Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số phương pháp lặp giải bài toán không điểm chung" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Nguyễn Minh Trang, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Trương Minh Tuyên và PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Luận án được bảo vệ năm 2022 tại Trường Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng, mã số đào tạo 9 46 01 12.

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, bài toán xác định không điểm của toán tử loại đơn điệu $A: E \to 2^X$ trong không gian Banach $E$ (dạng $0 \in Ax$) và dạng tổng quát là bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử loại đơn điệu $x \in S := \cap_{i=1}^N A_i^{-1}0 \neq \emptyset$ giữ vị trí trung tâm trong giải tích phi tuyến và tối ưu hóa. Lớp bài toán này có liên hệ mật thiết với việc tìm trạng thái cân bằng của các phương trình tiến hóa dạng $du/dt + Au(t) = 0$, xuất hiện trong mô hình hóa các bài toán vật lý như phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng, phương trình Schrödinger, cũng như các bài toán tối ưu trong kinh tế, tài chính và kỹ thuật. Nhiều bài toán quan trọng như bài toán cực tiểu hóa hàm lồi (thông qua toán tử dưới vi phân $\partial f$) hay bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn $T$ (thông qua toán tử $A = I_E - T$) đều quy về bài toán tìm không điểm.

Tuy nhiên, phương pháp điểm gần kề cổ điển do Martinet đề xuất năm 1970 và Rockafellar mở rộng năm 1976 nói chung chỉ đạt được sự hội tụ yếu trong không gian vô hạn chiều (như các phản ví dụ của Güler năm 1991 và Bauschke cùng cộng sự đã chỉ ra). Các biến thể nhằm đạt được sự hội tụ mạnh như phương pháp chiếu co hẹp của Takahashi và cộng sự năm 2008 chủ yếu mới xét trên không gian Hilbert, dựa vào phép chiếu chính xác và điểm gần kề chính xác, chưa tính tới sai số tính toán và toán tử mở rộng trong không gian Banach. Mặt khác, đối với bài toán không điểm chung tách (SCNPP) được mở rộng từ bài toán chấp nhận tách, hầu hết các thuật toán dạng CQ hiện có đều yêu cầu cỡ bước phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển $|T|$. Do việc tính toán chuẩn toán tử trong thực tế rất phức tạp hoặc không khả thi với các hệ cỡ lớn, việc xây dựng các thuật toán hội tụ mạnh không phụ thuộc vào chuẩn toán tử cho bài toán SCNPP hầu như chưa có lời giải thỏa đáng.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định rõ qua 3 nhiệm vụ cụ thể:

  1. Đề xuất các phương pháp lặp mới cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử đơn điệu và j-đơn điệu trong không gian Banach;
  2. Đề xuất phương pháp lặp song song mới xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian Hilbert khi không biết thông tin về chuẩn của toán tử chuyển;
  3. Đưa ra các phương pháp lặp mới xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert, từ đó ứng dụng cho bài toán không điểm chung tách.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm:

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp toán tử loại đơn điệu (toán tử đơn điệu cực đại, toán tử j-đơn điệu, m-j-đơn điệu), các ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co chặt, toán tử giải và giải mêtric; các bài toán không điểm chung, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán không điểm chung tách (SCNPP), bài toán điểm bất động chung tách (SCFPP), bài toán chấp nhận tách (SFP) và chấp nhận tách đa tập (MSFP).
  • Phạm vi không gian toán học: Không gian Banach thực phản xạ, lồi chặt, lồi đều và trơn (chuẩn khả vi Gâteaux hoặc Gâteaux đều); không gian Hilbert thực $H, H_1, H_2$.
  • Phạm vi dữ liệu và thực nghiệm: Các thuật toán được đánh giá qua chứng minh lý thuyết giải tích và kiểm thử thực nghiệm số trên phần mềm MATLAB với các bài toán mô phỏng trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã tổng quan một cách hệ thống các mốc phát triển của các phương pháp lặp giải bài toán không điểm và các bài toán tách liên quan:

  • Phương pháp điểm gần kề (Proximal Point Algorithm): Martinet (1970) khởi xướng phương pháp điểm gần kề để tìm điểm cực tiểu của hàm lồi trong không gian Hilbert. Năm 1976, Rockafellar áp dụng phương pháp này cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại $A: H \to 2^H$ bằng dãy lặp $x_{n+1} = J_{c_n}^A x_n = (I_H + c_n A)^{-1} x_n$, đồng thời đề xuất thuật toán điểm gần kề không chính xác với dãy sai số $\sum |e_n| < \infty$ và chứng minh tính hội tụ yếu của dãy nghiệm.
  • Nghiên cứu về tính hội tụ mạnh: Năm 1991, Güler thiết lập ví dụ chứng minh phương pháp điểm gần kề cổ điển không hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát; tác giả Bauschke và cộng sự sau đó cũng củng cố khẳng định này. Để khắc phục, nhiều tác giả đã đề xuất các hướng tiếp cận kết hợp:
    • Kết hợp hiệu chỉnh Tikhonov: Lehdili và Moudafi (1996), Xu (2004);
    • Kết hợp phương pháp lặp Halpern: Aoyama (2008), Kamimura và Takahashi (2000), Qin và Su (2007), Xu (2006);
    • Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation): Chen và Zhu (2006, 2008), Jung (2012, 2013);
    • Phương pháp chiếu lai ghép (hybrid projection): Solodov và Svaiter (1999, 2000) xây dựng nghiệm xấp xỉ thông qua giải bài toán phụ và chiếu lên siêu phẳng hoặc giao hai nửa không gian;
    • Phương pháp chiếu co hẹp (shrinking projection): Takahashi, Takeuchi và Kubota (2008) kết hợp phương pháp lặp Mann với việc thu hẹp tập lồi đóng chứa nghiệm ở từng bước lặp.
  • Lớp bài toán tách và các ứng dụng:
    • Censor và Elfving (1994) đưa ra bài toán chấp nhận tách (SFP).
    • Qu và Liu (2006) chỉ ra mô hình chụp ảnh cắt lớp X-quang là một trường hợp đặc biệt của SFP dưới dạng hệ phương trình ma trận $Ax = y$ với $x \ge 0, y \ge 0$.
    • Censor và cộng sự (2005) mở rộng sang bài toán chấp nhận tách đa tập (MSFP) và áp dụng mô hình hóa kỹ thuật xạ trị điều biến cường độ IMRT.
    • Censor và Segal (2009) giới thiệu bài toán điểm bất động chung tách (SCFPP).
    • Byrne (2002) đưa ra phương pháp CQ giải SFP, Byrne và các cộng sự (2012) áp dụng CQ cho bài toán không điểm chung tách (SCNPP).
    • Trong nước, các tác giả Phạm Kỳ Anh (2012), Nguyễn Buông (2010, 2011), Đinh Dung Thong (2017, 2018), Trương Minh Tuyên và cộng sự (2017, 2019) đã nghiên cứu sâu về các phương pháp lặp cho bài toán tách và bài toán cân bằng.
  • Hướng giải quyết cỡ bước độc lập với chuẩn toán tử chuyển: Byrne (2002) và Censor yêu cầu bước lặp phụ thuộc chuẩn $|T|$, cụ thể $\gamma \in (0, 2/|T|^2)$. Nhiều tác giả cải tiến để cỡ bước không phụ thuộc chuẩn toán tử nhưng chỉ đạt hội tụ yếu (Cui và cộng sự 2014, López và cộng sự 2012, Yang 2014). Một số thuật toán đạt hội tụ mạnh được Boikanyo (2015), Tian (2016), Wang (2017) đề xuất cho SFP và SCFPP.

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết bao gồm:

  • Việc cải tiến phương pháp chiếu co hẹp từ không gian Hilbert sang không gian Banach lồi đều và trơn cho họ toán tử đơn điệu cực đại, có tính đến điểm gần kề không chính xác (dùng $\varepsilon$-mở rộng của toán tử) và phép chiếu gần đúng có sai số.
  • Đơn giản hóa các điều kiện hội tụ nghiêm ngặt về biến thiên tham số bước lặp trong phương pháp lai ghép đường dốc nhất (hybrid steepest descent method) cho toán tử j-đơn điệu của Ceng và cộng sự (2008).
  • Xây dựng thuật toán lặp song song hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách (SCNPP) trong không gian Hilbert với cơ chế tự thích nghi cỡ bước, không yêu cầu bất kỳ thông tin nào về chuẩn của toán tử chuyển $|T|$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên khung lý thuyết giải tích hàm phi tuyến, hình học không gian Banach và lý thuyết toán tử đơn điệu:

