Chương 1 Tổng quan 1.1 Giới thiệu Với sự tiến bộ khoa học kỹ thuật ngày càng mạnh mẽ, các vật liệu mới với cấu trúc phức tạp được sử dụng ngày càng rộng rãi. Việc trộn lẫn các cốt liệu khác nhau nhằm tận dụng được các thuộc tính có lợi ngày càng trở nên phổ biến. Điều này có thể tạo ra những vật liệu có khả năng chịu va đập, mài mòn, nhiệt độ để làm việc trong các môi trường làm việc đặc biệt. Vật liệu trong tự nhiên và nhân tạo nói chung được xem là đa tỉ lệ, bởi vì cấu trúc cấp độ lớn được cấu tạo từ các cấu trúc cấp độ nhỏ hơn.
Phương pháp tính toán đa tỉ lệ là nhằm xem xét mối liên hệ giữa hai cấp độ là cấp độ vi mô và cấp độ vĩ mô. Tính toán đồng nhất hóa đạt được hiệu quả khi xem xét trung bình tổng thể thay vì tính toán từng kết cấu vi mô đơn lẻ. Mô hình bài toán vi mô thường có kết cấu phức tạp về hình dáng, thành phần và sự phân bố các pha vật liệu khác nhau của kết cấu vi mô. Điều này ảnh hưởng mạnh mẽ đến quá trình mô phỏng vật liệu có kết cấu phức tạp như là dữ liệu bị quá tải và khó xuất ra thông tin mong muốn.
Phương pháp đa tỉ lệ có thể giải quyết được vấn đề này bằng cách tận dụng sự chính xác của kết cấu vi mô và sự hiệu quả của các bài toán đồng nhất quen thuộc. Phương pháp đạt được hiệu quả trong việc giảm khối lượng tính toán và đồng thời cung cấp độ chính xác mong muốn. Đặc biệt khi xét về kết cấu tấm, các phương pháp “laminate plate theory” hoặc “the rule of mixture” thường được sử dụng để kể đến sự phức tạp theo chiều dày tấm khi xác định các thuộc tính hữu hiệu cho kết cấu tấm. Nhưng việc tính toán sẽ gặp khó khăn trong việc mô phỏng cấu tạo phức tạp trên toàn bộ vật thể.
Điều này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một phần tử đại diện cho tấm không đồng nhất.2 Tổng quan các hướng nghiên cứu 1.1 Phương pháp đa tỉ lệ trong miền đàn hồi Đầu tiên, phương pháp cận và ước lượng khác được trình bày bởi Voigt [1] và Reuss [2] đến nghiên cứu của Hashin và Shtrikman [3] và được phát triển cho tính toán kết cấu tấm của Kolpakov và các cộng sự [4, 5]. Bên cạnh đó, mô hình dựa trên FFT được đưa ra bởi Moulinec và Suquet [6]. Ngoài ra, phương pháp Voronoi cell finite element method (VCFEM) được đề xuất bởi Ghosh [7] và phương pháp đa tỉ lệ sử dụng FE2 bởi Feyel [8] Phương pháp cận Trong những thập kỉ gần đây, một khối lượng lớn các bài báo được phát triển nhằm giải quyết kĩ thuật mô hình cơ học vi mô của vật liệu không đồng nhất. Xa hơn nữa thì thuộc tính hữu hiệu được quan tâm, rất nhiều hướng tiếp cận được chia ra thành hai mảng lớn, phụ thuộc vào tính chất cấp độ vi mô.
Trong trường hợp composite với ứng xử tuyến tính, nếu cấu trúc vi mô là đều để được xem như là tuần hoàn, thuộc tính hữu hiệu có thể được xác định với điều kiện biên xấp xỉ. Nếu cấu trúc vi mô không tuần hoàn thì thuộc tính hữu hiệu không thể được xác định chính xác. Vì vậy mục tiêu được thay đổi thành việc xác định biên độ dao động có thể của ứng xử hữu hiệu bằng phương pháp cận. Điều này phụ thuộc vào một vài yếu tố kết cấu vi mô, như là tỉ lệ thể tích của cốt liệu trong vật liệu nền và sự khác biệt về thuộc tính của vật liệu nền và vật liệu gia cường.
