Luận Văn Chi Tiết Về Tính Toán Khung Phẳng Chịu Uốn Và Biến Dạng Trượt Ngang

Chuyên khảo toán học phân tích Luận văn tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

• Tác giả: Nguyễn Mạnh Hùng
• Người hướng dẫn: GS. Hà Huy Cương
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Tính Toán Khung Phẳng Chịu Uốn Kèm Biến Dạng Trượt Ngang
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài
• 1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
• 1.3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
• 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
• 2.1. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học
• 2.2. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố
• 2.3. Phương pháp năng lượng
• 2.4. Nguyên lý công ảo
• 2.5. Phương trình Lagrange
• 2.6. Bài toán cơ học kết cấu và các phương pháp giải
• 2.7. Phương pháp lực
• 2.8. Phương pháp chuyển vị
• 3. LÝ THUYẾT DẦM CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG
• 4. TÍNH TOÁN KHUNG PHẲNG CHỊU UỐN CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG
• 4.1. Bài toán khung có xét biến dạng trượt ngang - Lời giải bán giải tích
• 4.2. Các ví dụ tính toán khung
• 5. KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
• Danh mục tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Khung phẳng và tính toán kết cấu

Luận văn tập trung vào khung phẳng chịu uốn, xét đến biến dạng trượt ngang. Khung phẳng là cấu trúc phổ biến trong xây dựng, đặc biệt là các công trình dân dụng và công nghiệp. Việc tính toán kết cấu này đòi hỏi sự chính xác cao, đặc biệt khi xét đến biến dạng trượt ngang, yếu tố thường bị bỏ qua trong các phương pháp truyền thống. Luận văn sử dụng phương pháp số và mô hình hóa để phân tích ứng suất và biến dạng, đảm bảo kết quả chính xác và đáng tin cậy.

1.1. Cấu trúc khung và chịu lực

Cấu trúc khung trong luận văn được nghiên cứu dưới tác dụng của tải trọng tĩnh. Khung chịu lực được phân tích dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, kết hợp với biến dạng trượt ngang. Phương pháp này giúp xác định chính xác ứng suất và biến dạng trong các thành phần của khung, đặc biệt là dầm và cột. Kết quả phân tích cho thấy sự ảnh hưởng đáng kể của biến dạng trượt ngang đến độ võng và nội lực trong kết cấu.

1.2. Phân tích kết cấu và cơ học vật liệu

Luận văn áp dụng phân tích kết cấu dựa trên cơ học vật liệu để đánh giá sự phân bố ứng suất và biến dạng trong khung phẳng. Các phương pháp như phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân hữu hạn được sử dụng để mô phỏng và giải các bài toán phức tạp. Kết quả cho thấy sự cần thiết của việc xét đến biến dạng trượt ngang trong các kết cấu có chiều cao lớn, giúp tăng độ chính xác trong thiết kế và thi công.

II. Phương pháp tính toán và mô hình hóa

Luận văn giới thiệu các phương pháp tính toán hiện đại để giải quyết bài toán khung phẳng chịu uốn. Các phương pháp như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, và phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để phân tích ứng suất và biến dạng. Mô hình hóa kết cấu được thực hiện thông qua các phần mềm chuyên dụng, giúp tối ưu hóa quá trình tính toán và đưa ra kết quả chính xác.

2.1. Phương pháp lực và chuyển vị

Phương pháp lực và phương pháp chuyển vị là hai phương pháp truyền thống được sử dụng trong luận văn để giải bài toán khung phẳng. Phương pháp lực tập trung vào việc xác định các lực ẩn số trong hệ siêu tĩnh, trong khi phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Cả hai phương pháp đều đòi hỏi giải hệ phương trình đại số tuyến tính, giúp xác định chính xác nội lực và chuyển vị trong kết cấu.

2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng rộng rãi trong luận văn để phân tích khung phẳng chịu uốn. Phương pháp này chia kết cấu thành các phần tử nhỏ, giúp đơn giản hóa bài toán phức tạp. Kết quả phân tích cho thấy sự hiệu quả của phương pháp này trong việc xác định ứng suất và biến dạng, đặc biệt khi xét đến biến dạng trượt ngang. Phương pháp này cũng giúp tối ưu hóa quá trình thiết kế và thi công kết cấu.