  • Tính chất hình học không gian Banach: Các khái niệm không gian phản xạ, không gian lồi chặt, không gian lồi đều (uniform convexity) và không gian trơn (smoothness). Khái niệm hội tụ của dãy tập hợp lồi đóng theo nghĩa Mosco (1969) gồm giới hạn mạnh $s\text{-}\operatorname{Lin} C_n$ và giới hạn yếu $w\text{-}\operatorname{Lsn} C_n$. Tính chất Kadec-Klee (dãy hội tụ yếu và hội tụ theo chuẩn thì hội tụ mạnh). Tính khả vi Gâteaux và Gâteaux đều của chuẩn.
  • Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và phép chiếu mêtric: Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J: E \to 2^{E^*}$ (khi đơn trị ký hiệu là $j$). Phép chiếu mêtric $P_C$ từ không gian Banach lồi chặt, phản xạ lên tập con lồi đóng khác rỗng $C$, cùng các công thức tính tường minh của phép chiếu trong không gian Hilbert trên siêu phẳng, nửa không gian, hình hộp $\operatorname{Box}[a, b]$ và hình cầu $B[p, q]$.
  • Các lớp toán tử: Toán tử Lipschitz, toán tử co, toán tử không giãn, toán tử $\lambda$-giả co chặt. Toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, toán tử dưới vi phân $\partial f$, giải mêtric $Q_r^A$. Toán tử $j$-đơn điệu, $j$-đơn điệu cực đại, $m$-$j$-đơn điệu, $\delta$-$j$-đơn điệu mạnh, toán tử giải $J_r^A = (I_E + rA)^{-1}$. Lớp toán tử $\varepsilon$-mở rộng $A^\varepsilon$ theo Burachik và Svaiter (2002) với tính chất demi-đóng của đồ thị.

Phương pháp nghiên cứu thực tế của luận án kết hợp giữa giải tích thuần túy và tính toán số:

  • Phương pháp lý thuyết: Sử dụng giải tích biến phân, phân tích bất đẳng thức biến phân, phương pháp điểm gần kề không chính xác, kỹ thuật chiếu co hẹp, phương pháp đường dốc nhất lai ghép và phương pháp xấp xỉ gắn kết. Kỹ thuật chứng minh phân đôi dãy số dựa trên Bổ đề Maingé (2008) cho các dãy số thực không giảm ở vô cùng và Bổ đề Xu (2002) cho dãy số thực không âm.
  • Phương pháp tính toán và xử lý số: Xây dựng các thuật toán lặp song song và xoay vòng; lập trình kiểm thử trên máy tính bằng ngôn ngữ MATLAB. Các bài toán tối ưu khoảng cách tới tập giao của các nửa không gian ở từng bước lặp được giải bằng gói thuật toán quy hoạch toàn phương ("Quadratic Programming Algorithm").

Nguồn dữ liệu và tư liệu: Luận án khai thác hệ thống tư liệu từ các bài báo khoa học chuyên ngành quốc tế; dữ liệu kiểm nghiệm số được thiết lập trực tiếp thông qua các bài toán mẫu trong không gian Euclid $\mathbb{R}^m$, không gian dãy số $l_2$ và không gian hàm $L_2[0, 1]$.

Thành phần lý thuyết Khái niệm / Công cụ toán học Vai trò trong luận án
Hình học không gian Không gian Banach phản xạ, lồi đều, trơn; tính chất Kadec-Klee Thiết lập môi trường nghiên cứu giải thuật xấp xỉ
Hội tụ dãy tập hợp Hội tụ Mosco: $C_0 = M\text{-}\lim_{n\to\infty} C_n$ Chứng minh sự hội tụ mạnh của phép chiếu mêtric thu hẹp
Toán tử giải Giải mêtric $Q_r^A$ và toán tử giải $J_r^A = (I_E + rA)^{-1}$ Đơn trị hóa toán tử đa trị, sinh điểm lặp tiếp theo
Toán tử mở rộng $\varepsilon$-mở rộng $A^\varepsilon$ của toán tử đơn điệu cực đại Xây dựng thuật toán điểm gần kề không chính xác
Bổ trợ giải tích Bổ đề Maingé (2008), Bổ đề Xu (2002) Phân tích và chứng minh sự hội tụ của dãy lặp
Công cụ giải số Quadratic Programming Algorithm trong MATLAB Tính toán phép chiếu lên giao các nửa không gian ở mỗi bước

