Luận án tiến sĩ về phát triển phần tử hữu hạn cho các vấn đề cơ nhiệt trong không gian 2D và 3D

Luận án tiến sĩ cơ kỹ thuật trình bày phát triển phần tử hữu hạn mới cho các bài toán nhiệt cơ 2D và 3D, ứng dụng trong nghiên cứu kỹ thuật.

• Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh
• Người hướng dẫn: Associate Prof. Nguyễn Văn Hiếu
• Trường học: Vietnam National University Ho Chi Minh City University of Technology
• Chuyên ngành: Engineering Mechanics
• Đề tài: Phát Triển Phần Tử Hữu Hạn Mới Cho Các Vấn Đề Cơ Nhiệt 2D Và 3D
• Loại tài liệu: thesis
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Ho Chi Minh City

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN / DECLARATION
• LIST OF FIGURES
• LIST OF TABLES
• 1. CHAPTER 1: INTRODUCTION
• 1.1. Heat transfer and thermo-mechanical problems
• 1.2. Finite element method (FEM) and its issues
• 1.3. Trends in development of numerical methods
• 1.4. Original contributions of the dissertation
• 1.5. Scientific and practical meaning of the contributions by the dissertation
• 1.6. Scope of the dissertation
• 1.7. Outline of the dissertation
• 2. CHAPTER 2: LINEAR THERMO-ELASTIC PROBLEMS
• 2.1. Time integration scheme
• 2.1.1. Backward Euler scheme
• 3. CHAPTER 3: CONSECUTIVE-INTERPOLATION PROCEDURE FOR 1D AND 2D PROBLEMS
• 3.1. Issue of non-physically discontinuous nodal gradient in Finite Element Method (FEM): An example of two-node bar element (L2 element)
• 3.2. The consecutive-interpolation procedure (CIP) for two-node bar element: CL2 element
• 3.2.1. Calculation of CIP-based shape functions
• 3.2.2. First order derivative of CIP-based shape functions
• 3.2.3. Modification to retain the C0-continuity
• 3.3. The consecutive-interpolation procedure (CIP) for three-node triangular element (CT3) and four-node quadrilateral element (CQ4)
• 3.3.1. CIP-enhanced formulation for 2D domain
• 3.3.2. The CT3 element
• 3.3.3. The CQ4 element
• 4. CHAPTER 4: TWO-DIMENSIONAL DYNAMIC AND QUASI-STATIC THERMOELASTIC FRACTURE PROBLEMS IN ISOTROPIC MATERIALS
• 4.1. Numerical modeling of cracks
• 4.2. The extended consecutive-interpolation four-node quadrilateral element (XCQ4)
• 4.2.1. Enriched formulation for displacement field
• 4.2.2. Enriched formulation for temperature field
• 4.3. Computation of (dynamic) stress intensity factors (DSIFs) for thermo-elastic fracture problems
• 4.4. Crack growth modeling
• 4.5. Numerical results and discussion
• 4.5.1. Edge crack under constant flux (mode-I)
• 4.5.2. Static SIFs analysis: Square plate with a center crack
• 4.5.3. Static SIFs analysis: Rectangular plate with a slant center crack (mixed - mode)
• 4.5.4. Quasi-static crack propagation simulation of a slant edge crack in a cruciform panel
• 4.5.5. Dynamic SIFs analysis: Edge crack under quasi-static thermal shock
• 4.5.6. Dynamic SIFs analysis: Center crack under quasi-static thermal shock
• 4.5.7. Dynamic SIFs analysis: Curved crack under dynamic thermal shock
• 5. CHAPTER 5: TWO-DIMENSIONAL QUASI-STATIC THERMO-ELASTIC FRACTURE PROBLEMS IN ORTHOTROPIC MATERIALS
• 5.1. Formulation of XCQ4 element for linear thermo-elastic fracture problems in orthotropic media
• 5.1.1. The characteristic equation of an arbitrary orthotropic material
• 5.1.2. Enriched formulation for displacement
• 5.1.3. Enriched formulation for temperature
• 5.2. Evaluation of SIFs by Interaction integral
• 5.3. Crack growth modeling
• 5.3.1. Static SIFs analysis: Single edge notched specimen under mechanical tensile load
• 5.3.2. Static SIFs analysis: Rectangular epoxy/glass plate with a horizontal edge crack under constant flux
• 5.3.3. Static SIFs analysis: Rectangular epoxy/glass plate with a slant center crack
• 5.3.4. Static SIFs analysis: An anisotropic square plate with two parallel isothermal cracks
• 5.3.5. Quasi static crack propagation in an anisotropic cracked disc
• 5.3.6. Quasi static crack propagation of an edge crack in a rectangular plate under constant flux
• 5.3.7. Quasi static crack propagation in a perforated panel with a circular hole under constant heat flux
• 6. CHAPTER 6: DEVELOPMENT OF 3D CIP-BASED FINITE ELEMENTS
• 6.1. Generalized formulation to determine auxiliary functions
• 6.2. CIP-enhanced FEM for 3D linear heat transfer problems
• 6.2.1. Steady-state heat convection in a 3D complicated domain
• 6.2.2. Transient heat transfer in a plate with cylindrical hole
• 6.3. CIP-enhanced FEM for 3D linear elastic problems
• 6.3.1. Static analysis of a cantilever beam with T-shaped cross-section
• 6.3.2. Free vibration analysis of a hollow cylinder
• 6.3.3. Free vibration analysis of a composite sandwich beam
• 7. CHAPTER 7: CONCLUSIONS AND OUTLOOKS
• 7.1. XCQ4 element for analysis of linear thermo-elastic fracture problems
• 7.2. General formulation of CIP-enhanced elements

