Mở đầu Hệ thống điện trong quá trình vận hành luôn tồn tại nhiều yếu tố ngẫu nhiên bất định như sự biến đổi của phụ tải, hỏng hóc ngẫu nhiên của các phần tử trong hệ thống phát, truyền tải và phân phối, các bản chất thay đổi ngẫu nhiên của các nguồn năng lượng mới như gió, mặt trời v. Các yếu tố ngẫu nhiên này cần phải được xét đến trong quá trình tính toán phân tích HTĐ. Các yếu tố trên có thể được biểu diễn bằng các hàm phân bố và các hàm này phải mô tả được bản chất tự nhiên vốn có của nó. Trong chương này, các khái niệm trong lĩnh vực xác suất thống kê và các hàm phân bố phổ biến thường dùng trong HTĐ, cách xây dựng các hàm phân bố và cách tạo bộ số liệu ngẫu nhiên được trình bày.
Các khái niệm trong xác suất thống kê [21, 34] 1. Xác suất của các sự kiện ngẫu nhiên Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội có thể xảy ra một cách ngẫu nhiên (bất định) hoặc tất định (có thể biết trước kết quả). Trong xác suất và thống kê, sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện có thể không xảy ra hoặc xảy ra với một xác suất nào đó. Xác suất của một sự kiện (biến cố) ngẫu nhiên là đại lượng để đo lường khả năng xảy ra của sự kiện đó.
Xác suất của một sự kiện A có thể được ký hiệu là 𝑃{𝐴}: 0 ≤ 𝑃 {𝐴 } ≤ 1 (1.1) Khi 𝑃{𝐴} = 𝑝 có nghĩa sự kiện A xảy ra với xác suất p. Trường hợp đặc biệt: 13 + Khi 𝑃{𝐴} = 1: sự kiện A chắc chắn xảy ra; + Khi 𝑃{𝐴} = 0: sự kiện A chắc chắn không xảy ra. Tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu (sample space), ký hiệu Ω. Tổng xác suất của tất cả các kết quả của một sự kiện ngẫu nhiên bằng 1: 𝑃{Ω} = 1.
Biến ngẫu nhiên, hàm phân bố và các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Khái niệm biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên là một hàm định lượng các kết quả của phép thử ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên giả định một giá trị dựa trên kết quả của một biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên có thể phân thành hai loại: Biến ngẫu nhiên liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc.
Biến ngẫu nhiên liên tục có thể lấy bất kỳ giá trị nào trong không gian mẫu, ngược lại gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Hoặc có thể nói biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, còn biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên a) Hàm mật độ xác suất Với biến ngẫu nhiên liên tục X, 𝑓 (𝑥) được gọi là hàm mật độ xác suất (Probability density function) nếu: 𝑓 (𝑥 ) ≥ 0 ∀𝑥 (1.3) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm có tên gọi khác là hàm khối xác suất (Probability mass function): 14 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑖 } 𝑛ế𝑢 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑓 (𝑥 ) = { (1.4) 0 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 𝑥𝑖 b) Hàm phân phối xác suất Với một số thực x bất kỳ, hàm phân phối xác suất (hay còn gọi là hàm phân phối tích lũy, Cumulative distribution function) của biến ngẫu nhiên X có thể được định nghĩa như sau: 𝐹(𝑥) = 𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} (1.5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, 𝐹(𝑥) có thể được định nghĩa theo mối liên hệ với hàm mật độ xác suất như sau: 𝑥 𝐹 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 (1.6) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc: 𝐹 (𝑥) = ∑𝑥𝑖 ≤𝑥 𝑝𝑖 (1.7) Trong đó 𝑥𝑖 và 𝑝𝑖 lần lượt là giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X và xác suất tương ứng. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên a) Kỳ vọng (Expected value) Kỳ vọng (hay còn gọi là kỳ vọng toán học) là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên.
Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất. Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc X, kỳ vọng có thể tính như sau: 𝐸(𝑋) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 (1.8) Trong đó 𝑥𝑖 và 𝑝𝑖 lần lượt là giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X và xác suất tương ứng. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X, kỳ vọng được tính như sau: 15 +∞ 𝐸(𝑋) = ∫−∞ 𝑥.9) Trong đó 𝑓 (𝑥) là hàm mật độ xác suất của X. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X trong xác suất và thống kê thường được ký hiệu là 𝜇𝑋.
b) Phương sai (Variance) Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần giá trị trung bình. Phương sai của biến ngẫu nhiên X, 𝑉𝑎𝑟(𝑋 ), có kỳ vọng 𝐸(𝑋) được tính như sau: 𝑉𝑎𝑟(𝑋 ) = 𝐸 [𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 (1.11) Phương sai của biến ngẫu nhiên X trong xác suất và thống kê thường được ký hiệu là 𝜎𝑋2 .12) Độ lệch chuẩn là một đại lượng để đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Khi hai tập dữ liệu có cùng giá trị trung bình cộng, tập dữ liệu nào có độ lệch chuẩn lớn hơn thì tập đó có dữ liệu biến thiên nhiều hơn.