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức nền tảng phục vụ cho các kết quả nghiên cứu chính:

  • Khái niệm và tính chất của không gian Banach phản xạ, lồi chặt, lồi đều và trơn (Mục 1.1). Tác giả cung cấp một chứng minh mới (Mệnh đề 1.5) cho sự hội tụ Mosco của dãy giảm các tập con lồi đóng trong không gian Banach: nếu ${C_n}$ là dãy giảm các tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach phản xạ $E$ và $C_0 = \cap_{n=1}^\infty C_n \neq \emptyset$ thì $C_0 = M\text{-}\lim_{n\to\infty} C_n$, khác với cách tiếp cận nguyên bản của Mosco (1969).
  • Tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J$ (Mục 1.2) và phép chiếu mêtric $P_C$ (Mục 1.3), bao gồm đặc trưng biến phân $\langle z - y, j(x - z) \rangle \ge 0, \forall y \in C$ và tính hội tụ mạnh của dãy hình chiếu $P_{C_n} x \to P_{C_0} x$ khi $C_n \to C_0$ theo nghĩa Mosco.
  • Ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co và ánh xạ không giãn (Mục 1.4). Tác giả đưa ra chứng minh mới (Mệnh đề 1.13) cho tính chất tập điểm bất động chung của tổ hợp lồi họ hữu hạn các ánh xạ không giãn: $\operatorname{Fix}(\sum_{i=1}^N \lambda_i T_i) = \cap_{i=1}^N \operatorname{Fix}(T_i)$ trong không gian Banach lồi đều mà không đòi hỏi tính compact yếu địa phương.
  • Khái niệm và tính chất của toán tử đơn điệu, toán tử $j$-đơn điệu, toán tử giải $J_r^A$ và giải mêtric $Q_r^A$ (Mục 1.5).
  • Khái niệm $\varepsilon$-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại theo Burachik và Svaiter (2002), tính chất demi-đóng của đồ thị $A^\varepsilon$ (Mục 1.6).
  • Các bổ đề bổ trợ về giải tích dãy số (Mục 1.7), đặc biệt là Bổ đề Maingé (2008) cho các dãy số không giảm ở vô cùng và Bổ đề Xu (2002).

Chương 2: Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach

Chương 2 trình bày các thuật toán mới tìm không điểm chung của toán tử đơn điệu và $j$-đơn điệu:

  • Xấp xỉ không điểm chung của toán tử đơn điệu cực đại (Mục 2.1): Luận án đề xuất hai thuật toán chiếu co hẹp song song cho họ toán tử đơn điệu cực đại $A_i: E \to 2^{E^*}$ trên không gian Banach lồi đều và trơn $E$:
    • Thuật toán 2.1 (cắt đơn): Tại bước $n$, tìm $y_{i,n}$ giải bao hàm thức $j(y_{i,n} - x_n) + r_{i,n} A_i^{\varepsilon_n} y_{i,n} \ni 0$; chọn chỉ số $i_n$ sao cho $|y_{i_n, n} - x_n| = \max_{1 \le i \le N} |y_{i,n} - x_n|$, đặt $y_n = y_{i_n, n}$; xác định nửa không gian $C_{n+1} = {z \in C_n : \langle y_n - z, j(x_n - y_n) \rangle \ge -\varepsilon_n r_{i_n, n}}$; tìm phần tử $x_{n+1}$ xấp xỉ nghiệm của phép chiếu sao cho $|u - x_{n+1}|^2 \le d^2(u, C_{n+1}) + \delta_{n+1}$.
    • Thuật toán 2.2 (cắt song song đa diện): Thay vì dùng một nửa không gian, thuật toán xây dựng đồng thời $N$ nửa không gian $C_{n+1}^i = {z \in C_n : \langle y_{i,n} - z, j(x_n - y_{i,n})\rangle \ge -\varepsilon_n r_{i,n}}$ và lấy giao $C_{n+1} = \cap_{i=1}^N C_{n+1}^i$.
    • Các Định lý 2.1 và 2.2 chứng minh rằng nếu $\lim_{n\to\infty} \varepsilon_n r_{i,n} = \lim_{n\to\infty} \delta_n = 0$ và $\inf_{i,n} r_{i,n} \ge r > 0$ thì dãy lặp ${x_n}$ của cả hai thuật toán đều hội tụ mạnh đến hình chiếu $P_S u$, trong đó $S = \cap_{i=1}^N A_i^{-1}0$. Các Hệ quả 2.1, 2.2, 2.3 phân tích các trường hợp riêng khi $\varepsilon_n = 0$, $\delta_n = 0$ hoặc $N = 1$.
  • Xấp xỉ không điểm chung của toán tử j-đơn điệu (Mục 2.2): Luận án nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân $VI^*(F, R)$ với $R = \cap_{i=1}^N A_i^{-1}0$, trong đó $A_i$ là các toán tử $m$-$j$-đơn điệu, $F$ là ánh xạ $\delta$-$j$-đơn điệu mạnh và $\lambda$-giả co chặt $(\delta + \lambda > 1)$:
    • Thuật toán lặp xoay vòng (Mục 2.2.1): Thiết lập dãy lặp $y_n^0 = x_n$, $y_n^i = (1 - \beta_n^i)y_n^{i-1} + \beta_n^i J_{r_n^i}^{A_i} y_n^{i-1}$ ($i = 1, \dots, N$), và $x_{n+1} = (I_E - \lambda_n F)(y_n^N)$.
    • Thuật toán lặp song song (Mục 2.2.2): Sử dụng tổ hợp lồi của các toán tử giải thành phần ở từng bước lặp.
    • Định lý 2.3 chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm duy nhất $p \in R$ của bất đẳng thức biến phân. Điểm cải tiến nổi bật là luận án đã loại bỏ hoàn toàn các điều kiện khắt khe về tính khả tổng của chuỗi sai phân các tham số ${\lambda_n}, {\beta_n^i}, {r_n^i}$ mà công trình của Ceng và cộng sự (2008) bắt buộc phải có.
  • Ứng dụng và tính toán số (Mục 2.3 & 2.4): Áp dụng các thuật toán trên vào bài toán cực tiểu chung, bài toán điểm bất động chung và bài toán chấp nhận lồi. Các kết quả tính toán số được tổng hợp qua Bảng 2.1 - 2.5 và Hình 2.1 - 2.4 minh họa dáng điệu và sai số của dãy lặp.

Chương 3: Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian Hilbert

Chương 3 tập trung giải quyết bài toán không điểm chung tách (SCNPP) trong không gian Hilbert thực $H_1, H_2$: tìm $x \in \Omega_0 := \cap_{i=1}^N A_i^{-1}0 \cap T^{-1}(\cap_{k=1}^M B_k^{-1}0) \neq \emptyset$:

  • Thuật toán và sự hội tụ (Mục 3.1): Luận án xây dựng phương pháp lặp song song dựa trên sự kết hợp giữa phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation) và phương pháp CQ cải tiến. Đặc điểm mấu chốt của thuật toán là cơ chế chọn cỡ bước tự thích nghi (self-adaptive step size): cỡ bước $\gamma_n$ được tự động tính toán và cập nhật dựa trên thông tin sai số của bước lặp hiện tại, hoàn toàn không phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển $|T|$. Tác giả chứng minh định lý hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm của bài toán SCNPP.
  • Các bài toán liên quan (Mục 3.2): Áp dụng thuật toán cho bài toán điểm cực tiểu tách (SMPP) và bài toán chấp nhận tách (SFP).
  • Ví dụ số minh họa (Mục 3.3): Thực nghiệm số đối chiếu hiệu năng giữa thuật toán mới (Thuật toán 3.1) và các thuật toán có cỡ bước cố định phụ thuộc vào chuẩn $|T|$. Các kết quả thể hiện qua Bảng 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 và các đồ thị biến thiên sai số Hình 3.1, 3.2, 3.3 cho thấy thuật toán tự thích nghi đạt được sự hội tụ ổn định ngay cả khi không biết chuẩn $|T|$.

