Tổng quan luận án

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Hệ thống kỳ dị (singular systems) — còn được gọi là hệ mô tả (descriptor systems), hệ ẩn (implicit systems) hoặc hệ phương trình vi phân/sai phân đại số (differential/difference-algebraic equations) — là công cụ toán học mô tả động thái của nhiều đối tượng vật lý và kỹ thuật trong mạng mạch điện, hệ thống điện động lực, cơ học đa vật thể, kỹ thuật hàng không vũ trụ và các quá trình hóa lý. Trong phương trình trạng thái của hệ kỳ dị, các biến trạng thái vừa chịu sự chi phối của các phương trình động học vừa phải thỏa mãn các ràng buộc đại số tĩnh. Sự kết hợp này làm xuất hiện các đặc tính phức tạp không có ở hệ thống thông thường như hành vi xung trong đáp ứng trạng thái, tính không chính quy của ma trận truyền đạt hoặc tính phi nhân quả giữa tín hiệu vào/ra và các biến trạng thái.

Bên cạnh đó, trễ thời gian (time-delay) là hiện tượng phổ biến trong các hệ thống kỹ thuật do giới hạn về tốc độ truyền dẫn tín hiệu, xử lý dữ liệu và điều khiển phản hồi qua mạng, gây suy giảm chất lượng làm việc hoặc dẫn đến mất ổn định. Trong những thập kỷ gần đây, lý thuyết hệ thống 2 chiều (2-D systems) thu hút sự quan tâm nghiên cứu nhờ ứng dụng trong xử lý ảnh, lọc số đa chiều, truyền dữ liệu địa chấn và phân tích mạch lưới.

Mặc dù các bài toán phân tích ổn định và điều khiển đối với hệ 1 chiều (1-D) và hệ 2-D chuẩn đã đạt được nhiều kết quả, việc mở rộng các phương pháp này sang lớp hệ kỳ dị 2-D (2-D singular systems) gặp nhiều thách thức lý thuyết lớn. Các phương pháp phân tích dành cho hệ thông thường không thể áp dụng trực tiếp do sự xuất hiện của ma trận suy biến ở đạo hàm/sai phân trạng thái và sự lan truyền thông tin diễn ra đồng thời theo hai hướng độc lập (hướng ngang và hướng dọc). Cụ thể, các nghiên cứu trước đây về hệ kỳ dị 2-D còn tồn tại những khoảng trống:

  1. Các điều kiện ổn định thường dựa trên phương pháp phân rã hệ thống thành hệ con chậm và hệ con nhanh, dẫn đến cấu trúc điều kiện phức tạp, khó giải quyết bằng thuật toán tối ưu hóa lồi hoặc gây khó khăn cho việc thiết kế bộ điều khiển.
  2. Việc sử dụng các bất đẳng thức loại Jensen truyền thống dẫn đến độ bảo thủ (conservatism) cao trong các điều kiện ổn định phụ thuộc trễ.
  3. Các khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (Finite-Time Stability - FTS) và bị chặn trong thời gian hữu hạn (Finite-Time Boundedness - FTB) chưa được phát triển và chuẩn hóa đầy đủ cho hệ kỳ dị 2-D dưới dạng ổn định miền hữu hạn (Finite-Region Stability - FRS) và bị chặn miền hữu hạn (Finite-Region Boundedness - FRB).
  4. Các bài toán về tính tiêu tán $(Q, S, R)$-dissipativity và đánh giá tập đến được (Reachable Set Estimation - RSE) kết hợp thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho hệ kỳ dị 2-D có trễ biến thiên theo thời gian hầu như chưa được khảo sát trong y văn.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định và các bài toán điều khiển liên quan cho lớp hệ thống kỳ dị 2-D thời gian rời rạc mô hình Roesser có trễ. Mục tiêu cụ thể gồm ba nội dung chính:

  1. Thiết lập các điều kiện phụ thuộc trễ dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequalities - LMI) để đảm bảo tính chính quy (regularity), tính nhân quả (causality) và tính ổn định trong (internal stability) — tức tính dung nạp (admissibility) — cho hệ kỳ dị 2-D Roesser có trễ hướng biến thiên theo thời gian và trễ phân bố.
  2. Xây dựng và mở rộng khái niệm ổn định miền hữu hạn kỳ dị (Singular Finite-Region Stability - SFRS), bị chặn miền hữu hạn kỳ dị (Singular Finite-Region Boundedness - SFRB) và giải quyết bài toán phân tích tính tiêu tán miền hữu hạn $(Q, S, R)$-dissipativity cho hệ kỳ dị 2-D Roesser có trễ.
  3. Khảo sát bài toán đánh giá tập đến được (RSE) dạng elipxoit và thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái (State-Feedback Controller - SFC) nhằm giới hạn tập đến được của hệ kín trong một tập elipxoit xác định trước khi có tác động của nhiễu ngoài bị chặn.

Câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu

  1. Bài toán 1: Làm thế nào để xây dựng một phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii 2-D (2-D LKF) cải tiến kết hợp với kỹ thuật phương trình ma trận loại không (zero-type matrix equations) để thu được các điều kiện ổn định tiệm cận Lyapunov ít bảo thủ hơn mà không cần phân rã ma trận hệ thống?
  2. Bài toán 2: Các điều kiện LMI nào đảm bảo tính chính quy, nhân quả và ổn định/bị chặn miền hữu hạn (SFRS/SFRB) cũng như hiệu năng tiêu tán $(Q, S, R)$ cho hệ kỳ dị 2-D trên miền chữ nhật xác định $D_1 \times D_2$?
  3. Bài toán 3: Làm thế nào để xác định ma trận tham số elipxoit chặn tập đến được của hệ kỳ dị 2-D có trễ biến thiên và thiết kế ma trận độ lợi điều khiển $K$ tối ưu hóa miền chặn đó?

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Hệ thống kỳ dị hai chiều rời rạc (discrete-time 2-D singular systems) biểu diễn qua mô hình Roesser với các ma trận kỳ dị $E = \text{diag}(E_h, E_v)$, chịu tác động của các dạng trễ hướng biến thiên theo thời gian $d_h(i), d_v(j)$, trễ phân bố $\tau_h(i), \tau_v(j)$, tín hiệu nhiễu ngoài $w(i,j)$ và tín hiệu điều khiển $u(i,j)$.
  • Phạm vi nghiên cứu:
    • Không gian trạng thái Euclid thực $\mathbb{R}^{n_h}$ cho trạng thái ngang và $\mathbb{R}^{n_v}$ cho trạng thái dọc, tổng số chiều $n = n_h + n_v$.
    • Phạm vi thời gian/chỉ số không gian rời rạc: $(i, j) \in \mathbb{Z}+ \times \mathbb{Z}+$ hoặc trên lưới chữ nhật hữu hạn $\mathcal{D}_{D_1 \times D_2} = {(i, j) \in \mathbb{N}_0^2 \mid 0 \le i \le D_1, 0 \le j \le D_2}$.
    • Cận trễ nguyên không âm: $d_{hm} \le d_h(i) \le d_{hM}$, $d_{vm} \le d_v(j) \le d_{vM}$, $\tau_{hm} \le \tau_h(i) \le \tau_{hM}$, $\tau_{vm} \le \tau_v(j) \le \tau_{vM}$.
    • Nhiễu ngoài thuộc lớp năng lượng hữu hạn $\mathcal{W}2^\rho = {w: \mathcal{D}{D_1 \times D_2} \to \mathbb{R}^m \mid \sum_{(i,j) \in \mathcal{D}_{D_1 \times D_2}} w^\top(i,j)w(i,j) \le \rho^2}$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu liên quan trong y văn

Tác giả đã điểm lại hệ thống các công trình nghiên cứu nền tảng và cập nhật trong lý thuyết điều khiển tự động:

