CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, định lý cơ bản về giải tích hàm và giải tích lồi. Các tính chất, định lý được nêu ở day chúng tôi không chứng minh và các chứng minh của chúng có thể tham khảo trong các tài liệu cơ bản về giải tích hàm và giải tích lồi, chẳng hạn như trong [1], [2]. [3], [H]: Chương này cũng đề cập đến một số tính chất của hàm phạt có tính chất thưa, toán tử co rút mềm. Các tính chất này được sử dụng trong.
Chương 2 và đã được nghiên cứu trong các tài liệu [10], [H4].KHÔNG GIAN HILBERT Định nghĩa 1. Cho X là không gian vectơ trên trường số thực RR. Tích vô hướng xác định trong X là một ánh xa: (,):XxXS+R (x,y) > (x,y) thỏa mãn các điều kiện sau đây: ) (œ,z+) >0, Vz € X và (,z)=0@z=0, ñ) @,w) = (w,+) Vz,u € X, iii) (w +2',y) = (x,y) + @',w),V+,s",u € X, iv) (A,y) =A(,0) Wz,u€ X,VA€R. S6 (x,y) được gọi là tích võ hướng của hai vectơ z và y.
Một không gian vectơ X cùng với tích vô hướng (.) được gọi là không gian tiền Hilbert, kí hiệu là (X, (.)) hoặc ngắn gọn lại là X nếu tích vô hướng đã được xác định rõ. Từ các tính chất ì), ii) ta suy ra được các tính chat: v) (,w+) = (œ,w) + (,), V+,u, € X, vi) (x, Ay) =A(,y) Vz,u€ X,VA €R. Cho X là không gian vectơ trên trường số thực IR. Một chuẩn trên X là ánh xạ I.l|:XR thỏa mãn các tính chất sau đây: ï) l r| > 0, Ve € X với z # 0, ii) |jax|| = Jal |la||, V2 eX vaa eR, ii) llr + w|| < llzll + llu||.
Một không gian vectơ X trên trường số thực R với chuẩn |. | được gọi là không gian định chuẩn trên trường R, kí hiệu là (X, |.||) hoặc được viết ngắn gọn lại là X nếu chuẩn đã được xác định rõ. ‘Tinh cht (iii) được gọi là bất đẳng thức tam giác. Áp dụng đồng nhất thức # = (# — y) + # và = (w — #) + z từ hai kết quả này ta được bất đẳng thức tam giác thứ hai ||z — yl] < ||z\| — llw||.)) là không gian tiền Hibert.
||: X —+R được định nghĩa như sau: lzl:= V3), Ve eX là một chuẩn. Tit Dinh nghia 1.3 ta có các tính chất sau: 1. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: |(z,g)| < llz|:|lwll. 1) RR" là không gian tiền Hilbert n chiều trên lề với tích vô hướng (Z, y) := hà kk.
= 2) Không gian Ca, } của các hàm liên tục trên [a,b] 1d mot khong gian 6 tiền Hilbert trén R véi tích vô hướng. Chuẩn tương ứng được gọi là chuan Euclidean và được kí hiệu như sau: % lzllu› := (2. “Ta kí hiệu: K(,r) := {w € X : ||u ~ z||< r} là hình cầu tâm z € X, bán kính r. Cho X là không gian định chuẩn trên trường R.
a) Mot tap con M C X được gọi là bị chặn nếu tồn tai r > 0 sao cho Mc K(z,r). Tap M C X duge gọi là tập mở nếu với moi x € M ton tai £ > 0 sao cho K(x,2) C M. Tap M CX được gọi là tập đóng nếu phần bi X\M la tap mở. b) Dãy (z¿)¿ C X được gọi là bị chặn nếu tồn tại e > 0 sao cho ||zx|| < e Yk.
Dãy (z¿)¿ C X được gọi là hội tụ u tồn tại z € X sao cho ||# — #¿|| hội tụ đến 0 trong R. Ta kí hiệu lim _¬% z¿ = z. Dãy (z¿); C X được gọi là day Cauchy néu với mỗi e > 0 tồn tại € Ñ sao cho ||#„ — #¿|| < £ Ym,k>N. c) Cho (2%), C X là một dãy, # € X được gọi là điểm tụ nếu tồn tại một dãy con (z¿„)„ hội tụ đến z.
đ) Tập Aƒ C X được gọi là compact néu mọi dãy trong M đều có điểm tụ trong M. “Ta có các tập: int(M) := {z € M|3e >0: K (z,e) C M}, được gọi là phần trong của A/ và cl(M) := {« €M|3(xx), C M : được gọi là bao đóng của A. Cho X là không gian định chuẩn trên R uà M C X. a) M là đóng nếu tà chỉ nếu M = cl(M) uà M là mở nếu tà chỉ nếu M = int(M).
b) Néu M # X la khong gian con tuyén tinh, khi dé int(M) = 0 va cl(M) cũng là không gian con tuyến tính. e) Trong không gian hữu hạn chiều, mọi không gian con là đóng. 4) Mọi tập compact là đóng tà bị chặn. Trong không gian hữu hạn chiều, ngược lại cũng đúng (theo định lí Bolzano- Weierstrass): Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều, mọi tập đóng va bi chain la compact.
(Không gian Banach, không gian Hilbert) Một không gian định chuẩn X trên trường số thực ï* được gọi là đầy đủ hoặc không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X. Một không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. 1) Không gian R" là không gian Hilbert với tích vô hướng, chính tắc. 2) Trong 22 voi x = (rx), y = (yx), ta dinh nghia (x,y) Lm, kel thi (.) 1a tich vo hướng, (#, (.)) là không gian Hilbert.
