Luận văn thạc sĩ: Ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho bài toán lưu chất

Luận văn thạc sĩ trình bày ứng dụng phương pháp proper generalized decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán lưu chất.

• Tác giả: Nguyễn Thị Quỳnh Trâm
• Người hướng dẫn: PTS. Phan Đức Huynh
• Trường học: Đại học Sư phạm Kỹ thuật
• Chuyên ngành: Cơ lưu chất
• Đề tài: Ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho bài toán lưu chất
• Loại tài liệu: Luận văn
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• CẢM TẠ
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Tổng quan về hướng nghiên cứu
• 1.2. Mục đích nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu
• 1.3. Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài
• 1.4. Phương pháp nghiên cứu
• 2. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
• 2.1. Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD)
• 2.1.1. Định nghĩa
• 2.1.2. Tiến trình các bước giải
• 2.1.3. Sơ đồ giải thuật tổng quát của phương pháp PGD
• 2.1.4. Tiêu chuẩn đánh giá sai số
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PGD VÀ FEM CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT
• 3.1. Giới thiệu phương trình Navier-Stokes
• 3.2. Giải phương trình Poisson bằng phương pháp PGD-FEM
• 3.2.1. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet đồng nhất
• 3.2.1.1. Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM
• 3.2.1.2. Sơ đồ giải thuật tổng quát
• 3.2.1.3. Kết quả - nhận xét
• 3.2.2. Trường hợp điều kiện biên hỗn hợp
• 3.2.2.1. Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM
• 3.2.2.2. Kết quả - nhận xét
• 3.3. Phương trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian
• 3.3.1. Mô hình bài toán
• 3.3.2. Điều kiện biên của bài toán
• 3.3.3. Tiến trình các bước giải bằng phương pháp FEM
• 3.3.4. Sơ đồ giải thuật tổng quát
• 3.3.5. Kết quả - nhận xét
• KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về ứng dụng PGD FEM trong bài toán lưu chất

Phương pháp PGD-FEM (Proper Generalized Decomposition - Finite Element Method) đã trở thành một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán lưu chất phức tạp. PGD-FEM giúp giảm thiểu độ phức tạp tính toán, đồng thời đảm bảo độ chính xác cao. Sự kết hợp giữa PGD và FEM mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu trong lĩnh vực này.

1.1. PGD FEM là gì và tại sao lại quan trọng

PGD-FEM là một phương pháp số hóa tiên tiến, giúp giải quyết các bài toán lưu chất phức tạp bằng cách giảm bậc mô hình. Phương pháp này cho phép xử lý các bài toán có số chiều lớn mà không làm tăng độ phức tạp tính toán theo hàm mũ.

1.2. Lịch sử phát triển của PGD FEM

PGD-FEM đã được phát triển từ những năm gần đây, nhằm khắc phục những hạn chế của các phương pháp truyền thống. Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng PGD-FEM có thể cải thiện đáng kể thời gian tính toán và độ chính xác so với FEM thông thường.

II. Những thách thức trong việc giải quyết bài toán lưu chất

Bài toán lưu chất thường gặp nhiều thách thức, đặc biệt là khi số chiều không gian tăng lên. Các phương pháp truyền thống như FEM có thể gặp khó khăn trong việc xử lý các mô hình phức tạp. Điều này dẫn đến nhu cầu cần thiết phải phát triển các phương pháp mới như PGD-FEM.

2.1. Các vấn đề chính trong mô hình hóa lưu chất

Một trong những vấn đề lớn nhất là độ phức tạp của các mô hình lưu chất, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến cơ lượng tử và động học của lưu chất phức tạp. Điều này thường dẫn đến việc tính toán trở nên khó khăn và tốn thời gian.

2.2. Hạn chế của phương pháp FEM truyền thống

Phương pháp FEM truyền thống thường gặp khó khăn khi phải xử lý các bài toán có số chiều lớn, dẫn đến độ phức tạp tính toán tăng theo hàm mũ. Điều này làm cho thời gian tính toán trở nên không khả thi trong nhiều trường hợp.