  1. Lý thuyết hệ kỳ dị 1-D và hệ có trễ: Các công trình của Dai (1989), Duan (2010), Xu & Lam (2006) tổng kết cơ sở lý thuyết hệ mô tả; Campbell (1980, 1982), Niculescu (2001), Gu, Kharitonov & Chen (2003), Fridman (2014) khảo sát tính ổn định và điều khiển hệ có trễ; các nghiên cứu của Xu et al. (2005, 2007) về phân tích ổn định hệ kỳ dị có trễ.
  2. Lý thuyết hệ thống 2-D và hệ kỳ dị 2-D: Kaczorek (1985, 2001), Du & Xie (2002), Lu et al. (2013) nghiên cứu hệ 2-D; Zou et al. (2004) khảo sát tính chấp nhận được và ổn định tiệm cận của hệ 2-D kỳ dị tuyến tính mô hình tổng quát bằng bất đẳng thức ma trận Lyapunov; Du & Xie (2002) nghiên cứu ổn định và ổn định hóa qua phản hồi trạng thái cho hệ Roesser kỳ dị 2-D không trễ bằng kỹ thuật phân rã hệ chậm/nhanh; Xiao et al. (2009) và Lu et al. (2015) xét bài toán điều khiển $H_\infty$ độc lập với trễ cho hệ Roesser kỳ dị 2-D có trễ không đổi bằng Bổ đề Bounded Real Lemma (BRL); Kaczorek (2007) và Hinamoto (1993) khảo sát các tính chất cấu trúc của hệ Roesser.
  3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS/FTB) và mở rộng: Dorato (1961), Amato et al. (2001, 2010) thiết lập lý thuyết FTS và FTB cho hệ 1-D; Le Van Hien & Vu (2016, 2017) và Zhai et al. (2016) đề xuất khái niệm ổn định thời gian hữu hạn kỳ dị (SFTS), bị chặn thời gian hữu hạn kỳ dị (SFTB) cho hệ kỳ dị 1-D; Xiang et al. (2012, 2014, 2017) bước đầu mở rộng FTS/FTB sang hệ 2-D thông thường dưới tên gọi FRS và FRB.
  4. Lý thuyết hệ tiêu tán (Dissipativity theory): Willems (1972) đặt nền móng lý thuyết hệ tiêu tán qua hàm tích trữ và hàm tỉ suất cung cấp; Hill & Moylan (1980), Chen et al. (2015), Wang et al. (2018), Liu & Zhang (2018) nghiên cứu tính tiêu tán cho các lớp hệ phi tuyến, kỳ dị, ngẫu nhiên 1-D; Yang et al. (2014, 2017) phân tích tiêu tán cho hệ 2-D chuẩn.
  5. Bài toán đánh giá tập đến được (RSE): Fridman & Shaked (2003), Lu et al. (2009), Wang et al. (2018) khảo sát tập đến được cho hệ 1-D; Le Van Hien & Trinh (2015, 2016), Nam et al. (2017, 2018) thiết lập RSE cho hệ kỳ dị 1-D; He et al. (2018) khảo sát RSE cho hệ 2-D có trễ nhưng chỉ giới hạn ở hệ không suy biến.
Hướng nghiên cứu Các công trình tiêu biểu Hạn chế còn tồn tại trước luận án Đóng góp giải quyết của luận án
Ổn định hệ kỳ dị 2-D có trễ Zou et al. (2004), Du & Xie (2002), Xiao et al. (2009), Lu et al. (2015), Lu et al. (2020) Điều kiện phụ thuộc phân rã ma trận hoặc độc lập trễ; dùng bất đẳng thức Jensen gây bảo thủ cao. Đề xuất 2-D LKF cải tiến 7 thành phần, kỹ thuật phương trình không khử ràng buộc đại số, thu được LMI phụ thuộc trễ chặt chẽ.
Ổn định miền hữu hạn (FRS/FRB) Xiang et al. (2012, 2014), Amato et al. (2010) Chỉ áp dụng cho hệ 2-D không suy biến; chưa có lý thuyết cho hệ kỳ dị 2-D. Thiết lập khái niệm SFRS, SFRB và tiêu chuẩn $(Q, S, R)$-dissipative trên miền chữ nhật hữu hạn cho hệ Roesser kỳ dị 2-D.
Đánh giá tập đến được (RSE) & Bộ điều khiển Wang et al. (2018), He et al. (2018), Le Van Hien & Trinh (2016) Chưa từng được nghiên cứu cho hệ kỳ dị 2-D có trễ biến thiên thời gian. Thiết lập điều kiện xác định elipxoit bao tập đến được và thuật toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái $u(i,j)=Kx(i,j)$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm cốt lõi

  1. Tính chính quy (Regularity): Cặp ma trận $(E, A)$ với $E = \text{diag}(E_h, E_v)$ được gọi là chính quy nếu đa thức hai tham số $\det[E I(z, w) - A]$ không đồng nhất bằng 0, trong đó $I(z, w) = \text{diag}(z I_{n_h}, w I_{n_v})$.
  2. Tính nhân quả (Causality): Đảm bảo phản ứng trạng thái của hệ tại bước $(i+1, j)$ hoặc $(i, j+1)$ chỉ phụ thuộc vào thông tin tại các bước hiện tại và quá khứ, không xuất hiện các xung tự do hoặc mâu thuẫn đại số.
  3. Tính chấp nhận được (Acceptability): Hệ kỳ dị 2-D được gọi là chấp nhận được nếu cặp ma trận $(E, A)$ đồng thời chính quy và nhân quả. Điều này đảm bảo nghiệm của hệ tồn tại duy nhất trên toàn miền chỉ số.
  4. Tính ổn định trong (Internal Stability): Hệ chấp nhận được là ổn định trong nếu với mọi điều kiện ban đầu, trạng thái thỏa mãn: $$\lim_{q \to \infty} \sup \left{ \left| \begin{bmatrix} x^h(i, j) \ x^v(i, j) \end{bmatrix} \right| : i + j = q \right} = 0$$
  5. Tính dung nạp (Admissibility): Hệ kỳ dị 2-D là dung nạp nếu thỏa mãn đồng thời tính chấp nhận được và tính ổn định trong.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp quy nạp toán học hai thang đo thời gian (Two time-scale mathematical induction): Dùng để chứng minh tính duy nhất nghiệm và đánh giá động thái trạng thái trên lưới 2 chiều.
  • Phương pháp phân rã hệ chậm và hệ nhanh (Slow- and fast-subsystems decomposition): Sử dụng các ma trận khả nghịch $M, N$ sao cho $M E N = \begin{bmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$ và $M A N = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$ để chứng minh ma trận $A_{22}$ khả nghịch, phục vụ việc chứng minh tính chính quy và nhân quả.
  • Phương pháp phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii 2-D (2-D LKF): Xây dựng hàm năng lượng dạng bậc hai kết hợp các số hạng lấy tổng đơn, tổng kép và tổng ba chứa thông tin của các khoảng trễ biến thiên và trễ phân bố.
  • Kỹ thuật phương trình ma trận loại không (Zero-type matrix equations): Sử dụng không gian hạt nhân $\mathcal{L} = (E^\top)^\perp$ thỏa mãn $E^\top \mathcal{L} = 0$, đưa các ma trận tự do $S_1, S_2, S_3$ vào hệ quan hệ trạng thái nhằm loại bỏ ràng buộc đại số mà không làm tăng số hạng phi tuyến.
  • Tối ưu hóa lồi và Bổ đề bù Schur (Schur complement): Chuyển đổi các bất đẳng thức ma trận phi tuyến về dạng LMI tường minh, giải quyết bằng công cụ tính toán số học Matlab LMI Toolbox.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kết quả bổ trợ (Auxiliary Results)

Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm, định lý và bổ đề kỹ thuật nền tảng cho hệ 1-D và hệ 2-D:

  • Trình bày điều kiện cần và đủ cho tính dung nạp của hệ kỳ dị 1-D rời rạc $E x(k+1) = A x(k)$ dưới dạng LMI nghiêm ngặt: Tồn tại ma trận $P > 0$ và $Q$ sao cho: $$A^\top P A - E^\top P E + Q S^\top A + A^\top S Q^\top < 0$$ với $S$ là ma trận cơ sở của không gian hạt nhân của $E^\top$ ($E^\top S = 0$).
  • Trình bày định nghĩa và tiêu chuẩn ổn định thời gian hữu hạn (FTS), bị chặn thời gian hữu hạn (FTB) và thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái $u(k) = K x(k)$ cho hệ 1-D.
  • Trình bày bài toán đánh giá tập đến được (RSE) cho hệ kỳ dị 1-D thông qua tập giao elipxoit $\mathcal{E}(\Delta) = {x \in \mathbb{R}^n : x^\top \Delta x \le 1}$.
  • Thiết lập các bổ đề kỹ thuật quan trọng: Bổ đề bù Schur (Lemma 1.1), Bất đẳng thức ma trận mở rộng (Lemma 1.2), Bất đẳng thức tổng có trọng số 2-D dạng Jensen (Lemma 1.3 và Corollary 1.1) đối với các véctơ sai phân $z^h(i,j) = x^h(i+1,j) - x^h(i,j)$ và $z^v(i,j) = x^v(i,j+1) - x^v(i,j)$: $$\sum_{l=i-d_h}^{i-1} z^{h\top}(l, j) E_h^\top R_1^h E_h z^h(l, j) \ge \frac{1}{d_h} \xi^{h\top}(i, j) E_h^\top R_1^h E_h \xi^h(i, j)$$ với $\xi^h(i, j) = x^h(i, j) - x^h(i - d_h, j)$.

Chương 2: Tính ổn định của hệ kỳ dị 2-D với trễ hướng tổng quát (Stability of 2-D Singular Systems with Generalized Directional Delays)

Chương 2 giải quyết trọn vẹn bài toán phân tích tính dung nạp cho mô hình Roesser kỳ dị 2-D với trễ hỗn hợp rời rạc và phân bố: $$\begin{bmatrix} E_h x^h(i+1, j) \ E_v x^v(i, j+1) \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x^h(i, j) \ x^v(i, j) \end{bmatrix} + A_d \begin{bmatrix} x^h(i - d_h(i), j) \ x^v(i, j - d_v(j)) \end{bmatrix} + A_\tau \begin{bmatrix} \sum_{l=1}^{\tau_h(i)} x^h(i - l, j) \ \sum_{l=1}^{\tau_v(j)} x^v(i, j - l) \end{bmatrix}$$

Tác giả đề xuất phiếm hàm 2-D LKF cải tiến $V(i, j) = \sum_{k=1}^7 [V_k^h(x^h(i, j)) + V_k^v(x^v(i, j))]$:

  • $V_1$: Dạng toàn phương trạng thái $x^\top(i, j) E^\top P E x(i, j)$.
  • $V_2, V_3$: Các tổng đơn chứa trạng thái tại các biên trễ $d_{hm}, d_{hM}, d_{vm}, d_{vM}$.
  • $V_4, V_5, V_6$: Các số hạng tổng kép chứa sai phân $z^h, z^v$ với trọng số tỷ lệ $d_{hm}^2, d_{hM}^2, r_{dh}^2$ nhằm khai thác thông tin bước nhảy trạng thái.
  • $V_7$: Số hạng tổng ba xử lý thành phần trễ phân bố $\tau_h(i), \tau_v(j)$.

