Chương 1 Kiến thức nền tảng 1.1 Giới thiệu hệ động lực 1. Một số khái niệm về hệ động lực Định nghĩa 1. Nếu ϕ : T × X → X là ánh xạ liên tục, ta gọi hệ động lực là liên tục. Theo quy ước, trong trường hợp T = N hoặc Z ta gọi là hệ động lực thời gian rời rạc, trong trường hợp T = R hoặc R+ ta gọi là hệ động lực thời gian liên tục.
Với một hệ động lực ϕ và cho trước một điểm ban đầu x0 , ta sẽ gọi ϕ(·, x0 ) : T → X là một quỹ đạo xuất phát từ điểm x0. Ta xem xét một số ví dụ sau: Phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equations - ODEs) Cho phương trình vi phân (ODE) dạng vector: dx = f (x), x(0) = x0 ∈ Rn .1) dt 2 Nghiệm của phương trình 1. , xn (t)) ∈ Rn được tham số hóa bởi biến thực t ∈ R, trong đó miền xác định chung của các hàm tọa độ là một khoảng con I ⊂ R. Dạng tổng quát cho các hệ ODE là: dx = f (x, t), (1.2) dt với biến độc lập t được thêm vào ở phía bên phải.
Hàm f trong công thức 1.1 và công thức 1.2 còn được gọi là trường vector (vector field) của phương trình ODE. Một ODE (hoặc hệ phương trình) được gọi là autonomous nếu trường vector f không phụ thuộc vào t, và non-autonomous khi trường vector f phụ thuộc vào t. Ví dụ, phương trình dx 2 dt = tx = f (x, t) là non-autonomous, trong khi dx x dt = 4 = f (x) là autonomous. Với phương trình autonomous 1.1, ta có một bài toán giá trị ban đầu (Initial Value Problem - IVP).
Trong trường hợp hàm f có tính chất liên tục Lipschitz địa phương và tăng trưởng tuyến tính một phía, có thể chứng minh rằng tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình xuất phát tại thời điểm t = 0 tại x0. Ký hiệu nghiệm này là ϕ(t, x0 ), khi ấy có thể chứng minh rằng ϕ : R × Rn → Rn là một hệ động lực liên tục. Phép ánh xạ (Maps) Cho một tập hợp X bất kì và một ánh xạ f : X → X , ta có thể tạo thành một hệ động lực bằng cách lặp đi lặp lại (từng bước) hàm f lên X. Khi X là một không gian topo, f : X → X liên tục, f định nghĩa sự tiến hóa (theo cách đệ quy) bằng cách hợp thành với chính nó.
Nếu x ∈ X , định nghĩa ϕ(0, x) = x và ϕ(1, x) = f (x). Khi đó với mọi n ∈ N (các số tự nhiên), ta có: ϕ(n, x) = f ◦ f ◦. 3 Đây là một ví dụ của các hệ động lực rời rạc. Một ví dụ khác về hệ động lực rời rạc phổ biến là các giải thuật tính toán số của các phương trình vi phân được trình bày trong mục 1.
Ngoài ra, ta có một số định nghĩa sau. Khi đó, một ánh xạ f : X → Y được gọi là đo được (mea- surable) nếu với mọi A ∈ Σ2 , nghịch ảnh của A qua f thuộc Σ1. Cho (X , Σ) là không gian đo được và f : X → X là ánh xạ đo được đi từ X và chính nó. Ta cũng có thể nói ánh xa f được bảo toàn (preserve) dưới độ đo µ.
Một hệ động lực bảo toàn độ đo (measure-preserving dy- namical system) là một bộ (X , Σ, µ, f ) trong đó: • X là một tập hợp, • Σ là một σ−đại số của X , • µ : Σ → [0, 1] là một độ đo xác suất với µ(X ) = 1 và µ(∅) = 0, • f : X → X là một ánh xạ đo được được bảo toàn bởi độ đọ µ. Cho (X , Σ) là một không gian đo được, f : X → X là một ánh xạ đo được. Tập đo được A ∈ Σ được gọi là bất biến (invariant) khi và chỉ khi f −1 (A) = A. Cho hệ động lực bảo toàn độ đo (X , Σ, µ, f ).
Khi đó, f được gọi là ergodic nếu với mọi tập đo được A ∈ Σ bất biến, thì hoặc µ(A) = 0 hoặc µ(A) = 1. Giải số phương trình ODE Xét phương trình ODE: dx = f (x), x(0) = x0 (1.3) dt Hầu hết các phương trình ODE không thể được giải hiển, tức là, không thể có một biểu thức tường minh cho x(t, x0 ). Thay vào đó, các phương trình vi phân ODE thường được giải số xấp xỉ. Với bất kỳ giá trị nào của x, f (x) cho biết x sẽ thay đổi như thế nào.
Ví dụ, với điều kiện ban đầu x0 ≡ x(0), f (x0 ) cho biết hệ thống đang thay đổi theo hướng nào và nhanh như thế nào. Điều này gợi ý phương pháp giải số xấp xỉ sau đây: xn+1 = xn + ∆t · f (xn ), (1.4) trong đó n chỉ mục cho tập hợp {x0 , x1 , .} và ∆t là khoảng thời gian giữa hai lần lặp. Đây là cách giải phương trình vi phân một cách số học nguyên thủy nhất, được gọi là phương pháp Euler [2]. Đạo hàm dx dt cho biết x thay đổi như thế nào trong một khoảng thời gian vi phân ∆t đủ nhỏ.