III. Phương pháp PGD FEM Giải pháp cho bài toán lưu chất

PGD-FEM là một giải pháp hiệu quả cho các bài toán lưu chất, giúp giảm thiểu độ phức tạp tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác. Phương pháp này sử dụng tách biến để giảm bậc mô hình, từ đó cải thiện hiệu suất tính toán.

3.1. Nguyên lý hoạt động của PGD FEM

PGD-FEM hoạt động dựa trên nguyên lý tách biến, cho phép mô hình hóa các bài toán lưu chất phức tạp bằng cách phân tách các biến không gian và thời gian. Điều này giúp giảm số bậc tự do cần thiết trong tính toán.

3.2. Quy trình giải bài toán bằng PGD FEM

Quy trình giải bài toán bằng PGD-FEM bao gồm các bước khởi tạo, tính toán và kiểm tra điều kiện hội tụ. Mỗi bước đều được tối ưu hóa để đảm bảo thời gian tính toán ngắn nhất có thể.

IV. Ứng dụng thực tiễn của PGD FEM trong nghiên cứu lưu chất

PGD-FEM đã được áp dụng thành công trong nhiều nghiên cứu về lưu chất, từ mô hình hóa dòng chảy đến phân tích áp suất. Những ứng dụng này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác mà còn giảm thiểu thời gian tính toán.

4.1. Ứng dụng trong mô hình hóa dòng chảy Navier Stokes

PGD-FEM đã được sử dụng để giải quyết phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén. Kết quả cho thấy phương pháp này có thể cải thiện đáng kể thời gian tính toán và độ chính xác so với FEM truyền thống.

4.2. Kết quả nghiên cứu và so sánh với phương pháp khác

Nghiên cứu cho thấy PGD-FEM cho kết quả tốt hơn so với các phương pháp khác trong việc giải quyết bài toán lưu chất. Các số liệu cho thấy sự cải thiện rõ rệt về thời gian và độ chính xác.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của PGD FEM

PGD-FEM đã chứng minh được giá trị của mình trong việc giải quyết các bài toán lưu chất phức tạp. Tương lai của phương pháp này hứa hẹn sẽ mở ra nhiều cơ hội nghiên cứu mới trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

5.1. Tương lai của PGD FEM trong nghiên cứu lưu chất

Với sự phát triển không ngừng của công nghệ tính toán, PGD-FEM có thể trở thành một công cụ chủ chốt trong nghiên cứu lưu chất. Nhiều nghiên cứu mới đang được thực hiện để mở rộng ứng dụng của phương pháp này.

5.2. Những thách thức cần vượt qua

Mặc dù PGD-FEM đã đạt được nhiều thành công, nhưng vẫn còn nhiều thách thức cần phải giải quyết, bao gồm việc tối ưu hóa quy trình tính toán và mở rộng khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực khác.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong kỹ thuật mô phỏng số hiện đại, việc giải quyết các bài toán cơ học lưu chất phức tạp luôn đối mặt với rào cản chi phí tính toán khi số bậc tự do tăng theo quy mô hàm mũ theo số chiều không gian. Với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, khi số nút lưới tăng từ 900 nút lên 6.400 nút, thời gian xử lý có thể tăng vọt từ 4,93 giây lên đến 273,79 giây, thậm chí vượt ngưỡng 1.051,63 giây đối với các điều kiện biên phức hợp.

Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Trâm tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh tập trung giải quyết triệt để vấn đề nghẽn cổ chai tính toán này thông qua việc kết hợp phương pháp phân rã tổng quát chính tắc (Proper Generalized Decomposition - PGD) với phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM), tạo nên mô hình lai PGD-FEM đột phá.

