Tổng quan nghiên cứu

Việc vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong giải các bài toán hình học phẳng là một nội dung quan trọng nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học cơ sở (THCS). Theo thống kê từ sách giáo khoa (SGK) Toán lớp 7, 8 và 9 hiện hành, số lượng bài toán thực tế có yêu cầu vẽ thêm đường phụ khá ít, lần lượt là khoảng 19, 13 và 18 bài, trong đó số bài toán thực tế khi giải cần sử dụng kỹ thuật này chỉ khoảng 7, 6 và 4 bài. Điều này dẫn đến việc học sinh thiếu kỹ năng vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ để giải quyết các vấn đề thực tế. Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là xây dựng một tiểu đồ án dạy học giúp học sinh vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học phẳng gắn với mô hình hóa toán học, qua đó nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thực tế bằng toán học. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán thực tế trong SGK Toán lớp 7, 8 và 9 tại Việt Nam, đồng thời xây dựng một số bài toán thực tế mới dựa trên các bài toán hình học phẳng thuần túy. Nghiên cứu có ý nghĩa thiết thực trong việc hỗ trợ giáo viên và học sinh phát triển kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở bậc THCS.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn vận dụng các lý thuyết và mô hình nghiên cứu sau:

  • Thuyết nhân học trong Didactic Toán: Giúp phân tích các bài toán cần vẽ thêm đường phụ trong SGK Toán 7, 8 và 9, nhận diện sự xuất hiện của mô hình hóa trong các bài toán thực tế liên quan đến hình học phẳng.
  • Lý thuyết mô hình hóa toán học: Theo đó, mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi vấn đề ngoài toán học thành vấn đề toán học, giải quyết và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tế. Quá trình mô hình hóa gồm bốn bước chính: xây dựng mô hình phỏng thực tiễn, thiết lập mô hình toán học, giải quyết mô hình, và kiểm định kết quả.
  • Phân loại kỹ thuật vẽ thêm đường phụ: Luận văn phân chia kỹ thuật vẽ thêm đường phụ thành bốn loại chính gồm: vẽ thêm đường cao (đường vuông góc), vẽ thêm đoạn thẳng, đường song song, vẽ thêm đường phân giác, đường trung trực, và vẽ thêm đường kính, tiếp tuyến của đường tròn. Mỗi loại kỹ thuật phục vụ mục đích giải quyết các dạng bài toán khác nhau như tính diện tích, tính độ dài, xác định điểm thỏa điều kiện, và các bài toán liên quan đến đường tròn.

Các khái niệm chính bao gồm: kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, mô hình hóa toán học, tam giác đồng dạng, định lý Pytago, định lý Ta-lét, và các tính chất hình học về đường phân giác, đường trung trực.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng kết hợp các phương pháp sau:

  • Phân tích SGK và tài liệu tham khảo: Thu thập và phân tích các bài toán thực tế trong SGK Toán lớp 7, 8, 9 để xác định sự xuất hiện và vai trò của kỹ thuật vẽ thêm đường phụ.
  • Phương pháp điều tra thực nghiệm: Thực nghiệm dạy học trên hai nhóm học sinh lớp 9 tại TP. Hồ Chí Minh, trong đó nhóm A được học với giáo viên sử dụng tài liệu tham khảo "Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình học phẳng" (STKI), nhóm B không sử dụng tài liệu này.
  • Phương pháp thống kê và xử lý số liệu: Thu thập kết quả thực nghiệm, phân tích so sánh hiệu quả vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ giữa hai nhóm học sinh.
  • Phương pháp đồ án didactic: Xây dựng tiểu đồ án dạy học gồm các tình huống bài toán thực tế có yêu cầu vẽ thêm đường phụ, thiết kế kịch bản thực nghiệm và đánh giá kết quả.

Cỡ mẫu thực nghiệm gồm 17 học sinh lớp 9, chia thành hai nhóm (9 học sinh nhóm A, 8 học sinh nhóm B). Phương pháp chọn mẫu dựa trên nhóm học thêm tại TP. Hồ Chí Minh và hình thức học trực tuyến do ảnh hưởng của dịch bệnh Covid-19. Thời gian thực nghiệm kéo dài khoảng 80 phút với 6 pha làm việc nhóm và cá nhân.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

  1. Số lượng bài toán thực tế có kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong SGK còn hạn chế: SGK Toán 7, 8, 9 có tổng cộng khoảng 50 bài toán thực tế, trong đó chỉ khoảng 17 bài yêu cầu vẽ thêm đường phụ khi giải. Điều này cho thấy kỹ thuật này chưa được chú trọng phát triển trong chương trình hiện hành.

  2. Phân loại kỹ thuật vẽ thêm đường phụ thành 4 nhóm chính:

    • Kỹ thuật 1 (KT1): Vẽ thêm đường cao để tính diện tích, chứng minh tỉ số diện tích.
    • Kỹ thuật 2 (KT2): Vẽ thêm đoạn thẳng, đường vuông góc, đường song song để tính độ dài, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
    • Kỹ thuật 3 (KT3): Vẽ thêm đường phân giác, đường trung trực để xác định điểm thỏa điều kiện.
    • Kỹ thuật 4 (KT4): Vẽ thêm đường kính, tiếp tuyến của đường tròn để giải các bài toán liên quan đến đường tròn, cung tròn.

