Nghiên cứu các phương pháp lặp cho bài toán chấp nhận tách và các bài toán liên quan

• Tác giả: Khuất Thị Bình
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Bường
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Phương Pháp Lặp Hiệu Quả Cho Bài Toán Chấp Nhận Tách
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
• 1.1. Một số toán tử trong không gian Hilbert và không gian Banach
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP XẤP XỈ NGHIỆM BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH VÀ TRÙNG TÁCH CỦA TẬP
• 2.1. Bài toán chấp nhận tách của tập (MSSFP)
• 2.2. Bài toán trùng tách của tập (MSSEP)
• 3. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT VỚI PHƯƠNG PHÁP ISHIKAWA XẤP XỈ NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
• 3.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
• 3.1.1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
• 3.1.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach
• 3.2. Phương pháp lai ghép đường dốc nhất với phương pháp Ishikawa xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân
• 3.2.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
• 3.2.2. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn
• 3.2.3. Ví dụ số minh họa
• KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ
• DANH MỤC KÝ HIỆU

I. Giới thiệu về bài toán chấp nhận tách

Bài toán chấp nhận tách (SFP) là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết tối ưu và phân tích toán học. Bài toán này được định nghĩa trong không gian Hilbert, nơi mà các ánh xạ tuyến tính bị chặn đóng vai trò quan trọng. Mục tiêu của bài toán là tìm một điểm x thuộc tập C sao cho ánh xạ A(x) thuộc tập Q. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng phương pháp lặp Krasnosel’skii-Mann và Ishikawa có thể được áp dụng để giải quyết bài toán này, tuy nhiên, chúng thường gặp phải những hạn chế về hội tụ. Việc phát triển các phương pháp lặp mới nhằm cải thiện hiệu quả và độ chính xác trong việc giải bài toán chấp nhận tách là cần thiết.

1.1. Các phương pháp lặp hiện có

Các phương pháp lặp như Krasnosel’skii-Mann và Ishikawa đã được áp dụng rộng rãi trong việc tìm kiếm nghiệm cho bài toán chấp nhận tách. Tuy nhiên, những phương pháp này thường chỉ đảm bảo hội tụ yếu trong không gian vô hạn chiều. Để khắc phục điều này, một số nghiên cứu đã đề xuất cải tiến các phương pháp lặp, chẳng hạn như phương pháp hiệu chỉnh lặp kiểu Lavrentiev, nhằm đạt được hội tụ mạnh hơn. Việc áp dụng các phương pháp này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác mà còn mở rộng khả năng ứng dụng trong các bài toán thực tiễn như xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh.

II. Phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách

Phương pháp hiệu chỉnh lặp kiểu Lavrentiev được đề xuất nhằm giải quyết bài toán chấp nhận tách một cách hiệu quả hơn. Phương pháp này không chỉ giúp cải thiện tốc độ hội tụ mà còn giảm thiểu sự phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển. Cụ thể, tham số lặp được chọn không phụ thuộc vào chuẩn của ánh xạ A, điều này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và tăng tính khả thi trong thực tế. Các ví dụ minh họa cho thấy rằng phương pháp này có thể đạt được kết quả tốt hơn so với các phương pháp truyền thống.

2.1. Ứng dụng thực tiễn của phương pháp

Phương pháp hiệu chỉnh lặp không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, phương pháp này có thể được sử dụng để khôi phục ảnh từ các dữ liệu bị nhiễu. Ngoài ra, trong các bài toán tối ưu, việc áp dụng phương pháp này giúp tìm ra các nghiệm tối ưu một cách nhanh chóng và hiệu quả. Điều này chứng tỏ rằng phương pháp hiệu chỉnh lặp có thể đóng góp tích cực vào việc giải quyết các bài toán phức tạp trong thực tế.

III. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo

Luận án đã trình bày một số phương pháp lặp mới cho bài toán chấp nhận tách và bài toán trùng tách. Những phương pháp này không chỉ cải thiện độ chính xác mà còn mở rộng khả năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp lai ghép giữa các phương pháp lặp hiện có để đạt được sự hội tụ mạnh hơn. Việc nghiên cứu sâu hơn về các ứng dụng thực tiễn của các phương pháp này cũng là một hướng đi tiềm năng trong tương lai.

3.1. Đề xuất cho nghiên cứu tương lai

Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp lặp tự thích nghi, nhằm tối ưu hóa quá trình tính toán và giảm thiểu sự phụ thuộc vào các tham số bên ngoài. Bên cạnh đó, việc áp dụng các phương pháp này vào các bài toán thực tiễn phức tạp hơn sẽ giúp khẳng định giá trị và tính khả thi của chúng trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học máy tính.