Luận án tiến sĩ về phát triển phương pháp biên nhúng và PGD cho bài toán dòng chảy nhớt không nén

Luận án tiến sĩ trình bày phương pháp biên nhúng kết hợp PGD cho bài toán dòng chảy nhớt không nén qua vật thể biên cứng và đàn hồi.

• Tác giả: Lê Quốc Cường
• Người hướng dẫn: PGS
• Trường học: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh
• Đề tài: Phát triển phương pháp biên nhúng (Immersed boundary – IB) kết hợp với phương pháp tách biến Proper Generalized Decomposition (PGD) để giải các bài toán tương tác rắn-lỏng (Fluid structure interaction – FSI).
• Loại tài liệu: Luận án
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• TÓM TẮT
• ABSTRACT
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Tổng quan về phương pháp IB
• 1.2. Phương pháp IB cổ điển
• 1.3. Phương pháp IB cưỡng bức trực tiếp
• 1.4. Phương pháp IB chiếu
• 1.5. Phương pháp IB ô ảo
• 1.6. Phương pháp IB cắt ô
• 1.7. Phương pháp mặt phân cách nhúng
• 1.8. Phương pháp IB trên các biến không cơ bản
• 1.9. Tổng quan về phương pháp PGD
• 1.10. Mục tiêu nghiên cứu
• 1.11. Phạm vi nghiên cứu
• 1.12. Phương pháp nghiên cứu
• 1.13. Tính mới của luận án
• 1.14. Bố cục luận án
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG
• 2.1. Phương pháp PGD cho phương trình vi phân đạo hàm riêng
• 2.2. Cơ sở lý thuyết của phương pháp PGD
• 2.3. Phương pháp PGD cho phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao
• 2.4. Phương trình Poisson
• 2.5. Phương trình Biharmonic
• 2.6. Sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình vi phân một chiều
• 2.7. Ví dụ minh họa
• 2.8. Kết luận
• 3. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN
• 3.1. Hệ phương trình Navier – Stokes cho bài toán dòng chảy nhớt không nén
• 3.2. Phương pháp chiếu
• 3.3. Rời rạc không gian
• 3.4. Lưới so le
• 3.5. Xấp xỉ đạo hàm
• 3.6. Đạo hàm bậc hai
• 3.7. Đạo hàm bậc nhất
• 3.8. Đạo hàm của các thành phần phi tuyến (theo sơ đồ sai phân trung tâm)
• 3.9. Đạo hàm các thành phần phi tuyến (theo sơ đồ sai phân ngược)
• 3.10. Điều kiện biên
• 3.11. Giải phương trình Poisson áp suất
• 3.12. Giải thuật tổng quát
• 3.13. Kết quả mô phỏng số
• 3.14. Bài toán dòng chảy trong một miền vuông
• 3.15. Bài toán dòng chảy bậc qua miền chữ nhật
• 3.16. Kết luận
• 4. CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA VẬT CẢN BIÊN CỨNG
• 4.1. Hệ Phương trình chuyển động
• 4.2. Phương pháp số
• 4.3. Phương pháp chiếu
• 4.4. Xác định thành phần lực cưỡng bức f
• 4.5. Rời rạc không gian
• 4.6. Giải phương trình Poisson
• 4.7. Giải thuật tổng quát
• 4.8. Kết quả mô phỏng số
• 4.9. Bài toán dòng chảy trong một miền vuông với trụ tròn ở tâm miền tính toán
• 4.10. Bài toán dòng chảy qua một trụ tròn cố định
• 4.11. Bài toán trụ tròn dao động trực tuyến trong một miền lưu chất tĩnh
• 4.12. Bài toán trụ tròn dao động cắt ngang trong một dòng chảy tự do
• 4.13. Kết luận
• 5. CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA VẬT CẢN BIÊN ĐÀN HỒI
• 5.1. Hệ phương trình chuyển động
• 5.2. Lực trên biên đàn hồi
• 5.3. Phương pháp số
• 5.4. Lực kéo và lực uốn
• 5.5. Lực kéo tại các điểm trên biên nhúng
• 5.6. Lực uốn tại các điểm trên biên nhúng
• 5.7. Phương pháp chiếu
• 5.8. Giải thuật tổng quát
• 5.9. Kết quả mô phỏng số
• 5.10. Bài toán tương tác giữa dòng chảy nhớt không nén với một sợi đàn hồi
• 5.11. Bài toán tương tác giữa dòng chảy nhớt không nén với hai sợi đàn hồi
• 5.12. Bài toán sợi đàn hồi khép kín trong miền lưu chất tĩnh
• 5.13. Kết luận
• 6. CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• 6.1. Kiến nghị
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ
• PHỤ LỤC 1: CHƯƠNG TRÌNH MATLAB GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG KHÔNG GIAN 2 CHIỀU
• PHỤ LỤC 2: CHƯƠNG TRÌNH MATLAB MÔ PHỎNG BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN ĐƯỢC QUA TRỤ TRÒN