  3. Hiệu quả thực nghiệm dạy học:

    • Nhóm A (có sử dụng tài liệu STKI) có 6/9 học sinh giải được bài toán thực nghiệm về kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, trong khi nhóm B chỉ có 4/8 học sinh giải được.
    • Học sinh nhóm A nhanh chóng nhận biết và vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, đặc biệt là kỹ thuật vẽ đường cao và định lý Pytago, trong khi nhóm B còn gặp khó khăn và thiếu định hướng rõ ràng.
    • Qua 3 bài toán thực nghiệm về tính diện tích, tính độ dài và chứng minh, học sinh nhóm A thể hiện khả năng vận dụng kỹ thuật tốt hơn, cho thấy việc tiếp cận có hệ thống với kỹ thuật vẽ thêm đường phụ giúp nâng cao năng lực giải toán thực tế.

  4. Mối liên hệ giữa mô hình hóa toán học và kỹ thuật vẽ thêm đường phụ: Việc xây dựng các bài toán thực tế dựa trên các bài toán hình học phẳng thuần túy có thể được hỗ trợ bởi quá trình mô hình hóa toán học, giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy kỹ thuật vẽ thêm đường phụ là một công cụ quan trọng trong giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán thực tế. Tuy nhiên, sự xuất hiện hạn chế của kỹ thuật này trong SGK dẫn đến việc học sinh thiếu cơ hội tiếp xúc và rèn luyện, ảnh hưởng đến khả năng vận dụng vào thực tế. Thực nghiệm dạy học minh chứng rằng việc sử dụng tài liệu tham khảo chuyên biệt và xây dựng tiểu đồ án dạy học có hệ thống giúp học sinh nhận biết và vận dụng kỹ thuật hiệu quả hơn.

So sánh với các nghiên cứu trước đây về mô hình hóa toán học, luận văn đã kết hợp thành công giữa kỹ thuật vẽ thêm đường phụ và mô hình hóa để xây dựng các bài toán thực tế, góp phần làm rõ vai trò của mô hình hóa trong phát triển năng lực toán học. Việc trình bày kết quả qua biểu đồ so sánh tỉ lệ học sinh giải được bài toán giữa hai nhóm cũng giúp minh họa rõ nét hiệu quả của phương pháp dạy học.

Tuy nhiên, nghiên cứu cũng nhận thấy một số hạn chế như mẫu thực nghiệm còn nhỏ, chưa thể hiện rõ mối liên hệ sâu sắc giữa mô hình hóa và kỹ thuật vẽ đường phụ, cũng như chưa mở rộng sang các bài toán hình học không gian hoặc hoạt động trải nghiệm. Đây là những điểm cần được tiếp tục nghiên cứu trong tương lai.

Đề xuất và khuyến nghị

  1. Tăng cường tích hợp kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong chương trình SGK Toán THCS

    • Động từ hành động: Bổ sung, phát triển
    • Target metric: Tăng số lượng bài toán thực tế có yêu cầu vẽ thêm đường phụ lên ít nhất 30% trong SGK
    • Timeline: 2-3 năm
    • Chủ thể thực hiện: Bộ Giáo dục và Đào tạo, các nhà biên soạn SGK

  2. Xây dựng và phổ biến tài liệu tham khảo chuyên sâu về kỹ thuật vẽ thêm đường phụ cho giáo viên

    • Động từ hành động: Soạn thảo, tập huấn
    • Target metric: 80% giáo viên Toán THCS được tập huấn sử dụng tài liệu trong 2 năm
    • Timeline: 1-2 năm
    • Chủ thể thực hiện: Các trường đại học sư phạm, trung tâm bồi dưỡng giáo viên

  3. Thiết kế các tiểu đồ án dạy học kết hợp mô hình hóa toán học và kỹ thuật vẽ thêm đường phụ

    • Động từ hành động: Xây dựng, thử nghiệm, đánh giá
    • Target metric: 90% học sinh tham gia thực nghiệm đạt kết quả vận dụng kỹ thuật tốt hơn so với nhóm đối chứng
    • Timeline: 1 năm cho thử nghiệm, 1 năm cho đánh giá mở rộng
    • Chủ thể thực hiện: Giáo viên, nhà nghiên cứu giáo dục

  4. Khuyến khích nghiên cứu mở rộng về kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong các lĩnh vực hình học không gian và hoạt động trải nghiệm

    • Động từ hành động: Khởi xướng, hỗ trợ nghiên cứu
    • Target metric: Ít nhất 2 đề tài nghiên cứu cấp trường hoặc cấp quốc gia trong 3 năm tới
    • Timeline: 3 năm
    • Chủ thể thực hiện: Các viện nghiên cứu, trường đại học

Đối tượng nên tham khảo luận văn

  1. Giáo viên Toán THCS

    • Lợi ích: Nắm vững kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, áp dụng hiệu quả trong giảng dạy, nâng cao chất lượng bài giảng và phát triển năng lực học sinh.
    • Use case: Thiết kế bài giảng, xây dựng tình huống dạy học thực tế.

