Giáo Trình Phương Pháp Tính - Kỹ Thuật: Hướng Dẫn và Ứng Dụng

Giáo trình phương pháp tính kỹ thuật của Trần Minh Thuận và Trần Đức Trung, cung cấp kiến thức chuyên sâu cho sinh viên Trường Đại học Cần Thơ 2020.

• Đề tài: Giáo Trình Phương Pháp Tính - Kỹ Thuật: Hướng Dẫn Chi Tiết và Ứng Dụng

Mục lục chi tiết

• LỜI GIỚI THIỆU
• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. Chương 1: SỰ CHÍNH XÁC - SỰ ỔN ĐỊNH - SAI SỐ
• 1.1. CÁCH BIỂU DIỄN DỮ KIỆN TRỊ SỐ TRONG MÁY VI TÍNH
• 1.2. GIÁ TRỊ XẤP XỈ - SỐ GẦN ĐÚNG
• 1.2.1. Sai số tuyệt đối
• 1.2.2. Độ ngờ tuyệt đối
• 1.2.3. Sai số tương đối
• 1.2.4. Chữ số đúng
• 1.3. CÔNG THỨC TÍNH TOÁN SAI SỐ
• 1.3.1. Công thức tổng quát
• 1.3.2. Sai số của 1 biểu thức phức tạp
• 1.3.3. Bài toán ngược của sai số
• 1.4. BÀI TẬP TỰ GIẢI
• 2. Chương 2: GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ MỘT HÀM SỐ
• 2.1. BƯỚC GIẢI SƠ BỘ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
• 2.1.1. Khảo sát hàm số theo giải tích
• 2.1.2. Vẽ đồ thị của hàm số f(x)
• 2.1.3. Hoặc nếu được ta có thể biến đổi f(x) = 0 thành dạng f1(x) = g(x)
• 2.2. GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP
• 2.2.1. Phép lặp dây cung
• 2.2.2. Phép lặp Newton hay phép lặp tiếp tuyến
• 2.2.3. Phương pháp lặp đơn để giải một phương trình phi tuyến
• 2.3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
• 2.3.1. Giải hệ phương trình bằng phép lặp đơn
• 2.3.2. Đưa hệ phương trình về dạng lặp đơn dùng ma trận nghịch đảo hằng số
• 2.3.3. Dạng lặp đơn thay đổi ma trận nghịch đảo - Phép lặp Newton
• 2.4. ĐẠI SỐ ĐA THỨC
• 2.4.1. Tính giá trị của 1 đa thức - Thuật toán Horner
• 2.4.2. Dùng thuật toán Horner tìm vây nghiệm của 1 đa thức
• 2.5. TÍNH GIÁ TRỊ MỘT HÀM SỐ
• 2.6. BÀI TẬP TỰ GIẢI
• 3. Chương 3: NỘI SUY
• 3.1. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• 3.1.1. Sai phân cho các điểm xi cách đều
• 3.1.2. Đa thức nội suy Newton tiến ứng với các điểm xi cách đều
• 3.2. CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE
• 3.2.1. Trường hợp với các điểm xi không cách đều
• 3.2.2. Trường hợp các điểm xi cách đều
• 3.3. NỘI SUY VỚI HÀM 2 BIẾN
• 3.3.1. Phương pháp 2 lần nội suy đơn
• 3.3.2. Phương pháp sai phân đôi
• 3.3.3. Công thức nội suy Lagrange của hàm 2 biến
• 3.4. XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT - PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU
• 3.4.1. Xấp xỉ đều tốt nhất
• 3.4.2. Phương pháp bình phương tối thiểu
• 3.5. BÀI TẬP TỰ GIẢI
• 4. Chương 4: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẰNG SỐ
• 4.1. ĐẠO HÀM BẰNG SỐ
• 4.2. TÍCH PHÂN BẰNG SỐ
• 4.2.1. Tích phân một lớp - Công thức tích phân Newton-Cotes
• 4.2.2. Phương pháp tích phân hai lớp
• 4.2.3. Tích phân Monte Carlo (áp dụng cho tích phân ba lớp)
• 4.3. BÀI TẬP TỰ GIẢI
• 5. Chương 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
• 5.1. DẠNG TỔNG QUÁT
• 5.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• 5.2.1. Phương pháp khử Gauss
• 5.2.2. Phương pháp khử Gauss - Jordan
• 5.3. PHƯƠNG PHÁP LẶP
• 5.3.1. Phương pháp giảm dư (phương pháp hiệu chỉnh)
• 5.3.2. Phương pháp lặp đơn giản (Jacoby)
• 5.3.3. Phương pháp Seidel
• 5.4. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA TRỰC TIẾP CỦA ĐỊNH THỨC (CRAMER)
• 5.4.1. Ứng dụng của ma trận và định thức để giải hệ phương trình tuyến tính (Cramer)
• 5.5. BÀI TẬP TỰ GIẢI
• 6. Chương 6: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
• 6.1. CÔNG THỨC XẤP XỈ GIỮA SAI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM 1 BIẾN
• 6.2. PHÉP TÍNH XẤP XỈ CỦA CÁC VI PHÂN CẤP I VÀ CẤP II THEO CÔNG THỨC TAYLOR
• 6.3. SAI PHÂN HÓA CÁC ĐẠO HÀM RIÊNG
• 6.4. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BỜ (HAY BÀI TOÁN BIÊN TRỊ)
• 6.4.1. Theo sai phân tiến
• 6.4.2. Theo sai phân trung tâm
• 6.5. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
• 6.5.1. Phương trình đạo hàm riêng của bài toán 1 phương dạng Parabolic
• 6.5.2. Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
• 6.5.3. Giải phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính
• 6.6. BÀI TẬP TỰ GIẢI
• PHỤ LỤC
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Khám phá Giáo trình Phương pháp tính Nền tảng cho Kỹ sư

