Chương 1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 1.1 Không gian Ws" (Qr) va W;"(Qr) 1.1 Khong gian L;(©) Định nghĩa 1. E là một không gian tuyến tính uới phép nhân uới các số thực (hoặc phúc); 2. Với moi phần tử u € E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử va kí hiệu là ||u||) thỏa man các tiên đề sau: (a) ||u|| > 0, ||u|| = 0 chỉ uới phần tử không; (b) ||u + ol] < |lul| + ||o||, bat dang thức tam giác; (c) JAwl| < [Al ell. Ta dua vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cách p(u, v) giữa hai phần tử u và được xác định bởi p(u, v) = ||u — ||.
[9] Day {un} các phần tử của E gọi là hội tụ tới u € E (hay, hội tụ mạnh trong E) nếu |\un — u|| > 0 khi n > co, tà kí hiệu là un > tu. [9] Tap ' C được gọi là trù mat khắp nơi trong E nếu bat ki phần tử nào của E cũng là giới han theo chuẩn E của các phan tử của E’. Nếu chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì được gọi là tách được. [9] Day {ua}—¡ goi là hội tụ (hay day Cauchy, day cơ ban) nếu ||lup — wạ|| + 0 khả p,q > ov.
Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach, ta kí hiệu là B. Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật. Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các không gian Banach: không gian Hilbert, ta kí hiệu là H. [6] Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian tiền Hilbert nếu vdi mọi u,v € X xác định một số gọi là tích uô hướng của u va v) thỏa man các tiên đề sau: 1.
(u,u) > 0, (u,u) = 0 chỉ uới phần tử không u = 0. [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert. Chuẩn của phan tử u, kí hiệu ||u|| được xác định bởi: |u|] = \/(u, u). Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu 6 đầy đủ và trù mật.
Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dung không gian B và H thực. Với hai phần tử u, v bất kì trong H, ta có bất dang thức Cauchy, Bunhiacopski, Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy): I(a,9)| < l|a||- Tell. Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H, chúng ta cũng phải xem xét hội tụ yếu. [9| Day {un} gọi là hội tụ yếu đến phan tử u trong H nếu (uy — u,v) — 0 khí n — cw, voi Vụ € H.
Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của uy bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tu yêu của {u„} đến wu, ta chỉ cần chứng minh (uy, — u,v) > 0 khi n > oo trên tập V nào đó trù mật khắp nơi trong H. Một dãy {u„} không thé hội tụ yếu đến hai phần tử của H. Nếu {uy} hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ yếu đến u. Điều ngược lại không đúng.
Tuy vậy, nếu {u„} hội tụ yêu đến u và IIøal| —> |u|] thi {¿„} hội tụ mạnh đến ø. |9] Nếu fun} hội tụ yếu đến u trong H, thà llu„l|< lim lua||< lim ||ua||, N00 00 uới vé phải của bat đẳng thúc là hữu hạn. Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đối với sự hội tụ yếu Định nghĩa 1. |9} Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiền compact (hay tiền compact trong B) nếu moi day uô han các phan tử của M có chúa một day con hội tụ.
Nếu giới hạn của tat cả các day con thuộc vé M, thi M được gọt là compact. |9] Tập M của H là tiền compact yếu khi va chỉ khi nó bị chặn. [9] Tập tat cả các ham thực, đo được u(x) xác định trên miễn Q của không gian Euclidean R" uới một tích phân hữu han: 1/p lei = ( | (Par) | trong đó p> 1 là một số cô định bat ki, hành thành một không gian Banach tách được va có chuẩn được xác định như trên. Khong gian nay thường được gọi là 1p).
Một phần tử của L,(Q) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu, mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên © (nghĩa là, những hàm số trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên ©). Tuy nhiên, để ngắn gon, chúng ta sẽ nói về các phan tử của ”„(O) như các hàm xác định nghĩa trên 9. Ta có thể lẫy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong U„(9): e mọi hàm khả vi vô hạn, mọi đa thức, hoặc các đa thức với hệ số hữu tỉ; e tập C®(©) các hàm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào 9. Không gian L¿(9) là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng: Chúng ta đề cập đến một số các bất dang thức sẽ sử dụng thường xuyên.
e Bất đẳng thức Cauchy: n n n đ¡j&¡1]j| S › ig 6485 › aig THN » ij=l ij=l ij=l với bất kì dang bậc hai không âm a¡;&;£; với aj; = aj; và các số thực tùy ý: Ế1,.Ến; TH; ‹ - - › Tìn- e bất đăng thức Cauchy với e: € 1 ad) b| << 5m9 =|a|Ÿ ++ „—|b|? Le với mọi e > 0 và a,b bất kì. Từ các bất dang thức ham chúng ta có các bất dang thức cu thể trong L¿(©) ([ + ode) ợ < (/ đá) + (/ đu Trường hợp tổng quát của bất đẳng thức này là bất đẳng thức tam giác cho các phan tử của Lp(Q): lu + oll, S lelle,@ + lle! „„(o) (p21). 2 10} Q Với không gian Lo(Q) bao gồm các hàm vectd u = (ui,.,wy) với u¿ € L¿(©), bất đẳng thức Cauchy có dạng: (2) ([3be0)" Về trái của nó là modul của tích vô hướng của u và v, về phải là tích các chuẩn của u và v. Một toán tử A xác định trên một tập D(A) của H, gan mỗi phần tử u € D(A) với một phần tử v € H nhất định, thường viết v = Au hay v = A(u).