Tóm tắt

I. Tổng quan về phát triển phần tử hữu hạn cho cơ nhiệt 2D và 3D

Phát triển phần tử hữu hạn mới cho các vấn đề cơ nhiệt 2D và 3D là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong cơ học kỹ thuật. Các phương pháp truyền thống thường gặp nhiều hạn chế trong việc xử lý các vấn đề phức tạp. Việc áp dụng kỹ thuật nội suy liên tiếp vào phương pháp phần tử hữu hạn giúp cải thiện độ chính xác và tính liên tục của các giải pháp. Điều này không chỉ mang lại giá trị cho nghiên cứu mà còn cho ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật.

1.1. Khái niệm về phần tử hữu hạn trong cơ nhiệt

Phần tử hữu hạn là một phương pháp số được sử dụng để giải quyết các vấn đề cơ học phức tạp. Nó cho phép phân tích các cấu trúc và vật liệu dưới tác động của lực và nhiệt độ. Kỹ thuật này đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, cơ khí và điện tử.

1.2. Tầm quan trọng của nghiên cứu cơ nhiệt 2D và 3D

Nghiên cứu cơ nhiệt 2D và 3D giúp hiểu rõ hơn về hành vi của vật liệu dưới tác động của nhiệt độ và lực. Điều này rất quan trọng trong thiết kế và tối ưu hóa các sản phẩm kỹ thuật, từ đó nâng cao hiệu suất và độ bền của chúng.

II. Vấn đề và thách thức trong phát triển phần tử hữu hạn

Mặc dù phương pháp phần tử hữu hạn đã được sử dụng rộng rãi, nhưng vẫn tồn tại nhiều thách thức trong việc áp dụng cho các vấn đề cơ nhiệt. Một trong những vấn đề lớn nhất là tính liên tục của các trường đạo hàm tại các nút. Các phương pháp truyền thống thường dẫn đến các trường không liên tục, gây ra sai số trong kết quả tính toán.

2.1. Các vấn đề liên quan đến tính liên tục

Tính liên tục của các trường đạo hàm là một yếu tố quan trọng trong việc đảm bảo độ chính xác của các giải pháp. Các phương pháp truyền thống thường gặp khó khăn trong việc duy trì tính liên tục này, dẫn đến các kết quả không chính xác.

2.2. Thách thức trong việc xử lý các miền bất liên tục

Các miền chứa dạng bất liên tục như vết nứt là một thách thức lớn trong phân tích cơ nhiệt. Việc phát triển các phần tử hữu hạn có khả năng xử lý các miền này là cần thiết để cải thiện độ chính xác và tính khả thi của các mô hình.

III. Phương pháp phát triển phần tử hữu hạn mới cho cơ nhiệt

Phương pháp phát triển phần tử hữu hạn mới dựa trên kỹ thuật nội suy liên tiếp đã được đề xuất để giải quyết các vấn đề cơ nhiệt. Kỹ thuật này không chỉ cải thiện tính liên tục mà còn duy trì thuộc tính Kronecker quan trọng trong tính toán số. Điều này cho phép sử dụng cùng một lưới phần tử với phương pháp truyền thống mà không làm tăng số lượng bậc tự do.

3.1. Kỹ thuật nội suy liên tiếp trong phần tử tam giác và tứ giác

Kỹ thuật nội suy liên tiếp đã được áp dụng cho phần tử tam giác 3 nút và phần tử tứ giác 4 nút. Việc này giúp cải thiện độ chính xác trong phân tích các bài toán đàn hồi tuyến tính hai chiều.

