Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1. Các loại phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng với an là hàm w(#1,#a,.,„ độc lập, có dạng Ou Ou Duk that tkn ee, oe, N— guỀn ) = 0, trong đó F là một hàm của các đối số trên. Cấp cao nhất dao hàm riêng của u, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu F tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả đạo hàm riêng của nó.
Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến ru Ou Oru az.1) Xét một điểm (xo, yo) cố định. Phương trình (1.1) tại điểm (x0, yo) được gọi là thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó b? — ac < 0, thuộc loại hypecbôn nếu như tại điểm đó b? — ac > 0, thuộc loại parabôn nếu như tại điểm đó b2 — ac = 0. Nếu phương trình (1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều 4 thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G. Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbôn, và parabôn về các dạng chính tắc.
Dạng chính tắc của loại ellip là Ure + Uyy = O(x, Y, U, Ur, Uy): 2. Dang chính tắc của loại hypecbôn là Une — Uyy = ®(Z,1,u,u„, Uy) hoặc u„y = ®(Z,9,u, uy, Uy). Dạng chính tắc của loại parabôn là Ura = O(2, Y, U, Uz, Uy): Một số phương trình đạo hàm riêng trong vật ly và ki thuật: Phương trình sóng một chiều Ou — ;Ø”u —— = (“——— Ot? Ox?’ va phương trình sóng hai chiều đều _ a (Pu, Ou Ot Ox? ` Oy?) ` chúng thuộc loại hypecbôn. Phương trình nhiệt một chiều và phương trình nhiệt hai chiều Ou (du Ou › —— = C — + — Ot Ox? — Oy? chúng thuộc loại parabôn.
Phương trình Laplace hai chiều ou, Ou _, Ox2 Oy?” 5 và phương trình Poisson hai chiều 62u Ô°?u Ore + aye = f(x,y), chúng thuộc loại ellip. Nguyên lý chồng chất). Nếu uị vd ug là nghiệm của phương trành đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất, thà bất kỳ tổ hợp tuyến tính wu = cqu + caua, trong đó cy va cg là hằng số, cững là một nghiệm. Ngoài ra nếu tị va ug thỏa man một điều kiện biên tuyến tính thuần nhất, thì u = cu + caua cũng sẽ thỏa man.
Chuỗi Fourier Định nghĩa 1. Một hàm số f được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn [a,b] nếu ƒ(œ*) va f(b~) ton tại, va f là xác định va liên tục trên (a,b) trừ một số hữu hạn điểm mà tại đó giới han trút va giới hạn phải tồn tại. Một hàm tuần hoàn được gọi là liên tục từng khúc nếu nó liên tục từng khúc trên moi đoạn [a,b] bat ki. Một hàm ƒ, xác định trên đoạn [a,b], được gọi là trơn từng khúc nếu f va ƒ' là liên tục từng khúc trên [o, b|.
Một hàm tuần hoàn là trơn từng khúc nếu nó là trơn từng khúc trên mọi đoạn [a, 6). Biểu diễn chuỗi Fourier). Giá sở rằng ƒ là một ham tuần hoàn uới chu kỳ 2m trơn từng khúc. Thi uới mọi x chúng ta có ƒ@*)+ ƒ~ ) = a S "(an cos na + bạ sin nz), (1.1) 2 n=1 trong đó các hệ số Fourier ao, a„,b„ được xác định bởi 1 TT do =— = 52 | Slade, (1.4) T — Ti Đặc biệt, nếu f là trơn từng khúc va liên tục tại x, thi CO f(x) = ag + À (dạ cosnx + b, sin nz).
Các hệ số a„,b„ Fourier của f có thể tinh theo công thúc sau nhờ tính chất của hầm tuần hoàn 1 27 đọ = 5 l f(x)dz, 1 27m An = — f(x)cosnadzx (n = 1,2,3.), T Jo 1 2m bn = P f(x)sinnadx (n = 1,2,3. Biểu diễn chuỗi Fourier: chu kỳ tùy ý). Giả sử ƒ là ham tuần hoàn chu ki 2p, trơn từng khúc. Chuỗi Fourier của ham f được cho bởi ag + So (an cos ma + bp, Sin —*) (1.6) Trong đó P đọ = al, f(x)dz, =;J 1 f(a) cos “der, = 1,2,3.
eyf(x) sin“ 2da, n=1,2,3. PJ—p p Chéi Fourier hội tụ tới f(x) nếu f liên tục tại x va hội tụ tới Haji) + — néu khéng lién tuc tai x. Khai triển chan và khai triển lẻ). Gid sử f(x) là ham trơn từng khúc xác định trên khoảng 0 <a <p.
