MỞ ĐẦU Lý do lựa chọn đề tài: Những năm gần đây, do kinh tế phát triển, ngày càng xuất hiện nhiều công trình cao tầng, công trình có khẩu độ lớn, công trình đặc biệt. Trong những công trình đó ngƣời ta thƣờng dùng các thanh có chiều dài lớn, tấm - vỏ chịu nén và do đó điều kiện ổn định trong miền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Bài toán dao động của kết cấu đã đƣợc giải quyết theo nhiều hƣớng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý năng lƣợng mà theo đó kết quả phụ thuộc rất nhiều vào cách chọn dạng của hệ ở trạng thái lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss do GS.
Hà Huy Cƣơng đề xuất là phƣơng pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn đƣợc phát biểu cho hệ chất điểm - để giải các bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói riêng và bài toán cơ học môi trƣờng liên tục nói chung. Đặc điểm của phƣơng pháp này là bằng một cái nhìn đơn giản luôn cho phép tìm đƣợc kết quả chính xác của các bài toán dù đó là bài toán tĩnh hay bài toán động, bài toán tuyến tính hay bài toán phi tuyến. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của luận án Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss nói trên và phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng bức để giải bài toán dao động đàn hồi của thanh, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Mục đích nghiên cứu của luận án “Nghiên cứu dao động đàn hồi của hệ thanh” Nội dung nghiên cứu của đề tài: - Trình bày các phƣơng pháp giải bài toán động lực học đã biết.
- Trình bày phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss. - Sử dụng phƣơng pháp cho bài toán dao động của thanh. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 1. Khái niệm Thuật ngữ "động‖ có thể đƣợc hiểu đơn giản nhƣ là biến đổi theo thời gian [19, tr.
Vậy tải trọng động là bất cứ tải trọng nào mà độ lớn, hƣớng hoặc vị trí thay đổi theo thời gian. Trong quá trình đó, các khối lƣợng trên công trình đƣợc truyền gia tốc nên phát sinh lực quán tính đặt tại các khối lƣợng. Lực quán tính tác dụng lên công trình gây ra hiện tƣợng dao động. Dao động đó đƣợc biểu thị dƣới dạng chuyển vị của kết cấu.
Việc tính toán công trình có xét đến lực quán tính xuất hiện trong quá trình dao động đƣợc gọi là giải bài toán dao động công trình [10, tr. Phản ứng của kết cấu đối với tải trọng động, nghĩa là các ứng suất và độ võng xuất hiện khi đó, cũng là động (biến thiên theo thời gian). Nói chung, phản ứng của kết cấu đối với tải trọng động đƣợc biểu diễn thông qua chuyển vị của kết cấu. Các đại lƣợng phản ứng khác có liên quan nhƣ nội lực, ứng suất, biến dạng.đều đƣợc xác định sau khi có sự phân bố chuyển vị của hệ.
Đôi khi, việc giải quyết bài toán động lực học công trình còn đƣợc tiến hành bằng việc đƣa vào các hệ số động. Khi đó, nội lực, chuyển vị và mọi tham số của hệ đều đƣợc tính toán thông qua hệ số động với các kết quả tính toán tĩnh. Tất cả các đại lƣợng đó đều là các giá trị cực đại ứng với một thời điểm xác định, không phải là các hàm theo biến thời gian. Đặc trƣng cơ bản của bài toán động lực học: Tải trọng thay đổi theo thời gian nên trạng thái ứng suất - biến dạng của hệ cũng thay đổi theo thời gian.
Do đó, bài toán động sẽ không có nghiệm chung duy nhất nhƣ bài toán tĩnh. Vì vậy, bài toán động phức tạp và khó khăn hơn nhiều so với bài toán tĩnh. Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính là điểm khác biệt cơ bản nhất của bài toán động lực học so với bài toán tĩnh. Ngoài ra, việc xét đến ảnh hƣởng của lực cản cũng là một đặc trƣng cơ bản phân biệt hai bài toán trên.
Lực cản: Trong tính toán, đôi khi không xét đến ảnh hƣởng của lực cản nhƣng lực cản luôn luôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển động của hệ. Lực cản xuất hiện do nhiều nguyên nhân khác nhau và ảnh hƣởng của chúng đến quá trình dao động là rất phức tạp. Trong tính toán, đƣa ra các giả thiết khác nhau về lực cản, phù hợp với điều kiện thực tế nhất định. Trong đa số các bài toán dao động công trình, ta thƣờng sử dụng mô hình vật liệu biến dạng đàn nhớt (ma sát nhớt) do nhà cơ học ngƣời Đức W.Voigt kiến nghị: xem lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc dao động.
Công thức của lực cản: Pc = Cy‘ với C là hệ số tắt dần. Ngoài ra còn đƣa ra một số giả thiết cơ bản sau: - Lực cản theo giả thiết Xôrôkin: là giả thiết về lực cản trong phi đàn hồi. Lực cản trong phi đàn hồi là lực cản tính đến sự tiêu hao năng lƣợng trong hệ, đƣợc biểu thị trong việc làm tổn thất trễ năng lƣợng biến dạng trong quá trình dao động. Nó không phụ thuộc vào tốc độ biến dạng mà phụ thuộc vào giá trị biến dạng.Trong đó, quan hệ giữa các biến dạng chung (độ võng, góc xoay) với tải trọng ngoài là quan hệ phi tuyến.
