CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Tích phân xác định Cho hàm /(+) xác định trên [a;b]. Chia đoạn [a;b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm a = xụ <#, < „.
Đặt Áx, =x, —x, ,, voi i=in.Va d = max Ax,. Ta goi bộ các điểm 7 = ƒz,} là một phân hoạch của đoạn [a;b |và đại lượng là đường kính phân hoạch. Trên mỗi doan [x, 5%] lấy đểm 4 | ¿3] thy ý, tính giá tị ƒ(4) và lập tổng: 1=, /0U)Ax- at Ta thấy tổng 7, không phụ thuộc vào phân hạch 7 = ‡x,} và vào cách chọn điểm £ và được gọi là tổng tích phân Reimamn của hàm /ƒ() theo phân hoạch Íx,} của đoạn [a;b]. Định nghĩa Nếu tổng tích phân 7, = 3" /(£)Á+, có giới hạn Ï Khi 3 ->0 không phụ thuộc a vào phân hoạch {x,} cia dogn [a;b]va cach chọn các điểm £ thì giới hạn 7 được gọi là tích phân xác định (theo định nghĩa Reimann) của hàm ƒ()trên đoạn [a;b] và 2 được kí hiệu: 7 = [f@ax.
B * Như vậy, theo định nghĩa ta có : 7= Ï ƒ(x)4x = in| 1&0, : @ ey Trong trường hợp này, hàm ƒ() được gọi là khả tích theo Reimamn trên đoạn [a:b]và z e[a:b] gọi là biến lấy tích phân, số + là cận dưới và Ù là cận trên của tích phân.du: Ding dinh nghĩa để tính tích phan: I= [x*ak 1 Gi: Với n e[ ” xét phân hạch chia đoạn [1,2] thành n diém chia. Ta có Áx, 7)=/G)=x” -(HỆ " 2 1 1+ O42 m +5 ( +2? 44m") bong +8) 6 tin Š stapes }=tin( $e Jt HH na“ =l+1+1~7, a FF f H ay 7= | [x4 =—.Š Vậy Chú ý: ’ + _ Định nghĩa tích phân 7 = | f(x)dx duge phat biểu với ø < ở. Trong trường hợp ø >b để phù hợp với việc xây dựng định nghĩa trên, ta định nghĩa:. I= Jf @)ax = 0; 1= J fea = -[/@ax.
z a 3 2 «Từ định nghĩa tích phân, ta thấy [ /(x)4+ chỉ phụ thuộc vào ƒ và đoạn [a:b] chứ không phụ thuộc vào biến lấy tích phân. Nói cách khác, ta có tính chất : 2 8 8 ]7œ)& = 7004: = J7“ sẻ 1. Điều kiện khả tích. Lớp các hàm khả tích 2 1.1, Điều kiện khả tích ( Diéu kién dé ton tai tich phan I = [f@ax #) ¢ Điều kiện cần Nếu 7 khả tích trên đoạn [a;b] thì 7 bị chặn trên đoạn [a;b], tức tồn tại hằng số 4 >0 sao cho: |ƒ()|< M, vx e|a;b].
Chứng minh; Giả sử ngược lại rằng hàm ƒ' không bị chặn trên đoạn [4;b]. Vi ƒ không bị chặn trên đoạn [a;b ]nên với mọi điểm bất kỳ của đoạn [a;b] hàm không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó. Giả sử nó không bị chặn trên 4 [xos2q]- Khi đó các đoạn còn lại [x;>,]. [x;;%;]- --› [X„ ¿ x,]ta chon cdc diém tùyý á.
vàkíhiệu: ð'= Š /Œ)Ax,. a Do ƒ không bị chặn trên đoạn [x,;>,] nên với mọi #Í®®, ta chọn được § [5%]sa0 cho: |zcz y|> [oleae lax| Khi đó: |/(2)||Axj| >|ã'|+M 'Và tổng tích phân tương ứng : En = [FE )ax +412 |/E)|[Ae,|- [6 12a Do đó tổng tích phân 7, không có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác định của 7 không tổn tại (trái giả thiết). Hay nếu ƒ khả tích trên đoạn [a;b] thì ƒ bị chặn trên đoạn [4;ð]. Nhân xét: Điều kiện ƒ bị chặn trên đoạn [;b] chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ của tính khả vi của ƒ trên đoạn |z;¿] [1.