Thi f có chuỗi cos mở rong > + Yan cos = (0<a<p), (1.10) P Trên khoảng 0 < x < p, chuỗi (1.9) hoi tụ tới fafa"). Khai triển chuỗi Fourier sin kép). Cho f(a, y) là một liên tục trên miền K = {(x,y)|0 < z# < a,0 < < b}, tới các đạo ham riêng fx va fy bị chặn, dong thời các dao hàm riêng fx, fy, fry liên tục. Khi đó chúng ta có thể khai triển f(x,y) thành chuỗi Fourier sin kép như sau CO CO nt 16) =S3 YB mn sin Sin — asin Ey —# sin —y, (1.11 trong đó hệ số chuỗi Fourier sin kép Bmn được cho bởi -4/f f(x,y) sin“~*esin S"ydedy.
Ham Bessel Phuong trinh Bessel bac p > 0 la a2" + ay’ + (a? —p*)y=0, «>0, (1.1) 8 Một nghiệm của phương trình Bessel là ed m a m w` r ø + n ( 5 ) ' z\2k+P (1.2) trong đó CO T(œ+)= i t?~te~*dt. 0 J, được gọi là Ham Bessel bậc p thứ nhất. Chú ý rằng J, bi chan tại 0, Jo(0) = 1, và J„(0) = 0 nếu p > 0. Nghiệm thứ hai của phương trình Bessel Jp() cos px — J—p() Y, = (1.3) sin pt trong đó (Dh pa yt Jp > weap 3) _p= —_ .4 Hàm Y, độc lập tuyến tính với Jp được gọi là Ham Bessel bậc p tht hai.
Dac biệt, hàm Bessel thứ hai không bị chặn gần 0. Ham Bessel J, có vô số không điểm dương. Chúng ta kí hiệu các không điểm theo thứ tự tăng dần Ú < Api < Ap2 <-': < Api < +: Do đó ap; được gọi là không điểm dương thứ j của Jp. Chúng ta được các hàm J(“Plr), j=1,2/8.5) Để đơn giản kí hiệu, ta đặt dog = PE, ¬= (1.6) Như vay Ap; là giá trị không điểm dương thứ n của J, bi thu nhỏ bởi một đại lượng không đổi 4 Định lí 1.
Tính trực giao của ham Bessel đối với một mm Với p> 0 oàa >0.5) va Thi [ Jp(ApjX)Ip(Apex)udx =0 với j # k, (1.7) va a2 | Jp (Apjx)adx= > T+ (ny) vdt j = 1,2,. Chuỗi Bessel bậc p). Nếu f là trơn từng khúc trên (0, a], thà ƒ có một khai triển chuỗi Bessel bậc p trên khoảng (0,a) được cho bởi trong đó Xp1,Ap2,. là các không di ém thu hẹp của ham Bessel Jp cho bởi (1.9) Các số A; được gọi là hệ số Bessel-Fourier thú j của hàm f.
Trên khoảng (0,a), chuỗi hội tụ tới f(a) khả f liên tục va tới Sa" + Fle") nếu gián đoạn tại điểm đó. Dạng tham số của phương trình Bessel). Cho p>0, ø>0, tà cho dp; biểu thị không điểm dương thúj của Jp(x).10) cùng uới điều kiện biên (0) hữu han, y(a) =0, (1.11) khi À = Apj = TL, va chúng là nghiệm duy nhất cua (1.11), tra ra các bội v6 hướng. Hơn thế nữa, các nghiệm thỏa mãn (1.8) va như vay chúng trực giao trên đoạn [0,a| đối lượng ham x.