Chương 4: Xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert

Chương 4 nghiên cứu bài toán điểm bất động chung tách (SCFPP) đối với họ ánh xạ không giãn $T_i: H_1 \to H_1$ và $S_k: H_2 \to H_2$: tìm $x \in \Omega_F := \cap_{i=1}^N \operatorname{Fix}(T_i) \cap T^{-1}(\cap_{k=1}^M \operatorname{Fix}(S_k)) \neq \emptyset$:

  • Thuật toán và sự hội tụ (Mục 4.1): Luận án đề xuất các thuật toán lặp song song xấp xỉ nghiệm của bài toán SCFPP. Bằng việc phân tích các tính chất của toán tử chuyển $T$ và tính demi-đóng của ánh xạ $I - T_i$, tác giả chứng minh định lý hội tụ mạnh của các thuật toán đề xuất.
  • Áp dụng vào các bài toán liên quan (Mục 4.2): Sử dụng kết quả của SCFPP để giải bài toán không điểm chung tách (SCNPP) và bài toán chấp nhận tách đa tập (MSFP).
  • Thực nghiệm số (Mục 4.3): Các ví dụ số so sánh Thuật toán 4.1, Thuật toán 4.2 với các thuật toán tham chiếu trong tài liệu được báo cáo chi tiết qua Bảng 4.1, Bảng 4.2 và các biểu đồ Hình 4.1, Hình 4.2, xác nhận tốc độ hội tụ của phương pháp.

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả và đóng góp mới của luận án được chính tác giả tổng kết bao gồm:

  1. Đóng góp về phương pháp chiếu co hẹp cho toán tử đơn điệu cực đại: Mở rộng thành công phương pháp chiếu co hẹp từ không gian Hilbert lên không gian Banach lồi đều và trơn cho họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại. Luận án kết hợp đồng thời thuật toán điểm gần kề không chính xác thông qua $\varepsilon_n$-mở rộng của toán tử và phép chiếu có tính đến sai số tính toán $\delta_n$, phản ánh sát điều kiện tính toán thực tế.
  2. Đóng góp về phương pháp đường dốc nhất cho toán tử j-đơn điệu: Đề xuất hai thuật toán lặp xoay vòng và song song giải bài toán không điểm chung của họ toán tử $j$-đơn điệu kết hợp giải bất đẳng thức biến phân. Đóng góp lý thuyết quan trọng ở đây là đã loại bỏ được các điều kiện ràng buộc khắt khe về chuỗi sai phân hữu hạn của các tham số ${\lambda_n}, {\beta_n}, {r_n}$ trong công trình của Ceng và cộng sự (2008), làm đơn giản hóa đáng kể điều kiện áp dụng giải thuật.
  3. Đóng góp về bài toán không điểm chung tách: Đề xuất thuật toán lặp song song mới giải bài toán SCNPP trong không gian Hilbert đạt sự hội tụ mạnh, trong đó cỡ bước được xây dựng hoàn toàn độc lập với chuẩn toán tử chuyển $|T|$. Kết quả này giải quyết được khó khăn lớn trong việc tính toán hoặc ước lượng chuẩn $|T|$ khi áp dụng phương pháp CQ truyền thống.
  4. Đóng góp về bài toán điểm bất động chung tách và ứng dụng: Đề xuất các thuật toán song song giải bài toán SCFPP trong không gian Hilbert và ứng dụng hiệu quả cho bài toán chấp nhận tách đa tập (MSFP) – mô hình toán học tương ứng với kỹ thuật chụp ảnh X-quang cắt lớp và xạ trị điều biến cường độ IMRT.
  5. Đóng góp về chứng minh giải tích: Cung cấp các chứng minh mới ngắn gọn và trực tiếp hơn cho sự hội tụ Mosco của dãy giảm các tập con lồi đóng (Mệnh đề 1.5) và tính chất điểm bất động chung của tổ hợp lồi các ánh xạ không giãn (Mệnh đề 1.13) trong không gian Banach.