Mục tiêu cụ thể của luận văn là xây dựng thuật toán tách biến không gian hai chiều nhằm giải phương trình Poisson áp suất trong dòng chảy nhớt không nén hai chiều, đồng thời thiết lập nền tảng giải phương trình Navier-Stokes phụ thuộc thời gian bằng kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam. Phạm vi nghiên cứu được thực hiện trên miền không gian hai chiều chuẩn hóa với các trường hợp điều kiện biên Dirichlet đồng nhất và điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet-Neumann.

Kết quả thử nghiệm khẳng định phương pháp PGD-FEM giúp rút ngắn thời gian tính toán từ 4,3 lần đến hơn 571 lần so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, trong khi vẫn duy trì độ chính xác cao với sai số dao động trong khoảng từ $10^{-7}$ đến $10^{-11}$. Công trình mang lại giải pháp công nghệ có giá trị ứng dụng cao cho ngành cơ học tính toán và kỹ thuật mô phỏng dòng chảy.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng dựa trên sự giao thoa của hai khung lý thuyết toán học và cơ học tính toán nền tảng:

Lý thuyết giảm bậc mô hình (Reduced-Order Model - ROM): Xuất phát từ phương pháp LATIN của Pierre Ladevèze và kỹ thuật phân rã trực giao riêng (POD), phương pháp PGD do A. Chinesta phát triển đại diện cho bước tiến vượt bậc trong việc giải phương trình đạo hàm riêng nhiều chiều. Nguyên lý cốt lõi của PGD là xấp xỉ trường hàm chưa biết $u(x,y)$ thành chuỗi tổng các tích hàm phân tách độc lập theo từng biến không gian riêng biệt: $u(x,y) \approx \sum F_i(x) G_i(y)$. Kỹ thuật này chuyển đổi độ phức tạp của bài toán từ quy mô hàm mũ $M^N$ của phương pháp lưới rời rạc sang quy mô tuyến tính $Q \times N \times M$, trong đó $M$ là số bậc tự do trên một chiều và $N$ là số chiều không gian.

Lý thuyết thủy khí động lực học Navier-Stokes và phương pháp chiếu Chorin-Temam: Hệ phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian mô tả sự bảo toàn động lượng và khối lượng. Khó khăn lớn nhất khi giải hệ phương trình này là sự liên kết chặt chẽ giữa trường vận tốc và áp suất. Kỹ thuật phân tách biến Chorin-Temam cho phép tách rời bài toán thành hai bước: tính toán trường vận tốc trung gian tức thời và sau đó giải phương trình Poisson để xác định trường áp suất hiệu chỉnh.

Ba khái niệm trung tâm chi phối toàn bộ mô hình nghiên cứu bao gồm: phép lặp điểm cố định (Fixed Point Iteration), không gian hàm Sobolev $H^1$, và phép phân rã giá trị suy biến (Singular Value Decomposition - SVD) để phân tách nguồn tải phức tạp.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu và mẫu khảo sát: Nghiên cứu sử dụng dữ liệu mô phỏng số thực nghiệm trên các miền tính toán chuẩn hóa hai chiều. Cỡ mẫu nghiên cứu bao gồm 2 cấu trúc lưới phần tử hữu hạn điển hình: lưới thô $30 \times 30$ nút (900 nút tính toán) và lưới mịn $80 \times 80$ nút (6.400 nút tính toán).

Phương pháp chọn mẫu: Tác giả áp dụng phương pháp chọn mẫu có chủ đích với các hàm nguồn đại diện đa dạng gồm hàm hằng số $f(x,y) = 1000$ và hàm phi tuyến $f(x,y) = x^2 - y^2$, kết hợp hai cấu hình điều kiện biên đại diện cho các bài toán kỹ thuật thực tế là Dirichlet thuần nhất và Dirichlet-Neumann hỗn hợp. Ngoài ra, bài toán dòng chảy trong hốc có nắp trượt (lid-driven cavity) được kiểm thử với 3 chỉ số Reynolds đại diện: $Re = 400$, $Re = 1500$, và $Re = 3000$.

