Báo cáo Toán rời rạc (P2) Lý thuyết trò chơi thực sự là gì? Lý thuyết trò chơi như chúng ta biết ngày nay ra đời là do sở thích chơi poker của một người. Nhưng không phải một người đàn ông bình thường mà chúng ta sẽ bắt gặp hằng ngày trên đường phố đâu. Ông là một nhà toán học, vật lý học và khoa học máy tính có tên là John von Neumann. Mục tiêu của ông đương nhiên là khác so với những người chơi poker thông thường muốn chơi giỏi hơn.
Qua một bài báo của Forbes, ông ấy quan tâm tới poker vì ông coi nó như một con đường để phát triển toán học vào trong cuộc sống. Ông muốn có một lý thuyết chung có thể được áp dụng cho ngoại giao, tình yêu, sự tiến hóa của vạn vật hay chiến lược kinh doanh. Lý thuyết này được ông gọi là lý thuyết trò chơi. Thông qua sự hợp tác với nhà kinh tế học Oskar Morgenstern trong cuốn sách có tên là Lý thuyết về trò chơi và hành vi kinh tế vào năm 1944, ông đã tiến được gần hơn tới mục tiêu của mình.
Trong cuốn sách này, hai người họ đã khẳng định rằng bất kì tình hình kinh tế có thể được định nghĩa là kết quả của một trò chơi giữa hai hoặc nhiều người chơi Trò chơi theo lý thuyết trò chơi là gì? Giáo sử kinh tế Yale Ben Polak lưu ý rằng một trò chơi có 3 thành phần cơ bản: người chơi, chiến thuật và phần thưởng có thể có của trò chơi. Tuy nhiên, không phải lúc nào người chơi cũng có kiến thức hoàn hảo về những yếu tố này của một trò chơi Chiến lược là những hành động mà người chơi thực hiện trong một trò chơi. Chiến lược là trung tâm của lý thuyết trò chơi Forbes mô tả lý thuyết được trình bày trong Lý thuyết về trò chơi và hành vi kinh tế là "mô hình toán học về tương tác chiến lược giữa các đối thủ hợp lý, trong đó hành động của mỗi bên sẽ phụ thuộc vào những gì bên kia sẽ làm". Khái niệm về sự phụ thuộc lẫn nhau trong chiến lược- hành động của một người chơi ảnh hưởng đến hành động của những người chơi khác - là một khía cạnh quan trọng trong phiên bản lý thuyết trờ chơi của von Neumann vẫn còn phù hợp cho đến ngày nay Phần thưởng, được mô tả là "kết quả của chiến lược được người chơi áp dụng".
Phần thưởng có thể là một loạt các thứ tùy thuộc vào trò chơi. Đó có thể là lợi nhuận, một hiệp ước hòa bình, hoặc mua một chiếc xe hơi. Một phiên bản lý thuyết trò chơi của Von Neumann là nó tập trung vào việc tìm ra các chiến lược tối ưu cho một loại trò chơi được gọi là trò chơi có tổng bằng không. Trong trò chơi có tổng bằng không, một người chơi thua thì người chơi khác được lợi.
Ở đây có một lưu ý là người chơi không thể tăng hoặc giảm tài nguyên có sẵn. Các nhà phê bình đã lưu ý rằng cuộc sống không đơn giản như trò chơi có tổng bằng không. Có nhiều kịch bản trò chơi phức tạp hơn trong thế giới thực. Lý thuyết trò chơi đã phát triển để phân tích nhiều loại trò chơi hơn như trò chơi tổ hợp và trò chơi tích phân, tuy nhiên chúng ta chỉ có thời gian để xét một trò chơi thôi.