Nghĩa là nếu 7 khả tích trên đoạn [a;b] thì fbi chặn trên đoạn [a;b]. Điều ngược lại chưa chắc. Vidu sau chung to diéu do: Xétham Dirichlet f:0 30 chobéi .;¿„) là một ƒ(#) {i cách chọnọ ứng với p. o (€e0\0) SY PE)Ay = Yay =b-a (4 e1) = il >7@= 3;7)Ax,=0 (4 111) zat _fb-a (ge0) = ins repay = (£<ñ10) = lim? ƒ()Áx, không tôn tại.
Sa, => ƒ@) không khả tích. ¢ TéngDarboux Gid sit f xc dinh va bj chin trén [a;b]. Khi d6 ton tai cic hing s6 m,M sao cho vx ¢[a;b] thi: m< f@) <M. Ta xét phân hoạch điểm 7 = ‡x,} của đoạn [z;b|.
Kihigu:m= inf f(x)s w= sup ft)- select] sql @ =M,—m, goi la dao động của ƒ trên đoạn [x, ¡x,]- Do ƒ bị chặn trên [a;b |nên các số z,; AZ, đều hữu hạn. Lập các tổng: g ym, Ax 3 a Sars Ø, ; 5, lần lượt là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm ƒ trên [a;b] ứng với phân hoạch ` của đoạn [a;b]. Ta có: Ỹ M tt Chủ ý: Néu {x,} là một phân hoạch của đoạn [a;b] ta luôn có bắt đẳng thức sau: S81, 58, ¢ Điều kiện cần và đủ của khả tích inh lý Giả sử ƒ:[a;b]—»>[l là một hàm bị chặn. Điều kiện cần và đủ để ƒ khả tích trên [a;b| với d = max Ax, (ï = l8 ) là : lim ( at * %,)= bnŠ dân s4 =0: Nghia 18: Ve >0,35= d(x) >0 sao cho đ<ổ thì < không phụ thuộc vào cách chọn ¿ e|x, |; ]- Chứng minh; ¡.
Chứng mình điều kiện cần 5 Giả sit f khả tích trên dogn [a;b], tức tôn tại tích phân 7 = [ ƒ(s)4 = lim on 1,. Khi đó với z >0 tùy ý, tổn tại ở >0 sao cho: £ é é lT|<$ Pog; Shay Ryi- ;-£<7,<14+2 <1 : ¢ VT= {x}) - Vì 8,<J,<S,nên:/-Ê«g «17+ và/-Ê«š,<r+Ê. 2 -r|<Š: A+B, -|<22=z= limlS, a ii, Chứng mình điều kiện dit Gia sit ta có lim(S, — 5, = 0, khi đó ta suy ra được: lim5, = lim5,.= sup‡S,} và r’=inf {5,}). Ta nhin được : 8# Su Mặc khác ta có bất đẳng thức 5, <7, <8, do đó 5, —5, <J,—7 <8, —ấ,.
Do đó |ï,~ 0 hay7, =7 nên lim7, = lim 7= 7. do” đong Vậyƒ khả tích trên đoạn [4;ð]. Lop cde ham khả tích Dinh ly 3: Nếu 7 liên tuctrén [a;5] thi f kha tich trén [455]. Chứng minh: Vì f lién tục trên [a;ð] nên theo định lý Cantor thì 7 liên tục đều trên [a;ð].
Như vậy, Ve>0,3ö>0 với hai điểm x,x' bất kì của đoạn [a;b] mà k-x|<z thì: |Ƒ@)- 7œ9|< 20-3) 6®. 7 = Íx,} là một phân hoạch của đoạn [a;b] sao cho đ =maxAx, <ổ (ï =1,n). £ < £ Từ Œ#) fa có: 8, — 8, = Say Ax =—<eé ‘<36- 2 mm” Vậy suy ra: lim (5, ~ 5.) # Theo dinh ly điều kiện cần và đủ của khả tích, ta có ƒˆ khả tích trên [a;b]. Dinh ly 4: Giả sử 7 là hàm bị chặn trên [a;b].
Nếu ƒ chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì ƒ khả tích trên [4;b]. Chứng minh: Ta chứng minh với trường hợp f chi có một điểm gián đoạn xạ € (4;ð). Trường hợp 7` có hữu hạn điểm gián đoạn cũng chứng minh tương tự. Ve >0 bất kì, ta có bao điểm x, béi doan con [c;d] sao cho : é d-e <——_=6, 3(1#~m) Vì ƒ liên tục trên [a;c] và [4;b]_ nên theo định lý 1 của các lớp hàm khả tích ta có ƒ khả tích trên các đoạn này.