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật là tài liệu học thuật không thể thiếu, đóng vai trò cầu nối giữa toán học lý thuyết và các bài toán kỹ thuật thực tiễn. Trong bối cảnh công nghệ phát triển, việc giải quyết các vấn đề phức tạp trong xây dựng, cơ khí, thủy lợi không còn chỉ dựa vào các công thức giải tích thuần túy. Thay vào đó, phân tích số và các thuật toán số đã trở thành công cụ đắc lực. Giáo trình này cung cấp một hệ thống kiến thức toàn diện, từ các khái niệm cơ bản về sai số đến những phương pháp giải quyết các hệ phương trình phức tạp. Mục tiêu chính của môn học là trang bị cho sinh viên và kỹ sư khả năng hiểu rõ bản chất các phần mềm kỹ thuật, đồng thời có thể tự lập trình để giải quyết các bài toán chuyên môn. Như nhóm tác giả TS. Trần Minh Thuận đã nhấn mạnh trong lời nói đầu, sự trợ giúp của máy tính làm cho việc giải quyết bài toán bằng phương pháp số ngày càng chính xác và hữu hiệu. Việc hiểu rõ các thuật toán giúp người học không chỉ sử dụng thành thạo các công cụ có sẵn như MATLAB hay Python Scipy mà còn có thể phát triển các giải pháp tùy biến, phục vụ cho mục đích chuyên môn cụ thể của mình. Nội dung của giáo trình thường bao quát các chủ đề cốt lõi như giải phương trình phi tuyến, hệ phương trình tuyến tính, nội suy, và tính toán đạo hàm, tích phân bằng số, tạo nên một tài liệu học tập giá trị.

1.1. Vai trò của phân tích số trong các ngành kỹ thuật hiện đại

Phân tích số, hay còn gọi là giải tích số, là trái tim của phương pháp tính. Nó cung cấp các thuật toán để tìm ra nghiệm xấp xỉ cho các bài toán mà việc tìm nghiệm chính xác là bất khả thi hoặc không hiệu quả. Trong kỹ thuật xây dựng, nó được dùng để phân tích kết cấu, mô phỏng sức bền vật liệu. Trong kỹ thuật tài nguyên nước, nó giúp mô hình hóa dòng chảy, dự báo thủy văn. Sự ra đời của các công cụ tính toán mạnh mẽ đã thúc đẩy ứng dụng của phân tích số vào hầu hết mọi lĩnh vực, từ thiết kế tối ưu hóa đến mô phỏng kỹ thuật phức tạp. Giáo trình cung cấp các phương pháp nền tảng để thực hiện các phân tích này một cách hiệu quả.

1.2. Giới thiệu ebook phương pháp tính và tài liệu học tập cốt lõi

Để tiếp cận môn học, các ebook phương pháp tính và bài giảng phương pháp tính số hóa đóng vai trò quan trọng. Các tài liệu này, như cuốn "Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật" của NXB Đại học Cần Thơ, thường được biên soạn cô đọng, đi kèm các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải. Cấu trúc của một giáo trình chuẩn thường bắt đầu với các khái niệm về sai số, tiếp theo là các chương về giải phương trình, nội suy, xấp xỉ hàm, và giải phương trình vi phân. Việc lựa chọn một giáo trình phù hợp là bước đầu tiên để nắm vững các thuật toán số và ứng dụng chúng vào thực tế.

II. Hiểu đúng về Sai số tính toán trong Phương pháp tính Kỹ thuật

Một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng nhất trong Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật là sai số tính toán. Do bản chất của phương pháp số là tìm kiếm nghiệm gần đúng, sai số là một yếu tố không thể tránh khỏi. Hiểu và kiểm soát sai số là chìa khóa để đảm bảo độ tin cậy của kết quả. Sai số xuất phát từ hai nguyên nhân chính: sai số do làm tròn số trong quá trình biểu diễn dữ liệu trên máy tính và sai số phương pháp (sai số chặt cụt) do việc xấp xỉ một quá trình vô hạn bằng một quá trình hữu hạn. Chương 1 của giáo trình đã định nghĩa rõ các loại sai số như sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Một thuật toán được xem là tốt không chỉ khi nó cho kết quả nhanh mà còn phải đảm bảo tính ổn định số, nghĩa là sai số làm tròn không bị khuếch đại lên một cách mất kiểm soát qua các bước tính toán. Việc đánh giá sai số giúp người tính toán lựa chọn phương pháp phù hợp và xác định mức độ chính xác cần thiết cho bài toán của mình, đảm bảo rằng kết quả cuối cùng nằm trong giới hạn cho phép.

2.1. Phân loại và cách kiểm soát sai số tính toán trong thuật toán

Trong phân tích số, sai số tính toán được chia thành hai loại chính. Sai số làm tròn (round-off error) phát sinh do máy tính chỉ có thể lưu trữ số với độ chính xác hữu hạn. Sai số chặt cụt (truncation error) xuất hiện khi ta xấp xỉ một mô hình toán học chính xác bằng một mô hình đơn giản hơn, ví dụ như sử dụng một vài số hạng đầu của chuỗi Taylor để tính giá trị hàm. Để kiểm soát sai số, cần lựa chọn các thuật toán số có tính ổn định số cao và sử dụng đủ số bước lặp hoặc bậc xấp xỉ để đạt được độ chính xác mong muốn mà không làm tăng đột biến sai số làm tròn.

2.2. Tầm quan trọng của ổn định số và điều kiện hội tụ của nghiệm

Ổn định số là một đặc tính quan trọng của thuật toán. Một thuật toán không ổn định có thể tạo ra kết quả sai lệch hoàn toàn, ngay cả khi sai số ở mỗi bước là rất nhỏ. Ví dụ được nêu trong giáo trình về việc tính lũy thừa của một số bằng phép truy toán cho thấy sai số có thể tích lũy và làm sai lệch toàn bộ lời giải. Bên cạnh đó, các phương pháp lặp cần phải thỏa mãn điều kiện hội tụ. Điều kiện này đảm bảo rằng dãy các kết quả xấp xỉ sẽ tiến dần đến nghiệm đúng của bài toán khi số lần lặp tăng lên. Việc kiểm tra các điều kiện này trước khi áp dụng thuật toán là bước bắt buộc.