Để thực hiện được điều này, rất nhiều phương pháp đồng nhất hóa đã được đề xuất. Nghiên cứu đầu tiên của Voight [1] và Reuss [2] về tính toán biên cứng cho mô đun đàn hồi của vật liệu hỗn hợp theo tỉ lệ thể tích. Vài thập kỉ sau, Hashin và Shtrikman [3] đã trình bày một sự mở rộng của phương pháp dựa trên công thức biến phân. Phương pháp cận này chịu ảnh hưởng lớn bởi kích thước mẫu và chỉ được kiểm chứng khi vật thể được giả thiết là vô cùng lớn so với mẫu đại diện.
Bằng phương pháp nguyên lý biến phân tổng quát của Washizu [9] đã áp dụng trong bài toán phi tuyến, phương pháp tính toán kiểu tổng thể - cục bộ có thể được hợp nhất với sự hỗ trợ của chương trình đồng nhất hóa cho bài toán phi tuyến tổng quát. Terada và Kukichi [10] đã đề xuất thuật toán mô phỏng hai cấp độ cho việc phân tích vật liệu không đồng nhất có cấu trúc vi mô tuần hoàn bằng cách sử dụng phát 2 biểu biến phân. Sau đó đã có những nghiên cứu [11–13] và [14] xác định mô đun đàn hồi cho vật liệu đa tinh thể dị hướng. Áp dụng cho tấm không đồng nhất đã được thực hiện bởi Kolpakov và các cộng sự [4, 5] (hiệu chỉnh cận của Voigt and Reuss); Nguyen và các cộng sự (hiệu chỉnh cận của Hashin-Shtrikman) [15].
Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp cận là biên độ dao động lớn khi hai pha vật liệu có sự khác biệt lớn, chưa kể đến ảnh hưởng của hình học của các pha vật liệu vi mô. Phương pháp xấp xỉ chuỗi Walker và các cộng sự [16] sử dụng giả thuyết kết cấu vi mô tuần hoàn với xấp xỉ chuỗi Fourier để phân tích ứng xử phi tuyến nhớt dẻo của vật liệu hỗn hợp cốt sợi. Các Cell đơn vị được rời rạc hóa thành các phần tử tam giác. Trong mỗi bước gia tải tổng biến dạng tại mỗi điểm được chi phối bởi phương trình tích phân.
Trường biến dạng và trường ứng suất trong vòng lặp cell đơn vị được bao gồm việc sử dụng xấp xỉ chuỗi Fourier. Các tác giả đã trình bày rằng bài toán có thể được viết bằng cách sử dụng tiếp cận công thức Green, một phương pháp tổng quát vì nó không cần giả thuyết tuần hoàn, và cho điều này thì độ chính xác số hội tụ một cách nhanh chóng. Fotiu và Nemat [17] đã sử dụng xấp xỉ chuỗi Fourier để ước lượng tính chất của vật liệu hỗn hợp tuần hoàn đàn nhớt dẻo trong giả thiết về sự phân bố của nhân. Các nghiên cứu được thực hiện với mô hình không gian ba chiều cũng như các bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng.
Để tránh sự khó khăn của việc tạo lưới phần tử trong trường hợp cấu trúc vi mô phức tạp khi giải các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn, và để lấy trực tiếp bằng cách sử dụng hình ảnh cấu trúc vi mô của vật liệu không đồng nhất, Moulinec và suquet [6, 18] đã đưa ra trong một phương pháp thay thế dựa trên khai triển chuỗi Fast Fourier Transforms (FFT). Thuật toán FFT yêu cầu dữ liệu mẫu trong một lưới của không gian đều, mà cho phép sử dụng trực tiếp hình ảnh của cấu trúc vi mô. Phương pháp này có ba điểm thuận lợi. Đầu tiên là hình ảnh của kết cấu vi mô có thể được sử dụng trực tiếp để phân tích, điều này tránh việc mesh lưới cho kết cấu vi mô.