3.2. Hệ thống hóa và phát triển phương pháp

Phương pháp đã được hệ thống hóa và phát triển để tạo ra một nhóm phần tử hữu hạn mới phù hợp với nhiều miền bài toán từ một chiều đến ba chiều. Điều này mở ra nhiều cơ hội cho các ứng dụng thực tiễn trong phân tích cơ nhiệt.

IV. Ứng dụng thực tiễn của phần tử hữu hạn trong cơ nhiệt

Các phần tử hữu hạn mới đã được áp dụng để phân tích các bài toán tương tác cơ-nhiệt. Kết quả cho thấy phương pháp này mang lại độ chính xác cao hơn so với các phương pháp truyền thống. Việc áp dụng này không chỉ giúp cải thiện thiết kế mà còn nâng cao hiệu suất của các sản phẩm kỹ thuật.

4.1. Phân tích bài toán tương tác cơ nhiệt

Phân tích tương tác cơ-nhiệt là một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp phần tử hữu hạn mới. Kết quả cho thấy sự cải thiện đáng kể trong độ chính xác và tính khả thi của các mô hình.

4.2. Kết quả nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

Nghiên cứu đã chỉ ra rằng các phần tử hữu hạn mới có thể được áp dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, cơ khí và điện tử. Điều này mở ra nhiều cơ hội cho việc tối ưu hóa thiết kế và nâng cao hiệu suất sản phẩm.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của nghiên cứu

Nghiên cứu về phát triển phần tử hữu hạn mới cho các vấn đề cơ nhiệt 2D và 3D đã mở ra nhiều hướng đi mới trong lĩnh vực cơ học kỹ thuật. Các phương pháp mới không chỉ cải thiện độ chính xác mà còn giúp giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong tương lai.

5.1. Tóm tắt các đóng góp chính của nghiên cứu

Nghiên cứu đã đóng góp vào việc phát triển một nhóm phần tử hữu hạn mới, giúp cải thiện tính liên tục và độ chính xác trong phân tích cơ nhiệt. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu suất của các sản phẩm kỹ thuật.

5.2. Triển vọng nghiên cứu trong tương lai

Triển vọng nghiên cứu trong tương lai bao gồm việc mở rộng phương pháp để áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn, cũng như phát triển các phần tử hữu hạn mới cho các miền bất liên tục. Điều này sẽ giúp nâng cao khả năng ứng dụng của phương pháp trong thực tiễn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Các bài toán phân tích nhiệt cơ và nứt vỡ do ứng suất nhiệt đóng vai trò then chốt trong kỹ thuật hàng không, cơ khí chế tạo và công trình năng lượng hạt nhân. Hiện tượng quá nhiệt hoặc thay đổi nhiệt độ đột ngột tạo ra sự giãn nở không đồng đều, gây tích tụ ứng suất nhiệt nghiêm trọng dẫn đến phá hủy kết cấu. Từ thập niên 1950, phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống đã trở thành công cụ số tiêu chuẩn được triển khai trên hơn 90% phần mềm tính toán kết cấu thương mại. Tuy nhiên, phương pháp truyền thống tồn tại một hạn chế cốt lõi là trường đạo hàm tại các nút như ứng suất, biến dạng và dòng nhiệt luôn bị gián đoạn cục bộ, không phù hợp với bản chất vật lý liên tục của môi trường thực.

Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Ngọc Minh tại Trường Đại học Bách khoa, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh giải quyết triệt để bài toán này thông qua việc hệ thống hóa và phát triển kỹ thuật nội suy liên tiếp trong mô phỏng nhiệt cơ từ một chiều đến ba chiều. Mục tiêu chính của luận văn là thiết lập nhóm phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp cải tiến cho vật liệu đẳng hướng và trực hướng, bao gồm cả miền nguyên vẹn lẫn kết cấu chứa vết nứt. Nghiên cứu mang ý nghĩa thực tiễn lớn khi giúp giảm sai số năng lượng xuống dưới 3% ngay trên lưới phần tử thô, đồng thời tiết kiệm hơn 60% thời gian tính toán so với các phần tử Lagrange bậc một truyền thống mà không làm tăng bậc tự do của hệ thống.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng của hai lý thuyết cơ bản: lý thuyết nhiệt đàn hồi tuyến tính và cơ học rạn nứt nhiệt đàn hồi tuyến tính. Mô hình toán học kết hợp phương trình cân bằng động lượng của cơ học vật rắn với phương trình truyền nhiệt vi phân dạng biến thiên, tuân theo định luật Hooke mở rộng có tính đến biến dạng nhiệt thể tích.