III. Hướng dẫn giải phương trình từ Giáo trình Phương pháp tính

Giải phương trình là một trong những ứng dụng phổ biến nhất của phương pháp tính. Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật dành phần lớn nội dung để giới thiệu các phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến và hệ phương trình đại số tuyến tính. Đối với phương trình phi tuyến một biến, các phương pháp kinh điển như phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, và đặc biệt là phương pháp Newton-Raphson (hay phương pháp tiếp tuyến) được trình bày chi tiết. Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng về tốc độ hội tụ và điều kiện áp dụng. Đối với hệ phương trình tuyến tính, vốn thường xuất hiện trong các bài toán phần tử hữu hạn hay sai phân hữu hạn, giáo trình tập trung vào hai nhóm chính: phương pháp giải đúng (direct methods) và phương pháp lặp (iterative methods). Các phương pháp giải đúng như phương pháp khử Gauss hay phân rã LU cung cấp nghiệm chính xác sau một số hữu hạn các phép tính, phù hợp với các hệ có kích thước nhỏ và vừa. Trong khi đó, các phương pháp lặp như phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss-Seidel lại tỏ ra hiệu quả hơn đối với các hệ phương trình lớn và thưa (sparse matrix), thường gặp trong mô phỏng kỹ thuật.

3.1. Kỹ thuật giải phương trình phi tuyến Phương pháp Newton Raphson

Phương pháp Newton-Raphson, hay còn gọi là phương pháp tiếp tuyến, là một trong những phương pháp lặp hiệu quả nhất để tìm nghiệm phương trình phi tuyến. Ý tưởng của phương pháp là xấp xỉ hàm số bằng đường tiếp tuyến tại điểm lặp hiện tại và tìm giao điểm của tiếp tuyến đó với trục hoành để có điểm lặp kế tiếp. Công thức lặp của phương pháp này đòi hỏi tính toán đạo hàm của hàm số. Dù có tốc độ hội tụ bậc hai (rất nhanh), phương pháp này đòi hỏi một giá trị khởi tạo đủ gần nghiệm và đạo hàm phải khác không.

3.2. Giải hệ phương trình tuyến tính hiệu quả bằng phương pháp khử Gauss

Phương pháp khử Gauss là một thuật toán số cơ bản và mạnh mẽ để giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Quá trình này bao gồm hai bước chính. Bước một là quá trình khử xuôi (forward elimination), sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận hệ số về dạng ma trận tam giác trên. Bước hai là quá trình thế ngược (back substitution), giải lần lượt các ẩn từ phương trình cuối cùng trở về phương trình đầu tiên. Phương pháp này đảm bảo tìm ra nghiệm duy nhất nếu hệ có nghiệm, tuy nhiên có thể gặp vấn đề về sai số tính toán với các phần tử trụ (pivot) quá nhỏ.

IV. Bí quyết Nội suy và Tích phân số từ Giáo trình Phương pháp tính

Trong thực tế, nhiều hàm số không được cho dưới dạng biểu thức giải tích mà chỉ là một tập hợp các điểm dữ liệu rời rạc. Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật cung cấp các công cụ mạnh mẽ để xử lý những trường hợp này thông qua nội suy và tính toán tích phân số. Nội suy là quá trình xây dựng một hàm đa thức đi qua một tập hợp các điểm đã cho. Các phương pháp phổ biến nhất được giới thiệu là nội suy Lagrange và nội suy Newton. Các đa thức nội suy này không chỉ giúp ước lượng giá trị của hàm tại các điểm không có trong bảng dữ liệu mà còn là cơ sở để xây dựng các công thức tính đạo hàm và tích phân số. Khi cần tính tích phân xác định của một hàm phức tạp hoặc hàm dạng bảng, các phương pháp số như phương pháp hình thang và phương pháp Simpson là lựa chọn tối ưu. Các phương pháp này hoạt động bằng cách xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng tổng diện tích của các hình thang hoặc các cung parabol nhỏ, mang lại độ chính xác cao với chi phí tính toán hợp lý. Đây là những kỹ thuật nền tảng cho việc xử lý tín hiệu, phân tích dữ liệu và mô phỏng kỹ thuật.

4.1. Xấp xỉ hàm số chính xác với nội suy Lagrange và nội suy Newton

Nội suy Lagrange và nội suy Newton là hai phương pháp chính để tìm một đa thức bậc n đi qua n+1 điểm cho trước. Đa thức nội suy Lagrange được xây dựng trực tiếp từ các điểm dữ liệu, trong khi đa thức nội suy Newton sử dụng khái niệm sai phân hoặc tỷ sai phân, giúp việc thêm một điểm dữ liệu mới trở nên dễ dàng hơn. Cả hai phương pháp đều cho cùng một đa thức nội suy duy nhất và là công cụ cơ bản trong phân tích số để xấp xỉ hàm số.

4.2. Tính toán tích phân xác định bằng phương pháp Simpson hiệu quả

Phương pháp Simpson là một công thức tính tích phân số dựa trên việc xấp xỉ hàm dưới dấu tích phân bằng một đa thức bậc hai (parabol) đi qua ba điểm. Bằng cách chia đoạn tích phân thành một số chẵn các đoạn con và áp dụng công thức trên từng cặp đoạn, phương pháp này cho độ chính xác cao hơn đáng kể so với phương pháp hình thang với cùng số điểm chia. Công thức này đặc biệt hiệu quả cho các hàm biến thiên trơn, là một trong những thuật toán số được ứng dụng rộng rãi nhất trong khoa học và kỹ thuật.

V. Ứng dụng Phương pháp tính Kỹ thuật trong Mô phỏng thực tế

Giá trị lớn nhất của Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật nằm ở khả năng ứng dụng các thuật toán vào giải quyết vấn đề thực tế. Một trong những lĩnh vực ứng dụng quan trọng là giải các phương trình vi phân, vốn là ngôn ngữ toán học mô tả vô số hiện tượng vật lý. Các phương pháp như phương pháp Euler hay phương pháp Runge-Kutta được sử dụng để giải các bài toán giá trị ban đầu (initial value problems), ví dụ như mô phỏng quỹ đạo chuyển động. Đối với các bài toán biên (boundary value problems) như truyền nhiệt trong một thanh kim loại hay độ võng của một cây dầm, phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) là một công cụ cực kỳ hiệu quả. Phương pháp này rời rạc hóa miền không gian và thời gian, biến đổi phương trình vi phân thành một hệ phương trình đại số tuyến tính lớn, sau đó có thể giải bằng phương pháp khử Gauss hoặc các phương pháp lặp. Việc thực hành các thuật toán này trên MATLAB hoặc Python Scipy không chỉ củng cố kiến thức mà còn giúp người học xây dựng các mô hình mô phỏng kỹ thuật mạnh mẽ.

