Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM VÀ PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC 1. Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm Kết cấu tấm được sử dụng rất phổ biến trong thực tiễn các ngành công nghiệp, dân dụng, xây dựng, cơ khí, xe, hàng không vũ trụ,.Một trong những kết cấu được sử dụng phổ biến trên thế giới là kết cấu tấm chữ nhật. Về kỹ thuật, chỉ đơn thuần là đảm bảo tấm chữ nhật chịu được tải trọng không đổi được chứng minh là không đủ. Do đó, trong kỹ thuật có thể xét đến quan hệ với biên độ chuyển vị, biến dạng và ứng suất lớn được gây ra bởi lực động điều hòa hoặc lực ngẫu nhiên.
Kết cấu tấm chịu tải trọng điều hòa trong mặt phẳng dọc theo biên (periodic in-plane loads) và trở thành bất ổn định động và dao động tham số (dynamic instability and parametric oscillation) với sự kết hợp biên độ lực, tần số nhiễu loạn và tần số dao động ngang của kết cấu. Nghiên cứu ứng xử ổn định tĩnh, ổn định động và dao động tham số của kết cấu tấm chịu các dạng tải trọng khác nhau là rất cần thiết trong thiết kế kết cấu. Ổn định của kết cấu chịu tải trọng tác dụng động, trong đó cần xét đến ảnh hưởng của gia tốc chuyển động thông qua các lực quán tính khi thiết lập các phương trình ổn định, được gọi là ổn định động của kết cấu. Vấn đề ổn định động bao gồm việc xét đến ứng xử ổn định tĩnh và ứng xử dao động tham số.
Dao động phát sinh trong bài toán ổn định động thuộc thể loại dao động có tham số, mang tính chất riêng biệt. Khác với dao động tự do, dao động này xảy ra trong thời kỳ có tác động của nguyên nhân bên ngoài thay đổi theo thời gian. Cũng khác với dao động cưỡng bức đã quen biết vì sự tác động của nguyên nhân bên ngoài không phải là nguồn tác động trực tiếp. Dao động tham số là dao động được duy trì bởi các nguyên nhân bên ngoài, gián tiếp gây ra sự thay đổi các thông số của hệ theo thời gian, được mô tả bằng phương trình vi phân có hệ số thay đổi (thường là thay đổi tuần hoàn) và nằm ở vế trái của phương trình.
Tùy theo các đặc trưng của dao động tham số, hệ có thể ổn định động hoặc bất ổn định động. Giới thiệu cơ bản về bất ổn định động của hệ kết cấu được tác giả tham khảo từ H. Nguyen (1987): Khi tấm chữ nhật chịu tác dụng tải trọng nén trong mặt trung bình thay đổi điều hòa theo thời gian với tần số của lực kích thích : N(t)= Ns + Ndcos(t), 1 với cos(t) là hàm điều hòa của thời gian t, tấm thực hiện dao động mạnh ngoài mặt phẳng (tần số dao động ngang lớn) vượt quá miền tham số không gian đã biết (Ns, Nt, T), nếu khảo sát ổn định của tấm trong trường hợp này thì gọi hiện tượng mất ổn định động của tấm. Sự cộng hưởng kết hợp với các vùng bất ổn định xảy ra khi tần số lực kích thích (t) và dạng mode tần số i (i = 1, 2, 3,.) đáp ứng xấp xỉ mối quan hệ (t) = 2i/k, (k = 1, 2, 3,.1) phương trình (1.1) chứng tỏ mỗi mode không gian (spatial mode), i, sẽ có vô hạn số mode thời gian (temporal mode), k.
Trong trường hợp (t) = 2i (k = 1) là quan trọng nhất và được gọi là cộng hưởng tham số chính. Nói chung, mối quan hệ trên được gọi là cộng hưởng tham số đơn. Thuật ngữ đơn thể hiện rằng, chỉ có một dao động riêng là tham gia chủ yếu trong các dao động cộng hưởng. Biên vùng bất ổn định tương ứng với các cộng hưởng tham số đơn được biểu diễn trên hình 1.