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp biên nhúng kết hợp PGD

Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary - IB) kết hợp với phương pháp tách biến Proper Generalized Decomposition (PGD) đã trở thành một trong những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén. Phương pháp IB cho phép xử lý các vật cản trong miền lưu chất mà không cần phải tái tạo lưới, trong khi PGD giúp giảm thiểu độ phức tạp của các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Sự kết hợp này không chỉ nâng cao hiệu quả tính toán mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực tương tác rắn-lỏng.

1.1. Phương pháp biên nhúng và ứng dụng trong dòng chảy

Phương pháp biên nhúng cho phép mô phỏng các vật thể di động trong dòng chảy mà không cần phải thay đổi lưới tính toán. Điều này giúp tiết kiệm thời gian và tài nguyên tính toán. Các ứng dụng của phương pháp này rất đa dạng, từ mô phỏng khí động lực học đến các bài toán sinh học.

1.2. Tổng quan về phương pháp PGD trong dòng chảy nhớt

PGD là một phương pháp mạnh mẽ để giải quyết các bài toán vi phân trong không gian đa chiều. Bằng cách tách biệt các biến, PGD giúp giảm thiểu độ phức tạp của các phương trình, từ đó tăng tốc độ tính toán và giảm yêu cầu bộ nhớ. Phương pháp này đã được áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực, bao gồm cả dòng chảy nhớt không nén.

II. Thách thức trong việc giải bài toán dòng chảy nhớt không nén

Bài toán dòng chảy nhớt không nén thường gặp nhiều thách thức, đặc biệt là trong việc mô phỏng các tương tác phức tạp giữa dòng chảy và các vật thể. Các vấn đề như điều kiện biên, tính ổn định của lưới và độ chính xác của các phương pháp số là những yếu tố quan trọng cần được xem xét. Việc phát triển các phương pháp mới để giải quyết những thách thức này là rất cần thiết.

2.1. Các vấn đề về điều kiện biên trong mô phỏng

Điều kiện biên là một trong những yếu tố quan trọng trong mô phỏng dòng chảy. Việc xác định chính xác các điều kiện biên có thể ảnh hưởng lớn đến kết quả tính toán. Các phương pháp truyền thống thường gặp khó khăn trong việc xử lý các điều kiện biên phức tạp, do đó cần có các phương pháp mới để cải thiện độ chính xác.

2.2. Tính ổn định và độ chính xác của lưới

Tính ổn định của lưới là một yếu tố quan trọng trong việc giải quyết các bài toán dòng chảy. Lưới không ổn định có thể dẫn đến các kết quả không chính xác hoặc thậm chí là sai lệch. Việc phát triển các phương pháp lưới mới và cải tiến các phương pháp hiện có là cần thiết để đảm bảo tính ổn định và độ chính xác trong mô phỏng.

III. Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD cho dòng chảy nhớt không nén

Sự kết hợp giữa phương pháp biên nhúng và PGD đã tạo ra một phương pháp mới hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén. Phương pháp này cho phép xử lý các vật cản trong miền lưu chất mà không cần phải tái tạo lưới, đồng thời giảm thiểu độ phức tạp của các phương trình vi phân. Kết quả tính toán cho thấy phương pháp này có thể đạt được độ chính xác cao và tiết kiệm thời gian tính toán.

3.1. Cách thức hoạt động của phương pháp kết hợp

Phương pháp kết hợp này hoạt động bằng cách sử dụng phương pháp biên nhúng để xử lý các vật cản trong miền lưu chất, trong khi PGD được sử dụng để giải quyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Điều này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và nâng cao hiệu quả.