Hệ thống khái niệm trọng tâm bao gồm:

• Tính chất Kronecker-delta: Đảm bảo giá trị hàm dạng bằng một tại chính nút đó và bằng không tại các nút khác, giúp việc áp đặt điều kiện biên chuyển vị và nhiệt độ trực tiếp như phương pháp phần tử hữu hạn thông thường.
• Gradient nút trung bình trọng số: Sử dụng tỷ lệ thể tích hoặc diện tích của các phần tử liên kết tại nút để làm mượt trường đạo hàm cấp một.
• Hệ hàm phụ trợ nội suy: Thiết lập các hàm đa thức bổ trợ để dung hòa hàm dạng Lagrange với gradient nút trung bình.
• Kỹ thuật làm giàu hàm gián đoạn và hàm tiệm cận đỉnh nứt: Mở rộng phần tử tứ giác nội suy liên tiếp bốn nút để mô phỏng sự lan truyền của vết nứt dưới tải trọng nhiệt động và tĩnh.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của luận văn được thu thập thông qua các mô hình kiểm chứng số học trên miền một chiều, hai chiều và ba chiều với các kích thước lưới khảo sát đa dạng. Trong phân tích dầm chịu uốn 2D, kích thước lưới biến thiên từ mức thô 12x3 phần tử với 52 nút (104 bậc tự do) đến mức mịn 192x48 phần tử với 9409 nút. Đối với bài toán không gian 3D, mô hình hình học phức tạp được chia lưới với quy mô lên tới 71540 phần tử lục giác tám nút.

Phương pháp chia lưới sử dụng các phần tử hình học cơ sở như tam giác ba nút, tứ giác bốn nút, tứ diện bốn nút và lục giác tám nút. Lý do lựa chọn sơ đồ tích phân thời gian Euler lùi cho phương trình truyền nhiệt là nhằm triệt tiêu hiện tượng dao động số giả tạo thường gặp trong sơ đồ Euler tiến. Đồng thời, sơ đồ Newmark với hai tham số chuẩn là 0.25 và 0.5 được tích hợp để giải phương trình dao động động lực học, đảm bảo tính ổn định số vô điều kiện trong suốt quá trình phân tích sốc nhiệt ở thang thời gian micro giây.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, nhóm phần tử nội suy liên tiếp một chiều, hai chiều và ba chiều đã tạo ra trường ứng suất và trường dòng nhiệt liên tục hoàn toàn qua các biên phần tử. Hiện tượng nhảy bậc phi vật lý tại các nút liên kết trong phương pháp phần tử hữu hạn Lagrange truyền thống bị loại bỏ 100%.

Thứ hai, độ chính xác của nghiệm số tăng vượt bậc. Trong bài toán dầm công-xôn chịu tải phân bố parabol, phần tử tứ giác nội suy liên tiếp bốn nút chỉ cần lưới 12x3 phần tử để đạt sai số năng lượng đàn hồi xấp xỉ 3%, trong khi phần tử tứ giác chuẩn phải cần đến lưới 192x48 phần tử mới đạt được mức độ chính xác tương đương.

Thứ ba, hiệu quả tính toán vượt trội rõ rệt. Để đạt cùng mức sai số 3%, phần tử cải tiến chỉ mất 11.23 giây xử lý, trong khi phần tử truyền thống tiêu tốn tới 28.52 giây, giúp tiết kiệm hơn 60% tổng thời gian tính toán trên cùng một cấu hình phần cứng.

Thứ tư, phần tử mở rộng đã tính toán chuẩn xác các hệ số cường độ ứng suất động và tĩnh cho cả vật liệu đẳng hướng lẫn trực hướng dưới điều kiện biên đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, mô phỏng chính xác đường phát triển vết nứt ở mức thời gian tức thời 4 micro giây.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi giúp phương pháp đạt hiệu năng vượt trội là việc tích hợp thông tin gradient trung bình vào hàm dạng mà không bổ sung thêm bất kỳ điểm phụ hay bậc tự do nào. Khác với phương pháp Đẳng hình học hoặc phương pháp không lưới vốn đòi hỏi các kỹ thuật phạt phức tạp để xử lý biên, giải thuật đề xuất duy trì nguyên vẹn tính chất Kronecker-delta.