Lý do lựa chọn phương pháp phân tích: Phương pháp phần tử hữu hạn một chiều được tích hợp vào từng bước lặp PGD nhằm khai thác tối đa cấu trúc ma trận thưa, giúp giải hệ phương trình tuyến tính cục bộ với chi phí bộ nhớ tối thiểu. Toàn bộ thuật toán được lập trình và mô phỏng trên nền tảng MATLAB trong giai đoạn nghiên cứu từ năm 2012 đến tháng 09 năm 2013.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình kiểm chứng thực nghiệm số đã đem lại 4 phát hiện quan trọng về hiệu năng và độ chính xác:

Thứ nhất, trên điều kiện biên Dirichlet đồng nhất với hàm nguồn hằng số $f(x,y) = 1000$, phương pháp PGD-FEM thể hiện sự vượt trội rõ rệt khi mật độ lưới tăng cao. Ở lưới $30 \times 30$, PGD-FEM hoàn thành tính toán trong 1,14 giây so với 4,93 giây của FEM (nhanh hơn 76,8%, sai số so với nghiệm giải tích là $3,1199 \times 10^{-11}$). Khi tăng mật độ lưới lên $80 \times 80$, thời gian giải của FEM tăng vọt lên 273,79 giây, trong khi PGD-FEM chỉ mất 1,21 giây (tốc độ xử lý nhanh hơn 226,2 lần, giảm 99,56% thời gian tính toán, sai số duy trì ở mức $1,3840 \times 10^{-7}$).

Thứ hai, với hàm nguồn phi tuyến $f(x,y) = x^2 - y^2$, PGD-FEM tiếp tục duy trì ưu thế tuyệt đối. Trên lưới $80 \times 80$, thời gian xử lý của FEM là 271,20 giây, trong khi PGD-FEM chỉ cần 2,39 giây để đạt độ hội tụ hoàn toàn (nhanh hơn 113,5 lần với độ lệch sai số so với FEM chỉ ở mức $1,2238 \times 10^{-10}$).

Thứ ba, ở trường hợp điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet-Neumann, hiệu quả giảm thời gian tính toán của PGD-FEM đạt mức cao nhất. Trên lưới $30 \times 30$, FEM cần 15,92 giây trong khi PGD-FEM chỉ mất 1,53 giây. Đáng chú ý, trên lưới mịn $80 \times 80$, FEM mất 1.051,63 giây (hơn 17,5 phút), trong khi PGD-FEM chỉ mất 1,84 giây (tăng tốc độ lên 571,5 lần, sai số chỉ $1,4378 \times 10^{-7}$).

Thứ tư, mô hình phân tích dòng chảy trong hốc nắp trượt bằng FEM và phương pháp Chorin-Temam đã mô phỏng chính xác sự hình thành xoáy sơ cấp và xoáy thứ cấp tại thời điểm $t = 1,5$ giây với các hệ số Reynolds $Re = 400$, $Re = 1500$, và $Re = 3000$.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi giúp PGD-FEM đạt được tốc độ vượt trội nằm ở cơ chế phân rã tích tensor. Thay vì phải giải trực tiếp hệ phương trình đại số toàn cục với ma trận kích thước lớn $6400 \times 6400$ đòi hỏi bộ nhớ và số phép tính khổng lồ, PGD-FEM chuyển bài toán 2D thành một chuỗi các bài toán 1D nối tiếp nhau có kích thước ma trận chỉ $80 \times 80$.

So sánh với các nghiên cứu giải tích đối chiếu, độ chính xác của PGD-FEM hoàn toàn tiệm cận nghiệm giải tích với bậc sai số từ $10^{-7}$ đến $10^{-11}$, đáp ứng nghiêm ngặt các tiêu chuẩn kỹ thuật trong cơ học lưu chất.

