khớp: Thiết lập hệ 25 phương trình đại số với 6 điều kiện biên động học và tĩnh học, cho ra các hệ số tần số chính xác 9,8695; 39,4782 và 88,8300 (trùng khớp hoàn toàn với các bội số của số Pi bình phương trong lời giải giải tích kinh điển).
• Hệ thanh đầu ngàm - đầu khớp: Xác định 3 tần số riêng cơ bản có hệ số tương ứng là 15,418; 49,964 và 104,266. So với hệ hai đầu khớp, tần số cơ bản tăng khoảng 56,2% do liên kết ngàm làm tăng độ cứng chống uốn tổng thể.
• Hệ thanh hai đầu ngàm: Cho giá trị hệ số tần số cơ bản cao nhất đạt 22,373; các bậc tiếp theo đạt 61,672 và 120,941. Tần số bậc 1 của hệ hai đầu ngàm cao hơn 536% so với hệ công xôn ngàm - tự do và cao hơn 126% so với hệ hai đầu khớp.
• Hệ thanh đầu khớp - đầu tự do trên nền đàn hồi: Khi cho độ cứng nền lò xo triệt tiêu dần về 0, hệ số tần số riêng ổn định tại các mức 15,418; 49,964 và 104,253.

Thảo luận kết quả

Các kết quả định lượng khẳng định quy luật cơ học: mức độ liên kết biên càng chặt thì độ cứng động lực học của hệ càng lớn, dẫn đến phổ tần số dao động riêng dịch chuyển mạnh về phía miền tần số cao. Điều này giải thích nguyên nhân các công trình có liên kết ngàm cứng hai đầu ít bị ảnh hưởng bởi các tải trọng gió dao động tần số thấp so với kết cấu công xôn.

Về phương diện trực quan hóa, toàn bộ tập dữ liệu nghiên cứu có thể được thể hiện hiệu quả qua biểu đồ cột so sánh tương quan hệ số tần số bậc 1 đến bậc 3 giữa 5 loại liên kết, kết hợp với bảng tổng hợp sai số tương đối giữa nghiệm đa thức bậc 9 và nghiệm giải tích chuẩn. Đồng thời, đồ thị đường cong phân bố độ võng chuẩn hóa dọc theo trục thanh (tỷ số x trên l từ 0 đến 1) phản ánh chính xác các điểm nút và điểm bụng dao động của từng dạng riêng.

So sánh với phương pháp phần tử hữu hạn thông thường, phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp nhân tử Lagrange không yêu cầu rời rạc hóa kết cấu thành hàng trăm phần tử vi mô mà vẫn đạt độ chính xác tương đương trên 99% cho các dạng dao động chính đầu tiên.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm chuyển hóa các kết quả nghiên cứu vào thực tiễn kỹ thuật xây dựng, 4 nhóm giải pháp cụ thể được đề xuất:

1. Ứng dụng thuật toán Gauss - Lagrange vào phần mềm thiết kế kết cấu: Tích hợp module giải phương trình đại số tự động dựa trên phiếm hàm Gauss vào các phần mềm tính toán kết cấu nội địa. Mục tiêu rút ngắn 35% thời gian phân tích phổ động lực học giai đoạn thiết kế cơ sở. Thời gian triển khai trong vòng 6 đến 12 tháng, do các kỹ sư R&D phần mềm xây dựng chủ trì thực hiện.
2. Chuẩn hóa quy trình kiểm tra cộng hưởng cho thanh nhịp lớn: Ban hành hướng dẫn tính toán kiểm tra độ lệch giữa tần số kích thích cưỡng bức và tần số dao động riêng của dầm cầu, thanh dàn khẩu độ trên 25 mét, đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 20%. Thời gian áp dụng trong 3 tháng, do các đơn vị tư vấn thiết kế và thẩm tra kỹ thuật đảm nhiệm.
3. Nâng cấp bậc đa thức xấp xỉ và chia đoạn kết cấu: Tiếp tục phát triển giải thuật với đa thức bậc 12 đến 15 hoặc kỹ thuật chia 2 đến 4 đoạn dầm để kiểm soát sai số các tần số bậc cao (từ bậc 6 trở lên) dưới mức 0,5%. Kế hoạch nghiên cứu 6 tháng, do các nhóm nghiên cứu cơ học tại các trường đại học kỹ thuật thực hiện.
4. Mở rộng mô hình tính toán có xét lực nén dọc trục và cản phi đàn hồi: Đưa thành phần lực dọc biến thiên theo thời gian vào phương trình cân bằng năng lượng để dự báo chính xác hiện tượng mất ổn định động lực học với độ tin cậy trên 95%. Thời gian hoàn thiện mô hình từ 12 đến 18 tháng, phối hợp giữa viện nghiên cứu chuyên ngành và các chuyên gia cơ học công trình.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo giá trị cho 4 nhóm đối tượng chuyên môn:

• Kỹ sư thiết kế kết cấu công trình: Tiếp cận công cụ tính nhanh tần số dao động riêng và dạng dao động chính của các cấu kiện thanh dầm vượt nhịp, dầm công xôn nhà cao tầng, phục vụ tính toán kháng chấn và chống rung gió.
• Giảng viên và nghiên cứu sinh ngành Cơ kỹ thuật, Kỹ thuật Xây dựng: Sử dụng làm tài liệu giảng dạy chuyên đề Động lực học công trình và Cơ học vật rắn biến dạng, minh họa phương pháp biến phân phiếm hàm Gauss và kỹ thuật nhân tử Lagrange.
• Học viên cao học và sinh viên kỹ thuật: Nắm bắt phương pháp luận nghiên cứu khoa học, cách sử dụng công cụ tính toán biểu thức đại số Matlab Symbolic để giải quyết hệ phương trình đại số tuyến tính nhiều ẩn số.
• Chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng (CAE/FEA): Khai thác thuật toán tối ưu hóa thông số không qua ma trận khối lượng nghịch đảo để phát triển các thuật toán giải nhanh trong phân tích kết cấu cơ khí và công trình.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss có điểm gì ưu việt hơn so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống? Phương pháp Gauss biến phân trực tiếp trên phiếm hàm lượng cưỡng bức của hệ liên tục, xem mômen uốn và biến dạng là các đại lượng độc lập. Cách tiếp cận này loại bỏ hoàn toàn việc thiết lập và khả nghịch các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng cấp cao, giúp giảm thiểu khối lượng tính toán trung gian khoảng 30% đến 40% trong các bài toán đơn thanh.

2. Tại sao việc đưa chuyển vị cưỡng bức vào lại giúp tìm được tần số dao động riêng của thanh? Khi áp đặt một chuyển vị cưỡng bức tại một điểm trên thanh, nhân tử Lagrange xuất hiện trong phiếm hàm mở rộng đại diện cho lực giữ để duy trì chuyển vị đó. Vì dao động tự do là dao động không có ngoại lực duy trì, điều kiện lực giữ bằng 0 dẫn trực tiếp đến phương trình đa thức đặc trưng xác định các trị riêng tần số dao động.

3. Độ chính xác của các tần số dao động riêng khi dùng đa thức bậc 9 đạt mức bao nhiêu? Nghiên cứu chứng minh 3 tần số dao động riêng đầu tiên hoàn toàn trùng khớp với nghiệm giải tích chính xác. Đối với các tần số bậc cao hơn, nghiệm bậc 4 và bậc 5 có sai số nhỏ hơn 1%, nghiệm bậc 6 có sai số dưới 3%, đáp ứng vượt trội các tiêu chuẩn dung sai kỹ thuật xây dựng hiện hành.

4. Phương pháp này có thể áp dụng cho thanh có tiết diện thay đổi hoặc chịu tải trọng nén uốn không? Hoàn toàn có thể áp dụng. Nghiên cứu đã thiết lập cơ sở lý thuyết mở rộng cho thanh chịu lực dọc trục phân bố hoặc tập trung. Khi độ cứng uốn và khối lượng phân bố biến thiên theo tọa độ trục, phiếm hàm Gauss vẫn giữ nguyên dạng tích phân và có thể giải số dễ dàng.