III. Ứng dụng thực tiễn và kiến nghị

Luận văn không chỉ dừng lại ở việc phân tích lý thuyết mà còn đưa ra các ứng dụng thực tiễn trong thiết kế và thi công kết cấu. Các kết quả nghiên cứu cho thấy sự cần thiết của việc xét đến biến dạng trượt ngang trong các kết cấu có chiều cao lớn, giúp tăng độ an toàn và hiệu quả của công trình. Luận văn cũng đưa ra các kiến nghị về hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc áp dụng các phương pháp tính toán hiện đại và mở rộng phạm vi nghiên cứu sang các loại kết cấu khác.

3.1. Ứng dụng trong thiết kế kết cấu

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn được áp dụng trực tiếp vào thiết kế và thi công các công trình xây dựng. Việc xét đến biến dạng trượt ngang giúp tăng độ chính xác trong tính toán, đảm bảo an toàn và hiệu quả của kết cấu. Các phương pháp tính toán hiện đại như phương pháp phần tử hữu hạn cũng giúp tối ưu hóa quá trình thiết kế, giảm thiểu chi phí và thời gian thi công.

3.2. Kiến nghị nghiên cứu tiếp theo

Luận văn đưa ra các kiến nghị về hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc áp dụng các phương pháp tính toán hiện đại như phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân. Ngoài ra, việc mở rộng phạm vi nghiên cứu sang các loại kết cấu khác như tấm và vỏ cũng được đề xuất, giúp hoàn thiện hơn nữa các phương pháp tính toán trong kỹ thuật xây dựng.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, việc tính toán và phân tích kết cấu chịu uốn có vai trò quan trọng trong đảm bảo an toàn và hiệu quả sử dụng công trình. Theo ước tính, các kết cấu như cột, dầm chuyển, sàn chuyển thường có chiều cao tiết diện lớn so với chiều dài, dẫn đến các bài toán cơ học kết cấu phức tạp, đặc biệt khi xét đến biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra. Truyền thống, các phương pháp tính toán thường bỏ qua hoặc xem nhẹ ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, gây ra sai số trong xác định nội lực và chuyển vị.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phát triển phương pháp tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, nhằm nâng cao độ chính xác trong phân tích kết cấu chịu tải trọng tĩnh. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các khung một tầng, một nhịp và hai nhịp, với tiết diện dầm chữ nhật và các tỉ lệ chiều cao trên chiều dài (h/l) từ 1/100 đến 1/3. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cải thiện các chỉ số nội lực như mômen uốn, lực cắt và chuyển vị, góp phần tối ưu thiết kế và đảm bảo an toàn công trình.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình cơ học kết cấu sau:

• Lý thuyết dầm Euler–Bernoulli: Giả thiết mặt cắt ngang dầm ban đầu phẳng và vuông góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn giữ nguyên tính chất này, không xét biến dạng trượt ngang. Đây là cơ sở truyền thống để tính toán mômen uốn và lực cắt trong dầm chịu uốn thuần túy.

• Lý thuyết dầm Timoshenko (xét biến dạng trượt ngang): Bổ sung biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra, sử dụng hai hàm chưa biết là hàm độ võng $y(x)$ và hàm lực cắt $Q(x)$. Biến dạng trượt được xác định theo công thức $\gamma = \frac{\alpha Q}{GF}$, trong đó $\alpha$ là hệ số xét sự phân bố không đều của ứng suất cắt, $G$ là môđun trượt, và $F$ là diện tích tiết diện. Lý thuyết này cho phép mô tả chính xác hơn chuyển vị và nội lực trong dầm có tỉ lệ h/l lớn.

• Nguyên lý cực trị Gauss: Áp dụng để xây dựng và giải bài toán khung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, thông qua việc cực tiểu hóa phiếm hàm lượng cưỡng bức bao gồm thế năng biến dạng uốn, thế năng biến dạng trượt và công của tải trọng.