Như vậy 3ổ,,ở, >0 sao cho với 7, ={x„}và 7¿={x„} mà d,=maxAx, <6; d,= maxx, <6, thi ta 0d: 5@)-S.G) <5» 5) -S,G,) <> 5 =min(6,;6,), khi dé 7 = {x,} sao cho d=max Ax, <6, ta bổ sung vào Ï các điểm chia cắt e, 4 và ta gọi phép phân hạch này là 7 va d=max Ax, <d. va T cảm sinh ra 2 phép phân hạch Ta. 7z theo thứ tự của các đoạn |4;e| và |4;b] với d=max Ax, <6 vad=maxAx, <6. Đình lý 5: Nếu ƒ đơn điệu trên [a;b]| thì ƒ khả tích trên [a;b].
Chúng minh; Giả sử 7 đơn điệu tăng trên [z;b| và ƒ(4) < ƒ() Cho z>0 bắt kì, lầy 7 = ƒx} sao cho đ = maxÂx, thỏa mãn: đ=——“ —. 0-7) § 5-8, = Leds = DUP) sell SSL/6)- 6) #6- “He 7 Vay f kha tich trén [a;b]. Liên hệ gia tích phân xác định và nguyên hầm 1.1, Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm Dinh ly 1: Néu f lién tuc trén [a;b], Vx e[a;b] ta đặt: F@)=Jr@d. Khi đó # khả vi trên |4;b]Và p(x)=[Íz“] = Z0) › Vxe[2;Ð].
Chứng minh: Lấy Vx e|a;b] tùy ý, xét J0 đủ bé sao cho x+he [asd]. ae Res Điỹ F@+th)- FO “ih Khi dé tacé: ry)= jig lim 1 Prem [rea] =tin( 490 T sim Floh= f(x)- (Ta có được vì flién tuc trên [a;b| nên theo định lý về giá trị trung bình thì xử 3e e[a;b] thỏa mãn: [re Z()(b —a). Vậy ƒ khả vi trên [a;b]. Công thức Newion — Leibniz Giả sử hàm f liên tục trên [a:b],va Z là một nguyên hàm của ƒ trên [4;?].
Khi đó ta có công thức: jre= FQ)-F@ =F - Chứng minh: Đặt g(x) = [re. Từ định lý 1 về liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm ta có Ø(x) là một nguyên hàm của ƒ trên [a;b] nên 3e e|a;b] (c là hằng số) sao cho: Z@)= z)+e, V+e|a;]. Vậy izex= F@)-F@=Fof- 1. Một số tính chất của tích phân 12.
Ý nghĩa hình học của tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng Cho DCO? 1a một miền bị chặn được giới hạn bởi một cung đơn kín. Bài toán: Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi đường cong y= f(x), trục hoành và hai đường thẳng x =ø ;z=b (xét ƒ() >0). Chia S thành ¡ miền con #,, Ø,,.
Xấp xi mỗi miền con bằng các hình chữ nhật. Hay: SO fa) 4 FONE, A) +--+ SOE, HO rede Nếu giới hạn 7= lim, (= 760) tồn tại không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm x- thì điện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x), truc hoành và hai đường thẳng x= a ;x=b là: ; , in (S 7Œ) ) Jzo dx.x S= li Sar, |= Trường hợp f(x) <0 hoặc đổi đấu trên [a;] thì bằng cách thay thế phần của miền D nằm dưới trục hoành bởi phẳn đối xứng qua trục hoành ta được công thức: #=[|7@œ). Chú ý: Để tính tích phân, ta xét đầu của f(x) trên |a;b]. -_ Nếu /(x)không đổi dấu trên [c;đ] = [a;5] thì: Írexkz= i)sex -_ Nếu (2) vừa lớn hơn 0 vừa nhỏ hơn 0 trên [4;ö] thì diện tích hình phẳng được tính bằng công thức: #=[Jf@x= Troe -[f@)ax+ | f@)ae- - Twong ty néu mién D 18 hinh thang gidi han boi x=a ;x= và các đồ thị của hai hàm khả tích trên [a;b| là y = ƒ(x)và y = g(x) ta có công thức:.
3= [|fG)~sg@)x: -_ Nếu D giới hạn bởi y =c; y=đ. và đồ thị của hai hàm khả tích trên [c;2]: x= f(y) va x= g(y) thi bing cach déi vai trò của x cho y từ công thức trên ta có công thức: 4 #=[|7@)-z0|#. 11 Xí dụ 1; Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y=2x?-3x+2 ; y=0 và x=-l; x=2. 2 "Ta có:‘ 2st -areaeal(s-2) 7 “Zhe.