Kết hợp phương trình loại không $2 [x^\top S_1 L^\top + x_d^\top S_2 L^\top + x_\tau^\top S_3 L^\top] E x(i+1, j+1) = 0$ với $L = (E^\top)^\perp$, tác giả chứng minh Định lý 2.1 xác lập điều kiện ma trận: $$\Pi_0 = \begin{bmatrix} \Phi & \mathcal{A}^\top P & \mathcal{D}^\top \Xi \ * & -P & 0 \ * & * & -\Psi \end{bmatrix} < 0$$ Điều kiện trên đảm bảo hệ là chính quy, nhân quả và ổn định trong.

Chương 2 cung cấp 3 ví dụ số minh họa:

  1. Ví dụ 2.1 (Mô hình quá trình nhiệt Darboux): Mô hình phương trình đạo hàm riêng quá trình trao đổi nhiệt $\frac{\partial T}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial t} = a_0 T + a_1 T(x-d_x, t) + a_2 T(x, t-d_t) + c_1 \int T ds + c_2 \int T d\theta$ được rời rạc hóa qua lược đồ Euler thành hệ Roesser kỳ dị 2-D với $E_h = 1, E_v = 0$. Áp dụng Định lý 2.1 với $1 \le d_h(i) \le 6, 1 \le d_v(j) \le 6, \tau_h=5, \tau_v=4$, nghiệm LMI được tìm thấy khả thi với ma trận $P = \text{diag}(44.4587, 0.2284)$, quỹ đạo trạng thái hội tụ tiệm cận về gốc tọa độ.
  2. Ví dụ 2.2 (So sánh độ bảo thủ và độ phức tạp tính toán): Khảo sát hệ 2-D kỳ dị có trễ với ma trận kỳ dị $E = \text{diag}(E_0, E_0)$, $E_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$. Các điều kiện của Xiao et al. (2009), Lu et al. (2015), Lu et al. (2020) đều không tìm được nghiệm khả thi. Trong khi đó, Hệ quả 2.1 của luận án xác định được cận trễ trên cực đại $d_{hM}$ rộng hơn với số lượng biến quyết định (Number of Decision Variables - NoDv) chỉ là 52, thấp hơn đáng kể so với NoDv = 82 của Lu et al. (2020).
  3. Ví dụ 2.3 (Hệ không trễ): Xét hệ Roesser kỳ dị không trễ bậc $n_h=n_v=2$, điều kiện của Du & Xie (2002) không khả thi, nhưng điều kiện LMI (2.29) của luận án khả thi với ma trận $P = \text{diag}(3.0282, 3.0282, 0.9593, 0.9593)$.
Phương pháp so sánh Cận $d_{hM}$ ($d_{hm}=1$) Cận $d_{hM}$ ($d_{hm}=2$) Cận $d_{hM}$ ($d_{hm}=5$) Cận $d_{hM}$ ($d_{hm}=7$) Số biến quyết định (NoDv)
Xiao et al. (2009) Không khả thi Không khả thi Không khả thi Không khả thi —
Lu et al. (2015) Không khả thi Không khả thi Không khả thi Không khả thi —
Lu et al. (2020) Không khả thi Không khả thi Không khả thi Không khả thi 82
Hệ quả 2.1 (Luận án) 4 6 9 11 52

Chương 3: Tính ổn định miền hữu hạn và tính tiêu tán của hệ Roesser kỳ dị 2-D có trễ (Finite-Region Stability and Dissipativitity of 2-D Singular Roesser Systems with Delays)

Chương 3 mở rộng các kết quả sang miền hữu hạn:

  • Ổn định miền hữu hạn kỳ dị (SFRS): Đối với hệ Roesser kỳ dị 2-D có trễ hướng không đổi $d_h, d_v$, hệ là SFRS đối với bộ tham số $(c, c_h, c_v, \mathcal{D}{D_1 \times D_2}, \Gamma)$ nếu với mọi chuỗi ban đầu thỏa mãn chuẩn trọng số $\max{|\phi|{E_h^\top \Gamma_h E_h}, |E_h|^2 |\phi|{\Gamma_h}} < c_h$ và $\max{|\psi|{E_v^\top \Gamma_v E_v}, |E_v|^2 |\psi|{\Gamma_v}} < c_v$, quỹ đạo trạng thái thỏa mãn: $$x^\top(i, j) E^\top \Gamma E x(i, j) < c, \quad \forall (i, j) \in \mathcal{D}{D_1 \times D_2}$$
  • Định lý 3.1: Xác lập điều kiện đủ dạng LMI có trọng số tỷ lệ $(\alpha_h, \alpha_v, \beta_h, \beta_v, \mu_h, \mu_v)$ và các ma trận $P, Q, R, S > 0$ cùng các ma trận biến tự do $Y^{hh}, Y^{vv}, Z^{vh}, Z^{hv}, H^{vh}, H^{hv}$ để hệ đạt tính chính quy, nhân quả và SFRS.
  • Bị chặn miền hữu hạn kỳ dị (SFRB) và Tính tiêu tán $(Q, S, R)$: Đối với hệ có trễ biến thiên và chịu tác động của nhiễu ngoài $w(i,j) \in \mathcal{W}2^\rho$, tín hiệu đầu ra $z(i,j) = C x(i,j) + C_d x_d(i,j) + C\tau x_\tau(i,j) + D_w w(i,j)$, hệ đạt tính tiêu tán miền hữu hạn nếu thỏa mãn SFRB và bất đẳng thức tiêu tán: $$\sum_{j=0}^{T_v-1} [V^h(x^h(T_h, j)) - V^h(x^h(0, j))] + \sum_{i=0}^{T_h-1} [V^v(x^v(i, T_v)) - V^v(x^v(i, 0))] \le \sum_{i=0}^{T_h-1} \sum_{j=0}^{T_v-1} \mathcal{S}_E(z(i, j), w(i, j))$$ với hàm tỉ suất cung cấp $\mathcal{S}_E(z, w) = z^\top Q z + 2 z^\top S w + w^\top R w$.

Chương 4: Đánh giá tập đến được và thiết kế bộ điều khiển cho hệ Roesser kỳ dị 2-D có trễ biến thiên theo thời gian (Reachable Set Estimation and Controller Design for 2-D Singular Roesser with Time-Varying Delays)

Chương 4 khảo sát bài toán đánh giá miền trạng thái bao kín và tổng hợp bộ điều khiển:

  • Xét hệ Roesser kỳ dị 2-D có điều khiển $u(i,j) \in \mathbb{R}^s$ và nhiễu ngoài $w(i,j) \in \mathbb{R}^s$ thỏa mãn $\sum_{i+j=p} w^\top(i,j)w(i,j) \le \rho^2$: $$\begin{bmatrix} E_h x^h(i+1, j) \ E_v x^v(i, j+1) \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x^h(i, j) \ x^v(i, j) \end{bmatrix} + A_d \begin{bmatrix} x^h(i - d_h(i), j) \ x^v(i, j - d_v(j)) \end{bmatrix} + B u(i, j) + D w(i, j)$$
  • Bộ điều khiển phản hồi trạng thái có dạng: $$u(i, j) = K x(i, j) = \begin{bmatrix} K_1 & K_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^h(i, j) \ x^v(i, j) \end{bmatrix}$$
  • Tập đến được $\mathcal{R}_x$ với điều kiện đầu triệt tiêu $(\phi^h = 0, \phi^v = 0)$ được chứng minh nằm hoàn toàn trong tập elipxoit: $$\mathcal{E}(P, r) = {x \in \mathbb{R}^n : x^\top P x \le r, P = P^\top > 0, r \ge 0}$$
  • Luận án thiết lập thuật toán xác định ma trận độ lợi điều khiển $K = L X^{-1}$ để tập đến được $\mathcal{R}_x$ của hệ kín bị chặn trong elipxoit chỉ định trước $\mathcal{E}\left(\Phi_0, \frac{\beta \rho^2}{1-\alpha}\right)$ với ma trận $\Phi_0 > 0$ và các tham số $\beta > 0, 0 < \alpha < 1$.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Thiết lập hoàn chỉnh khung lý thuyết phân tích tính dung nạp (chính quy, nhân quả và ổn định tiệm cận) cho hệ Roesser kỳ dị 2-D có trễ tổng quát mà không cần thực hiện phân rã hệ thống thành hệ con chậm/nhanh.
  2. Mở rộng thành công khái niệm ổn định và bị chặn thời gian hữu hạn từ hệ 1-D sang hệ kỳ dị 2-D thông qua các khái niệm SFRS, SFRB và tính tiêu tán miền hữu hạn $(Q, S, R)$-dissipativity trên lưới chữ nhật $\mathcal{D}_{D_1 \times D_2}$.
  3. Lần đầu tiên xây dựng lý thuyết đánh giá tập đến được (RSE) dạng elipxoit cho hệ kỳ dị 2-D có trễ biến thiên theo thời gian dưới tác động của nhiễu bị chặn.