Về mặt kiến nghị và giải pháp đề xuất, tác giả kiến nghị áp dụng các thuật toán lặp tự thích nghi cỡ bước vào việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa quy mô lớn trong thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh y tế, nơi ma trận biểu diễn toán tử chuyển có số chiều rất lớn khiến việc ước lượng chuẩn ma trận trở nên bất khả thi.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu căn cứ trên phạm vi mà văn bản đề cập:

  • Trong Chương 2, việc tìm phần tử lặp $x_{n+1}$ ở mỗi bước đòi hỏi giải bài toán xấp xỉ nghiệm cực tiểu trên giao của các nửa không gian (bài toán quy hoạch toàn phương). Khi số lượng toán tử $N$ hoặc số bước lặp tăng lên, việc xác định tập giao này làm tăng độ phức tạp tính toán của mỗi bước lặp.
  • Các kết quả về bài toán không điểm chung tách tự thích nghi cỡ bước ở Chương 3 và bài toán điểm bất động chung tách ở Chương 4 mới được thiết lập trong không gian Hilbert, chưa mở rộng được cho các không gian Banach tổng quát do cấu trúc hình học phức tạp của không gian Banach không có tích vô hướng.

Hướng nghiên cứu tiếp theo (trình bày tại trang 100 của luận án):

  • Nghiên cứu mở rộng các kết quả của bài toán không điểm chung tách (SCNPP) và bài toán điểm bất động chung tách (SCFPP) từ không gian Hilbert sang không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn.
  • Nghiên cứu kết hợp các kỹ thuật gia tốc quán tính (inertial extrapolation techniques) vào các phương pháp lặp song song đã đề xuất nhằm cải thiện tốc độ hội tụ của thuật toán.
  • Mở rộng bài toán tách từ cấu trúc hai không gian sang bài toán tách đa không gian và bài toán tách với nhiều toán tử chuyển tuyến tính.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo rõ rệt đối với các nhóm đối tượng và lĩnh vực chuyên môn cụ thể:

  • Đối với nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng và Tối ưu hóa:
    • Chương 1 là tài liệu tham khảo chi tiết về hình học không gian Banach, kỹ thuật xử lý ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu mêtric và toán tử đơn điệu.
    • Các kỹ thuật phân tích sự hội tụ sử dụng Bổ đề Maingé và Bổ đề Xu trong Chương 2 và Chương 3 cung cấp phương pháp luận chặt chẽ để chứng minh sự hội tụ mạnh cho các sơ đồ lặp phi tuyến phức tạp.
  • Đối với các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Khoa học máy tính, Xử lý tín hiệu và Kỹ thuật y sinh:
    • Các mô hình bài toán chấp nhận tách (SFP) và chấp nhận tách đa tập (MSFP) được trình bày tại phần Mở đầu và Chương 3, 4 có giá trị trực tiếp cho việc phát triển các thuật toán tái tạo hình ảnh trong chụp cắt lớp vi tính X-quang và tối ưu hóa phân bố liều xạ trong xạ trị IMRT.
    • Cơ chế tự thích nghi cỡ bước ở Chương 3 giúp các kỹ sư tính toán có thể lập trình giải thuật mà không cần phải thực hiện bước tiền xử lý tính toán chuẩn toán tử chuyển.
  • Đối với việc giảng dạy và thực hành tính toán số: Các ví dụ số và phương pháp sử dụng gói lệnh quy hoạch toàn phương trong MATLAB (Mục 2.4, 3.3, 4.3) là tài liệu tham khảo hữu ích cho việc thiết kế các bài thực hành giải tích số và tối ưu hóa thực nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

1. Điểm khác biệt cốt lõi giữa phương pháp chiếu co hẹp của luận án ở Chương 2 so với phương pháp của Takahashi và cộng sự (2008) là gì?

Phương pháp của Takahashi và cộng sự (2008) được xây dựng trên không gian Hilbert, sử dụng phép chiếu chính xác và toán tử giải chính xác (điểm gần kề chính xác). Trong khi đó, Thuật toán 2.1 và Thuật toán 2.2 của luận án mở rộng lên không gian Banach lồi đều và trơn, đồng thời áp dụng phương pháp điểm gần kề không chính xác thông qua $\varepsilon_n$-mở rộng của toán tử và cho phép sai số tính toán $\delta_n$ trong phép chiếu mêtric.