Vuøng chính k=5 4 k=3 baát oån ñònh k=1 k=2 Nt Khoâng coù giaûm chaán Coù giaûm chaán 0 0 1 / 2 i Hình 1. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn. Ngược lại, với các cộng hưởng tham số đơn, việc cộng hưởng tham số kết hợp có thể cũng xảy ra. Dạng cộng hưởng này được xảy ra bởi thực tế rằng, vấn đề cộng hưởng đồng thời của hệ thống tạo ra trong hai hoặc nhiều mode dao động riêng.
Cho sự xuất hiện của những cộng hưởng là cần thiết khi tần số lực kích thích (t) và dạng mode tần số i đáp ứng xấp xỉ một mối quan hệ = mii/k (1.2) trong đó mi – số nguyên dương hoặc nguyên âm. 2 Một lần nữa, sự cộng hưởng kết hợp quan trọng nhất là liên quan đến hai modes không gian của dao động xảy ra khi k = 1, như minh họa trong hình 1. k=2 k=3 Vuøng baát oån ñònh keát hôïp k=1 Coù giaûm chaán Nt Khoâng coù giaûm chaán 0 0 1 (ij Hình 1. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số kết hợp.
Phương trình chuyển động có hệ số phi tuyến bậc hai hoặc bậc ba được kết hợp trong nhiều hệ thống vật lý. Cộng hưởng của hệ thống phụ thuộc vào bậc của phi tuyến và cộng hưởng nội. Hệ số phi tuyến bậc ba trong phương trình chuyển động kể đến biến dạng của đường trung hòa hoặc trong mặt phẳng trung bình của phần tử dầm hoặc tấm có ý nghĩa quan trọng đến việc khảo sát hệ thống phi tuyến hình học. Dao động phi tuyến của tấm composite, vỏ và dầm được liên kết với hệ số phi tuyến bậc hai trong phương trình vi phân chuyển động.
Hệ số phi tuyến có tầm ảnh hưởng quan trọng đến ứng xử của hệ thống, đặc biệt xảy ra trong điều kiện cộng hưởng nội. Cộng hưởng nội xảy ra quan hệ tuyến tính giữa các tần số tự do với mode khác nhau, đó là, tần số i có tỉ lệ hoặc gần tỉ lệ, tức là có tồn tại số nguyên dương hoặc nguyên âm m1, m2,., mn sao cho: mii = 0 (1.3) Khi cộng hưởng tham số chính được kích thích trong sự xuất hiện của cộng hưởng nội, = 2i , mjj = 0, (1.4) sự trùng hợp ngẫu nhiên của hai dạng cộng hưởng dẫn đến cộng hưởng đồng thời (simultaneous resonance). Dạng cộng hưởng này được đặc trưng bởi một số mode 3 tham gia, mặt dù chỉ một mode được kích thích tham số có thể tồn tại trong phản ứng. Cộng hưởng nội chịu trách nhiệm cho hiện tượng này, như một hệ quả của sự chuyển năng lượng từ mode trực tiếp kích thích sang các mode khác của dao động.
Dạng khác của cộng hưởng đồng thời có thể xảy ra khi một cộng hưởng nội trùng hợp với một cộng hưởng tham số kết hợp = mii , mjj = 0.5) Đang phụ thuộc vào cộng hưởng nội, năng lượng từ các mode kích thích tham số có thể bị chuyển đổi đến các mode chuẩn khác. Tầm quan trọng của dao động tham số đã thu hút được một số nhà khoa học nghiên cứu phát triển các lý thuyết về sự bất ổn định động. Một trong những vấn đề kỹ thuật quan trọng là việc xác định vùng bất ổn định cho các hệ thống chịu kích thích tham số. Chú ý rằng các mô hình tuyến tính của các hệ thống dự đoán chính xác vị trí ranh giới biên của vùng bất ổn định động mà tại đó là sự khởi đầu cho ứng xử tham số xảy ra.