Trong phần trình bày dữ liệu, các biểu đồ hội tụ log-log giữa sai số năng lượng và kích thước phần tử thể hiện tốc độ hội tụ của phần tử cải tiến nằm vượt trội giữa phần tử bậc một và bậc hai truyền thống. Đồng thời, các biểu đồ đường đồng mức ứng suất pháp trực quan hóa sự chuyển tiếp êm thuận của trường ứng suất, trái ngược với các đường gãy khúc cục bộ trên các bảng kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn thông thường. Đối với vật liệu trực hướng, góc định hướng vật liệu và tỷ số mô đun đàn hồi tác động trực tiếp làm lệch quỹ đạo lan truyền nứt, khẳng định tính chính xác của mô hình tương tác tích phân mở rộng.

Đề xuất và khuyến nghị

• Tích hợp mô-đun thuật toán nội suy liên tiếp vào các phần mềm mô phỏng nguồn mở và thương mại như CalculiX, Code Aster hoặc ANSYS trong lộ trình 12 đến 24 tháng nhằm nâng cao độ chính xác phân tích ứng suất nhiệt công nghiệp.
• Ứng dụng quy trình chia lưới thô tự động với phần tử tứ giác và lục giác cải tiến trong thiết kế kết cấu hàng không, hướng tới mục tiêu giảm 50% thời gian tiền xử lý mô hình hình học phức tạp.
• Triển khai phần tử mở rộng vào việc đánh giá an toàn và dự báo tuổi thọ nứt mỏi do sốc nhiệt cho các bình chịu áp lực trong nhà máy điện hạt nhân, thiết lập chu kỳ kiểm định định kỳ 6 tháng một lần.
• Mở rộng khung toán học của phương pháp sang bài toán phi tuyến vật liệu đàn dẻo và tương tác đa trường vật lý phức tạp trong giai đoạn nghiên cứu 2026-2028.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

• Kỹ sư tính toán kết cấu và mô phỏng nhiệt cơ (CAE Engineers): Vận dụng giải thuật để tối ưu hóa thời gian phân tích độ bền nhiệt trong thiết kế động cơ tuabin và đường ống chịu áp lực cao.
• Nhà nghiên cứu và nghiên cứu sinh ngành Cơ kỹ thuật: Khai thác công thức suy rộng cho các phần tử từ một chiều đến ba chiều để phát triển các mô hình cơ học rạn nứt nâng cao.
• Chuyên viên phát triển thuật toán phần mềm tính toán số: Tham khảo cấu trúc ma trận độ cứng và kỹ thuật nội suy không tăng bậc tự do để tích hợp vào các gói phần mềm phần tử hữu hạn nội bộ.
• Giảng viên và học viên cao học chuyên ngành Cơ học tính toán và Xây dựng: Sử dụng làm tài liệu giảng dạy chuyên đề về phương pháp số hiện đại, cơ học phá hủy và phân tích ứng xử vật liệu composite trực hướng.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp nội suy liên tiếp khác biệt gì so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống? Phương pháp cải tiến bổ sung thêm gradient nút trung bình trọng số vào quá trình xấp xỉ hàm dạng. Nhờ đó, trường đạo hàm như ứng suất và nhiệt thông lượng đạt được tính liên tục mượt mà, loại bỏ hoàn toàn sự gián đoạn phi vật lý tại các nút mà phương pháp truyền thống mắc phải.

Tại sao phương pháp này thuận tiện hơn phương pháp Đẳng hình học và phương pháp không lưới? Phương pháp giữ nguyên tính chất Kronecker-delta và sử dụng cùng một lưới phần tử chuẩn của phương pháp phần tử hữu hạn. Điều này cho phép áp đặt trực tiếp các điều kiện biên chuyển vị và nhiệt độ mà không cần dùng đến các giải thuật phức tạp như nhân tử Lagrange hay hàm phạt.

Phần tử mở rộng xử lý bài toán nứt do sốc nhiệt như thế nào? Bằng cách kết hợp hàm bước Heaviside và các hàm tiệm cận đỉnh nứt vào trường chuyển vị và trường nhiệt độ của phần tử tứ giác, mô hình tính toán chính xác hệ số cường độ ứng suất động theo thời gian mà không cần phải làm mịn lưới cục bộ quanh chóp nứt.

Việc áp dụng giải thuật mới có làm tăng số lượng bậc tự do toàn cục của bài toán không? Hoàn toàn không. Dù hàm dạng có bậc xấp xỉ cao hơn và miền tương hỗ rộng hơn, toàn bộ các bậc tự do ẩn của đạo hàm đều được quy đổi về các bậc tự do chuẩn tại nút, giữ nguyên kích thước hệ phương trình đại số tuyến tính cần giải.

Mô hình có áp dụng được cho vật liệu composite dị hướng không? Hoàn toàn áp dụng được. Luận văn đã mở rộng thành công công thức cho vật liệu trực hướng, thiết lập phương trình đặc trưng và tích phân tương tác để đánh giá chính xác ảnh hưởng của góc nghiêng sợi vật liệu đến hướng phát triển vết nứt.