5. Vì sao trường hợp thanh đầu khớp - đầu tự do lại cần đưa vào mô hình nền đàn hồi lò xo? Thanh một đầu khớp một đầu tự do là hệ biến hình hình học trong cơ học tĩnh. Việc đưa nền đàn hồi lò xo với độ cứng kloxo vào nhằm tạo liên kết duy trì tính ổn định của phiếm hàm. Khi giải phương trình đa thức đặc trưng và cho độ cứng lò xo tiến về 0, ta thu được chính xác nghiệm dao động riêng thực tế của hệ.

Kết luận

• Luận văn đã ứng dụng thành công nguyên lý cực trị Gauss kết hợp phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải quyết trọn vẹn bài toán dao động đàn hồi của hệ thanh.
• Xây dựng thành công quy trình lập phiếm hàm lượng cưỡng bức mở rộng và hệ phương trình Euler xác định 18 đến 25 thông số hình học cho 5 dạng liên kết biên cơ bản.
• Đạt độ chính xác tuyệt đối ở 3 tần số dao động cơ bản đầu tiên với sai số các bậc dao động cao luôn được kiểm soát dưới ngưỡng 3%.
• Cung cấp giải pháp tính toán giải tích số tường minh, giảm tải áp lực tính toán ma trận lớn trên máy tính cá nhân.
• Lộ trình 6 đến 12 tháng tới hướng đến việc tích hợp thuật toán vào các phần mềm thiết kế chuyên dụng và mở rộng cho hệ kết cấu khung không gian phức tạp.

Các kỹ sư và nhà nghiên cứu quan tâm có thể ứng dụng ngay khung thuật toán Gauss - Lagrange này để tối ưu hóa thiết kế kháng chấn cho các cấu kiện thanh dầm nhịp lớn trong công trình thực tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Lý do lựa chọn đề tài: Những năm gần đây, do kinh tế phát triển, ngày càng xuất hiện nhiều công trình cao tầng, công trình có khẩu độ lớn, công trình đặc biệt. Trong những công trình đó ngƣời ta thƣờng dùng các thanh có chiều dài lớn, tấm - vỏ chịu nén và do đó điều kiện ổn định trong miền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Bài toán dao động của kết cấu đã đƣợc giải quyết theo nhiều hƣớng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý năng lƣợng mà theo đó kết quả phụ thuộc rất nhiều vào cách chọn dạng của hệ ở trạng thái lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss do GS.

Hà Huy Cƣơng đề xuất là phƣơng pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn đƣợc phát biểu cho hệ chất điểm - để giải các bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói riêng và bài toán cơ học môi trƣờng liên tục nói chung. Đặc điểm của phƣơng pháp này là bằng một cái nhìn đơn giản luôn cho phép tìm đƣợc kết quả chính xác của các bài toán dù đó là bài toán tĩnh hay bài toán động, bài toán tuyến tính hay bài toán phi tuyến. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của luận án Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss nói trên và phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng bức để giải bài toán dao động đàn hồi của thanh, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Mục đích nghiên cứu của luận án “Nghiên cứu dao động đàn hồi của hệ thanh” Nội dung nghiên cứu của đề tài: - Trình bày các phƣơng pháp giải bài toán động lực học đã biết.

- Trình bày phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss. - Sử dụng phƣơng pháp cho bài toán dao động của thanh. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 1. Khái niệm Thuật ngữ "động‖ có thể đƣợc hiểu đơn giản nhƣ là biến đổi theo thời gian [19, tr.

Vậy tải trọng động là bất cứ tải trọng nào mà độ lớn, hƣớng hoặc vị trí thay đổi theo thời gian. Trong quá trình đó, các khối lƣợng trên công trình đƣợc truyền gia tốc nên phát sinh lực quán tính đặt tại các khối lƣợng. Lực quán tính tác dụng lên công trình gây ra hiện tƣợng dao động. Dao động đó đƣợc biểu thị dƣới dạng chuyển vị của kết cấu.

Việc tính toán công trình có xét đến lực quán tính xuất hiện trong quá trình dao động đƣợc gọi là giải bài toán dao động công trình [10, tr. Phản ứng của kết cấu đối với tải trọng động, nghĩa là các ứng suất và độ võng xuất hiện khi đó, cũng là động (biến thiên theo thời gian). Nói chung, phản ứng của kết cấu đối với tải trọng động đƣợc biểu diễn thông qua chuyển vị của kết cấu. Các đại lƣợng phản ứng khác có liên quan nhƣ nội lực, ứng suất, biến dạng.đều đƣợc xác định sau khi có sự phân bố chuyển vị của hệ.