Các khái niệm chính bao gồm: mômen uốn $M$, lực cắt $Q$, biến dạng uốn $\chi$, biến dạng trượt $\gamma$, góc xoay $\theta$, và hệ số tập trung ứng suất cắt $\alpha$.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các số liệu tính toán mô phỏng trên các mô hình khung phẳng một tầng, một nhịp và hai nhịp với tiết diện dầm chữ nhật. Phương pháp phân tích sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp với giả thiết đa thức cho hàm độ võng và hàm lực cắt, đồng thời áp dụng các điều kiện biên phù hợp với liên kết khớp, ngàm và gối tựa.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các mô hình khung với các tỉ lệ h/l khác nhau (1/100, 1/10, 1/5, 1/3), nhằm đánh giá ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang trên nội lực và chuyển vị. Phương pháp chọn mẫu dựa trên các trường hợp điển hình trong thiết kế kết cấu dân dụng và công nghiệp.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2017, bao gồm giai đoạn khảo sát lý thuyết, xây dựng mô hình toán học, lập trình tính toán và phân tích kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang đến chuyển vị: Kết quả tính toán cho thấy độ võng lớn nhất tại điểm giữa nhịp của dầm tăng đáng kể khi xét đến biến dạng trượt ngang. Ví dụ, với tỉ lệ h/l = 1/10, độ võng tăng từ khoảng 0.0086 (không xét biến dạng trượt) lên khoảng 0.3707 (có xét biến dạng trượt), tương đương mức tăng trên 4000%. Ở tỉ lệ h/l = 1/3, độ võng cũng tăng từ khoảng 0.1186 lên 0.6956, tăng gần 6 lần.

2. Ảnh hưởng đến mômen uốn tại nút khung: Mômen uốn tại các nút khung thay đổi không nhiều khi xét biến dạng trượt ngang, với mức chênh lệch khoảng 1.5% đối với tỉ lệ h/l từ 1/10 đến 1/3. Điều này cho thấy biến dạng trượt chủ yếu ảnh hưởng đến lực cắt và chuyển vị hơn là mômen uốn.

3. Phân bố lực cắt và mômen uốn: Phân bố lực cắt trên các đoạn dầm được mô phỏng bằng đa thức bậc 4, cho phép mô tả chính xác sự biến đổi lực cắt theo chiều dài dầm. Mômen uốn cũng được xác định tương ứng, đảm bảo tính liên tục và điều kiện biên tại các nút và gối tựa.

4. So sánh các phương pháp tính toán: Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp với giả thiết đa thức cho hàm độ võng và lực cắt cho kết quả chính xác và ổn định, phù hợp với các mô hình khung phẳng có xét biến dạng trượt ngang.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của sự gia tăng chuyển vị khi xét biến dạng trượt là do lực cắt gây ra biến dạng trượt ngang làm giảm độ cứng tổng thể của dầm. So với lý thuyết dầm Euler–Bernoulli truyền thống, lý thuyết Timoshenko và phương pháp sử dụng hai hàm chưa biết (độ võng và lực cắt) cho phép mô tả chính xác hơn hiện tượng này.

Kết quả phù hợp với các nghiên cứu gần đây trong ngành cơ học kết cấu, đồng thời khẳng định tầm quan trọng của việc xét biến dạng trượt trong thiết kế các kết cấu có tỉ lệ h/l lớn. Việc mô phỏng phân bố ứng suất tiếp theo chiều cao tiết diện và áp dụng hệ số tập trung ứng suất cắt $\alpha$ giúp cải thiện độ chính xác của mô hình.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ so sánh độ võng và mômen uốn tại các điểm nút giữa các trường hợp có và không xét biến dạng trượt, cũng như bảng tổng hợp các giá trị nội lực và chuyển vị tương ứng với các tỉ lệ h/l khác nhau.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt trong thiết kế kết cấu: Các kỹ sư thiết kế nên sử dụng mô hình tính toán có xét biến dạng trượt ngang, đặc biệt với các kết cấu có tỉ lệ h/l lớn hơn 1/10, nhằm nâng cao độ chính xác và an toàn công trình.

2. Phát triển phần mềm tính toán chuyên dụng: Xây dựng và hoàn thiện chương trình máy tính điện tử dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp đa thức xấp xỉ cho hàm độ võng và lực cắt, giúp tự động hóa và tối ưu hóa quá trình tính toán.

