CHƯƠNG I.1 Trình bày khái niệm tập mờ 1.1 Định nghĩa tập mờ Tập mờ A xác định trên tập vũ trụ (tập nền) X là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp các giá trị (x, 𝜇𝐴 (𝑥) trong đó x∊ X và 𝜇𝐴 là ánh xạ: 𝜇𝐴 : X [0,1] Ánh xạ μA được gọi là hàm thuộc hoặc hàm liên thuộc (hoặc hàm thành viên– membership function) của tập mờ A. Tập X được gọi là cơ sở của tập mờ A. 𝝁𝑨 (𝒙) là độ phụ thuộc, sử dụng hàm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó, có hai cách: - Tính trực tiếp nếu 𝜇𝐴 (𝑥) ở dạng công thức tường minh. - Tra bảng nếu 𝜇𝐴 (𝑥) ở dạng bảng.
Kí hiệu: A={(𝜇𝐴 (𝑥)/𝑥)∶ 𝑥 ∊ 𝑋} Các hàm thuộc 𝜇𝐴 (𝑥) có dạng “trơn” được gọi là hàm thuộc kiểu S. Đối với hàm thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn 𝜇𝐴 (𝑥) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lớn. Trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường, các hàm thuộc kiểu S thường được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn. Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính.
download by : skknchat@gmail. Hàm thuộc 𝝁𝑨 (𝒙) có mức chuyển đổi tuyến tính Hàm thuộc như trên với m1 = m2 và m3 = m4 chính là hàm thuộc của một tập vũ trụ. Ví dụ 1: Một tập mờ B của các số tự nhiên nhỏ hơn 5 với hàm thuộc 𝜇𝐵 (𝑥) có dạng như hình 1.2 định nghĩa trên tập vũ trụ X sẽ chứa các phần tử sau: B = {(1,1), (2,1), (3,0. Hàm thuộc của tập B Ví dụ 2: Xét X là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, X = {1, 2, …, 10}.
Khi đó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể được hiển thị bằng tập mờ A sau: A = 0.0/10 download by : skknchat@gmail.com 10 Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ ở dạng bảng. Chẳng hạn, đối với tập mờ A ở trên ta có bảng như sau: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 0 0 0 0. Bảng biểu diễn tập mờ A 1.2 Một số khái niệm cơ bản của tập mờ Miền xác định: Biên giới tập mờ A, ký hiệu là supp(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A lớn hơn 0. Supp(A) = { x | μA(x) > 0 } Miền tin cậy: Lõi tập mờ A, ký hiệu là core(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A bằng 1.
Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ A, ký hiệu: h(A), là mức độ phụ thuộc cao nhất của x vào tập mờ A. download by : skknchat@gmail.com 11 ℎ(𝐴) = Sup 𝜇𝐴 (𝑥) 𝑥∊𝑋 Một tập mờ có ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc, tức là h(A) = 1, ngược lại một tập mờ A với h(A) < 1 được gọi là tập mờ không chính tắc.3 Biểu diễn tập mờ Tập mờ A trên tập vũ trụ X là tập mà các phần tử x∊ X với mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A tương ứng. Có ba phương pháp biểu diễn tập mờ: phương pháp ký hiệu, phương pháp tích phân và phương pháp đồ thị: - Phương pháp ký hiệu: Liệt kê các phần tử và các thành viên tương ứng theo ký hiệu. Cho X = {x1, x2, …,xn} là tập hữu hạn: 𝑛 𝜇𝐴 (𝑥) 𝐴=∑ 𝑥𝑖 𝑖=1 - Phương pháp tích phân: với X là tập vô hạn ta thường dùng kýhiệu sau: 𝜇𝐴 (𝑥) 𝐴=∫ 𝑥 𝑥 Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng ∑ và phép lấy tích phân ∫ đều không có nghĩa theo quy ước thông thường.
Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này. Phương pháp đồ thị: download by : skknchat@gmail. Biểu diễn tập mờ chiều cao 1.2 Các phép toán trên tập mờ và hệ luật mờ 1.1 Phần bù của một tập mờ Cho tập mờ A trên tập vũ trụ X, tập mờ bù của A là tập mờ 𝐴̅, hàm thuộc 𝜇𝐴̅ (𝑥) được tính từ hàm thuộc μA(x): 𝜇𝐴̅ (𝑥) = 1 - μA ̅ của tập mờ A Hình 1. Tập bù 𝑨 a) Hàm thuộc của tập mờ A.
b) Hàm thuộc của tập mờ 𝐴̅ Một cách tổng quát để tìm 𝜇𝐴̅ (𝑥) từ μA(x), ta dùng hàm bù c, download by : skknchat@gmail.2 Phép hợp của các tập mờ Cho tập mờ A, B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là C = A ∪ B. Theo phép hợp chuẩn ta có μC(x) từ các hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μC(x) = μA∪B(x) = max[μA(x), μB(x)], x ∊ X Hình 1. Hợp hai tập mờ có cùng tập nền Một cách tổng quát ta dùng hàm hợp u : [0,1] × [0,1] [0,1]. Hàm thành viên μC(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x) , μB(x) như sau: μC(x) = u(μA(x),μB(x)) 1.3 Phép giao của các tập mờ Cho A, B là hai tập mờ trên tập vũ trụ X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu: I =A ∩ B.