Về mặt trực quan hóa, toàn bộ dữ liệu phân bố áp suất và vận tốc được thể hiện thông qua đồ thị mặt cong 3D và bản đồ đường dòng (streamlines) kết hợp đẳng áp (isobars). Các biểu đồ cho thấy sự tương đồng hình học tuyệt đối giữa nghiệm PGD-FEM và nghiệm FEM truyền thống, chứng minh rằng việc giảm bậc mô hình không làm biến dạng cấu trúc vật lý của dòng chảy.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên kết quả thực nghiệm, 4 nhóm giải pháp kỹ thuật cụ thể được đề xuất nhằm ứng dụng và hoàn thiện mô hình:

Tích hợp thuật toán PGD-FEM vào các phần mềm mô phỏng kỹ thuật thương mại: Nhóm kỹ sư phát triển phần mềm CAE cần xây dựng module giải tích PGD cho phương trình Poisson nhằm mục tiêu cắt giảm ít nhất 90% thời gian xử lý trường áp suất trong các bài toán CFD quy mô lớn, lộ trình triển khai hoàn thiện trong vòng 6 đến 12 tháng.

Mở rộng không gian tính toán lên mô hình 3D và 4D: Các nhóm nghiên cứu cơ học tính toán tại các trường đại học kỹ thuật cần tiếp tục mở rộng mô hình PGD-FEM cho các bài toán không gian 3 chiều và bài toán tham số hóa vật liệu 4 chiều, hướng tới mục tiêu xử lý các hệ thống có trên 100.000 phần tử trong thời gian dưới 60 giây, thời gian thực hiện trong 18 đến 24 tháng.

Tối ưu hóa bộ giải lặp cho dòng chảy có hệ số Reynolds cao: Các nhà khoa học chuyên ngành thủy khí động lực học cần nghiên cứu kết hợp kỹ thuật ổn định hóa dòng chảy vào thuật toán Chorin-Temam PGD-FEM để giải quyết các chế độ dòng chảy rối với hệ số Reynolds vượt ngưỡng 10.000, thời hạn hoàn thành trong 12 tháng.

Chuẩn hóa quy trình tiền xử lý phân tách hàm tải bằng thuật toán SVD: Các viện nghiên cứu cơ học ứng dụng cần ban hành quy chuẩn lập trình tự động hóa phân tách nguồn tải bất kỳ thành dạng tích phân tách, giúp giảm thiểu 95% thao tác thủ công của kỹ sư mô phỏng, kế hoạch hoàn thiện trong 3 đến 6 tháng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Cơ kỹ thuật và Toán ứng dụng: Nắm bắt phương pháp giảm bậc mô hình hiện đại PGD, hiểu rõ cách triển khai thuật toán tách biến trên ma trận phần tử hữu hạn và làm tài liệu tham khảo cho các đề tài nghiên cứu bậc cao.

Kỹ sư mô phỏng động lực học dòng chảy trong công nghiệp: Ứng dụng thuật toán PGD-FEM để tối ưu hóa thời gian tính toán trong thiết kế khí động học ô tô, tuabin gió và hệ thống đường ống công nghiệp phức tạp, giúp giảm chu kỳ mô phỏng thử nghiệm từ nhiều giờ xuống vài phút.

Giảng viên và nhà nghiên cứu tại các trường đại học khối kỹ thuật: Sử dụng nội dung luận văn làm tài liệu giảng dạy chuyên đề cao học về phương pháp số nâng cao, phương pháp phần tử hữu hạn phi tiêu chuẩn và mô hình hóa hệ thống cơ học.

Lập trình viên và chuyên gia phát triển phần mềm khoa học: Tham khảo kiến trúc giải thuật và sơ đồ khối lập trình MATLAB để tích hợp các thuật toán giải lặp điểm cố định PGD vào các bộ giải số mã nguồn mở.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp PGD-FEM khác biệt căn bản như thế nào so với FEM truyền thống? FEM truyền thống rời rạc hóa toàn bộ miền không gian đa chiều, dẫn đến số bậc tự do tăng theo quy mô hàm mũ theo số chiều. Trong khi đó, PGD-FEM phân tách hàm nhiều chiều thành tích các hàm đơn chiều, giúp chuyển bài toán 2D lớn thành các bài toán 1D nhỏ, giảm thời gian xử lý từ 273,79 giây xuống chỉ còn 1,21 giây trên cùng một cấu trúc lưới.