Không gian định chuẩn X được gọi là tách nếu tồn tại một tập con trù mật đếm được ă C X sao cho dl(M) = X. 1) Không gian R" là một không gian tách và tập con đếm. được Af là tập tất cả các vectơ với hệ số hữu tỉ. 2) L?(a,b) và C[a,b] đều là không gian tách, tập A/ có thể lấy là tập các đa thức với hệ số hữu tỉ.
HE TRUC CHUAN Trong phan nay, ta cho X 1a khong gian Hilbert tach trén trudng sé thực R. Một tập đếm được các phần tử A=tze: ,2,3,.} được gọi là hệ trực chuẩn nếu: 1. A duge gọi là đầy đủ hoặc hệ trực chuẩn cực đại nếu không có hệ trực chuẩn B với AC B và A # B. Có thể sử dụng bổ đề Zorn' chỉ ra rằng mọi không gian Hilbert tách đều có một hệ trực chuẩn cực đại.
Hơn nữa, từ đại số tuyến tính ta biết rằng mọi tập đếm được các phần tử độc lập tuyến tính của X có thể trực giao. Cho bất kỳ một tập A C X. Khi đó span A := {Sensner ned nent la khong gian con cita X sinh béi A.} là hệ trực chuẩn. Khi đó a) Mọi tập cơn hữu hạn của A đều độc lập tuyến tính.
b) Néu A hitu han, A = {xx : k = 1,2,3,.,n} thi vdi moi x € X tồn tại duy nhất hệ số œ € R,k = 1,2,.,n, sao cho 2 Dare < |la —al|, Va € spanA k= hé 86 ax dude cho bdi ay = (x,24) , Vk = c) Va € X, ta c6 bat déng thức Bessel: Ye, ee)? < lll. œ k=l tà chuỗi 3) (z,x¿) xự hội tụ trong X. & 4) A là đầu đủ nếu tà chỉ nếu spanA là trù mật trong X. e) A là đầu đủ nếu à chỉ nếu tới mọi œ € X, ta có phương trình Parseval sau day: x 2 2 3”l@œ.
kĩ /)A là đầu đủ nếu tà chỉ nếu ới mọi z € X có một khai triển Fourier oe =o (en) = a0 trong đó, sự hội tụ được hiểu theo chuẩn của X. Trong trường hợp này, phương trình Parseual là đứng: (eu) = Do teny) a). TOAN TU TUYEN TINH LIÊN TỤC VÀ TOÁN TỬ COM- PACT Định nghĩa 1. Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên trường i8.
Ánh xạ 4 : X —› Y là liên tục tại zọ € X nếu với mọi dãy (#„) C X ma x, + ap thi Ax, — Axo. Anh xa A duge goi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm z € X. Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn tà A la toán tử tuyến tinh tit X vao Y. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương: a) A liên tục trên X.
b) A liên tục tại điểm zụ € X. €) A liên tục tại 0. 4) Tồn tại một số M dương sao cho tới moi x € X, ta có ||Azl| < AM ||£|| (nghĩa là A bị chặn). Cho 4 là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào V.2 luôn tồn tại số Af > 0 sao cho ||Az|| < A |lz|| với mọi z € X, nên ta định nghĩa chuẩn 4 như sau: | Al] = inf {M >0: vz € X, ||Azl|< A |ell}- 10 Định lí 1.
Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X uào Y. Khi đó LAI = sụpxz0 Í Az| GÌ|f|Ï = sps<i |Arl = Izl=t súp Aa. Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính bị chặn : X —› Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến mỗi tap bị chặn Š thành tập compact tương đối K(S).
Tập Aƒ C X được gọi là tap compact tương đối nếu mỗi dãy bị chặn. (a) Néu K; va Ky la hai todn ti compact di tit X vao Y, khi dé K, + Ky va XK, citing la compact, Vd € R. (b) Cho K,: X + Y là một dãy của toán tử compact giữa hai không. gian Banach X va Y.
Giả sử K : X —> Y bị chặn uà I„ hội tụ đến K theo chuẩn của toán tử. Tức là: UK, — Kl) = supBel Mot— Be —0 (n — %), khi đó, lÍ cũng là compact. (e) Nếu L€ £(X,Y) tà K € £(Y,Z) à L hoặc K la compact thi KL ciing la compact.Y) hội tụ từng điểm đến A € £(X,Y), tức la Anz > Ax, Vx € X. Nếu K : Z —> X là compaet thà ||A„K — AK|| — 0, nghĩa là toán tử A„K hội tụ đến AK trong chuẩn của toán tử.
Toán tử K : Lề(a,b) —> L®(c,d) được định nghĩa như sau: b (Kx)(t) : J[ He sialon te(ed), re (a,b) (1.1) la compact tit L?(a,b) uào L*(c,d). Khi đó, K được xác định bởi (1.1) cũng là compaet như một toán tử từ C[a, b} uào C|c, d]. Cho f : {c,d} x {a,b] x R > R lien tue va khả vi liên tục với ba đối số. Gia sit anh xa T : Cla,b] + Cle, dị được xác định như sau: b T (x) (t) = [fe s.
Khi đó, 7 là lien tuc kha vi Fréchet voi đạo hàm b (T)z) (®) = lãz/tse))4 te |c. a) Cho T,S : X D U + Y la kha vi Fréchet tai x € U. Khi đó T + S à AT ciing la kha vi Fréchet vdi moi XE R va (T+S)(x) =T(x)+S"(x), (XTY(œ) = AT).