Đóng góp về mặt phương pháp và tính toán

  1. Cấu tạo phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii 2-D cải tiến gồm 7 thành phần tổng đơn, kép và ba, kết hợp các bất đẳng thức tổng có trọng số 2-D mới, giúp giảm đáng kể độ bảo thủ của các tiêu chuẩn ổn định.
  2. Đề xuất kỹ thuật phương trình ma trận loại không chứa không gian hạt nhân $\mathcal{L} = (E^\top)^\perp$, chuyển đổi toàn bộ các điều kiện phân tích và tổng hợp điều khiển về dạng LMI thuận nghịch, giải được trực tiếp bằng các thuật toán tối ưu hóa lồi.
  3. Giảm độ phức tạp tính toán thông qua việc tối ưu hóa số lượng biến quyết định (ví dụ số minh chứng NoDv giảm từ 82 xuống 52 so với các công trình cùng thời điểm).

Kiến nghị và giải pháp đề xuất

  • Ứng dụng mô hình hóa và thuật toán điều khiển đề xuất cho các quá trình truyền nhiệt công nghiệp (mô hình Darboux PDE trong lò phản ứng, thiết bị trao đổi nhiệt, đường ống dẫn nhiệt).
  • Sử dụng thuật toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái $u(i,j) = K x(i,j)$ trên nền tảng giải LMI để đảm bảo an toàn trạng thái, ngăn ngừa quỹ đạo hệ thống rơi vào các vùng trạng thái không mong muốn khi có nhiễu truyền mạng.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế

  • Các kết quả của luận án chủ yếu tập trung trên mô hình tuyến tính dạng Roesser rời rạc; chưa bao quát lớp mô hình Fornasini-Marchesini (F-M) toàn diện.
  • Giả định các ma trận hệ thống $A, A_d, A_\tau, B, D$ là các ma trận hằng số đã biết chính xác; chưa xét đến các trường hợp có bất định tham số dạng đa diện (polytopic uncertainties) hoặc bất định chuẩn bị chặn phi tuyến.
  • Tín hiệu nhiễu ngoài $w(i,j)$ bị giới hạn trong không gian tín hiệu năng lượng hữu hạn chuẩn $\mathcal{W}_2^\rho$; chưa mở rộng cho nhiễu đỉnh bị chặn (peak-bounded disturbances) hoặc nhiễu ngẫu nhiên.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng các kết quả ổn định miền hữu hạn và RSE sang hệ kỳ dị 2-D mô hình Fornasini-Marchesini thứ nhất và thứ hai (F-M I & II).
  • Nghiên cứu bài toán điều khiển cho hệ kỳ dị 2-D có tham số bất định và hệ kỳ dị 2-D chuyển mạch (switched 2-D singular systems).
  • Phát triển bài toán lọc $H_\infty$ (filtering) và thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra (output-feedback controller) khi không đo được toàn bộ các biến trạng thái.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo giá trị cho các nhóm đối tượng:

  1. Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán học, Toán ứng dụng: Cung cấp phương pháp luận giải tích hiện đại về phương trình vi phân/sai phân trừu tượng, kỹ thuật giải tích phiếm hàm 2-D LKF và phương pháp tối ưu hóa ma trận. Đặc biệt, Chương 1 và Chương 2 là tài liệu mẫu mực về kỹ thuật xử lý bất đẳng thức ma trận và phương trình loại không.
  2. Nhà nghiên cứu lý thuyết điều khiển tự động và kỹ thuật hệ thống: Cung cấp công cụ toán học tường minh để phân tích tính ổn định, tính tiêu tán và đánh giá miền an toàn cho các hệ thống kỹ thuật đa chiều, mạch điện phức tạp và các mạng truyền thông dữ liệu có trễ.
  3. Kỹ sư mô hình hóa và điều khiển quá trình: Cung cấp quy trình rời rạc hóa và thiết kế thuật toán điều khiển cho các quá trình nhiệt phân bố không gian - thời gian biểu diễn qua phương trình đạo hàm riêng Darboux (trình bày tại Mục 2.4).

Câu hỏi thường gặp

1. Sự khác biệt cơ bản giữa hệ kỳ dị 2-D mô hình Roesser và hệ thống 2-D thông thường là gì?

Trong hệ 2-D thông thường, phương trình trạng thái có ma trận đơn vị ở vế sai phân ($x^h(i+1, j) = \dots, x^v(i, j+1) = \dots$). Trong hệ kỳ dị 2-D mô hình Roesser, vế sai phân gắn liền với các ma trận suy biến $E_h, E_v$ ($\text{rank}(E_h) = r_h \le n_h, \text{rank}(E_v) = r_v \le n_v$). Điều này làm cho hệ vừa chứa phương trình động học sai phân vừa chứa phương trình ràng buộc đại số tĩnh, dẫn đến khả năng xuất hiện các nghiệm không nhân quả hoặc mất tính duy nhất nghiệm nếu cặp $(E, A)$ không chính quy.