Tại sao PGD-FEM lại đạt tốc độ nhanh hơn tới 571 lần trên lưới $80 \times 80$? Trên lưới $80 \times 80$, FEM phải xử lý trực tiếp ma trận toàn cục chứa 6.400 ẩn số với điều kiện biên hỗn hợp mất 1.051,63 giây. PGD-FEM chỉ giải các hệ phương trình tuyến tính 1D gồm 80 nút lặp đi lặp lại một số lần rất nhỏ để đạt hội tụ, hoàn thành toàn bộ phép tính chỉ trong 1,84 giây.

Độ chính xác của PGD-FEM có đảm bảo tiêu chuẩn kỹ thuật hay không? Hoàn toàn đảm bảo. Kết quả so sánh trực tiếp với nghiệm giải tích chính xác cho thấy sai số chuẩn $L_2$ của PGD-FEM đạt mức $3,1199 \times 10^{-11}$ trên lưới $30 \times 30$ và $1,3840 \times 10^{-7}$ trên lưới $80 \times 80$, đáp ứng hoàn hảo các yêu cầu khắt khe trong mô phỏng cơ học lưu chất.

Kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam đóng vai trò gì trong việc giải hệ Navier-Stokes? Kỹ thuật Chorin-Temam đóng vai trò là cầu nối giúp khử ghép cặp biến vận tốc và áp suất xuất hiện đồng thời trong phương trình động lượng. Phương pháp chia tiến trình thành hai bước: tính vận tốc tức thời bỏ qua gradient áp suất, sau đó giải phương trình Poisson áp suất để hiệu chỉnh trường vận tốc bảo toàn khối lượng.

Thuật toán PGD-FEM trong luận văn có thể mở rộng cho bài toán không gian 3 chiều không? Hoàn toàn khả thi. Do bản chất của PGD là biểu diễn trường hàm dưới dạng tách biến tổng quát $u(x,y,z) \approx \sum F_i(x) G_i(y) H_i(z)$, phương pháp có thể mở rộng trực tiếp sang không gian 3D mà không bị bùng nổ số bậc tự do như các phương pháp lưới truyền thống.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng thành công mô hình lai PGD-FEM kết hợp giữa phương pháp phân rã tổng quát chính tắc và phần tử hữu hạn để giải phương trình Poisson áp suất 2D.
• Rút ngắn thời gian tính toán từ 4,3 lần trên lưới $30 \times 30$ lên đến 571,5 lần trên lưới $80 \times 80$ với điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet-Neumann.
• Đảm bảo độ chính xác cao với sai số dao động chặt chẽ trong khoảng từ $10^{-7}$ đến $10^{-11}$ so với nghiệm giải tích và phương pháp FEM chuẩn.
• Hoàn thiện quy trình giải hệ phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén bằng kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam trên bài toán dòng chảy hốc nắp trượt ở các chỉ số $Re = 400, 1500, 3000$.
• Mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc giải quyết triệt để vấn đề thời gian tính toán cho các bài toán cơ học chất lưu đa chiều phức tạp.

Đóng góp khoa học lớn nhất của luận văn là chứng minh tính khả thi và hiệu năng vượt trội của phương pháp giảm bậc PGD-FEM trong lĩnh vực cơ học lưu chất tại Việt Nam. Kế hoạch nghiên cứu tiếp theo cần tập trung mở rộng thuật toán cho hệ Navier-Stokes 3 chiều hoàn chỉnh và tích hợp trên các hệ thống tính toán hiệu năng cao trong giai đoạn 12 đến 24 tháng tới. Các viện nghiên cứu, trường đại học và doanh nghiệp công nghệ mô phỏng nên chủ động tiếp cận, khai thác mã nguồn và phát triển giải thuật PGD-FEM để nâng cao năng lực tính toán khoa học kỹ thuật hiện đại.