d) Hiệp phương sai (Covariance) và hệ số tương quan (Correlation coefficient) Các tham số ở trên là các tham số đặc trưng của một biến ngẫu nhiên. Khi xét các biến ngẫu nhiên đồng thời còn phải kể đến hai tham số đặc trưng là hiệp phương sai và hệ số tương quan. 16 Xét hai biến ngẫu nhiên X và Y, khi đó hiệp phương sai giữa hai biến 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) được tính toán như sau: 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) = 𝐸 {[𝑋 − 𝐸(𝑋)][𝑌 − 𝐸(𝑌)]} = 𝐸 (𝑋𝑌) − 𝐸 (𝑋 )𝐸(𝑌) (1.13) Hiệp phương sai giữa một biến ngẫu nhiên và bản thân biến ngẫu nhiên đó chính là phương sai: 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑋 ) = 𝐸 (𝑋 2 ) − 𝐸 (𝑋 )2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) (1.14) Hiệp phương sai đo mức độ biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên trong khi phương sai biểu thị mức độ biến thiên của một biến. Hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y được định nghĩa: 𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌) 𝜌𝑋,𝑌 = (1.15) 𝜎𝑋 𝜎𝑌 Hệ số tương quan thể hiện mức độ phụ thuộc giữa các biến, có giá trị tuyệt đối trong khoảng từ -1 đến +1, trong đó: 1 ứng với trường hợp hai biến ngẫu nhiên quan hệ đồng biến, -1 ứng với quan hệ nghịch biến, hệ số tương quan càng tiến đến -1 hoặc +1 thì quan hệ tương quan giữa hai biến càng mạnh, 0 ứng với hai biến ngẫu nhiên không có quan hệ tương quan.
Các hàm phân phối xác suất phổ biến được dùng để biểu diễn các yếu tố ngẫu nhiên trong hệ thống điện [8, 21, 34] 1. Hàm phân phối đều (Uniform distribution) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 0 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 [𝑎, 𝑏] 𝑓 (𝑥 ) = { 1 (1. Hàm phân phối xác suất của biến X: 17 0 𝑛ế𝑢 𝑥 < 𝑎 𝑥−𝑎 𝐹 (𝑥) = {𝑏−𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (1.2 dưới đây vẽ hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của hàm phân phối đều: Hình 1. Hàm mật độ xác suất của phân phối đều Hình 1.
Hàm phân phối xác suất của phân phối đều 1. Hàm phân phối chuẩn (Gaussian/normal distribution) Hàm phân phối chuẩn là một hàm liên tục và là một trong những hàm được sử dụng phổ biến nhất trong hầu hết các lĩnh vực. 18 Hàm mật độ xác suất của hàm phân phối chuẩn của biến ngẫu nhiên X như sau: (𝑥−𝜇)2 1 − 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒 2𝜎2 (1.18) √2𝜋𝜎 Trong đó: 𝜇 là kỳ vọng (giá trị trung bình), 𝜎 là độ lệch chuẩn; đây là hai tham số chính của hàm phân phối chuẩn. Hàm phân phối xác suất của hàm phân phối chuẩn được tính như sau: (𝑡−𝜇)2 1 𝑥 − 𝐹 (𝑥 ) = ∫ 𝑒 2𝜎2 𝑑𝑡 (1.19) 2𝜋𝜎 −∞ √ Trường hợp đặc biệt khi 𝜇 = 0 và 𝜎 2 = 1 hàm được gọi là hàm phối chuẩn chuẩn hóa (Standard normal distribution) có hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất như sau: 1 𝑥2 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒− 2 (1.21) √2𝜋 −∞ Trong xác suất và thống kê, hàm phân phối chuẩn của biến ngẫu nhiên X thường được ký hiệu là: 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ).4 dưới đây lần lượt trình bày một số ví dụ về hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của hàm phân phối chuẩn với các tham số khác nhau: Hình 1.
Ví dụ hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn 19 Hình 1. Ví dụ hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn Trong quá trình vận hành HTĐ, phụ tải tại các nút luôn biến đổi theo quy luật riêng của nó. Hàm phân phối chuẩn có thể được dùng để biểu diễn cho các biến ngẫu nhiên là công suất của các phụ tải tại các nút. Các tham số của hàm này có thể đạt được trong thực tế thông qua các số liệu thu thập được từ phụ tải.
Trong nghiên cứu khi không có số liệu thực tế, đặc biệt là khi dùng các HTĐ mẫu thì tham số giá trị kỳ vọng thường được lấy bằng giá trị xác lập của phụ tải trong hệ thống, phương sai và độ lệch chuẩn có thể giả sử để tính toán, khảo sát. Các hàm phân phối khác cũng có thể được dùng để biểu diễn cho phụ tải tùy theo bản chất biến đổi riêng của phụ tải. Hàm phân phối 0-1 và hàm phân phối nhị thức (Binomial distribution) Hàm phân phối nhị thức là hàm phân bố rời rạc. Một biến ngẫu nhiên nhị thức X thể hiện số lần thành công x trong n phép thử độc lập Bernoulli để tìm kết quả có hay không của sự thành công trong mỗi phép thử.
Đối với thí nghiệm Bernoulli, giả sử có hai kết quả có thể xảy ra là thành công (ký hiệu “1”) với xác suất p và không thành công (ký hiệu “0”) với xác suất (1-p). Hàm phân phối chỉ cho giá trị là “0” hay “1” như trên được gọi là hàm 0-1. Phép thử độc lập trên được lặp lại n lần, nếu số lần thành công là x thì xác suất tương ứng sẽ là 𝑝 𝑥 cho sự kiện thành công và (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 cho sự kiện không thành công. Hai tham số đặc trưng của phân phối này là n và p.
20 Hàm khối xác suất của phân phối nhị thức: 𝑓 (𝑥; 𝑛, 𝑝) = (𝑛𝑥)𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 (1.