2. Vì sao việc xây dựng cỡ bước không phụ thuộc vào chuẩn toán tử chuyển $|T|$ trong Chương 3 lại có ý nghĩa thực tiễn quan trọng?

Trong phương pháp CQ truyền thống (như thuật toán của Byrne 2002), cỡ bước $\gamma$ bắt buộc phải thỏa mãn điều kiện $\gamma \in (0, 2/|T|^2)$, nghĩa là người thực hiện bắt buộc phải biết hoặc tính toán được chuẩn của toán tử chuyển $T$. Trong thực tế tính toán (chẳng hạn như bài toán xử lý ảnh hay bài toán IMRT), ma trận $T$ có kích thước rất lớn, việc tính toán chính xác hoặc xấp xỉ chuẩn $|T|$ đòi hỏi chi phí tính toán rất cao. Thuật toán tự thích nghi của luận án cập nhật cỡ bước tự động ở mỗi bước lặp, khắc phục hoàn toàn rào cản này.

3. Luận án đã nới lỏng những điều kiện tham số nào so với công trình của Ceng và cộng sự (2008) khi xét phương pháp đường dốc nhất?

Công trình của Ceng và cộng sự (2008) đòi hỏi đồng thời 3 điều kiện về tính khả tổng của chuỗi sai phân tham số: $\sum_{n=0}^\infty |\beta_{n+1} - \beta_n| < \infty$, $\sum_{n=0}^\infty |\lambda_{n+1} - \lambda_n| < \infty$, và $\sum_{n=0}^\infty |r_{n+1} - r_n| < \infty$. Định lý 2.3 trong luận án của Nguyễn Minh Trang chứng minh sự hội tụ mạnh mà không cần bất kỳ điều kiện nào trong 3 điều kiện khả tổng sai phân nêu trên, chỉ yêu cầu các điều kiện thông thường về giới hạn và phân kỳ của dãy tham số.

4. Những bài toán thực tế nào được tác giả phân tích và quy về dạng bài toán chấp nhận tách trong luận án?

Luận án dẫn ra hai bài toán ứng dụng thực tế điển hình:

  1. Mô hình chụp ảnh X-quang cắt lớp: mô hình hóa trên lưới pixel hai chiều dẫn về hệ phương trình đại số tuyến tính ma trận $Ax = y$ với điều kiện không âm $x \ge 0$ và $y \ge 0$, là một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận tách (SFP).
  2. Mô hình xạ trị điều biến cường độ IMRT: mô hình hóa việc phân bố liều bức xạ chính xác tới khối u và giảm thiểu tổn thương mô lành xung quanh thông qua hệ phương trình $h = Dx$, quy về bài toán chấp nhận tách đa tập (MSFP) với các ràng buộc liều và ràng buộc cường độ chùm tia xạ.

5. Phần mềm và công cụ giải nào được sử dụng để thực nghiệm tính toán số trong luận án?

Tất cả các thực nghiệm số trong các chương 2, 3 và 4 đều được lập trình và chạy trên phần mềm MATLAB. Tại Chương 2, các bài toán tìm hình chiếu xấp xỉ lên tập giao của các nửa không gian ở mỗi bước lặp được tác giả hiện thực hóa thông qua gói thuật toán quy hoạch toàn phương ("Quadratic Programming Algorithm").

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Minh Trang đã nghiên cứu có hệ thống và đề xuất các phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho bài toán không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert. Các kết quả chính bao gồm việc mở rộng phương pháp chiếu co hẹp kết hợp điểm gần kề không chính xác, tối giản hóa điều kiện hội tụ của phương pháp đường dốc nhất, và thiết lập thuật toán song song tự thích nghi cỡ bước giải bài toán không điểm chung tách. Các định lý hội tụ mạnh được chứng minh toán học chặt chẽ và được kiểm chứng qua các mô phỏng số trên MATLAB, đóng góp cơ sở lý thuyết và giải thuật có giá trị cho lĩnh vực giải tích phi tuyến và bài toán tối ưu hóa.