Theo phép giao chuẩn ta có μI(x) từ các hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μI(x) = μA∩B(x) = min[μA(x),μB(x)], x ∊ X download by : skknchat@gmail. Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ Một cách tổng quát ta dùng hàm giao i : [0,1] × [0,1] [0,1]. Hàm thành viên μI(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x), μB(x)như sau: μI(x) = i(μA(x), μB(x)) 1.4 Tích Descartes các tập mờ Cho Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi, i = 1, 2, …, n. Tích Descartes của các tập mờ Ai, ký hiệu là A1×A2 ×…× An hay ∏𝑛𝑖−1 Ai, là một tập mờ trên tập vũ trụ X1 ×X2×…× Xn được định nghĩa như sau: A1×A2 ×…× An = ∫𝑥 × 𝑥 × 𝑥 𝜇𝐴1 (𝑥1 ) ∩ …∩𝜇𝐴𝑛 (𝑥𝑛 )/ (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) 1 2 𝑛 Ví dụ 3: Cho X1= X2= {1, 2, 3} và 2 tập mờ A = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 và B = 1,0/1 + 0,6/2 Khi đó: A × B = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) + 0,6/(2,3) Một ví dụ ứng dụng của tích Descartes là kết nhập (aggregation) các thông tin mờ về các thuộc tính khác nhau của một đối tượng.
Ví dụ trong các hệ luật của các hệ trợ giúp quyết định hay hệ chuyên gia, hệ luật trong điều khiển thường có các luật dạng sau đây: Nếu x1 là A1 và x2 là A2 và… và xn là An thì y là B Trong đó, các xi là các biến ngôn ngữ (vì giá trị của nó là các ngôn ngữ được xem như là nhãn của các tập mờ) và Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi của biến xi. download by : skknchat@gmail.com 15 Hầu hết các phương pháp giải liên quan đến các luật “nếu - thì” trên đều đòi hỏi việc tích hợp các dữ liệu trong phần tiền tố “nếu” nhờ toán tử kết nhập, một trong những toán tử như vậy là lấy tích Descartes A1 × A2 ×…×An.5 Tính chất của các phép toán trên tập mờ Như các phép toán trên tập rõ, các phép toán trên tập mờ cũng có một số tính chất sau đối với các tập mờ A, B, C trên tập vũ trụ X: Giao hoán: A ∩ B= B ∩ A A ∪ B= B ∪ A Kết hợp: A ∩ ( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Phân bố: A ∩ ( B ∪ C) =( A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Đẳng trị: A∩A=A A∪A=A Đồng nhất: A∩X=A A∪∅=A A∪ ∅=∅ A∪ 𝑋=𝑋 Bắc cầu: download by : skknchat@gmail.6 Hệ luật mờ Gồm nhiều mệnh đề dạng: IF< tập các điều kiện được thoả mãn>THEN<tập các hệ quả > ̅̅̅̅̅̅ Giả sử hệ luật gồm M luật Rj(j=1, 𝑀) dạng Rj: IF x1 is A1 and x2 is A2 and… xn is Anj THEN y is Bj Trong đó xi (i = ̅̅̅̅̅ 1, n) là các biến đầu vào hệ mờ, y là biến đầu ra của hệ mờ - các biến ngôn ngữ, Ai j là các tập mờ trong các tập đầu vào X và Bj là các tập mờ trong các tập đầu ra Y – các giá trị của biến ngôn ngữ (ví dụ: “Rất Nhỏ”, “Nhỏ”, “Trung bình”, “Lớn”, “Rất lớn”) đặc trưng bởi các hàm thuộc 𝜇𝐴𝑖 và 𝜇𝐵𝑗. Khi 𝑗 đó Rj là một quan hệ mờ từ các tập mờ đầu vào X = X1 × X2 ×…. × Xn tới các tập mờ đầu ra Y.3 Lập luân xấp xỉ trong hệ mờ.1 Logic mờ Logic mờ dùng một công cụ chính là lý thuyết tập mờ.
Logic mờ tập trung trên biến ngôn ngữ trong ngôn ngữ tự nhiên nhằm cung cấp nền tảng cho lập luận xấp xỉ với những vấn đề không chính xác, nó phản ánh cả tính đúng đắn lẫn sự mơ hồ của ngôn ngữ tự nhiên trong lập luận theo cảm tính.2 Quan hệ mờ 1.1 Khái niệm về quan hệ rõ Định nghĩa 1: Cho X ≠ , Y≠ , R X × Y là một quan hệ (quan hệ nhị nguyên rõ), khi đó: download by : skknchat@gmail.com 17 1 𝑖𝑓 (𝑥, 𝑦) ∊ 𝑅 (⟺ 𝑥𝑅𝑦) 𝑅(𝑥, 𝑦) = { 0 𝑖𝑓(𝑥, 𝑦) ∉ 𝑅 (⟺ 𝑥𝑅𝑦) Khi X= Y thì R ⊂ X × Y là quan hệ trên X Quan hệ R trên X được gọi là: - Phản xạ nếu: R(x,x) = 1 với ∀x∊ X - Đối xứng nếu: R(x,y) = R(y,x) với ∀x, y∊ X - Bắc cầu nếu: (xRy)˄(yRz) ⟹(xRz) với ∀x,y,z ∊X Định nghĩa 2: R là quan hệ tương đương nếu R là quan hệ nhị nguyên trên X có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.2 Các quan hệ mờ Các quan hệ mờ là cơ sở dùng để tính toán và suy diễn (suy luận xấp xỉ) mờ. Đây là một trong những vấn đề quan trọng trong các ứng dụng mờ đem lại hiệu quả lớn trong thực tế, mô phỏng được một phần suy nghĩ của con người. Chính vì vậy, mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ. Một trong số đó là logic mờ mở.