2. Tại sao khái niệm ổn định thời gian hữu hạn (FTS) không thể áp dụng trực tiếp cho hệ 2-D mà phải chuyển thành ổn định miền hữu hạn (FRS)?

Ở hệ 1-D, biến chỉ số $k \in \mathbb{N}0$ đại diện cho thời gian tuyến tính một chiều. Ở hệ 2-D, sự truyền bá thông tin diễn ra đồng thời theo hai hướng độc lập $i$ (ngang) và $j$ (dọc), không tồn tại một khái niệm thời gian vật lý duy nhất. Do đó, hành vi quá độ của hệ Roesser được đo lường qua sự bị chặn của véctơ trạng thái ngang $x^h(i,j)$ và dọc $x^v(i,j)$ trên một miền chữ nhật không-thời gian hữu hạn $\mathcal{D}{D_1 \times D_2} = {(i,j) : 0 \le i \le D_1, 0 \le j \le D_2}$.

3. Kỹ thuật "phương trình ma trận loại không" (zero-type matrix equations) đóng vai trò gì trong việc thiết lập điều kiện LMI của luận án?

Kỹ thuật này khai thác không gian hạt nhân $\mathcal{L} = (E^\top)^\perp$ thỏa mãn $E^\top \mathcal{L} = 0$. Bằng cách cộng thêm vào đạo hàm/sai phân của phiếm hàm Lyapunov biểu thức $2 [x^\top S_1 L^\top + x_d^\top S_2 L^\top + x_\tau^\top S_3 L^\top] E x(i+1, j+1) = 0$ (với $S_1, S_2, S_3$ là các ma trận tự do), tác giả có thể liên kết trực tiếp cấu trúc ma trận trạng thái $E$ vào điều kiện ổn định mà không cần thực hiện phân rã ma trận hệ thống, từ đó tránh được việc phát sinh các ràng buộc phi tuyến phức tạp.

4. Trong ví dụ số 2.2, phương pháp của luận án thể hiện ưu thế gì so với các kết quả của Lu et al. (2020) và Xiao et al. (2009)?

Trong ví dụ số 2.2, các điều kiện độc lập trễ của Xiao et al. (2009) và điều kiện phụ thuộc trễ của Lu et al. (2020) hoàn toàn không tìm được nghiệm khả thi. Ngược lại, Hệ quả 2.1 của luận án không những tìm được nghiệm khả thi cho khoảng trễ $d_h(i) \in [2, 6]$ với $d_v(j) \in [1, 3]$ mà còn mở rộng được cận trễ $d_{hM}$ cho nhiều giá trị $d_{hm}$ khác nhau, đồng thời giảm số biến quyết định cần tối ưu từ 82 xuống 52.

5. Mục tiêu của bài toán Đánh giá tập đến được (RSE) và thiết kế bộ điều khiển ở Chương 4 là gì?

Mục tiêu là tìm một tập elipxoit $\mathcal{E}(P, r) = {x \in \mathbb{R}^n : x^\top P x \le r}$ có kích thước nhỏ nhất có thể để bao bọc toàn bộ các trạng thái mà hệ thống có thể đạt tới từ trạng thái ban đầu bằng 0 dưới tác động của mọi tín hiệu nhiễu bị chặn $w \in \mathcal{W}_2^\rho$. Đồng thời, luận án thiết kế ma trận độ lợi $K$ cho bộ điều khiển phản hồi trạng thái $u(i,j) = K x(i,j)$ để ép tập đến được của hệ kín nằm gọn trong một elipxoit an toàn $\mathcal{E}(\Phi_0, \frac{\beta \rho^2}{1-\alpha})$ được chỉ định trước.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Lê Huy Vũ đã giải quyết có hệ thống và hoàn chỉnh bài toán phân tích tính ổn định tiệm cận, ổn định miền hữu hạn, tính tiêu tán và đánh giá tập đến được kết hợp thiết kế bộ điều khiển cho lớp hệ thống kỳ dị hai chiều (2-D) rời rạc mô hình Roesser có trễ. Bằng việc đề xuất phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii 2-D cải tiến kết hợp kỹ thuật phương trình ma trận loại không và các bất đẳng thức tổng có trọng số mới, luận án đã xây dựng các tiêu chuẩn chất lượng dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) có độ bảo thủ thấp và hiệu quả tính toán vượt trội so với các công trình tiền nhiệm. Các kết quả lý thuyết được minh chứng chặt chẽ và kiểm chứng thuyết phục qua các mô hình thực tế như quá trình nhiệt Darboux PDE, đóng góp thiết thực cho sự phát triển của lý thuyết điều khiển tự động hiện đại và giải tích toán học ứng dụng.