Một ví dụ kinh đển về một trò chơi thường được nghiên cứu trong lý thuyết trò chơi được gọi là "Song đề tù nhân" (The Prisoner's Dilemma) Các phiên bản khác nhau của trò chơi này có sẵn trên Internet. Một trong số đó có giả thiết như sau:"Có hai tù nhân, Đăng và Huy, họ vừa bị bắt vì cướp ngân hàng, tuy nhiên cảnh sát không có đủ bằng chứng để kết tội họ, nhưng biết rằng họ đã phạm tội. Những cách sát đưa Đăng và Huy vào các phòng thẩm vấn riêng biệt và đưa ra cho 2 tên này các lựa chọn: Nếu cả hai đều thú nhận thì cả hai sẽ bị tuyên án 10 năm tù; Nếu một tên thú tội và tên kia không thú tôi, tên thú nhận sẽ được tự do và tên còn lại sẽ phải ngồi tù 20 năm. Nếu cả hai không thú nhận thì cả hai sẽ phải nhận 5 năm tù cho một tội danh khác mà cả hai bị truy nã.
Có thể nhận thấy "Song đề tù nhân" chứa đựng những yếu tô cơ bản của một trò chơi được đề cập đến trong "Lý thuyết trò chơi": 1. Hai người chơi là Đăng và Huy 2. Chiến lược có sẵn là thú tội hoặc không thú tội 3. Phần thưởng của trò chơi bao gồm từ không phải vào tù cho đến thụ án 5, 10 hoặc 20 năm tù.
Và để so sánh các kết quả một cách dễ dàng hơn thì chúng sẽ được đưa vào một ma trận: Các chiến lược của Đăng được liệt kê theo hàng hoặc trục x, phần thưởng của anh ấy được liệt kê trước. Phần thưởng của Huy được liệt kê sau và các chiến lược sẽ được nằm trong cột hoặc trên trục y. Ma trận này được gọi là "dạng chuẩn tắc" trong lý thuyết trò chơi. Các chuyển động diễn ra đồng thời, có nghĩa là không người chơi nào biết được quyết định của người kia và các quyết định được đưa ra cùng một lúc (như trong ví dụ này thì cả hai tù nhân đều ở trong các phòng riêng biệt và sẽ không được đưa ra ngoài cho đến khi cả hai đã đưa ra quyết định của mình.
Một giải pháp phổ biến cho các trò chơi đồng thời được gọi là "chiến lược thống trị". Được định nghĩa là "chiến lược mang lại lợi nhuận tốt nhất cho dù người chơi khác chọn gì. Đăng không biết liệu răng Huy có thú nhận hay không. Khi đó hắn sẽ xem xét các lựa chọn của mình.
Với những lựa chọn đã được nêu ở trên thì đương nhiên chiến lược tốt nhất cho Huy là thú nhận bởi vì nó dẫn đến việc được phần thưởng tốt nhất bất kể là điều đó sẽ khiến anh ta được tự do hoặc sẽ phải ngồi tù nhưng sẽ ít hơn so với việc anh ta không thú nhận. Và tất nhiên là Đăng cũng ở trong hoàn cảnh tương tự và có những lựa chọn giống với Huy. Kết quả là, chiến lược tốt nhất cho Đăng cũng là thú nhận vì nó dẫn đến mức thưởng tốt nhất mà Huy sẽ nhận được. Trạng thái cân bằng chiến lược thống trị đạt được khi mỗi người chơi chọn chiến lược thống trị của riêng họ.
→ Vậy tại sao chiến lược cả hai đều không thú tội không phải là lựa chọn tốt nhất? Mặc dù phương án này sẽ giúp cả hai người ít thời gian ngồi tù hơn so với khi họ thú nhận, nhưng nó chỉ hiệu quả nếu cả hai người họ biết chắc chắn rằng người kia sẽ không thú nhận. Và chúng ta không biết rằng liệu Đăng và Huy có thể làm việc cùng nhau với mức độ hợp tác đó hay không được Ngoài ra, cả hai khó có thể chọn chiến lược không thú nhận vì nó có hình phạt lớn hơn nếu họ thú nhận. Việc thú nhận cũng giúp mỗi người trong số họ có khả năng không phải ngồi tù, thậm chí là dưới 5 năm tù. The Prisoner's Dilemma là một ví dụ điển hình cho thấy lý thuyết trò chơi có thể trở thành vấn đề của tính hợp lý.
