CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1. Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng 1. Giới thiệu về dao động phi tuyến Chúng ta biết rằng dao động phi tuyến là một hiện tượng hay gặp trong nhiều lĩnh vực. Dao động phi tuyến có thể xảy ra trong nhiều hệ thực từ những hệ có kích thước vĩ mô (macro) đến những hệ có kích thước vi mô (micro/nano).
Với kích thước vĩ mô, đó là dao động của các máy móc, các cây cầu, các tòa nhà cao tầng, các phương tiện giao thông,.Còn với kích thước vi mô, có thể kể đến đó là dao động của các ống nano các bon, các hệ vi cơ điện tử (Micro-/Nano-electromechanical systems - MEMS/NEMS),.Thông thường, một hiện tượng dao động thường được mô tả về mặt toán học bởi một hoặc một hệ phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng. Khi phương trình vi phân hoặc đạo hàm riêng mô tả dao động của hệ là phi tuyến, ta nói dao động là phi tuyến. Dao động tuyến tính thực tế chỉ là sự lý tưởng hóa của một dao động phi tuyến mà chúng ta gặp trong thực tế và kỹ thuật. Một ví dụ đơn giản nhất về dao động đó là chuyển động của con lắc toán học bao gồm một vật (kích thước rất nhỏ) với khối lượng m được buộc vào đầu một sợi dây với chiều dài L, đầu còn lại của sợi dây được buộc vào điểm cố định (Hình 1.
Khi đó, phương trình chuyển động của con lắc được cho bởi: 2 sin 0, 2 L / g (1. Con lắc toán học 6 Trong phương trình (1.1), là góc lệch giữa sợi dây và phương thẳng đứng và g là gia tốc trọng trường. Rõ ràng phương trình (1.1) là phương trình vi phân phi tuyến. Dao động tuyến tính của con lắc toán học là sự lý tưởng hóa của dao động phi tuyến được mô tả bởi phương trình (1.1) khi ta xem xét chuyển động nhỏ quanh vị trí cân bằng θ = 0.
Khi đó, ta có thể sử dụng xấp xỉ: sin (1.2) Với xấp xỉ (1.2), phương trình (1.1) trở thành phương trình tuyến tính như sau: 2 0 (1.3) Một hiện tượng dao động xuất hiện trong mạch điện gồm một cuộn tự cảm L và tụ điện với điện dung C như mô tả trong Hình 1. Phương trình dao động của mạch điện có dạng: d 2 i 0 (1.4) dt 2 C trong đó, là từ thông, i là cường độ dòng điện, ta biết rằng: i a b 3 (1. Mạch điện với cuộn cảm và tụ điện Thay quan hệ (1.5) vào phương trình (1.4), ta được phương trình dao động xuất hiện trong mạch điện như sau: d 2 1 2 a b3 0 (1.6) dt C Rõ ràng, phương trình (1.6) cũng là phương trình vi phân phi tuyến. Hay một ví dụ về hiện tượng dao động của cấu trúc ở quy mô vi mô đó là dao động của ống nano các bon truyền tải chất lỏng (carbon nanotubes conveying fluid), dịch chuyển ngang của ống nano các bon được mô tả bởi phương trình sau đây [3]: 7 4w 2w EA L w 2 2 w 2 w 2 2w EI 4 (m m f ) 2 kw dx 2 m f V 2m f V 0 x t 2 L 0 x x x 2 t x (1.
Mô hình ống nano truyền tải chất lỏng Trong phương trình (1.7), w là dịch chuyển ngang của ống nano, E là mô đun đàn hồi của ống nano, A là diện tích mặt cắt ngang của ống, L là chiều dài của ống, I là mô men quán tính của diện tích mặt cắt ngang của ống, m là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của ống, mf là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của chất lỏng trong ống, V là vận tốc của chất lỏng và k là hệ số nền đàn hồi tuyến tính. Khác với các phương trình (1.6), phương trình (1.7) là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Đối với dao động tuyến tính, nghiệm của bài toán thỏa mãn nguyên lý chồng chất nghiệm và nghiệm giải tích chính xác dễ dàng tìm được. Còn đối với dao động phi tuyến, việc tìm nghiệm chính xác là rất khó và chỉ có thể thực hiện được đối với một lớp rất nhỏ của bài toán này.
Các phương pháp số được xem là một công cụ khá hữu hiệu để phân tích đáp ứng của các bài toán dao động phi tuyến. Tuy nhiên, đặc trưng quan trọng nhất của bài toán dao động phi tuyến đó là quan hệ biên độ - tần số của dao động không thể tìm được nếu sử dụng các phương pháp số. Sự phát triển của các phương pháp giải tích gần đúng đã cho chúng ta một công cụ hiệu quả để có thể quan sát được đầy đủ đáp ứng của bài toán dao động phi tuyến. Một số phương pháp giải tích để tìm nghiệm gần đúng của bài toán dao động phi tuyến sẽ được giới thiệu trong phần dưới đây.