5.1. Mô phỏng kỹ thuật với phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn là kỹ thuật cốt lõi để giải phương trình đạo hàm riêng. Bằng cách xấp xỉ các đạo hàm bằng các tỷ sai phân tại các điểm trên một lưới rời rạc, phương trình vi phân được chuyển đổi thành một hệ phương trình đại số. Kỹ thuật này được ứng dụng rộng rãi để mô phỏng kỹ thuật trong nhiều lĩnh vực như cơ học chất lỏng, truyền nhiệt, và địa kỹ thuật. Sự thành công của phương pháp phụ thuộc vào việc lựa chọn sơ đồ sai phân (hiện, ẩn, hay Crank-Nicolson) để đảm bảo tính ổn định số và hội tụ của lời giải.

5.2. Hướng dẫn thực hành các thuật toán số với MATLAB và Python Scipy

Để biến lý thuyết thành kỹ năng, việc thực hành trên các phần mềm chuyên dụng là bắt buộc. MATLAB, với các toolbox mạnh mẽ và cú pháp gần với ngôn ngữ toán học, là lựa chọn phổ biến trong môi trường học thuật và công nghiệp. Ngôn ngữ Python, với các thư viện như NumPy và Scipy, cung cấp một giải pháp mã nguồn mở, linh hoạt và mạnh mẽ không kém. Việc lập trình các thuật toán số như phương pháp Runge-Kutta hay phương pháp bình phương tối thiểu bằng các công cụ này giúp người học hiểu sâu hơn về cơ chế hoạt động và các vấn đề tiềm ẩn như sai số tính toán.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật do TS. Trần Minh Thuận (Chủ biên), ThS. Trần Đức Trung và ThS. Lê Thành Phiêu biên soạn, được Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ ấn hành năm 2020 (156 trang, khổ 20 x 28,5 cm, ISBN: 978-604-965-361-2, mã phân loại DDC: 621.8). Giáo trình giữ vị trí là học phần cơ sở kỹ thuật - toán ứng dụng trong chương trình đào tạo kỹ sư và học viên cao học thuộc các ngành Kỹ thuật Xây dựng Công trình thủy, Kỹ thuật Tài nguyên nước, Biến đổi khí hậu và Quản lý đồng bằng tại Khoa Công nghệ - Trường Đại học Cần Thơ.

Mục tiêu học tập của giáo trình là trang bị cho người học bản chất toán học của các thuật toán số, cơ chế biểu diễn dữ liệu và sự tích lũy sai số trong máy tính điện tử; cung cấp các công cụ giải tích số để xử lý các bài toán kỹ thuật phức tạp như tính toán dòng thấm, truyền nhiệt, cơ học đất, sức bền kết cấu; giúp sinh viên hiểu rõ cấu trúc thuật toán vận hành bên trong các phần mềm kỹ thuật thương mại, đồng thời có khả năng tự lập trình giải quyết các bài toán chuyên môn bằng ngôn ngữ MATLAB.

Cấu trúc giáo trình gồm 6 chương lý thuyết kết hợp bài tập, 2 phụ lục và danh mục tài liệu tham khảo. Cách tiếp cận của tài liệu đi từ nền tảng số học máy vi tính, xử lý sai số, giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến, đại số đa thức, lý thuyết nội suy - xấp xỉ dữ liệu, vi tích phân số, giải hệ đại số tuyến tính đến phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng. Điểm đặc sắc của giáo trình là sự gắn kết chặt chẽ giữa công thức toán học giải tích, thuật toán số, mã nguồn lập trình MATLAB mẫu và các bài toán thực tế trong lĩnh vực công trình thủy lợi, cơ học đất và tài nguyên nước.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung giáo trình được triển khai qua 6 chương với logic phát triển từ cơ sở số học đến mô phỏng các phương trình vi phân đạo hàm riêng:

• Chương 1: Sự chính xác - Sự ổn định - Sai số: Trình bày cách biểu diễn dữ liệu số trong máy tính ở dạng dấu chấm tĩnh (fixed point) và dấu chấm động (floating point) 32-bit theo hệ cơ số 16 (gồm 1 bit dấu $s$, 7 bit phần đặc trị $C = \text{số mũ} + 64$, 24 bit phần định trị $M$ chuẩn hóa); phân loại sai số tuyệt đối ($\Delta A$), sai số tương đối ($\delta$), độ ngờ, quy tắc làm tròn và chữ số đúng; thiết lập công thức tính sai số tổng quát của hàm nhiều biến $W = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ bằng vi phân cấp một; giải quyết bài toán ngược của sai số theo nguyên lý ảnh hưởng đều; phân tích tính mất ổn định của thuật toán qua ví dụ truy toán dãy lũy thừa số vàng $\phi^{n+1} = \phi^{n-1} - \phi^n$.
• Chương 2: Giải các phương trình phi tuyến và tính giá trị một hàm số: Hướng dẫn các bước phân lập khoảng chứa nghiệm bằng giải tích và đồ thị; các phương pháp giải phương trình phi tuyến một ẩn gồm phép lặp dây cung, phép lặp tiếp tuyến Newton-Raphson, phép lặp đơn $x = \varphi(x)$ với điều kiện co $|\varphi'(x)| \le C < 1$; mở rộng giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp đơn dùng ma trận nghịch đảo hằng số $A = F'^{-1}(x^{(0)})$ và phép lặp Newton thay đổi ma trận Jacobi $F'^{-1}(x^{(m)})$; thuật toán Horner tính giá trị đa thức $P_n(\alpha)$, tính đạo hàm cấp cao $P_n^{(k)}(\alpha)$, chia đa thức cho tam thức bậc hai $x^2 + px + q$ khi nghiệm là số phức $z = \alpha + i\beta$, và xác định cận trên, cận dưới của nghiệm thực (vây nghiệm đa thức); tính giá trị hàm số bằng khai triển chuỗi Taylor.
• Chương 3: Nội suy: Thiết lập đa thức nội suy Newton tiến với các mốc cách đều dựa trên toán tử sai phân tiến $\Delta^k y_0$; xây dựng công thức nội suy Lagrange cho các mốc cách đều và không cách đều kèm công thức đánh giá sai số $R_n(x)$; kỹ thuật nội suy hàm 2 biến bằng phương pháp 2 lần nội suy đơn, phương pháp sai phân đôi Gregory-Newton và công thức Lagrange 2 biến trên lưới 4 nút chữ nhật; lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất theo định lý Chebyshev (Trêbưsép); phương pháp bình phương tối thiểu xây dựng mô hình hồi quy tuyến tính $y = a + bx$ và mô hình phi tuyến tổng quát giải qua phương trình ma trận thiết kế $[A]^T [A] {a} = [A]^T {b}$.
• Chương 4: Đạo hàm và tích phân bằng số: Công thức xấp xỉ đạo hàm cấp 1, cấp 2 từ đa thức nội suy Newton; các công thức tích phân số Newton-Cotes một lớp (công thức hình thang, công thức Simpson $1/3$ và $3/8$); phương pháp tích phân số hai lớp; phương pháp tích phân Monte Carlo cho tích phân ba lớp; ứng dụng tính toán diện tích và thể tích đào đắp, san lấp mặt bằng trong kỹ thuật.
• Chương 5: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính: Trình bày các phương pháp đúng gồm phép khử Gauss, phép khử Gauss - Jordan, quy tắc định thức Cramer; các phương pháp lặp gồm phương pháp lặp đơn giản Jacobi, phương pháp lặp Gauss - Seidel và phương pháp giảm dư (over-relaxation) kèm điều kiện hội tụ đường chéo trội.
• Chương 6: Phương pháp sai phân hữu hạn: Thiết lập công thức xấp xỉ sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm từ khai triển Taylor cho vi phân cấp 1 và cấp 2; phân loại và sai phân hóa 3 dạng phương trình đạo hàm riêng (Hyperbolic - sóng một phương, Parabolic - khuếch tán/dòng thấm/truyền nhiệt, Elliptic - phương trình Poisson/Laplace); giải phương trình Parabolic bằng sơ đồ sai phân hiện (explicit scheme) gắn với điều kiện ổn định $s = \frac{K \cdot D \cdot \Delta t}{\mu (\Delta x)^2} \le 0,5$; sơ đồ sai phân ẩn (implicit scheme) giải qua phép khử Gauss-Jordan, thuật toán ma trận 3 đường chéo (Tridiagonal Matrix Algorithm / Thomas) và các phương pháp lặp ẩn (Jacobi, Seidel, Over-relaxation); kỹ thuật tuyến tính hóa cho phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình củng cố và hệ thống hóa các nền tảng toán học ứng dụng:

• Lý thuyết giải tích số cổ điển: Khai triển chuỗi Taylor, toán tử vi phân và sai phân hữu hạn, các hệ thức nội suy đa thức Newton, Lagrange, định lý xấp xỉ Chebyshev.
• Đại số tuyến tính số trị: Kỹ thuật biến đổi ma trận, ma trận nghịch đảo, ma trận Jacobi, cấu trúc ma trận dải 3 đường chéo (Tridiagonal) và phân tích tam giác $LU$.
• Rời rạc hóa phương trình vi phân: Nguyên lý chuyển đổi các phương trình vi phân và đạo hàm riêng từ miền liên tục sang hệ phương trình đại số trên lưới nút không gian - thời gian ($\Delta x, \Delta t$).

Kỹ năng phát triển

Qua các nội dung lý thuyết và bài tập, giáo trình giúp người học hình thành các năng lực:

• Kỹ năng phân tích thuật toán: Đánh giá mức độ chính xác của nghiệm số, nhận diện sai số làm tròn lũy tích, kiểm soát điều kiện hội tụ và miền ổn định của các sơ đồ tính toán.
• Kỹ năng lập trình khoa học: Tự thiết kế và cài đặt các script thuật toán trên môi trường MATLAB sử dụng ma trận và các hàm giải tích số.
• Kỹ năng mô hình hóa kỹ thuật: Áp dụng phương pháp số để giải các bài toán kỹ thuật thực tế như dòng thấm ngang qua tầng chứa nước có áp, truyền nhiệt qua thanh/tường composite, tính biến dạng độ võng dầm/tấm chịu uốn, phân tích số liệu cắt đất và tương quan lưu lượng thủy văn.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình áp dụng phương pháp sư phạm cấu trúc theo chu trình 5 bước:

1. Thiết lập cơ sở lý thuyết: Trình bày định nghĩa, nguồn gốc giải tích và điều kiện toán học của thuật toán.
2. Xây dựng thuật toán số trị: Chuyển đổi biểu thức giải tích sang dạng sai phân hoặc công thức lặp từng bước.
3. Thực hiện ví dụ mẫu chi tiết: Minh họa thuật toán bằng bảng tính tay với các bước tính toán trung gian rõ ràng, xác định sai số $\epsilon$ tại từng vòng lặp.
4. Cài đặt mã nguồn máy tính: Cung cấp đoạn mã chương trình viết bằng ngôn ngữ MATLAB hoàn chỉnh (sử dụng các lệnh như syms, diff, eval, rref, vòng lặp while, for) để người học kiểm chứng kết quả và tự động hóa tính toán.
5. Hệ thống bài tập tự giải: Cung cấp hệ thống bài tập phong phú gắn với số liệu kỹ thuật thực tế (như bài toán uốn tấm mỏng $D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$, bài toán dầm chịu tải phân bố tam giác $EJ \frac{d^2y}{dx^2} + M(x) = 0$, bài toán tương quan đất dính $\tau = \sigma \tan\varphi + C$, bài toán đập bê tông đầm lăn).