Kết luận

• Luận văn đã giải quyết thành công bài toán gián đoạn trường đạo hàm tại nút bằng kỹ thuật nội suy liên tiếp, tạo ra trường ứng suất nhiệt liên tục và chính xác cao.
• Xây dựng công thức tổng quát khả thi cho toàn bộ các phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều, giải quyết triệt để nút thắt phụ thuộc dạng phần tử của các nghiên cứu trước đây.
• Phát triển phần tử mở rộng mô phỏng chuẩn xác ứng xử phá hủy nhiệt đàn hồi của vật liệu đẳng hướng và trực hướng dưới các điều kiện tải trọng nhiệt động phức tạp.
• Duy trì 100% tính chất Kronecker-delta và giữ nguyên số bậc tự do, giúp tiết kiệm hơn 60% thời gian tính toán trên lưới phần tử thô.
• Trong giai đoạn tiếp theo, các nhóm nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ tính toán nên chủ động ứng dụng khung lý thuyết này vào các bài toán đa vật lý phi tuyến để tối ưu hóa an toàn kết cấu công trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NGUYỄN NGỌC MINH DEVELOPMENT OF NEW FINITE ELEMENTS BASED ON CONSECUTIVE-INTERPOLATION FOR 2D AND 3D THERMAL-MECHANICAL PROBLEMS PHD THESIS IN ENGINEERING HO CHI MINH CITY - 2020 VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NGUYỄN NGỌC MINH DEVELOPMENT OF NEW FINITE ELEMENTS BASED ON CONSECUTIVE-INTERPOLATION FOR 2D AND 3D THERMAL-MECHANICAL PROBLEMS Major: Engineering Mechanics (Cơ kỹ thuật) Codes: 62520101 Independent Examiner 1: Associate Prof. NGUYỄN VĂN HIẾU Independent Examiner 2: Associate Prof. NGUYỄN QUỐC HƯNG Examiner 1: Dr. TRỊNH ANH NGỌC Examiner 2: Associate Prof.

CHÂU ĐÌNH THÀNH Examiner 3: Associate Prof. LƯƠNG VĂN HẢI SCIENTIFIC SUPERVISORS: 1. TRƯƠNG TÍCH THIỆN 2. BÙI QUỐC TÍNH LỜI CAM ĐOAN / DECLARATION Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tác giả.

Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trung thực, và không sao chép từ bất kỳ một nguồn nào và dưới bất kỳ hình thức nào. Việc tham khảo các nguồn tài liệu (nếu có) đã được thực hiện trích dẫn và ghi nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định. This doctoral dissertation is the outcome of my original research, conducted at the Ho Chi Minh city University of Technology, VNU – HCM, Viet Nam. I declare that this document is my own work and has not submitted for any other degree or qualification except as specified.

All the references are cited in the document. Tác giả luận án / Author Chữ ký / Signature i TÓM TẮT LUẬN ÁN Luận án trình bày một nhóm phần tử hữu hạn mới dựa trên sự tích hợp kỹ thuật nội suy liên tiếp vào phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. Với kỹ thuật này, không chỉ giá trị tại nút mà cả giá trị đạo hàm trung bình tại nút cũng được sử dụng trong quá trình xấp xỉ. Nhờ đó trường đạo hàm thu được từ nhóm phần tử hữu hạn mới là một trường liên tục, thay vì bất liên tục tại nút (không hợp lý về mặt vật lý) như phương pháp truyền thống.

Sự cải thiện về tính liên tục cũng mang đến độ chính xác cao hơn của lời giải xấp xỉ. Tuy nhiên khác với các phương pháp có độ liên tục bậc cao hiện hành như phương pháp Đẳng hình học hay phương pháp không lưới, phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp vẫn duy trì thuộc tính Kronecker quan trọng trong tính toán số. Thêm vào đó, phương pháp đề xuất sử dụng cùng một lưới phần tử với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống và không làm tăng số lượng bậc tự do. Kỹ thuật nội suy liên tiếp ban đầu được giới thiệu riêng lẻ cho phần tử tam giác 3 nút và phần tử tứ giác 4 nút và áp dụng với bài toán đàn hồi tuyến tính hai chiều.

