I. Ánh xạ α không giãn suy rộng trong không gian Banach
Trong phần này, nội dung chính được trình bày là khái niệm về ánh xạ α-không giãn suy rộng trong không gian Banach. Định nghĩa ánh xạ này được đưa ra với điều kiện tồn tại một số α trong khoảng [0, 1) sao cho với mọi x, y thuộc K, có thể xác định được mối quan hệ giữa các điểm thông qua các bất đẳng thức. Điều này cho thấy sự mở rộng của khái niệm ánh xạ không giãn, từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Các ví dụ minh họa cho thấy sự khác biệt giữa ánh xạ không giãn và ánh xạ α-không giãn suy rộng, đồng thời nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nghiên cứu các ánh xạ này trong lý thuyết điểm bất động. Việc thiết lập các điều kiện cho ánh xạ α-không giãn suy rộng không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
1.1. Không gian Banach lồi đều
Nội dung này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Banach lồi đều. Đặc điểm của không gian này là sự tồn tại của các điểm lồi và các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện nhất định. Các định nghĩa như không gian lồi chặt, điều kiện (I), (B), và (C) được giới thiệu, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc của không gian Banach. Việc nghiên cứu các điều kiện này là cần thiết để áp dụng vào việc tìm kiếm điểm bất động của các ánh xạ. Các kết quả trong phần này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn, từ đó nâng cao khả năng ứng dụng của lý thuyết trong thực tế.
II. Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α không giãn suy rộng
Phần này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện cho việc xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α-không giãn suy rộng trong không gian Banach. Các dãy lặp S-lặp và P-lặp được giới thiệu như là các công cụ hữu hiệu để tìm kiếm điểm bất động. Việc chứng minh sự hội tụ của các dãy lặp này đến điểm bất động là một trong những kết quả quan trọng của nghiên cứu. Các ví dụ minh họa cho thấy sự hiệu quả của các phương pháp này trong việc xấp xỉ điểm bất động, từ đó khẳng định giá trị thực tiễn của nghiên cứu. Kết quả nghiên cứu không chỉ đóng góp vào lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác như tối ưu hóa và lý thuyết điều khiển.
2.1. Xấp xỉ điểm bất động bằng dãy S lặp
Trong phần này, các điều kiện cần thiết và đủ cho việc xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α-không giãn suy rộng bằng dãy S-lặp được thiết lập. Các kết quả chứng minh cho thấy rằng dãy S-lặp có tốc độ hội tụ nhanh hơn so với các dãy lặp khác, điều này làm nổi bật tính ưu việt của phương pháp này. Việc áp dụng dãy S-lặp trong các bài toán cụ thể cho thấy tính khả thi và hiệu quả của nó trong việc tìm kiếm điểm bất động. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực yêu cầu tính chính xác cao trong việc tìm kiếm nghiệm.
2.2. Xấp xỉ điểm bất động bằng dãy P lặp
Phần này trình bày các điều kiện cho việc xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α-không giãn suy rộng bằng dãy P-lặp. Dãy P-lặp được giới thiệu như một phương pháp ba bước, cho thấy sự cải tiến trong việc hội tụ đến điểm bất động. Các kết quả chứng minh cho thấy rằng dãy P-lặp có thể đạt được sự hội tụ mạnh mẽ hơn so với các phương pháp trước đó. Việc áp dụng dãy P-lặp trong các bài toán thực tiễn cho thấy tính khả thi và hiệu quả của nó trong việc tìm kiếm nghiệm. Kết quả này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.