Một số phương pháp giải tích gần đúng Sự phát triển của các phương pháp giải tích gần đúng cho ta một công cụ hữu hiệu để có thể quan sát được đầy đủ một hiện tượng dao động phi tuyến. Có rất nhiều phương pháp giải tích gần đúng khác nhau để tìm nghiệm của bài toán dao động phi tuyến, dưới đây liệt kê một số phương pháp giải tích gần đúng điển hình: 1. Phương pháp nhiễu Phương pháp nhiễu (the perturbation method) dựa trên việc giả thiết nghiệm của phương trình vi phân là tổng của một vài số hạng đầu tiên trong khai triển tiệm cận. Các phương pháp nhiễu cổ điển được giới thiệu trong các sách về dao động phi tuyến [4, 5, 6 - 9].
Hạn chế của các phương pháp nhiễu cổ điển là nghiệm giải tích thu được chỉ chính xác đối với các bài toán phi tuyến yếu. Một số phát triển của phương pháp nhiễu có thể kể đến đó là phương pháp nhiễu tham số (the Parameterized Perturbation method) [10], phương pháp nhiễu đồng luân (the Homotopy Perturbation method) [11], phương pháp nhiễu lặp (the Iteration Perturbation method ) [12], các phương pháp này được đề xuất bởi J. Nghiệm xấp xỉ bậc cao của dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ được tìm bởi Beléndez và cộng sự [13] nhờ cải tiến phương pháp nhiễu đồng luân sửa đổi. Độ chính xác của nghiệm của bài toán dao động phi tuyến đã được cải thiện đáng kể khi sử dụng các phương pháp nhiễu tham số, nhiễu đồng luân và nhiễu lặp.
Tuy nhiên, một nhược điểm của các phương pháp nhiễu đó là sự phức tạp trong thủ tục tìm nghiệm đặc biệt là đối với những hệ dao động mà số hạng phi tuyến có dạng phức tạp (dạng hữu tỉ hoặc với số mũ hữu tỉ) [13]. Phương pháp cân bằng điều hòa Phương pháp cân bằng điều hòa (the Harmonic Balance method) được biết đến như là phương pháp Fourier-Galerkin, dựa trên việc khai triển nghiệm của bài toán dao động phi tuyến dưới dạng chuỗi Fourier, phương trình vi phân được đưa về một hệ các phương trình đại số để tìm đáp ứng biên độ - tần số của bài toán dao động. Phương pháp cân bằng điều hòa được sử dụng phổ biến để phân tích các bài toán dao động phi tuyến tiền định của hệ một bậc tự do, chẳng hạn như Mickens và cộng sự [14, 15]. Các bài toán dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ được nghiên cứu bởi Mickens sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa [16 - 19].
Hu và Tang [20] sử dụng 9 phương pháp cân bằng điều hòa để phân tích dao động Duffing – điều hòa. Razzak [21] đã áp dụng phương pháp cân bằng điều hòa để tìm nghiệm xấp xỉ bậc cao của dao động phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ và vô tỉ. Beléndez và cộng sự [22] đã phân tích dao động phi tuyến của một khối lượng gắn vào một sợi dây đàn hồi được kéo căng sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa, phương trình chuyển động của hệ là phương trình vi phân phi tuyến với lực phục hồi có dạng vô tỉ. Nghiệm xấp xỉ cho các hệ dao động bảo toàn được đưa ra bởi Beléndez và cộng sự sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa sửa đổi [23].
Stupnicka [24] đã nghiên cứu bài toán cộng hưởng kết hợp của hệ dao động phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động tham số sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa. Nghiệm xấp xỉ bậc cao của các hệ dao động phi tuyến mạnh một bậc tự do được tìm bởi Hosen và cộng sự [25] sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa sửa đổi. Wu và cộng sự [26] đã phân tích dao động Duffing dạng giếng đôi nhờ kết hợp phương pháp Newton và phương pháp cân bằng điều hòa. Với xấp xỉ bậc nhất, phương pháp cân bằng điều hòa cho kết quả thường không chính xác.
Những xấp xỉ bậc cao hơn đã cải thiện đáng kể sự chính xác của phương pháp này, tuy nhiên với xấp xỉ bậc cao hơn đòi hỏi phải giải một hệ khá phức tạp các phương trình đại số để tìm tần số của bài toán dao động [21, 25]. Phương pháp khai triển tham số Phương pháp khai triển tham số (the Parameter Expansion method) có thể biết đến như là phương pháp tham số bookkeeping (the Bookkeeping Parameter method) [27] và phương pháp Lindstedt–Poincare sửa đổi (the modified Lindstedt–Poincare method) [28-30] được giới thiệu bởi J. Các phương pháp này dựa trên việc khai triển các tham số trong phương trình vi phân, thay vì tần số phi tuyến, thành chuỗi lũy thừa của các tham số mở rộng để tránh sự xuất hiện của các số hạng trường kỳ (secular terms), từ đó quan hệ biên độ - tần số của dao động có thể thu được. Ozis và Yildirm [31] đã tìm nghiệm xấp xỉ của dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ sử dụng phương pháp Lindstedt–Poincare sửa đổi.
Phương pháp khai triển tham số chỉ thích hợp đối với những hệ phi tuyến với lực phục hồi có dạng đa thức; còn đối với những hệ phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ và vô tỉ, phương pháp khai triển tham số thường ít được sử dụng bởi sự phức tạp của phương pháp này trong thủ tục tìm nghiệm. Phương pháp năng lượng Trong các phương pháp năng lượng, phương pháp cân bằng năng lượng (the Energy Balance method - EBM) là phương pháp được sử dụng phổ biến, phương pháp này được giới thiệu bởi J.