3. Đào tạo và nâng cao nhận thức chuyên môn: Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu về lý thuyết dầm Timoshenko và phương pháp tính toán có xét biến dạng trượt cho cán bộ kỹ thuật và sinh viên ngành xây dựng, nhằm phổ biến kiến thức và ứng dụng thực tiễn.

4. Nghiên cứu mở rộng cho các loại kết cấu phức tạp hơn: Tiếp tục nghiên cứu áp dụng phương pháp này cho các kết cấu khung nhiều tầng, nhiều nhịp, và các loại kết cấu chịu tải trọng động, nhằm mở rộng phạm vi ứng dụng và nâng cao hiệu quả thiết kế.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Kỹ sư thiết kế kết cấu: Nắm bắt phương pháp tính toán chính xác hơn cho các kết cấu chịu uốn có biến dạng trượt, giúp tối ưu hóa thiết kế và đảm bảo an toàn.

2. Giảng viên và sinh viên ngành kỹ thuật xây dựng: Là tài liệu tham khảo chuyên sâu về lý thuyết dầm và phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy.

3. Chuyên gia nghiên cứu cơ học kết cấu: Cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp luận mới, mở hướng nghiên cứu tiếp theo về biến dạng trượt và các phương pháp số trong cơ học kết cấu.

4. Nhà quản lý dự án xây dựng: Hiểu rõ hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến độ bền và chuyển vị của kết cấu, từ đó đưa ra các quyết định kỹ thuật và đầu tư hợp lý.

Câu hỏi thường gặp

1. Biến dạng trượt ngang là gì và tại sao cần xét đến?
   Biến dạng trượt ngang là sự biến dạng do lực cắt gây ra làm cho trục dầm không còn thẳng góc với mặt cắt ngang. Việc xét đến biến dạng này giúp mô hình tính toán chính xác hơn, đặc biệt với các kết cấu có tỉ lệ chiều cao trên chiều dài lớn, tránh sai số trong xác định chuyển vị và lực cắt.

2. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss được áp dụng như thế nào trong luận văn?
   Phương pháp này được sử dụng để xây dựng và giải bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lượng cưỡng bức, bao gồm thế năng biến dạng uốn, biến dạng trượt và công của tải trọng. Qua đó xác định các hàm độ võng và lực cắt phù hợp với điều kiện biên và ràng buộc của khung.

3. Hệ số tập trung ứng suất cắt $\alpha$ có vai trò gì?
   Hệ số $\alpha$ điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất cắt trên chiều cao tiết diện, giúp mô hình hóa chính xác hơn biến dạng trượt. Ví dụ, với tiết diện chữ nhật, $\alpha$ được chọn là 1.2 trong nghiên cứu để phù hợp với thực tế.

4. Ảnh hưởng của biến dạng trượt đến mômen uốn như thế nào?
   Kết quả nghiên cứu cho thấy biến dạng trượt có ảnh hưởng nhỏ đến mômen uốn tại các nút khung, với chênh lệch khoảng 1.5% trong các trường hợp khảo sát, nhưng ảnh hưởng lớn đến lực cắt và chuyển vị.

5. Phương pháp này có thể áp dụng cho các kết cấu phức tạp hơn không?
   Có, phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp với mô hình đa thức cho hàm độ võng và lực cắt có thể mở rộng để tính toán các kết cấu nhiều tầng, nhiều nhịp và chịu tải trọng động, tuy nhiên cần nghiên cứu thêm để xử lý các điều kiện biên phức tạp hơn.

Kết luận

• Luận văn đã phát triển thành công phương pháp tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, nâng cao độ chính xác trong phân tích kết cấu.
• Kết quả cho thấy biến dạng trượt làm tăng đáng kể chuyển vị và lực cắt, trong khi mômen uốn thay đổi không nhiều.
• Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp đa thức xấp xỉ là công cụ hiệu quả để giải bài toán cơ học kết cấu siêu tĩnh có biến dạng trượt.
• Nghiên cứu mở ra hướng phát triển phần mềm tính toán chuyên dụng và ứng dụng rộng rãi trong thiết kế kết cấu dân dụng và công nghiệp.
• Các bước tiếp theo bao gồm mở rộng nghiên cứu cho kết cấu phức tạp hơn và đào tạo chuyên môn cho kỹ sư thiết kế.