Giáo trình hỗ trợ phương pháp tự học và tự đánh giá (self-assessment) thông qua Phụ lục 2, nơi cung cấp chi tiết đáp số định lượng, bảng số liệu nghiệm số và đồ thị kết quả của toàn bộ bài tập tự giải từ Chương 2 đến Chương 6. Giảng viên có thể sử dụng các đoạn chương trình MATLAB và bảng số liệu trong giáo trình để xây dựng đề thi, bài tập lớn hoặc các chủ đề thảo luận trên lớp học thực hành tính toán số.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Định hướng ứng dụng kỹ thuật chuyên sâu: Giáo trình không trình bày toán số thuần túy trừu tượng mà tích hợp trực tiếp các bài toán thực tế của khối ngành kỹ thuật công trình thủy, tài nguyên nước và địa kỹ thuật (như mô hình dòng thấm qua tầng chứa nước bão hòa có áp giữa hai kênh song song, phân bố nhiệt độ trong kết cấu composite, độ võng của dầm trên nền đàn hồi).
• Tích hợp đầy đủ mã nguồn MATLAB thực thi: Các chương trình trong sách được viết hoàn chỉnh, có chú thích cụ thể, minh họa rõ việc sử dụng công cụ tính toán ma trận và giải tích hình thức (Symbolic Math Toolbox) của MATLAB để giải hệ phi tuyến, nội suy Newton/Lagrange, hồi quy bình phương tối thiểu và giải phương trình đạo hàm riêng theo sơ đồ hiện và sơ đồ ẩn Crank-Nicolson.
• Phân tích trực quan tính ổn định thuật toán: Tài liệu chỉ ra trực tiếp nguyên nhân gây mất ổn định nghiệm số do sự tích lũy sai số làm tròn trong kiến trúc máy tính 32-bit (thông qua Phụ lục 1 với ví dụ truy toán số vàng $\phi$), giúp người học nhận thức rõ giới hạn của máy tính số.
• Kế thừa và chọn lọc tài liệu học thuật: Giáo trình đúc kết kiến thức từ các công trình giải tích số và cơ học kinh điển trong nước (Phan Văn Hạp, Ngô Thúc Lãnh, Đào Huy Bích, Nguyễn Mạnh Yên) và quốc tế (Numerical Recipes in Pascal của Cambridge University Press, Schaum's Outline Series in Engineering của McGraw-Hill).

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

• Sinh viên đại học: Sinh viên các năm thứ 2, thứ 3 và năm cuối thuộc các chuyên ngành Kỹ thuật Xây dựng Công trình thủy, Kỹ thuật Tài nguyên nước, Kỹ thuật Công trình Xây dựng, Biến đổi khí hậu và Quản lý đồng bằng sử dụng làm tài liệu học tập chính khóa.
• Học viên cao học và nghiên cứu sinh: Học viên theo học các chương trình sau đại học khối ngành kỹ thuật công trình và tài nguyên nước sử dụng làm tài liệu tham khảo thuật toán để giải quyết các mô hình tính toán số trong luận văn, luận án.
• Yêu cầu kiến thức tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững kiến thức Toán cao cấp (Giải tích hàm một biến và nhiều biến, phương trình vi phân), Đại số tuyến tính (Ma trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính), Cơ học lý thuyết, Sức bền vật liệu và kỹ năng lập trình căn bản.
• Kỹ sư và cán bộ nghiên cứu: Tài liệu tham khảo hữu ích cho các kỹ sư công trình thủy, địa kỹ thuật và môi trường trong việc nắm bắt bản chất các phần mềm thương mại và tự xây dựng các module tính toán chuyên môn.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với ai?
Giáo trình được biên soạn chuyên biệt cho sinh viên đại học, học viên cao học, giảng viên và kỹ sư hoạt động trong các lĩnh vực Kỹ thuật Xây dựng Công trình thủy, Kỹ thuật Tài nguyên nước, Cơ học kết cấu, Biến đổi khí hậu và Quản lý đồng bằng.

2. Cần trang bị kiến thức nền tảng nào trước khi học?
Người học cần hoàn thành các học phần Toán giải tích, Đại số tuyến tính, Cơ học cơ sở và có kiến thức lập trình căn bản với MATLAB để có thể tiếp thu và thực thi các thuật toán trong sách.

3. Điểm khác biệt của giáo trình so với các tài liệu Phương pháp tính thông thường là gì?
Giáo trình tập trung giải quyết các bài toán kỹ thuật công trình thực tế (dòng thấm thủy lực, truyền nhiệt, cơ học đất, độ võng kết cấu) và cung cấp mã nguồn MATLAB hoàn chỉnh đính kèm từng chương thay vì chỉ dừng ở các thuật toán toán học lý thuyết trừu tượng.

4. Làm sao để tự học giáo trình này đạt hiệu quả cao?
Người học nên kết hợp giải tay các ví dụ mẫu trên bảng sai phân để hiểu rõ các bước trung gian của thuật toán, sau đó chạy và tùy biến các đoạn mã MATLAB trong sách, đối chiếu kết quả tính toán với phần Phụ lục 2 ở cuối sách.

5. Giáo trình có tài liệu bổ trợ nào kèm theo không?
Giáo trình tích hợp sẵn 2 phần phụ lục quan trọng: Phụ lục 1 phân tích tính ổn định của thuật toán và Phụ lục 2 cung cấp bảng đáp số, biểu đồ chi tiết cho toàn bộ các bài tập tự giải từ Chương 2 đến Chương 6, cùng danh mục 20 tài liệu tham khảo chuyên ngành.

---

Kết luận

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật của nhóm tác giả Trường Đại học Cần Thơ cung cấp hệ thống kiến thức giải tích số hoàn chỉnh, kết nối chặt chẽ giữa toán học lý thuyết, thuật toán tin học và ứng dụng công trình thực tế.