Khi đó, ta có thể có được một xấp xỉ tốt cho x(t). Mã giả của phương pháp giải số Euler được cho trong thuật toán 1. Chú ý rằng, kết quả trả về của phương pháp giải số Euler cho ta một hệ động lực rời rạc. Algorithm 1 Phương pháp giải số Euler 1: Tham số: Hàm số f , ∆t , số vòng lặp n, giá trị ban đầu x0 .,n do 3: xi = xi−1 + ∆t f (xt−1 ) 4: end for n 5: Trả về: {xi }i=0 5 1.
Ví dụ một số hệ ODE autonomous Hệ neuron Fitzhugh-Nagumo Mô hình FitzHugh–Nagumo (FHN) [3] mô tả một nguyên mẫu của hệ thống 2 chiều có tính kích thích (ví dụ, một neuron). Mô hình này sử dụng các phương trình vi phân để mô tả sự tương tác giữa điện thế màng và một biến trạng thái khác, giúp giải thích các hiện tượng như sự phát sinh xung điện và tính nhạy cảm của neuron. Phương trình ODE biểu diễn hệ động lực FHN được cho dưới dạng: dv v3 dt = v − 3 − w + RIext τ dw dt = v + a − bw (1.5) Phương trình (1.5) có trường vector f thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương và tăng trưởng tuyến tính một phía, do vậy có thể chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Đặc điểm của mô hình FHN là chúng có tập hút (attractor) và có một cấu trúc động lực học khá phức tạp bao gồm các điểm cân bằng (hay điểm cố định) và các đa tạp xung quanh.
Tập hút (attractor) là tập hợp các trạng thái mà hệ có thể tiến tới khi thời gian tiến tới vô cùng lớn. Tập hút của hệ FHN có các vùng đa tạp chậm (slow manifold) và đa tạp nhanh (fast manifold) do có sự khác biệt trong tốc độ động lực học của các biến trong hệ thống. Đa tạp chậm (Slow Manifold) là vùng trong không gian trạng thái nơi mà các biến hệ thống thay đổi từ từ, phản ánh sự ổn định của hệ. Ngược lại, đa tạp nhanh (Fast Manifold) là vùng các biến thay đổi nhanh chóng, thường liên quan đến các quá trình như phát sinh xung điện trong neuron.
Từ đó, ta có sự phân chia giữa các vùng trong không gian trạng thái. Vùng đa tạp chậm tương ứng với các biến đang ổn định, chúng thay đổi chậm, và các trạng thái này thể hiện các điểm cân bằng của hệ thống. Trái lại, ở vùng đa tạp nhanh, các biến thay đổi nhanh trong quá trình phát sinh xung điện. Hệ thống có thể chuyển đổi giữa các trạng thái một cách nhanh chóng, tạo ra các quỹ đạo không ổn định.
Ngay cả trường hợp hệ có 1 điểm cân bằng, các vùng ổn định/không ổn 6 định của hệ cũng nằm rất gần nhau và thậm chí rất gần với điểm cân bằng của hệ.1 cho thấy một quỹ đạo của hệ FHN với các tham số a = 0. Có thể thấy, quỹ đạo di chuyển nhanh ở vùng [−1, 2] × [−1, −0.5] tương ứng vơi vùng đa tạp nhanh và di chuyển chậm ở vùng [−1.25] tương ứng với vùng đa tạp chậm.1: Quỹ đạo hệ động lực FHN Động lực học của hệ FHN được xác định bởi mối quan hệ giữa đường không bậc ba (cubic nullcline) và đường không tuyến tính (linear nullcline). Đường không bậc ba được định nghĩa bởi v3 v̇ = 0 ↔ w = v − + RIext .6) 3 Đường không tuyến tính được định nghĩa bởi v+a ẇ = 0 ↔ w = .7) b Thông thường, hai đường không cắt nhau tại một hoặc ba điểm, mỗi điểm là một điểm cân bằng. Khi giá trị của v 2 + w2 lớn, xa khỏi gốc tọa độ, dòng chảy xuôi theo chiều kim đồng hồ.
Do đó khi có một điểm cân bằng, đó phải là điểm xoáy theo chiều kim đồng hồ hoặc là một nút. Khi có ba điểm cân bằng, chúng phải là hai điểm xoáy theo chiều kim đồng hồ và một điểm yên ngựa. 7 Khi đường không tuyến tính cắt đường không bậc ba tại ba điểm, hệ FHN có separatrix, là hai nhánh của đa tạp ổn định của điểm yên ngựa ở giữa: • Nếu separatrix là một đường cong, thì các quỹ đạo bên trái của separatrix hội tụ về điểm chìm bên trái, và tương tự cho bên phải. • Nếu separatrix là một chu kỳ xung quanh giao điểm bên trái, thì các quỹ đạo bên trong separatrix hội tụ về điểm xoáy bên trái.
Các quỹ đạo bên ngoài separatrix hội tụ về điểm chìm bên phải. Separatrix chính là chu kỳ giới hạn của nhánh dưới của đa tạp ổn định của điểm yên ngựa ở giữa. Tương tự cho trường hợp separatrix là chu kỳ xung quanh giao điểm bên phải.2 mô tả tính chất động lực phức tạp của hệ FHN khi có 3 điểm cân bằng với các tham số a = 0. Ở đây đường màu xanh lá là đường không bậc ba, đường màu đỏ là đường không tuyến tính còn đường màu đen là separatrix.
Hệ động lực Lorenz Hệ động lực Lorenz [5] là một trong những ví dụ nổi tiếng nhất về hệ thống phi tuyến tính trong lý thuyết động lực học và đã được sử dụng để mô tả hiện tượng thời tiết. Hệ này được phát triển bởi nhà khí tượng học Edward Lorenz vào những năm 1960, và nó là một trong những mô hình đầu tiên cho thấy sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu, một đặc điểm nổi bật của các hệ thống hỗn loạn.