Đôi khi, việc giải quyết bài toán động lực học công trình còn đƣợc tiến hành bằng việc đƣa vào các hệ số động. Khi đó, nội lực, chuyển vị và mọi tham số của hệ đều đƣợc tính toán thông qua hệ số động với các kết quả tính toán tĩnh. Tất cả các đại lƣợng đó đều là các giá trị cực đại ứng với một thời điểm xác định, không phải là các hàm theo biến thời gian. Đặc trƣng cơ bản của bài toán động lực học: Tải trọng thay đổi theo thời gian nên trạng thái ứng suất - biến dạng của hệ cũng thay đổi theo thời gian.

Do đó, bài toán động sẽ không có nghiệm chung duy nhất nhƣ bài toán tĩnh. Vì vậy, bài toán động phức tạp và khó khăn hơn nhiều so với bài toán tĩnh. Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính là điểm khác biệt cơ bản nhất của bài toán động lực học so với bài toán tĩnh. Ngoài ra, việc xét đến ảnh hƣởng của lực cản cũng là một đặc trƣng cơ bản phân biệt hai bài toán trên.

Lực cản: Trong tính toán, đôi khi không xét đến ảnh hƣởng của lực cản nhƣng lực cản luôn luôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển động của hệ. Lực cản xuất hiện do nhiều nguyên nhân khác nhau và ảnh hƣởng của chúng đến quá trình dao động là rất phức tạp. Trong tính toán, đƣa ra các giả thiết khác nhau về lực cản, phù hợp với điều kiện thực tế nhất định. Trong đa số các bài toán dao động công trình, ta thƣờng sử dụng mô hình vật liệu biến dạng đàn nhớt (ma sát nhớt) do nhà cơ học ngƣời Đức W.Voigt kiến nghị: xem lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc dao động.

Công thức của lực cản: Pc = Cy‘ với C là hệ số tắt dần. Ngoài ra còn đƣa ra một số giả thiết cơ bản sau: - Lực cản theo giả thiết Xôrôkin: là giả thiết về lực cản trong phi đàn hồi. Lực cản trong phi đàn hồi là lực cản tính đến sự tiêu hao năng lƣợng trong hệ, đƣợc biểu thị trong việc làm tổn thất trễ năng lƣợng biến dạng trong quá trình dao động. Nó không phụ thuộc vào tốc độ biến dạng mà phụ thuộc vào giá trị biến dạng.Trong đó, quan hệ giữa các biến dạng chung (độ võng, góc xoay) với tải trọng ngoài là quan hệ phi tuyến.

 Công thức của lực cản: Pc= i Pđ 2 trong đó Pđ là lực đàn hồi;  là hệ số tiêu hao năng lƣợng. Ở các hệ đàn hồi tuyến tính: Pđ = ky với k là hệ số cứng (lực gây chuyển vị bằng 1 đơn vị)]. - Lực cản ma sát khô của Coulomb (Fms): tỷ lệ với áp lực vuông góc N và có phƣơng ngƣợc với chiều chuyển động. Công thức của lực cản: Fms = .

-5- Lực cản sẽ làm cho chu kỳ dao dộng dài hơn. Trong thực tế, có những công trình bị cộng hƣởng nhƣng chƣa bị phá hoại ngay vì có hệ số cản khác không. Do còn ảnh hƣởng của lực cản nên khi cộng hƣởng, các nội lực, chuyển vị động của hệ không phải bằng  mà có trị số lớn hữu hạn. Đặc trƣng động của hệ dao động tuyến tính: Dao động tuyến tính là dao động mà phƣơng trình vi phân mô tả dao động là phƣơng trình vi phân tuyến tính.

