Luận văn thạc sĩ phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung

Luận văn thạc sĩ trình bày phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung, ứng dụng và kết quả nghiên cứu.

• Tác giả: Nguyễn Văn Trường
• Người hướng dẫn: GS. Hà Huy Cương
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Tĩnh
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Kỹ Thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Tính Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một trong những phương pháp số hiệu quả nhất trong tính toán cơ học kết cấu. Phương pháp này cho phép phân tích các dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh một cách chính xác và hiệu quả. Bằng cách chia nhỏ kết cấu thành các phần tử nhỏ, FEM giúp xác định nội lực và chuyển vị của dầm một cách dễ dàng hơn. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao độ chính xác trong tính toán.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một kỹ thuật số dùng để giải quyết các bài toán cơ học phức tạp. Nó chia miền nghiên cứu thành các phần tử nhỏ, từ đó áp dụng các phương trình vật lý để tính toán. Mỗi phần tử được mô hình hóa và kết nối với nhau thông qua các nút.

1.2. Lợi Ích Của Việc Sử Dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Việc sử dụng FEM trong tính toán dầm liên tục mang lại nhiều lợi ích. Nó cho phép phân tích các cấu trúc phức tạp, giảm thiểu sai số và tăng cường khả năng dự đoán hành vi của kết cấu dưới tải trọng. Ngoài ra, FEM còn giúp tối ưu hóa thiết kế kết cấu.

II. Vấn Đề Trong Tính Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Tĩnh

Tính toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh gặp nhiều thách thức, đặc biệt là trong việc xác định nội lực và chuyển vị. Các yếu tố như hình dạng dầm, loại tải trọng và điều kiện biên đều ảnh hưởng đến kết quả tính toán. Việc không chính xác trong các yếu tố này có thể dẫn đến sai sót nghiêm trọng trong thiết kế kết cấu.

2.1. Các Thách Thức Trong Việc Xác Định Nội Lực

Xác định nội lực trong dầm liên tục là một trong những thách thức lớn nhất. Các yếu tố như tải trọng không đồng đều và điều kiện biên phức tạp có thể làm cho việc tính toán trở nên khó khăn. Cần có các phương pháp chính xác để đảm bảo kết quả tin cậy.

2.2. Ảnh Hưởng Của Điều Kiện Biên Đến Kết Quả Tính Toán

Điều kiện biên có thể ảnh hưởng lớn đến kết quả tính toán dầm liên tục. Việc xác định chính xác các điều kiện biên là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của các kết quả. Các điều kiện biên không chính xác có thể dẫn đến sai lệch trong nội lực và chuyển vị.

III. Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Để Giải Bài Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để giải bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung. Quy trình này bao gồm việc rời rạc hóa miền khảo sát, chọn hàm xấp xỉ và thiết lập phương trình cân bằng. Mỗi bước trong quy trình đều quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

3.1. Quy Trình Rời Rạc Hóa Miền Khảo Sát

Rời rạc hóa miền khảo sát là bước đầu tiên trong FEM. Miền nghiên cứu được chia thành các phần tử nhỏ, giúp dễ dàng hơn trong việc tính toán. Mỗi phần tử được kết nối với nhau tại các nút, tạo thành một mạng lưới hoàn chỉnh.

3.2. Chọn Hàm Xấp Xỉ Trong Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Hàm xấp xỉ được chọn để mô hình hóa chuyển vị trong mỗi phần tử. Việc chọn hàm xấp xỉ phù hợp là rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả. Thông thường, các hàm đa thức được sử dụng để đảm bảo tính chính xác cao.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, từ xây dựng đến cơ khí. Việc sử dụng FEM giúp các kỹ sư có thể dự đoán chính xác hành vi của kết cấu dưới tải trọng, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế tối ưu.

4.1. Ứng Dụng Trong Ngành Xây Dựng

Trong ngành xây dựng, FEM được sử dụng để phân tích và thiết kế các công trình như cầu, nhà cao tầng và các kết cấu phức tạp khác. Việc áp dụng FEM giúp tối ưu hóa thiết kế và đảm bảo an toàn cho công trình.

4.2. Ứng Dụng Trong Ngành Cơ Khí

FEM cũng được sử dụng trong ngành cơ khí để phân tích các bộ phận máy móc và thiết bị. Việc sử dụng FEM giúp các kỹ sư có thể dự đoán chính xác ứng suất và biến dạng của các bộ phận, từ đó cải thiện hiệu suất và độ bền của sản phẩm.

V. Kết Luận Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Tính Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ mạnh mẽ trong tính toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp nâng cao độ chính xác mà còn tiết kiệm thời gian trong quá trình tính toán. Tương lai của FEM hứa hẹn sẽ còn phát triển hơn nữa với sự tiến bộ của công nghệ và phần mềm.

5.1. Tương Lai Của Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Với sự phát triển của công nghệ máy tính và phần mềm, phương pháp phần tử hữu hạn sẽ ngày càng trở nên phổ biến hơn. Các ứng dụng mới và cải tiến trong FEM sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong tính toán.