3.2. Kết quả mô phỏng và phân tích

Các kết quả mô phỏng cho thấy rằng phương pháp kết hợp này có thể đạt được độ chính xác cao trong việc mô phỏng dòng chảy nhớt không nén. Các bài toán thử nghiệm đã chứng minh rằng phương pháp này có thể xử lý các điều kiện biên phức tạp mà không gặp phải vấn đề về ổn định.

IV. Ứng dụng thực tiễn của phương pháp biên nhúng kết hợp PGD

Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD đã được áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ khí động lực học đến sinh học. Các ứng dụng này không chỉ giúp nâng cao hiệu quả tính toán mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Việc áp dụng phương pháp này trong thực tiễn đã cho thấy tiềm năng lớn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.

4.1. Ứng dụng trong mô phỏng khí động lực học

Trong lĩnh vực khí động lực học, phương pháp này đã được sử dụng để mô phỏng các tương tác giữa dòng chảy và các vật thể như máy bay, ô tô. Kết quả cho thấy phương pháp này có thể cung cấp các dự đoán chính xác về hiệu suất khí động học.

4.2. Ứng dụng trong sinh học và y học

Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD cũng đã được áp dụng trong các bài toán sinh học, chẳng hạn như mô phỏng tương tác giữa dòng chảy máu và các van tim. Điều này giúp cải thiện hiểu biết về các quá trình sinh lý và hỗ trợ trong việc phát triển các thiết bị y tế.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của phương pháp

Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD đã chứng minh được hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén. Những kết quả đạt được không chỉ mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới mà còn có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Tương lai của phương pháp này hứa hẹn sẽ tiếp tục phát triển và cải tiến, đáp ứng tốt hơn các yêu cầu trong nghiên cứu và ứng dụng.

5.1. Triển vọng nghiên cứu trong tương lai

Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc cải tiến các thuật toán và mở rộng ứng dụng của phương pháp biên nhúng kết hợp PGD. Việc phát triển các phương pháp mới để xử lý các bài toán phức tạp hơn sẽ là một thách thức lớn nhưng cũng là một cơ hội.

5.2. Ứng dụng trong các lĩnh vực mới

Phương pháp này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực mới, chẳng hạn như mô phỏng các quá trình tự nhiên hoặc trong công nghiệp chế biến. Việc mở rộng ứng dụng sẽ giúp nâng cao giá trị của phương pháp và đóng góp vào sự phát triển của khoa học và công nghệ.