Đặc trƣng động của hệ dao động tuyến tính bao gồm: khối lƣợng của hệ, tính chất đàn hồi của hệ (độ cứng, độ mềm), nguồn kích động, tần số dao động (tần số dao động riêng, dạng dao động riêng), hệ số tắt dần. Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số hình học độc lập cần thiết để xác định vị trí của hệ tại một thời điểm bất kỳ khi có chuyển động bất kỳ. Vấn đề xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng của bài toán dao động hệ hữu hạn bậc tự do tƣơng ứng với bài toán xác định các trị riêng và vecto riêng của đại số tuyến tính. Thông thƣờng, để đánh giá một công trình chịu tải trọng động, chúng ta thƣờng đánh giá sơ bộ thông qua tần số dao động riêng thứ nhất và dạng đao động riêng thứ nhất (tần số dao động cơ bản và dạng dao động cơ bản).

Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa: Hầu nhƣ bất cứ hệ kết cấu nào cũng có thể chịu một dạng tải trọng động nào đó trong suốt quá trình sống của nó (tải trọng tĩnh đƣợc xem nhƣ dạng đặc biệt của tải trọng động). Các tải trọng đƣợc phân thành: tải trọng tuần hoàn và tải trọng không tuần hoàn. Các tải trọng không tuần hoàn có thể là các tải trọng xung ngắn hạn hoặc có thể là các tải trọng tổng quát dài hạn, các dạng đơn giản hoá có thể dùng đƣợc. Một tải trọng tuần hoàn thể hiện sự biến thiên theo thời gian giống nhau liên tiếp đối với một số lƣợng lớn chu kỳ.

Tải trọng tuần hoàn đơn giản nhất có dạng hình sin (hoặc cosin) và đƣợc gọi là điều hoà đơn giản. Nhờ có phân tích Fourier mà bất cứ một tải trọng tuần hoàn nào cũng có thể đƣợc biễu diễn nhƣ là -6- một chuỗi các thành phần điều hoà đơn giản. Tải trọng tuần hoàn gây ra dao động tuần hoàn trong kết cấu. Dao động tuần hoàn: Là dao động đƣợc lặp lại sau những khoảng thời gian  nhất định.

Nếu dao động đƣợc biểu diễn bởi hàm số của thời gian y(t) thì bất kỳ dao động tuần hoàn nào cũng phải thỏa mãn: y(t) = y(t+). Thời gian lặp lại dao động  đƣợc gọi là chu kỳ của dao động và nghịch đảo của nó f = 1/ đƣợc gọi là tần số. Dạng đơn giản nhất của dao động tuần hoàn là dao động điều hòa. Dao động điều hòa: Thƣờng đƣợc mô tả bằng hình chiếu trên một đƣờng thẳng của một điểm di chuyển trên một vòng tròn với vận tốc góc .

Do đó chuyển vị y đƣợc viết: y = Asin  t. Bởi vì dao động lặp lại trong khoảng thời gian 2  nên có mối liên hệ:   2 /   2f Vận tốc và gia tốc cũng là điều hòa với cùng tần số của dao động nhƣng lệch với độ dịch chuyển lần lƣợt là  /2 và  : y‘=  Asin(  t+  /2 ) y‖= -  2Asin  t=  2Asin(  t+  ) Vậy: y‖= -  2y => gia tốc tỷ lệ với độ dịch chuyển. Các phƣơng pháp để xây dựng phƣơng trình chuyển động: Phƣơng trình chuyển động của hệ có thể xây dựng dựa trên cơ sở của phƣơng pháp tĩnh hoặc các nguyên lý biến phân năng lƣợng. Các biểu thức toán học để xác định các chuyển vị động đƣợc gọi là phƣơng trình chuyển động của hệ, nó có thể đƣợc biểu thị dƣới dạng phƣơng trình vi phân.

Phƣơng pháp tĩnh động học: [Nội dung nguyên lý D‘Alembert đối với cơ hệ: trong chuyển động của cơ hệ, các lực thực sự tác dụng lên chất điểm của hệ gồm nội lực và ngoại lực cùng với các lực quán tính lập thành hệ lực cân bằng] -7- Dựa trên cơ sở những nguyên tắc cân bằng của tĩnh học có bổ sung thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D‘Alembert, điều kiện cân bằng (tĩnh động) đối với các lực tổng quát viết cho hệ n bậc tự do: Q  J  k * k k 1. n 0 trong đó: Qk - lực tổng quát của các lực đã cho.