5.2. Những Thách Thức Cần Đối Mặt

Mặc dù FEM mang lại nhiều lợi ích, nhưng vẫn còn nhiều thách thức cần phải giải quyết. Việc cải thiện độ chính xác và giảm thiểu sai số trong tính toán là những vấn đề quan trọng cần được nghiên cứu và phát triển.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ (số phần tử là hữu hạn). Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục.

Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theo ba mô hình gồm: Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng, hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Mục đích nghiên cứu của đề tài “Xác định nội lực và chuyển vị của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung bằng phương pháp phần tử hữu hạn” 1 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.

Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli 3. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng để giải bài toán dầm liên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên.

BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Bài toán cơ học kết cấu Bài toán cơ học kết cấu nhằm xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và được chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa với đất, các liên kết sắp xếp hợp lý, chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học là đủ; - Bài toán siêu tĩnh: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Nếu tính đến tận ứng suất, có thể nói rằng mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán cơ học kết cấu nói riêng đều là bài toán siêu tĩnh.

Các phƣơng pháp giải hiện nay Đã có nhiều phương pháp để giải bài toán siêu tĩnh. Hai phương pháp truyền thống cơ bản là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích.

Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 3 1. Phƣơng pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay các liên kết thừa bằng các lực chưa biết, còn giá trị các chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí và phương của các lực ẩn số do bản thân các lực đó và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Từ điều kiện này ta lập được hệ các phương trình đại số tuyến tính, giải hệ này ta tìm được các ẩn số và từ đó suy ra các đại lượng cần tìm.

Phƣơng pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Những chuyển vị này phải có giá trị sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do bản thân chúng và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện này và giải hệ đó ta tìm được các ẩn, từ đó xác định các đại lượng còn lại. Hệ cơ bản trong phương pháp chuyển vị là duy nhất và giới hạn giải các bài toán phụ thuộc vào số các phần tử mẫu có sẵn.

Phƣơng pháp hỗn hợp và phƣơng pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp là sự kết hợp song song giữa phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Trong phương pháp này ta có thể chọn hệ cơ bản theo phương pháp lực nhưng không loại bỏ hết các liên kết thừa mà chỉ loại bỏ các liên kết thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp lực; hoặc chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị nhưng không đặt đầy đủ các liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn bộ các chuyển vị nút mà chỉ đặt các liên kết phụ tại các nút thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị. Trường hợp đầu hệ cơ bản là siêu tĩnh, còn trường hợp sau hệ cơ bản là siêu động. Trong cả hai cách nói trên, bài toán ban đầu được đưa về hai bài toán độc lập: Một theo phương pháp lực và một theo phương pháp chuyển vị.

Phƣơng pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng), nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân, còn giá trị các điểm trung gian sẽ được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Thông thường ta phải thay đạo hàm bằng các sai phân của hàm tại các nút. Phương trình vi phân của chuyển vị hoặc nội lực được viết dưới dạng sai phân tại mỗi nút, biểu thị quan hệ của chuyển vị tại một nút và các nút lân cận dưới tác dụng của ngoại lực.

Phƣơng pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn: Hoặc là sai phân các đạo hàm trong phương trình biến phân hoặc là sai phân theo một phương và biến phân theo một phương khác (đối với bài toán hai chiều). 5 CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, để phục vụ cho việc xây dựng các bài toán xác định nội lực và chuyển vị cho các dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung theo phương pháp phần tử hữu hạn ở chương 3. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V.

Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử. Trong phương pháp phần tử hữu hạn chia kết cấu công trình thành một số hữu hạn các phần tử. Các phần tử này được nối với nhau tại các điểm định trước thường tại đỉnh phần tử (thậm trí tại các điểm trên biên phần tử) gọi là nút.

Như vậy việc tính toán kết cấu công trình được đưa về tính toán trên các phần tử của kết cấu sau đó kết nối các phần tử này lại với nhau ta được lời giải của một kết cấu công trình hoàn chỉnh. Tương tự như phương pháp sai phân hữu hạn cũng chia công trình thành các đoạn nhỏ (phần tử) và các trạng thái chuyển vị (trường chuyển vị) v.v… được xác định tại các điểm nút sai 6 phân. Sự khác biệt của hai phương pháp là Phương pháp sai phân hữu hạn sau khi tìm được các chuyển vị tại các nút của sai phân còn các điểm nằm giữa hai nút được xác định bằng nội suy tuyến tính, còn phương pháp phân tử hữu hạn sau khi xác định được chuyển vị tại các nút của phần tử thì các điểm bên trong được xác định bằng hàm nội suy (hàm dạng). Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm nội suy có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau: - Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử.

- Mô hình cân bằng: Hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử. - Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Hiện nay, khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán cơ học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.

Sau đây luận văn trình bài nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.