Trích đoạn nội dung tài liệu

LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019 (Ký tên và ghi rõ họ tên) Lê Quốc Cường iii LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn đến thầy hướng dẫn chính của tôi là PGS. Thầy đã luôn động viên và định hướng cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án. Tôi cũng thật sự biết ơn đến thầy hướng dẫn thứ hai là TS. Phan Đức Huynh. Thầy đã định hướng nghiên cứu, cung cấp tài liệu và theo sát quá trình nghiên cứu của tôi. Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô tại Khoa Xây dựng và Phòng Đào tạo đã hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn nghiên cứu viên trong nhóm nghiên cứu GACES đã trao đổi, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành luận án của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và tất cả bạn bè của tôi, những người đã tin tưởng và luôn động viên tinh thần cho tôi trong suốt khoảng thời gian thực hiện luận án. Hồ Chí Minh, Ngày 30 tháng 9 năm 2019 Nghiên cứu sinh Lê Quốc Cường iv TÓM TẮT Luận án đã phát triển phương pháp biên nhúng (Immersed boundary – IB) kết hợp với phương pháp tách biến Proper Generalized Decomposition (PGD) để giải các bài toán tương tác rắn-lỏng (Fluid structure interaction – FSI). Mục tiêu chính của luận án là phát triển một phương pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán FSI. Trước tiên, phương pháp đã đề xuất sử dụng phương pháp IB để xử lý sự hiện diện của vật cản trong miền lưu chất bằng cách thay thế ảnh hưởng của vật cản bằng một thành phần lực cưỡng bức tác động lên miền lưu chất, khi đó miền tính toán xem như chỉ còn một miền lưu chất đơn nhất. Vì vậy, quá trình chia lưới sẽ đơn giản đi rất nhiều và không cần phải thực hiện lại sau mỗi bước thời gian đối với các bài toán vật cản có biên di chuyển trong miền lưu chất. Bên cạnh đó, để gia tốc cho quá trình tính toán và tiết kiệm bộ nhớ chương trình, phương pháp PGD được đề xuất để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương pháp PGD giải quyết các bài toán trên không gian đa chiều dựa trên nguyên lý đưa các phương trình vi phân đạo hàm riêng đa chiều về việc giải các phương trình vi phân một chiều. Luận án đã đề xuất áp dụng phương pháp PGD để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong không gian hai chiều và ba chiều. Tiếp theo, phương pháp PGD được đề xuất áp dụng vào các bài toán dòng chảy nhớt không nén ở các điều kiện biên khác nhau. Sau cùng, luận án đã đề xuất việc kết hợp phương pháp IB với phương pháp PGD để giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén được qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi. Các kết quả tính toán từ phương pháp đề xuất đã cho thấy sự hiệu quả và một hướng đi đầy hứa hẹn trong việc giải các bài toán về tương tác rắn lỏng. v ABSTRACT The thesis has developed the immersed boundary (IB) method combined with the separation method of Proper Generalized Decomposition (PGD) to solve fluid-structure interaction problems. The primary goal of the thesis is to develop an effective method to solve the problem of incompressible viscous flow past rigid and elastic obstacles. Firstly, the method has proposed using IB method to handle the effect of obstacles in the fluid domain by replacing the effect of obstacles by a forced force component acting on the fluid domain, when that computational domain is considered as a single fluid domain. Therefore, the meshing process is much simpler and do not need to be repeated after every time step for problems with boundary movement in the fluid domain. Besides, to accelerate the computational process and save the program memory, PGD method is proposed to solve the partial differential equations. The PGD method which solves multi-dimensional spatial problems is based on the principle that transforms multi-dimensional partial differential equations into one-way differential equations. The thesis has proposed the application of PGD method to solve partial differential equations in two-dimensional and three-dimensional space. Next, the PGD method has been proposed to apply to incompressible viscous fluid flow problems at different boundary conditions. Finally, the thesis has proposed to combine the IB method with PGD method to solve the incompressible viscous flow problems past rigid and elastic obstacles. The calculated results from the proposed method have shown the effectiveness and promising direction in solving problems of fluid-structure interaction. vi MỤC LỤC Trang tựa TRANG Lý lịch khoa học i Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Tóm tắt v Mục lục vii Danh sách các chữ viết tắt xi Danh sách các hình xiii Danh sách các bảng xviii Chƣơng 1: TỔNG QUAN 1 1. Tổng quan về phương pháp IB 3 1. Phương pháp IB cổ điển 3 1. Phương pháp IB cưỡng bức trực tiếp 5 1. Phương pháp IB chiếu 