Hành động đề xuất: Các chuyên gia và kỹ sư trong lĩnh vực xây dựng nên áp dụng phương pháp này trong thiết kế và kiểm tra kết cấu để đảm bảo an toàn và hiệu quả công trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

đặt vấn đề và cách chọn ân chưa thật chính xác nên đã gặp rất nhiều khó khăn mà không tìm được kết quả của bài toán một cách chính xác và đầy đủ. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác g1ả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải bài toán khung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng cua tai trong tinh. Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cầu chịu uốn có xét đến biến dạng trượt, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tải này là: Mục đích nghiên cứu của đề tài “Tính toánkhungkhung chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và các phương pháp giải bài toán cơ học kết câu hiện nay.

Giới thiệu lý thuyết xét biến dạng trượt đối với bài toán kết cầu đầm chịu uốn với việc dùng hai hàm chưa biết là hàm độ võng y và hàm lực cắt Q. Tinh toan khungchiu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KÉT CÁU Trong chương này trình bày các phương pháp truyền thống đề xây dựng các bài toán cơ học nói chung; giới thiệu bài toán cơ học kết cầu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay.

Phương pháp xây dựng bài toán cơ học Bốn phương pháp chung dé xây dựng bài toán co học kết cấu được trình bày dưới đây. Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố Phương trình vi phan can bang được xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu.Trong sức bền vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - _ Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mặt cắt thăng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thắng góc với trục dầm (giả thiết Euler-Bernoulli).

-_ Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dam Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp ơ, và các ứng suất tiếp ơ„;, ø„x tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp o, bang khong. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyền vị thắng đứng y(x) và nó được gọi là đường độ võng hay đường đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều dài trục dầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của dầm là nhỏ so với chiều cao dầm, y„a„/ h < 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra không được xét trong tính độ võng của dầm như trình bày dưới đây.

Giả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/1 < 1/5. Chuyển vị ngang u của điểm năm ở độ cao z so với trục dâm bắng u U= —Z— TH 7} 7 ` a | Hình 1. Phân tổ dầm a đ? "` ˆˆ. 2 dx dx Momen tác dung lên trục dâm: h2 2 3 2 M= | —Ebe WY az =— PPh TY -h/2 dx 12 dx hay M =EJyz(1.7) Ebh’ d’y trong dé: EJ = —— , y=- h 2° * ae EJ được gọi là độ cứng uốn của dầm; + là độ cong của đường đàn hồi và sẽ được gọi là biến dạng uốn;b là chiều rộng dầm.

Đề đơn giản trình bày, ở đây chỉ dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trượt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp ơzx trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q h/2 tác dụng lên trục dầm: Q= Jo.dz -h/2 Biểu thức của ứng suất tiếp 6, trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm.

Xét phân tố dx của trục dầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1. Chiều dương của M, Q và q trên hình vẽ tương ứng với chiều dương của độ võng hướng xuống dưới. Q x M+ dM M 6, 1 2iQ+dQ dx Hình 1. Xét cân bằng phân tố Lây tông momen đôi với điêm Òs, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có ——-Q=0 1.8) Lấy tông hình chiếu các lực lên trục thăng đứng: d de, ạ=0 (1.9) dx Phương trình (1.8) là phương trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phương trình (1.9) là phương trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q.

Đó là hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) của phương pháp cân bằng phân tố.Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x rồi cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d°M 2 +q=0 (1.10) dx Thay M xác định theo (1.10) nhận được phương trình vi phan xác định đường đàn hồi của thanh da‘ y_ EJ q (1.11) Phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thường dùng như sau a) Liên kếtkhớp tại x=0: 2 Chuyển vibang khong, yl =0, momen uốn M =0, suy ra 7 » =0 xX | 0 b) Lién két ngam tai x=0: Chuyén vị bằng không, VÌ =0, góc xoay bằng không, m =0 XI =0 c) không có gối tua tai x=0: , d’ , đ° Momen uôn M =0, suy ra yg 0; luc cat Q=0, suy ra » =0 2 x=0 x=0 Các điều kiện tại x=l cũng lấy tương tự như trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp øz„ trên chiều dày h của dam. Trước tiên viết phương trình cân bằng ứng suất trên trục x như sau 0 0 ; — Cx 4 SOx 9 hay 2e.