Tiếp theo là chương trình vòng lặp không yêu cầu thông tin của một ma trận độ cứng. Cuối cùng là sự hội tụ nhanh. So sánh kết quả giữa phần tử hữu hạn và phương pháp FFT được thể hiện trong nghiên cứu của Bary [19, 20] với phần tử đại diện ba chiều cho vật liệu bê tông. Bên cạnh đó thì có các điểm giới hạn như sau sự hội tụ có thể không đảm bảo khi xem xét vật liệu có lổ trống hay có cốt hạt.
Để có thể áp dụng phương pháp này cho trường hợp các pha vật liệu chênh lệch 3 lớn về ứng xử cơ học, Eyre và Milton [21] phát triển chương trình bởi giới thiệu một thuật gia tốc. Tốc độ hội tụ được cải thiện với khai triển hàm bậc hai với biến là các thông số đàn hồi của các pha vật liệu nhưng vẫn không áp dụng được cho vật liệu lỗ rỗng. Một phương pháp thay thế dựa trên Lagrangians bổ sung và phép biến đổi Fourier đã được đưa ra sau đó qua bài báo của Michel và các cộng sự [22] đã giải quyết được bài toán cho vật liệu lỗ rỗng. Mở rộng cho kết cấu tấm tuần hoàn được thực hiện bởi [23].
Phương pháp miền phần tử Voronoi (VCFEM) Một trong những phân tích đầu tiên sử dụng tính toán tổng thể và cục bộ được thực hiện bởi Ghosh và các cộng sự [24, 25] với Voronoi Cell Finite Element Method (VCFEM). Trong phương pháp này, mỗi miền đa giác của một Cell trở thành một phần tử đại diện. Điều này là một phát triển về việc phân chia không gian, miền đa giác được giới hạn bởi tập hợp các điểm, bằng cách đó mà một điểm được hỗ trợ bởi một miền cách biệt giữa các điểm khác. Vùng được chia này được gọi là Voronoi Cell.
Những Cell này có thể được xác định với một phần tử cơ bản trong kết cấu vi mô không đồng nhất. Chúng đại diện vùng của sự ảnh hưởng tức thì cho mỗi sự không đồng nhất và cũng xác định vùng lân cận bởi các mặt của cell. Các điểm hạt nhân được thay thế bằng sự không đồng nhất với hình dạng, kích thước và hướng chính. Việc rời rạc hóa có thể kể đến những đặc tính này và tránh sự giao cắt của biên voronoi với sự không đồng nhất của miền vật liệu.
Một kỹ thuật chia lưới với hình dạng đa giác bất kỳ, kích thước và sự phân bố không gian của hạt nhân được giới thiệu bởi Ghosh và Mulkopadhyay [24]. Lưới tổ ong của phần tử vật liệu đại diện cấp độ vi mô rời rạc hóa miền thành tập hợp các đa giác voronoi hoặc cells. Mỗi cell Voronoi bao gồm hai pha vật liệu là vật liệu nền và vật liệu cốt hạt. Hướng tiếp cận này đã được phát triển để xử lý một cách trực tiếp vật liệu hai pha dạng đa giác như phần tử trong mô hình phần tử hữu hạn của Gosh và Mulkopadhyay [24] cho trường hợp đàn hồi tuyến tính.
Phương pháp đa tỉ lệ phần tử hữu hạn (FE2 ) Phân tích hữu hạn của vật liệu không đồng nhất tuần hoàn với một phần tử thể tích đại diện (RVE) đang thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong thời gian gần đây. Khối lượng lớn các nghiên cứu về quan hệ cấp độ vi mô và vĩ mô đã được phát triển. Trong đó các nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn chiếm đa số như là Smit [26], Feyel [8, 27], Miehe và các cộng sự [22, 28], Terada và Kukichi [10].