Trong luận án này, phương pháp được hệ thống hóa và phát triển nâng cao để tạo ra một nhóm phần tử hữu hạn mới phù hợp với nhiều miền bài toán từ một chiều đến ba chiều, và được áp dụng để phân tích bài toán tương tác cơ-nhiệt. Phương pháp đề xuất tiếp tục được mở rộng để khảo sát ứng xử của miền chứa dạng bất liên tục như vết nứt, với vật liệu đẳng hướng và vật liệu trực hướng. ii ABSTRACT This dissertation presents a new group of finite elements based on the integration of consecutive-interpolation procedure into the traditional Finite Element Method. With this technique, not only the nodal values but also the averaged nodal gradients are included in approximation process.

As a result, the gradient fields obtained by the new group of finite elements are smooth, unlike the fields which are (non-physically) discontinuous at nodes delivered by traditional Finite Element Method. The improvement on continuity results in higher accuracy of approximated solution as well. On the other hand, unlike the other higher-order methods such as the Isogeometric Analysis and the Meshfree methods, the novel Consecutive-interpolation Finite Element Method possesses the important Kronecker-delta property. Furthermore, the proposed method employs the same discretization mesh with the traditional Finite Element Method and does not increase the number of degrees of freedom.

The consecutive-interpolation procedure was initially introduced separately for the 3- node triangular element and the 4-node quadrilateral element to be used in analysis of two-dimensional linear elastic problems. In this dissertation, the method is further developed to form a new class of finite elements which is suitable for domains from 1D to 3D. The new group of finite elements (being integrated with consecutive-interpolation procedure) is applied to analyze the thermo-mechanical problems. The proposed method is also extended to study behaviors of bodies containing discontinuities such as cracks, for both isotropic and orthotropic materials.

iii CONTENTS LỜI CAM ĐOAN / DECLARATION .iv LIST OF FIGURES. viii LIST OF TABLES. xiii CHAPTER 1 INTRODUCTION .1 Heat transfer and thermo-mechanical problems .1 Finite element method (FEM) and its issues. 2 Trends in development of numerical methods .5 Original contributions of the dissertation.

7 Scientific and practical meaning of the contributions by the dissertation .8 Scope of the dissertation .8 Outline of the dissertation .9 CHAPTER 2 LINEAR THERMO-ELASTIC PROBLEMS .13 Time integration scheme .1 Backward Euler scheme. 16 CHAPTER 3 CONSECUTIVE-INTERPOLATION PROCEDURE FOR 1D AND 2D PROBLEMS .17 Issue of non-physically discontinuous nodal gradient in Finite Element Method (FEM): An example of two-node bar element (L2 element). 17 The consecutive-interpolation procedure (CIP) for two-node bar element: CL2 element.1 Calculation of CIP-based shape functions .2 First order derivative of CIP-based shape functions .3 Modification to retain the C0-continuity. 25 The consecutive-interpolation procedure (CIP) for three-node triangular element (CT3) and four-node quadrilateral element (CQ4) .1 CIP-enhanced formulation for 2D domain .2 The CT3 element .3 The CQ4 element .37 CHAPTER 4 TWO-DIMENSIONAL DYNAMIC AND QUASI-STATIC THERMOELASTIC FRACTURE PROBLEMS IN ISOTROPIC MATERIALS .38 Numerical modeling of cracks .39 The extended consecutive-interpolation four-node quadrilateral element (XCQ4) .1 Enriched formulation for displacement field .2 Enriched formulation for temperature field .43 Computation of (dynamic) stress intensity factors (DSIFs) for thermo-elastic fracture problems .45 Crack growth modeling.

48 Numerical results and discussion .1 Edge crack under constant flux (mode-I) .2 Static SIFs analysis: Square plate with a center crack .3 Static SIFs analysis: Rectangular plate with a slant center crack (mixed - mode) .4 Quasi-static crack propagation simulation of a slant edge crack in a cruciform panel .5 Dynamic SIFs analysis: Edge crack under quasi-static thermal shock .6 Dynamic SIFs analysis: Center crack under quasi-static thermal shock .7 Dynamic SIFs analysis: Curved crack under dynamic thermal shock .76 CHAPTER 5 TWO-DIMENSIONAL QUASI-STATIC THERMO-ELASTIC FRACTURE PROBLEMS IN ORTHOTROPIC MATERIALS .78 v Formulation of XCQ4 element for linear thermo-elastic fracture problems in orthotropic media .1 The characteristic equation of an arbitrary orthotropic material .2 Enriched formulation for displacement .3 Enriched formulation for temperature. 83 Evaluation of SIFs by Interaction integral. 83 Crack growth modeling.1 Static SIFs analysis: Single edge notched specimen under mechanical tensile load .2 Static SIFs analysis: Rectangular epoxy/glass plate with a horizontal edge crack under constant flux.3 Static SIFs analysis: Rectangular epoxy/glass plate with a slant center crack .4 Static SIFs analysis: An anisotropic square plate with two parallel isothermal cracks .5 Quasi static crack propagation in an anisotropic cracked disc .6 Quasi static crack propagation of an edge crack in a rectangular plate under constant flux .7 Quasi static crack propagation in a perforated panel with a circular hole under constant heat flux.106 CHAPTER 6 DEVELOPMENT OF 3D CIP-BASED FINITE ELEMENTS .107 Generalized formulation to determine auxiliary functions .107 CIP-enhanced FEM for 3D linear heat transfer problems .1 Steady-state heat convection in a 3D complicated domain.2 Transient heat transfer in a plate with cylindrical hole .113 CIP-enhanced FEM for 3D linear elastic problems .1 Static analysis of a cantilever beam with T-shaped cross-section .2 Free vibration analysis of a hollow cylinder .3 Free vibration analysis of a composite sandwich beam .124 CHAPTER 7 CONCLUSIONS AND OUTLOOKS .1 XCQ4 element for analysis of linear thermo-elastic fracture problems .2 General formulation of CIP-enhanced elements .144 vii LIST OF FIGURES Figure 1. Thermal crack in an asphalt pavement [7].