{9| Toán tử A từ D(A) ào Y C H gọi là liên tục nếu Un —> ug luôn kéo theo Arn > Azo. {9| Toán tử A được gọi là hoan toàn liên tục nếu nó biến tập bi chặn bat kỳ thành một tập tiền compact.2 Dao hàm suy rộng Với hai hàm số u(x) va v(x) tùy ý, khả vi vô han trong miền 2 trong R” và v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v € Ở%(O)), bằng cách tích phân từng phần k lần ta có: [le — a + ( 1)Ftly vu =| a0 k k QL Oxy". Oxy" Dinh nghĩa 1. [4,9] Cho Q la một miền trong không gian R".
Một ham SỐ 0ð, .„ € Li(Q) được gợi là dao ham suy rộng cap k của u(x) € Ly4(Q) nếu: [ Ce ax kn ; ( D dy t dz = 0, 1 ++: 0% ) Kí hiệu hàm wz,,. Cách kí hiệu thứ nhất sé không gây ra sự hiểu lầm vì nếu wu € Ch(Q) thì øạ,. Rõ ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm riêng liên tục của dạng O*u/dr*". 10 Nếu ham u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo ham suy rộng cấp k.
Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy ham u(x) có không quá một đạo hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo thông thường. [4] Mot ham có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Q thì nó cũng có dao hàm suy rộng cấp k trong miền QC 9. [4] Nếu uy vd ug có dao hàm suy rộng trong Q thà cpu, + caua có đạo ham suy rộng trong Q va: OF (cyuy + cua) c Oruy Le Ø ua = CỊ t 2 .ÔzƑ" xk " dake Tính chất 1.
[4| Nếu v là một dao ham suy rộng cấp 1 của u va w là một đạo hàm suy rộng cấp k của 0 thà œ là một dao ham suy rộng cấp l+ k của u. Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy 0*/0z†" " Oarkn độc lập với thứ tự lay đạo ham. Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên không phải là bảo tồn tất cả, chăng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k.
[4] Giả sử © là một miền trong không gian R", OQ! là một miễn con của Q sao cho khoảng cách giữa ©' va AQ bằng d >0. Khi đó, uới 0 <h < d va „c Q!, ta có: (DF u)p(x) = Dun (a). Ví dụ: 0(z) -{ P (=ñ ) a =1 cexp (as), |z|<1, 0, Iz] <1, 11 với hằng số c thích hợp. Do 0< b < đ và z Ee, hàm 0(z — y)/h € C®%(O) đối với x € 0, nên sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta được: D#up(x) = DỆh—" i 6 É 7 ?) u(y)dy, ah" [ (1) Moko (—“) wy)dy, =hn | 0 (* i ˆ) Diyuly)dy = (D'u)n (2).
Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trích dẫn một tiêu chuẩn có ích và đơn giản cho sự tồn tại các đạo hàm suy rộng của một hàm u(z). [8] Cho f(x) là một ham khả tổng trên Q.) kha vi liên tục cấp k, lim In — w)udz =0, Vu(z) € C%(Q). SOO Nếu |lusllz,@) Đồ l|0Fu:/0x7". dk» < e thà hàm u có đạo hàm suy rộng L„(9) 0Fu/0x1".
0x" va ||u||y ay va ||O*u/dap. Kết quả nay van đúng uới ham u;(z) € Lp(Q) va có dao ham suy rộng cùng dạng, hơn nữa các đạo hàm liên tục. Chứng minh định lý có thể tim thấy ở [8}.3 Khong gian I⁄}°(Q@;) và W2°(Qr) Gia sử © là một miền trong R” và 7 là một hằng số dương. (9| W2”(Qr) là không gian bao gồm tat cả các ham u(x,t) € La(Qr) sao cho ton tai tat cả các dao hàm suy rộng Ou/Ox;,i = 1,2,.
12 Với tích vô hướng được xác định như sau: (u,v) = | (wv + UzVyz)daxdt. T Wz”(Qr) là một không gian Banach. Hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định như trên và ta kí hiệu chuẩn trong Wz“(Qr) là Thvs°@r): Dinh nghĩa 1.