10 Ta có œ (a /2)2h+P Jota) =2, k+p+T} SA — am k=0 Như vậy, bỏ đi thừa số i? chúng ta có hàm biến thực. Hàm này được xác định I,(a) = ng “EI(E+p+ 1) (1.12) (z/2) )2t+p và được gọi là ham Bessel chỉnh sửa bậc p thú nhất. Dễ dàng chỉ ra được ham Bessel chỉnh sửa bậc p thỏa mãn phương trình Bessel chỉnh sửa bậc p ay” + ay! — (œ2 + p”)y = 0.13) Ham Bessel chỉnh sửa thứ nhất dương và đồng biến trên miền x > 0.14) cũng là thỏa mãn của phương trình Bessel chỉnh sửa, và độc lập tuyến tinh với l„. Hàm này được gọi là ham Bessel chỉnh sửa thứ hai.
Đặc biệt ham Bessel chỉnh sửa thứ hai không bị chặn gần 0. Khai triển chuỗi kép Fourier-Bessel). Cho ham f(r,0) xác định liên tục trên U < r <a 0à < 8 < 2m, tới các đạo ham riêng f, va fg bi chặn, đồng thời các đạo hàm riêng ƒ,, fo, fra liên tục.15) m=0n=1 trong đó hệ số dmn va bmn cho bởi 1 a 2m don = ii l f(r, 9) Jo(Aonr)rdédr, 2 a 20 ma? J, 11 (Amn) [ 0 /ứ9) đựyy = —ø——————— 2 a 327 ( ) r,8) cosrn8 Jm(Amnr)rdédr, bmn = apa | r,8) sinrn8 Im (Amnr)rdédr, T427. Các định lí về tính duy nhất của nghiệm Định lí 1.
Phương trình Laplace). Giả sử Q là một miễn giới nội uới biên S trơn từng mảnh va f(P) là một ham liên tục cho trước trên S. Giả sử hàm u(P) điều hòa trong Q, liên tục trong miền đóng QUS tà tai biên S giá trị của ham wu trùng uới hàm f(P). Khi đó u(P) được xác định một cách duy nhất trên QU S.
Gia sử bài toán có hai nghiệm là u+(P) và ua(P). Đặt v(P) = ui(P) — u2(P), thì v là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng NUS và 0|s = 0. Theo nguyên lý cực đại trên biên, ta có v(P) = 0 trong 2, do đó u1(P) = ua(P) trong 2. Công thức Green).
Gid sử Q là một miễn giới nội trong R?, giới hạn bởi biên S trơn từng manh, TÈ là vécto pháp tuyến. Giả sử u(x,y), v(x, 1) là hai ham bat ki có dao hàm riêng cấp hai liên tục trong © va các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng QU S. Ching ta có công thúc Green như sau [fvdvdeay / (5 dx Ì Oy m dody + [ w5Pds =0, OuØu Oudv Ov Q Q S Chúng ta xét bài toán truyền nhiệt. Giả sử Q C R? là một miền giới nội, ta kí hiệu V = {(z,ø,£) | (z,) € ©,£ > 0}, tìm nghiệm u(z, y,t) của phương trình Ot = Ou a › sat a + f(x,y, t), (x, y, t) EV, 93u (1.1) với điều kiện ban đầu u(z,,0) =w(z,), (z,u)c©, (1.2) và điều kiện biên u(œ,1,f) = H(œ,U,t), (œ,u)€ S,t>0, (1.3) 12 trong đó S là biên của Â.
Phương trình nhiệt). Giá sử u(x, y,t) là nghiệm của bài toán (1.3) sao cho nó khả vi liên tục hai lần đối tới (x,y), một lần đối vdi t trên V. Khi đó nghiệm u(x,y,t) được xác định một cách duy nhất trên V. Dé tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1.
Để chứng minh định lí ta chứng minh rằng nếu 1(z,,f), ua(z,,#) là hai nghiệm bất kỳ của (1.3) thì hiệu u(x, Y, t) = ui (2, Ù;› t) _ tua (2, Ù; t) =0 trong V. Thực vay, hiệu u(a,y,t) thỏa mãn: Ou bên (Sa Ou Ô°u aa (z,y,t) € V, (1.6) Gọi t là một giá trị sao cho t > 0.