Công thức của lực cản: Pc= i Pđ 2 trong đó Pđ là lực đàn hồi; là hệ số tiêu hao năng lƣợng. Ở các hệ đàn hồi tuyến tính: Pđ = ky với k là hệ số cứng (lực gây chuyển vị bằng 1 đơn vị)]. - Lực cản ma sát khô của Coulomb (Fms): tỷ lệ với áp lực vuông góc N và có phƣơng ngƣợc với chiều chuyển động. Công thức của lực cản: Fms = .
-5- Lực cản sẽ làm cho chu kỳ dao dộng dài hơn. Trong thực tế, có những công trình bị cộng hƣởng nhƣng chƣa bị phá hoại ngay vì có hệ số cản khác không. Do còn ảnh hƣởng của lực cản nên khi cộng hƣởng, các nội lực, chuyển vị động của hệ không phải bằng mà có trị số lớn hữu hạn. Đặc trƣng động của hệ dao động tuyến tính: Dao động tuyến tính là dao động mà phƣơng trình vi phân mô tả dao động là phƣơng trình vi phân tuyến tính.
Đặc trƣng động của hệ dao động tuyến tính bao gồm: khối lƣợng của hệ, tính chất đàn hồi của hệ (độ cứng, độ mềm), nguồn kích động, tần số dao động (tần số dao động riêng, dạng dao động riêng), hệ số tắt dần. Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số hình học độc lập cần thiết để xác định vị trí của hệ tại một thời điểm bất kỳ khi có chuyển động bất kỳ. Vấn đề xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng của bài toán dao động hệ hữu hạn bậc tự do tƣơng ứng với bài toán xác định các trị riêng và vecto riêng của đại số tuyến tính. Thông thƣờng, để đánh giá một công trình chịu tải trọng động, chúng ta thƣờng đánh giá sơ bộ thông qua tần số dao động riêng thứ nhất và dạng đao động riêng thứ nhất (tần số dao động cơ bản và dạng dao động cơ bản).
Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa: Hầu nhƣ bất cứ hệ kết cấu nào cũng có thể chịu một dạng tải trọng động nào đó trong suốt quá trình sống của nó (tải trọng tĩnh đƣợc xem nhƣ dạng đặc biệt của tải trọng động). Các tải trọng đƣợc phân thành: tải trọng tuần hoàn và tải trọng không tuần hoàn. Các tải trọng không tuần hoàn có thể là các tải trọng xung ngắn hạn hoặc có thể là các tải trọng tổng quát dài hạn, các dạng đơn giản hoá có thể dùng đƣợc. Một tải trọng tuần hoàn thể hiện sự biến thiên theo thời gian giống nhau liên tiếp đối với một số lƣợng lớn chu kỳ.
Tải trọng tuần hoàn đơn giản nhất có dạng hình sin (hoặc cosin) và đƣợc gọi là điều hoà đơn giản. Nhờ có phân tích Fourier mà bất cứ một tải trọng tuần hoàn nào cũng có thể đƣợc biễu diễn nhƣ là -6- một chuỗi các thành phần điều hoà đơn giản. Tải trọng tuần hoàn gây ra dao động tuần hoàn trong kết cấu. Dao động tuần hoàn: Là dao động đƣợc lặp lại sau những khoảng thời gian nhất định.
Nếu dao động đƣợc biểu diễn bởi hàm số của thời gian y(t) thì bất kỳ dao động tuần hoàn nào cũng phải thỏa mãn: y(t) = y(t+). Thời gian lặp lại dao động đƣợc gọi là chu kỳ của dao động và nghịch đảo của nó f = 1/ đƣợc gọi là tần số. Dạng đơn giản nhất của dao động tuần hoàn là dao động điều hòa. Dao động điều hòa: Thƣờng đƣợc mô tả bằng hình chiếu trên một đƣờng thẳng của một điểm di chuyển trên một vòng tròn với vận tốc góc .
Do đó chuyển vị y đƣợc viết: y = Asin t. Bởi vì dao động lặp lại trong khoảng thời gian 2 nên có mối liên hệ: 2 / 2f Vận tốc và gia tốc cũng là điều hòa với cùng tần số của dao động nhƣng lệch với độ dịch chuyển lần lƣợt là /2 và : y‘= Asin( t+ /2 ) y‖= - 2Asin t= 2Asin( t+ ) Vậy: y‖= - 2y => gia tốc tỷ lệ với độ dịch chuyển. Các phƣơng pháp để xây dựng phƣơng trình chuyển động: Phƣơng trình chuyển động của hệ có thể xây dựng dựa trên cơ sở của phƣơng pháp tĩnh hoặc các nguyên lý biến phân năng lƣợng. Các biểu thức toán học để xác định các chuyển vị động đƣợc gọi là phƣơng trình chuyển động của hệ, nó có thể đƣợc biểu thị dƣới dạng phƣơng trình vi phân.
Phƣơng pháp tĩnh động học: [Nội dung nguyên lý D‘Alembert đối với cơ hệ: trong chuyển động của cơ hệ, các lực thực sự tác dụng lên chất điểm của hệ gồm nội lực và ngoại lực cùng với các lực quán tính lập thành hệ lực cân bằng] -7- Dựa trên cơ sở những nguyên tắc cân bằng của tĩnh học có bổ sung thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D‘Alembert, điều kiện cân bằng (tĩnh động) đối với các lực tổng quát viết cho hệ n bậc tự do: Q J k * k k 1. n 0 trong đó: Qk - lực tổng quát của các lực đã cho.