  2. Sinh viên sư phạm Toán

    • Lợi ích: Hiểu rõ cơ sở lý thuyết và phương pháp vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, chuẩn bị tốt cho công tác giảng dạy tương lai.
    • Use case: Tham khảo tài liệu học tập, thực hành xây dựng đồ án dạy học.

  3. Nhà nghiên cứu giáo dục toán học

    • Lợi ích: Có cơ sở nghiên cứu về mối liên hệ giữa mô hình hóa toán học và kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, phát triển các đề tài nghiên cứu tiếp theo.
    • Use case: Phát triển đề tài nghiên cứu, phân tích hiệu quả phương pháp dạy học.

  4. Nhà biên soạn sách giáo khoa và tài liệu tham khảo

    • Lợi ích: Cập nhật thông tin về kỹ thuật vẽ thêm đường phụ và mô hình hóa toán học để thiết kế nội dung phù hợp, đáp ứng yêu cầu phát triển năng lực học sinh.
    • Use case: Soạn thảo SGK, xây dựng tài liệu bồi dưỡng giáo viên.

Câu hỏi thường gặp

  1. Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ là gì và tại sao quan trọng trong giải toán hình học?
    Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ là phương pháp thêm các đoạn thẳng, đường cao, đường phân giác, hoặc các đường đặc biệt khác vào hình để làm xuất hiện các yếu tố hình học quen thuộc, giúp giải bài toán dễ dàng hơn. Đây là kỹ năng quan trọng giúp học sinh phát triển tư duy hình học và vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.

  2. Mô hình hóa toán học có vai trò gì trong việc xây dựng bài toán thực tế liên quan đến kỹ thuật vẽ thêm đường phụ?
    Mô hình hóa toán học giúp chuyển đổi các vấn đề thực tế thành bài toán toán học, từ đó áp dụng các kỹ thuật như vẽ thêm đường phụ để giải quyết. Quá trình này giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, đồng thời phát triển năng lực giải quyết vấn đề.

  3. Làm thế nào để giáo viên giúp học sinh làm quen và vận dụng thành thạo kỹ thuật vẽ thêm đường phụ?
    Giáo viên cần xây dựng các tình huống dạy học có bài toán thực tế yêu cầu vẽ thêm đường phụ, sử dụng tài liệu tham khảo chuyên sâu, tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả học sinh, đồng thời tạo điều kiện cho học sinh luyện tập thường xuyên.

  4. Phân loại các kỹ thuật vẽ thêm đường phụ phổ biến trong giải toán hình học phẳng?
    Có bốn loại chính: (1) Vẽ thêm đường cao để tính diện tích; (2) Vẽ thêm đoạn thẳng, đường vuông góc, đường song song để tính độ dài; (3) Vẽ thêm đường phân giác, đường trung trực để xác định điểm thỏa điều kiện; (4) Vẽ thêm đường kính, tiếp tuyến của đường tròn để giải các bài toán liên quan đến đường tròn.

  5. Kết quả thực nghiệm dạy học cho thấy điều gì về hiệu quả của việc sử dụng tài liệu tham khảo chuyên biệt?
    Thực nghiệm cho thấy nhóm học sinh được học với giáo viên sử dụng tài liệu tham khảo chuyên biệt có khả năng vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ tốt hơn, giải được nhiều bài toán thực tế hơn so với nhóm không sử dụng, chứng tỏ tầm quan trọng của việc trang bị tài liệu và phương pháp dạy học phù hợp.

Kết luận

  • Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ là công cụ thiết yếu trong giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán thực tế trong SGK Toán THCS, tuy nhiên số lượng bài toán có yêu cầu kỹ thuật này còn hạn chế.
  • Luận văn đã phân loại kỹ thuật vẽ thêm đường phụ thành bốn nhóm chính, phục vụ các mục đích tính diện tích, tính độ dài, xác định điểm thỏa điều kiện và giải các bài toán liên quan đến đường tròn.
  • Thực nghiệm dạy học cho thấy việc sử dụng tài liệu tham khảo chuyên biệt và xây dựng tiểu đồ án dạy học giúp học sinh nhận biết và vận dụng kỹ thuật hiệu quả hơn, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thực tế.
  • Mối liên hệ giữa mô hình hóa toán học và kỹ thuật vẽ thêm đường phụ được khai thác để xây dựng các bài toán thực tế mới, góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh.
  • Nghiên cứu mở ra hướng phát triển tiếp theo về việc áp dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong hình học không gian và các hoạt động trải nghiệm, đồng thời đề xuất các giải pháp nâng cao chất lượng dạy học môn Toán THCS.

Hành động tiếp theo: Giáo viên và nhà nghiên cứu nên áp dụng và phát triển các tiểu đồ án dạy học dựa trên kỹ thuật vẽ thêm đường phụ, đồng thời phối hợp với các cơ quan giáo dục để cập nhật chương trình và tài liệu giảng dạy phù hợp.