S22» =—E:“ 7 3x Oz Oz Ox dx 2 3 Tích phân phuong trinh trén theo z: ø, =— ` F y +C(x) lv Hàm C(x) xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt _ Eh' đìy 8 dx dưới dầm, z= ¬ Tacé: C(x) Ứng suất tiếp phân bố trên mặt cắt dầm có dạng 3 ơ,=_-E#“ *(q;:— nÈ) * 8 dx’ Đó là hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn nhất tại trục dầm (z=0) có giá trị bằng — Eh’ d’y mạng 8 dx Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta cólực cắt Q tác dụng lên phần trái của dầm — Ebh` d`y g 12 dx 2 3 Ứng suất tiếp trung bình trén chiéu cao dam bang: o” = ` “ ` ly T¡ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình œ=l. Phương pháp năng lượng Năng lượng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng II. Động năng được xác định theo khối lượng và vận tốc chuyển động, còn thế năng II bao gồm thế năng biến dạng và công của các trường lực, phụ thuộc vào chuyển VỊ. Trường lực là lực có thế như lực trọng trường.

Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ là lực không thế. Đối với hệ bảo toàn, năng lượng là không đồi T+ HI= const (1.12) Do đó tốc độ thay đổi năng lượng phải bằng không fat Il) =0 (1.13) Ta xét bai toan tinh, T=0, do do II = const (1.14) Thé năng II có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thể biểu thị qua chuyên vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lượng Sau: Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân bằng được biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và do đó thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát biéu như sau: Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực xây ra khi thế năng biến dạng là cực tiểu.

Trang thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn các phương trình cân bằng. Ta viết nguyên lý đưới dạng sau: TI(Ƒ)—> min Với ràng buộc là các phương trình cân bằng viết đưới dạng lực. Đôi với dâm ta có: SI l 1 = n=; [4 x >> min (1.15) 0 dˆM dx? Nội lực cần tìm mômen uốn là hàm phân bé theo chiều dài đầm M(x) va phải =—q (1.16) thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh (được xác định ở hai đầu thanh). Đây là bài toán cực trị có ràng buộc.

Bằng cách dùng thừa số Lagrange Â(x) đưa về bài toán không ràng buộc sau: l na; [3+ | | dx > min (1.17) A(x) là thita sé Lagrange va cũng là ân của bài toán. Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận được hai phương trình sau (phương trình Euler— Lagrange).18) d?M dx? A(x) cé thir nguyén 1a chuyên vị cho nên phương trình (1.18) biểu thi quan hệ =—q (1.19) giữa M và chuyên vị.20) ^(z) là độ võng của dầm và phương trình (1.20) là phương trình vi phân cân bằng của dầm viết theo chuyển vị nhận được ở trên. Nguyên lý công bù cực đại Khi dùng ẩn là các chuyên vị và biến dạng thì có nguyên lý công bù cực đại. Trong tất cả các chuyển vị động học có thể (khả di) thi chuyến vị thực là chuyển vị có công bù cực đại.

Chuyên vị động học có thể là chuyên vị thỏa mãn các phương trình liên hệ giữa chuyên vị và biến dạng và thỏa mãn các điều kiện biên. Công bù bằng tích của ngoại lực và chuyển vi trừ đi năng lượng biến dạng. [Công ngoại lực — thế năng biến dạng]—>max Với ràng buộc là các phương trình liên hệ giữa chuyên vị và biến dạng. Lấy ví dụ đối với dầm chịu uốn, ta có l l 1 | avax ¬;] EJ y? dx > max(1.21) 0 0 Với ràng buộc: d2y = -—5 (1.22) x 1a biến dạng uốn cũng là độ cong của đường độ võng.

Tích phân thứ nhất trong (1.21) là công toàn phần của ngoại lực (không có hệ số 1⁄2), tích phân thứ hai là thế năng biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn.21), ta có Ll Jøe-;|ø(- oy) dx > max(1.23) 2 2 ' 0 Thay dấu của (1.24 — _ 3 — > 5 J 5} dx qydx — min(1.24) 0 0 Khi y có giá trị xác định tại hai đầu mút dầm thì điều kiện cần để biểu thức (1.