Đây cũng là một trong những vấn đề gây tranh cãi nhất trong lý thuyết trò chơi. Thật vậy, hầu hết tất cả các lý thuyết đều dựa trên giả định rằng các tác nhân là những người chơi hợp lý, những người cố gắng tối đa hóa các phần thưởng của họ, nhưng các nghiên cứu chứng minh rằng người chơi không phải lúc nào cũng hoạt động theo lý trí và đôi khi kết luận của phân tích hợp lý không phù hợp với thực tế. Như chúng ta có thể thấy từ trò chơi này, chiến lược hợp lý nhất sẽ mang lại cho cả hai người chơi ít thời gian tù hơn không phải là lựa chọn tốt nhất trong khi mà lựa chọn khiến hai người chơi phải ở trong tù lâu hơn mới là lựa chọn như vậy. Song đề tù nhân cũng phản ánh cách các nhà nghiên cứu lý thuyết trò chơi khác có thể khắc phục một số vấn đề trong phiên bản lý thuyết trò chơi của Von Neumann.
Một trong số họ là nhà toán học John Nash. Ông đã tìm ra cách để xác định chiến lược tối ưu trong bất kỳ trò chơi hữu hạn nào. Đó chính là "điểm cân bằng Nash" - một giải pháp cụ thể cho các trò chơi, một giải pháp được đánh giá bởi thực tế là mỗi người chơi đang tạo ra điều tốt nhất mà họ có thể có, dựa trên các chiến lược đang được sử dụng bởi tất cả các người chơi khác. Khi đạt được trạng thái cân bằng Nash trong một trò chơi, không ai trong số người chơi muốn thay đổi chiến lược khác bởi vì làm như vậy sẽ dẫn đến kết quả tồi tệ hơn chiến lược hiện tại.
Trong Song đề tù nhân, cân bằng Nash là chiến lược cả hai người chơi thú nhận. Không có lựa chọn nào tốt hơn cho một trong hai người chơi để thay đổi nữa. Cũng từ ví dụ này, chúng ta có thể thấy một khía cạnh thú vị khác của cân bằng Nash. → Nhà toán học Iztok Hozo chỉ ra rằng "bất kì điểm cân bằng chiến lược thống trị nào cũng là điểm cân bằng Nash".
Nguyên nhân là do "cân bằng Nash là sự mở rộng của các khái niệm về cân bằng chiến lược thống trị. Tuy nhiên ông cũng lưu ý rằng cân bằng Nash có thể được sử dụng để giải quyết các trò chơi không có chiến lược thống trị". Cân bằng Nash đã chỉ ra rằng, tối đa hóa lợi ích cho từng cá nhân chưa chắc đã là tối đa hóa lợi ích cho một đám đông Nash nhận được nhiều lời khen ngợi cho cân bằng Nash và các công trình khác của ông trong Lý thuyết trò chơi - nhưng không phải từ John von Neumann. Von Neumann đã ghen tị, đã bác bỏ kết quả của Nash thời trẻ, nói là là "tầm thường" - quá đơn giản về mặt toán học.
Và tất nhiên là nhiều người khác không đồng tình với đánh giá của Von Neumann về công việc của Nash. Nash sau đó chia sẻ Giải tưởng niệm Nobel về Khoa học Kinh tế vào năm 1994 cho công trình nghiên cứu lý thuyết trò chơi của họ. Và sau sự ra đi của Nash vào năm 2015, một trang web học thuật đã tóm gọn tất cả thành tựu của Nash như sau:"Đóng góp cơ bản nhất của Nash cho lý thuyết trò chơi là mở ra lĩnh vực này cho nhiều ứng dụng hơn trong nghiên cứu [.