Illustration of a finite element mesh for a two-dimensional heat transfer problem. Convergence of thermal energy corresponding to mesh size. Illustration of a two-node bar element (L2) in global system of coordinates (left) and in natural coordinates (right). A one-dimensional domain being discretized by two L2 elements.

Shape function associated with node 2 (global) of the Example provided in Figure 3.2, computed by traditional FEM and by CIP-enhanced FEM. CIP-based shape functions R1, R2 and R3 associated with the nodes given in Figure 3. First-order derivative of the shape functions associated with node 2 of the Example given in Figure 3.2, computed by traditional FEM and CIP-enhanced FEM .4: Sketch of 1D bar subjected to body load. The bar is uniformly discretized by 5 eleements .4: Comparison of stress calculated by standard FEM and the proposed CIP-enhanced FEM.4: Convergence rate with respect to number of degrees of freedom (DOFs) of the standard linear FEM, quadratic FEM and CIP approach.

Visualization of the shape function for a CQ4 element. Visualization of the first order derivative of shape function for a CQ4 element. Sketch of the CIP-enhanced four-node quadrilateral element (CQ4) in a 2D finite element mesh [42] .1: Cantilever beam being subject to parabolic shear load31 Figure 3.1: (a) The triangular mesh and (b) quadrilateral mesh at coarsest level.1: Convergence rate of elastic energy with respect to mesh size, presented in log-log scale .1: The field of normal stress component σxx computed by four types of element: CQ4, Q4, CT3 and T3 .2: Quarter model of the thick cylinder pipe and boundary conditions.2: Temperature distribution in the cylinder pipe .2: Hoop stress distribution in the cylinder pipe. Signed distance function.

The set of nodes enriched by Heaviside function (denoted by x symbol and the set of nodes enriched by branch functions (denoted by square symbol). Level set functions. The interaction integral domain. The weighting function q(x).1: (a) Geometry and boundary conditions of a strip with an edge crack under constant flux and (b) its deformed shape obtained with XCQ4 elements .1: Different interaction integral domain size selected to evaluate the interaction integral: (a) domain 1, (b) domain (2), (c) domain 3 and (d) domain 4.

A mesh size of 25 x 49 elements is used for both XQ4 and XCQ4 .1: Convergence of SIFs evaluated by XCQ4 and XQ4 elements with respect to number of nodes .1: Distribution of temperature [oC] .1: Stress component σxx [Pa] obtained by (a) XCQ4 element and (b) XQ4 element, showing in deformed shape.2: A square plate with horizontal center crack under two sets of boundary conditions: (a) Adiabatic crack and (b) Isothermal crack .1: Geometry and boundary conditions .1: Normalized SIFs with respect to a/W at the inclined angle θ = 30o .1: Normalized SIFs with respect to crack angle θ, given a/W = 0.2: Geometry and boundary conditions .2: Normalized SIFs with respect to a/W at the inclined angle θ = 30o .2: Normalized SIFs with respect to crack angle θ, given a/W = 0.4: Geometry and a typical mesh of a cruciform panel (AF = BE = HC = GD = 3L) .4: Crack paths predicted for four loading cases reported in Table 4.5 by the present XCQ4 element. These paths are comparable with those derived by other numerical methods available in literatures, e.4: Temperature [oC] distribution of the cruciform panel for (a) case 1 and (b) case 3 by the XCQ4. (a) Distrbution of normal stress σyy [Pa] and (b) the displacement uy [m] for case 3 by the XCQ4 .