Trong hệ thống phi tuyến không cản chịu kích thích tham số, những phi tuyến hạn chế sự phát triển của phản ứng, đó là, biên độ của dao động nói chung gia tăng dạng parabôn theo thời gian, nhưng không có ảnh hưởng đến biên độ lớn nhất. Tác dụng của hệ cản trong hệ thống đang cộng hưởng tham số cho phép biên độ đạt được một giá trị ổn định hữu hạn. Về bản chất, ứng xử phi tuyến có thể làm cho chuyển động cộng hưởng bị giới hạn tồn tại trong vùng của không gian tham số mà các phản ứng kích thích tham số trong mô hình tuyến tính không thể dự đoán được. Mặt khác, hiện tượng mới xảy ra trong vấn đề phi tuyến, nhưng không xảy ra trong vấn đề tuyến tính, trong số những hiện tượng mới, có thể quan sát biên độ phụ thuộc vào tải trọng và tần số kích thích, và sự xuất hiện các hiện tượng bước nhảy và sụt giảm (jump and drop-out phenomena).
Từ những nhận xét trước đây, tóm tắt một số vấn đề cơ bản về bất ổn định tham số của hệ thống cơ học. Tổng thể, sự bất ổn định tham số (parametric instability) của hệ thống có thể xảy ra: (i) trên một số vùng của không gian tham số nhưng không phải các điểm rời rạc, (ii) ở tần số khác với tần số tự nhiên của các hệ thống, (iii) có phương pháp tuyến với lực kích thích, (iv) với tác dụng của ngoại lực phải nhỏ hơn lực tới hạn tĩnh nhỏ nhất, và (v) khi lực kích thích được đưa vào toán học của phương trình chuyển động như là một hệ số phụ thuộc vào thời gian hoặc tham số. Các tính năng này thường là đặc tính của sự bất ổn định tham số và rõ ràng tạo thành một số vấn đề 4 đặc biệt được kết hợp với ổn định tĩnh đàn hồi và cộng hưởng dao động cưỡng bức, và khác biệt với các bài toán bất ổn định quen thuộc. Đối với vấn đề bất ổn định động của hệ kết cấu cần phải nghiên cứu hai vần đề trọng tâm: (i) xác định vùng bất ổn định động cộng hưởng tham số chính, cộng hưởng kết hợp và cộng hưởng nội, (ii) phân tích ứng xử của vấn đề dao động tham số.
Bài viết tổng quan này xem xét hầu hết các nghiên cứu gần đây được thực hiện trong lĩnh vực ổn định động (dynamic stability), bất ổn định động (dynamic instability), kích thích tham số (parametric excitation), đặc tính cộng hưởng tham số (parametric resonance) của kết cấu. Phương pháp giải quyết nghiệm của vấn đề ổn định động liên quan đến nguồn gốc của phương trình chuyển động chủ đạo, xác định được vùng bất ổn định động của kết cấu. Phân tích về hình học (tấm, vỏ hình trụ, vỏ hình cầu, vỏ hình nón, dầm, cột, khung), về tải trọng (phân bố đều dọc trục, phân bố không đều, tập trung, tải trọng ngẫu nhiên, lực kéo, lực bảo toàn và không bảo toàn,.), về điều kiện biên, về phương pháp phân tích (chính xác, phần tử dải hữu hạn, sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, vi phân bậc hai tổng quát (generalized differential quadrature method), phương pháp Galerkin, phương pháp nhiều bậc thang (method of multiple scales) và thực nghiệm,.), phương pháp xác định vùng bất ổn định (số mũ Lyapunovian, phương pháp nhiễu loạn, phương pháp Floquet, phương pháp Bolotin,.), bậc của các lý thuyết được áp dụng (mỏng, dày, 3D, tuyến tính, phi tuyến,.