8 1. Phương pháp IB ô ảo 8 1. Phương pháp IB cắt ô 10 1. Phương pháp mặt phân cách nhúng 11 1. Phương pháp IB trên các biến không cơ bản 11 1. Tổng quan về phương pháp PGD 12 1. Mục tiêu nghiên cứu 14 1. Phạm vi nghiên cứu 14 1. Phương pháp nghiên cứu 14 1. Tính mới của luận án 15 1. Bố cục luận án 15 vii Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG 17 2. Phương pháp PGD cho phương trình vi phân đạo hàm riêng 18 2. Cơ sở lý thuyết của phương pháp PGD 18 2. Phương pháp PGD cho phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao 20 2. Phương trình Poisson 20 2. Phương trình Biharmonic 26 2. Sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình vi phân một chiều 31 2. Ví dụ minh họa 32 2. Kết luận 45 Chƣơng 3: PHƢƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN 47 3. Hệ phương trình Navier – Stokes cho bài toán dòng chảy nhớt không nén 47 3. Phương pháp chiếu 48 3. Rời rạc không gian 50 3. Lưới so le 50 3. Xấp xỉ đạo hàm 51 3. Đạo hàm bậc hai 51 3. Đạo hàm bậc nhất 52 3. Đạo hàm của các thành phần phi tuyến (theo sơ đồ sai phân trung tâm) 53 3. Đạo hàm các thành phần phi tuyến (theo sơ đồ sai phân ngược) 54 3. Điều kiện biên 56 3. Giải phương trình Poisson áp suất 58 3. Giải thuật tổng quát 63 3. Kết quả mô phỏng số 65 3. Bài toán dòng chảy trong một miền vuông 65 viii 3. Bài toán dòng chảy bậc qua miền chữ nhật 75 3. Kết luận 81 Chƣơng 4: PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG KẾT HỢP VỚI PHƢƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA VẬT CẢN BIÊN CỨNG 83 4. Hệ Phương trình chuyển động 84 4. Phương pháp số 85 4. Phương pháp chiếu 86 4. Xác định thành phần lực cưỡng bức f 88 4. Rời rạc không gian 90 4. Giải phương trình Poisson 91 4. Giải thuật tổng quát 91 4. Kết quả mô phỏng số 94 4. Bài toán dòng chảy trong một miền vuông với trụ tròn ở tâm miền tính toán 94 4. Bài toán dòng chảy qua một trụ tròn cố định 97 4. Bài toán trụ tròn dao động trực tuyến trong một miền lưu chất tĩnh 110 4. Bài toán trụ tròn dao động cắt ngang trong một dòng chảy tự do 114 4. Kết luận 118 Chƣơng 5: PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG KẾT HỢP VỚI PHƢƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA VẬT CẢN BIÊN ĐÀN HỒI 121 5. Hệ phương trình chuyển động 121 5. Lực trên biên đàn hồi 123 5. Phương pháp số 128 ix 5. Lực kéo và lực uốn 128 5. Lực kéo tại các điểm trên biên nhúng 128 5. Lực uốn tại các điểm trên biên nhúng 129 5. Phương pháp chiếu 131 5. Giải thuật tổng quát 132 5. Kết quả mô phỏng số 135 5. Bài toán tương tác giữa dòng chảy nhớt không nén với một sợi đàn hồi 135 5. Bài toán tương tác giữa dòng chảy nhớt không nén với hai sợi đàn hồi 142 5. Bài toán sợi đàn hồi khép kín trong miền lưu chất tĩnh 150 5. Kết luận 155 Chƣơng 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 157 6. Kiến nghị 159 TÀI LIỆU THAM KHẢO 160 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ 178 PHỤ LỤC 1: CHƢƠNG TRÌNH MATLAB GIẢI PHƢƠNG TRÌNH POISSON TRONG KHÔNG GIAN 2 CHIỀU 180 PHỤ LỤC 2: CHƢƠNG TRÌNH MATLAB MÔ PHỎNG BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN ĐƢỢC QUA TRỤ TRÒN 184 x DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT Các chữ viết tắt IBM Immersed boundary method (phương pháp biên nhúng) PGD Proper Generalized Decomposition FSI Fluid-structrure interaction (tương tác rắn lỏng) Ký hiệu khoa học t Thời gian u Véc tơ vận tốc u Thành phần vận tốc theo phương ngang v Thành phần vận tốc theo phương đứng  Khối lượng riêng của lưu chất p Áp suất của lưu chất  Độ nhớt động lực học  Xoáy  Hàm dòng Ub Vận tốc của biên nhúng U Thành phần vận tốc theo phương ngang của biên nhúng V Thành phần vận tốc theo phương đứng của biên nhúng F Lực biên nhúng trên lưới Lagrange Fx Lực cản Fy Lực nâng Cd Hệ số cản Cl Hệ số nâng f Lực khối tác dụng lên lưu chất trên lưới Euler g Véc tơ gia tốc trọng trường xi Re Hệ số Reynolds St Hệ số Strauhal KC Hệ số Keulegan-Carpenter u* Vận tốc trung gian của lưu chất u n1 Vận tốc của lưu chất ở bước thời gian n  1 s Khối lượng riêng của sợi đàn hồi xc Tọa độ trọng tâm theo phương x của vật rắn yc Tọa độ trọng tâm theo phương y của vật rắn n Véc tơ pháp tuyến đơn vị τ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị xii DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 1.1: Sơ đồ nội suy vận tốc cục bộ của Fadlun và cộng sự 6 Hình 1.2: Phương pháp ô ảo của Mittal cùng cộng sự: (a) Xác định điểm ô ảo, điểm ảnh và điểm cắt biên; (b) Các ô mới được sinh ra do sự chuyển động của biên 9 Hình 1.3: Sơ đồ tái tạo lại hình dáng các ô cắt gần biên nhúng 10 Hình 2.1: Lời giải PGD của phương trình (2.50) với 100 điểm lưới trên mỗi chiều 34 Hình 2.2: Lời giải PGD của phương trình (2.52) với 64 điểm lưới trên mỗi chiều 36 Hình 2.3: Sai số uPGD  uex của lời giải PGD cho phương trình (2.52) với 64 điểm lưới trên mỗi chiều 37 Hình 2.