Lộ trình học tập đề xuất: Bắt đầu từ việc nắm vững bản chất sai số và ổn định thuật toán (Chương 1) $\rightarrow$ thành thạo kỹ thuật giải phương trình/hệ phi tuyến và đại số đa thức (Chương 2) $\rightarrow$ áp dụng lý thuyết nội suy và hồi quy dữ liệu thực nghiệm (Chương 3) $\rightarrow$ làm chủ phương pháp vi tích phân số và giải hệ đại số tuyến tính lớn (Chương 4, 5) $\rightarrow$ triển khai phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng cho các bài toán biên kỹ thuật (Chương 6). Người học có thể tham khảo thêm các tài liệu kinh điển của GS. Phan Văn Hạp và các tài liệu MATLAB chuyên sâu được liệt kê trong mục Tài liệu tham khảo để mở rộng năng lực nghiên cứu số trị.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. SỰ CHÍNH XÁC - SỰ ÔN ĐỊNH - SAI SO.1 CÁCH BIÊU DIỄN DỮ KIỆN TRỊ SỐ TRONG MÁY VI TÍNH.2 GIÁ TRỊ XÁP XỈ - SỐ GẦN DUNG 1.1 Sai số tuyệt đối 1.2 Độ ngờ tuyệt đối 1.3 Sai số tương đối.5 Chữ số đúng.6 CÔNG THỨC TÍNH TOÁN SAI SÓ 1.1 Công thức tổng quát nã 1.2 Sai số của I biểu thức phức tạp. Bài toán ngược của sai số. BÀI TẬP TỰ GIẢI Chương 2.

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ MOT HAM ä 2.1 BƯỚC GIẢI SƠ BỘ MỘT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Khảo sát hàm số theo giải tích.2 Vẽ đồ thị của hàm số /(x) 2.3 Hoặc nếu được ta có thể biến đổi /(x) = 0 thành dạng /i(+) =,80).2 GIAI MOT PHUONG TRINH PHI TUYEN BANG CAC PHUONG PHAP LAI aL 2. Phép lặp đây cung. Phép lặp Newton hay phép lặp tiếp tuyến 2. Phương pháp lặp don để giải một phương trình phi tuy: 2.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.

Giải hệ phương trình bằng phép lặp đơn 2. Đưa hệ phương trình về dạng lặp đơn dùng ma trận nghịch đảo hằng s 2. Dang lap đơn thay đổi ma trận nghịch đảo - Phép lặp Newton 2.4 DAISO DA THUC.1 Tính giá trị của | da thite - Thuat ton Horner, 2. Dùng thuật toán Horner tìm vây nghiệm của 1 đa thức.5 TINH GIA TRI MOT HAM SO.

BÀI TẬP TỰ GIẢI Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật Chương 3.1 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON.1 Sai phân cho các điểm x¡ cách đẻ. Đa thức nội suy Newton tiến Ứng với các điểm x¡ cách đi 3.2 CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE. Trường hợp với các điểm x: không cách đ 3.2 Trường hợp các điểm x¡ cách đều.3 NOI SUY VOI HAM 2 BIEN.1 Phương pháp 2 lần nội suy đơn _ _ «. Phương pháp sai phân đôi.

Công thức nội suy Lagrange của hàm 2 biến.4 XAP Xi ĐỀU TÓT NHẬT- PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TÔI THIÊU. Xấp xi đều tốt nhất. Phurong phap binh phuong tdi tiểu, BÀI TẬP TỰ GIẢI. HAM VA TICH PHAN BANG SỐ.1 DAO HAM BANG SO.2 TICH PHAN BANG SO.

Tích phân một lớp - Công thức tích phân Newton-Cotes 4. Phương pháp tích phân hai lớp 4. Tích phân Monte Carlo (áp dụng cho tích phân ba lớp), BÀI TẬP TỰ GIẢI Chương 5. GIẢI HỆ HƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH .2 DẠNG TỎNG QUÁT.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI.1 Phuong phap Khir Gaus: 5.2 Phuong phap Khir Gauss - Jordan.4 PHUONG PHAP LA 5.

Phương pháp giảm dư (phương pháp hiệu chỉnh 5. Phương pháp lặp đơn giản (Jacoby). Phương pháp Seidel.5 PHƯƠNG PHÁP DŨNG ĐỊNH NGHĨA TRU T CỦA ĐỊNH THỨC: (CRAMER).3 Ứng dụng của ma trận và định thức để giải hệ phương trình tuyến tính (Cramer) 90 BÀI TẬP TỰ GIẢI .92 Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật Chương 6: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HAN .2 CÔNG THỨC XÁP XĨ GIỮA SAI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HAM | BIEN. PHÉP TÍNH XÁP XỈ CỦA CÁC VI PHÂN CÁP I VÀ CÁP II THEO CÔNG THỨC TAYLOR.4 SAI PHAN HOA CAC DAO HAM RIENG 6.5 PHƯƠNG PHÁP SAI PHẦN ĐẺ GIẢI BÀI TOÁN BỜ (HAY BÀI TOÁN BIÊN TRỊ).

Theo sai phan ti 6. Theo sai phan trung tâm 6.6 PHUONG PHAP SAI PHAN DE GIAI PHUONG TRINH DAO HAM RIENG. Phương trình đạo hàm riêng của bài toán 1 phương dạng Paraboli 6. Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 6.

Giải phương trình đạo hàm riêng không tuy: BÀI TẬP TỰ GIẢI PHY LUC. TÀI LIỆU THAM KHẢO. Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật Chương l SỰ CHÍNH XÁC - SỰ ON DINH - SAI SO Ngày nay các ứng dụng của môn phương pháp tính trong việc cung cấp giải thuật tính toán cho các bài toán trong kỹ thuật được ứng dụng rất phô biến trên các máy vi tính thông qua các ngôn ngữ lập trình. Vì vậy việc nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong tin học để nhằm làm hiểu rð về sự chính xác và ôn định của thuật toán cũng như sự biểu diễn các con số trên máy vi tính là thật sự cần thiết.1 CACH BIEU DIEN DU KIEN TRI SO TRONG MAY VI TINH „Máy tính lưu trữ dữ kiện chính xác tuyệt đối mà bằng giá trị xấp xỉ, các trị số này được mã hóa bằng một hệ tỈ ng số nhị ph: chữ số nhị phan (binary digits hay bits).

Hệ thống số nhị phân chỉ sử dụng 2 ký số 0 và I thay vi 10 ký số từ 0 đến 9 như trong hệ thống số thập phân. Hai ký số nhị phân này chỉ diễn tả được hai trị là 0 và 1, cho nên muốn diễn tả một con số lớn hơn thì cần phải kết hợp nhiều bit đó với nhau tạo thành các bytes (nhóm cia 8 bits). Các kiểu của dừ kiện số khác nhau sẽ được trừ bằng số bit khác nhau. Chẳng hạn được biểu diễn bằng số có đấu chấm tĩnh (fixed point number), đơn vị chiều dài để chứa từ 2 đến 4 bytes, trong đó bịt đầu tiên là bịt dau (s) có trị theo quy ước = 0 nếu số dương và 1 nếu số âm.1 Tri nguyén 123 chita trong 2 bytes: 00000000 01111011 Trị -123 viết thành: 11111111 10000101 (Lưu ý trị -123 được viết theo kiểu phần bù của trị 123) Kiểu số thực được biều diễn bằng số có đấu chấm động (floating point number).

Đối với các số cực nhỏ hay cực lớn gồm nhiều số không bên trái hay bên phải người ta dùng cách viết dưc dạng § số mũ (Lưu ý trong máy tính dau phẩy trong số tượng trưng. cho phần ngàn, và dấu chấm phân biệt thập phân): 123,000,000 = 123 x 10° hay 1.123 x 10° Nhu vay | s6 X bat ky c6 thé duge dat trong dang: X=MBe trong đó B là cơ số của hệ và e là số mũ là số vị trí cần dời dấu chấm đẻ có lại trị số nguyên thủy. Do đó có tên dấu chấm động. Mỗi lần dời dấu chấm sang trái số mũ e tăng lên 1 đơn vị, mỗi lần dời dấu chấm sang phải số mũ e giảm đi 1 đơn vị.

M được gọi là phần định trị (Mantissa). Người ta thường biểu diễn M dưới dạng phân số sao cho ký số đầu tiên bên trái (sau dấu chấm) khác 0. Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật Thí dụ 1.125 và e=~2 „Do đó vị trí của dấu chấm của M và cơ số B không cần phải ghi nhớ vì đó là hãng sô. Cách bi diễn này được gọi là dạng chuẩn.

Số mũ e có thể âm. Để khỏi mắt 1 vị trí để chứa dấu, người ta cộng thêm 1 hằng số vào số mũ để luôn luôn có 1 tri dương C trong giới hạn biến thiên của số mũ, số C này được gọi là phần đặc trị. Để biểu diễn số có dấu chấm động, người ta dùng 32 bits với hệ thống cơ số 16 trong đó gồm I bít cho dấu s, 7 bít cho phải i C = số mũ + 64 (64= 2/2), 24 bit còn lại biéu dién phan dinh trị theo dang chuẩn. Vậy phần định tri 1a 0.7B, số mũ là 2 và p 66=2+64.

có thể được biểu diễn theo dạng số có đầu chấm động 32 bít như sau: 0 1000010 01111011 00000000 00000000 s Cc M Nếu kết theo từng nhóm 4 bít ta có: 0100 0010 0111 1011 0000 0000 0000 0000 (hệ2) 4 2 7 B 0 0 0 0 (hệl6) trong đó S = 0 (dương), C = 64+2 = 66¡o = 4216, M = 12310 = 7Bis. Khi biểu diễn theo phương pháp này không cần để ý đến dấu chấm. Độ chính xác của máy e»(số thập phân sau dấu chấm): biểu thị bằng chiều dài lưu trữ đẻ chứa phần định trị nói trên. Thông thường máy biểu diễn được độ chính xác khoảng 17 số sau dấu chấm.

Lưu ý ém không phải là số chấm động nhỏ nhất mà một máy tính có thể biểu thị. Số nhỏ nhất này tùy thuộc vào số bít của phần đặc trị (số mũ) có thể chiếm, trong khí đó s» tùy thuộc vào số bít mà phần định trị có thể chiếm. Sự ồn định nghiệm. Hầu như với bắt cứ phép tính số học nào trên số chấm động, kết quả đều có một sai số ít nhất là bằng độ chính xác của em.

Sai số này được gọi là sai số làm tròn. Sai số làm tròn được tích lăy khi tăng số lân tính toán lên. Thí dụ khi thực hiện N phép tính số học như vậy, thì có thé một cách may mắn nhận được tổng sai số làm tròn vào khoảng VNe„. Thường trong một thuật toán không ồn định, sai số làm tròn sẽ đi vào trong tính toán từ bước đầu của quá trình tính và sai số lũy tích sẽ lớn dần lên cho đến lúc nó làm sai lệch toàn bộ lời giải thật của nghiệm.

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật Thí lụ 1. một thuật toán không ồn định dùng để tính lũy thừa nguyên dương. của một số: _AS<1 = 0.61803398 2 theo phép truy toán: g”"!= 6"! - 9" với ý! =1 và ý!= 0.61803398 ta tính trượt dần để có các luỹ thừa nguyên dương ø của ó bằng cách đơn giản là dùng phép trừ thay vì phép nhân. Tuy nhiên với ø cỡ khoảng = 25 (ứng với máy u trúc bus dữ liệu 32 bit máy bắt đầu cho ra giá trị hoàn toàn sai, giá trị Ø" thấp nhất tính được chỉ đến 10° (xem phụ lục 1), do đó thuật truy toán trên đây không ổn định, và không thẻ dùng cho mục đích tính toán nêu trên.2 GIÁ TRỊ XÁP XỈ - SỐ GAN DUNG Trong tính toán các bài toán kỹ thuật kết quả thường là những giá trị gần đúng hay còn gọi là giá trị xấp xi.

Khi lấy giá trị xấp xi nay ta phai chấp nhận một sai số. Sai số thường xuất phát từ hai nguyên nhân: sa do đo đạc không chính xác hoặc con s6 e, m, ¥2,. mà trong hệ thập phân ta không thể lấy được giá trị chính xác và ta bắt buộc phải chọn số gần đúng bằng cách làm tròn số đến một con số thập phân nào đó. ta My sé V2= 1., hai giá trị xấp xi “thiếu” và “dự” 141 1) 1 của Thật vậy với mọi số chính xác A trongas io các số thực duong R* ta luén tim được it nhất 1 số nguyên & sao cho k —~< k+l 10" As—— 10" 1.1 at ee voi Tấn: ae ey là giá trị xấp xỉ thiêu của 4 và k+l Tên là giá trị xấp xi thừa của 4 đến mức = Theo quy tic làm tròn số ở phần chữ số đúng ta thấy trong hai giá trị xắp xi thừa và thiếu chỉ có một là số xắp xỉ đúng được chọn mà thôi.