Mô Hình Phân Tử Hữu Hạn Trong Phân Tích Dao Động Của Dầm Có Cơ Tính Biến Đổi

Khám phá mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động dầm với cơ tính biến đổi theo hai chiều, ứng dụng trong kỹ thuật xây dựng.

• Tác giả: Trần Thị Thơm
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Đình Kiên
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
• Đề tài: Phân Tích Dao Động Dầm Hữu Hạn Với Cơ Tính Biến Đổi
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phân Tích Dao Động Dầm FGM Tại Sao Cần Thiết

Vật liệu có cơ tính biến đổi (FGM) đang ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các môi trường khắc nghiệt, nơi mà vật liệu truyền thống không đáp ứng được yêu cầu. FGM kết hợp ưu điểm của cả gốm (độ bền cao, tỷ trọng thấp) và kim loại (độ dai, khả năng chịu va đập), loại bỏ các nhược điểm của vật liệu composite phân lớp như tách lớp và tập trung ứng suất. Nghiên cứu cho thấy đáp ứng động lực học của dầm FGM có thể được cải thiện đáng kể thông qua việc điều chỉnh tỷ phần thể tích vật liệu. Bài toán dao động kết cấu là một vấn đề quan trọng, và việc nghiên cứu dao động của dầm FGM đang thu hút sự quan tâm lớn. Luận án này tập trung vào phát triển các mô hình phần tử hữu hạn (FEM) để phân tích dao động dầm có cơ tính biến đổi, đáp ứng nhu cầu thực tế. Trích dẫn từ tài liệu gốc: "Các nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng các đáp ứng động lực học của dầm FGM được cải thiện đáng kể nhờ việc lựa chọn hợp lý tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần."

1.1. Vật Liệu FGM Ưu Điểm Vượt Trội So Với Vật Liệu Truyền Thống

Vật liệu FGM được tạo ra để khắc phục những hạn chế của vật liệu truyền thống, đặc biệt là trong môi trường khắc nghiệt. Sự kết hợp giữa gốm và kim loại giúp tạo ra một vật liệu có độ bền cao, chịu được nhiệt độ cao và chống ăn mòn tốt. Đồng thời, FGM cũng giải quyết vấn đề tách lớp và tập trung ứng suất thường gặp ở vật liệu composite phân lớp. Điều này mở ra nhiều ứng dụng tiềm năng cho dầm FGM trong các ngành công nghiệp khác nhau.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Bài Toán Dao Động Dầm FGM

Bài toán dao động của dầm FGM là một vấn đề quan trọng trong kỹ thuật. Nó liên quan đến việc dự đoán và kiểm soát các rung động của dầm khi chịu tải trọng động. Hiểu rõ về đặc tính dao động của dầm FGM là rất quan trọng để đảm bảo an toàn và hiệu suất của kết cấu. Các yếu tố như tần số dao động, biên độ dao động và chế độ dao động cần được phân tích kỹ lưỡng.

II. Thách Thức Trong Phân Tích Dao Động Dầm Có Cơ Tính Biến Đổi

Phân tích dao động dầm với cơ tính biến đổi (đặc biệt là dầm 2D-FGM) đặt ra nhiều thách thức. Phần lớn các nghiên cứu trước đây tập trung vào dầm có cơ tính biến đổi theo một chiều. Trong thực tế, dầm FGM có thể chịu tải trọng cơ và nhiệt thay đổi theo nhiều phương, đòi hỏi phân tích phức tạp hơn. Việc tối ưu hóa độ bền và trọng lượng kết cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích vật liệu theo nhiều hướng là một vấn đề cần được giải quyết. Do tính chất cơ-lý thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm trở thành hàm của tọa độ, gây khó khăn cho các phương pháp giải tích truyền thống. Vì vậy, cần có phương pháp hiệu quả hơn để phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Trích dẫn từ tài liệu gốc: "Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ không gian dọc theo trục dầm."

2.1. Hạn Chế Của Các Nghiên Cứu Trước Đây Về Dầm FGM

Phần lớn các nghiên cứu trước đây về dầm FGM tập trung vào trường hợp cơ tính chỉ biến đổi theo một chiều (chiều cao hoặc chiều dài). Điều này không phản ánh đầy đủ các điều kiện thực tế, khi dầm FGM có thể chịu tải trọng phức tạp và sự thay đổi cơ tính theo nhiều hướng. Do đó, cần có những nghiên cứu sâu hơn về dầm có cơ tính biến đổi theo nhiều chiều.

2.2. Khó Khăn Khi Sử Dụng Phương Pháp Giải Tích Truyền Thống

Các phương pháp giải tích truyền thống thường gặp khó khăn khi phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Lý do là vì các hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm trở thành hàm của tọa độ, làm cho việc giải phương trình trở nên phức tạp. Do đó, cần tìm kiếm các phương pháp số hiệu quả hơn để giải quyết bài toán này.

2.3. Sự Cần Thiết Của Phân Tích Dầm FGM Chịu Tải Trọng Phức Tạp

Trong thực tế, dầm FGM thường phải chịu các tải trọng cơ và nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Điều này đòi hỏi các phương pháp phân tích phải có khả năng mô phỏng chính xác các điều kiện tải trọng phức tạp này. Nếu không, kết quả phân tích có thể không chính xác và dẫn đến những quyết định sai lầm trong thiết kế.

III. Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn FEM Giải Pháp Hiệu Quả Phân Tích Dầm

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) nổi lên như một giải pháp hiệu quả để phân tích dao động của dầm 2D-FGM. FEM có khả năng xử lý các bài toán phức tạp với cơ tính vật liệu thay đổi và hình dạng kết cấu phức tạp. Việc phát triển các mô hình FEM phù hợp, bao gồm xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, là rất quan trọng. Các mô hình này cần đảm bảo độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và khả năng đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu và hình học. Luận án này tập trung vào phát triển các mô hình FEM tiên tiến để phân tích dao động của dầm 2D-FGM trong các điều kiện khác nhau. Trích dẫn từ tài liệu gốc: "Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh trong phân tích kết cấu, là lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích truyền thống trong nghiên cứu bài toán này."

3.1. Ưu Điểm Của FEM So Với Các Phương Pháp Giải Tích Khác

FEM có nhiều ưu điểm so với các phương pháp giải tích truyền thống. Nó có thể xử lý các bài toán phức tạp với cơ tính vật liệu thay đổi, hình dạng kết cấu phức tạp và điều kiện biên phức tạp. FEM cũng cho phép phân tích kết cấu trong các điều kiện tải trọng khác nhau, bao gồm cả tải trọng tĩnh và tải trọng động.

3.2. Xây Dựng Mô Hình FEM Ma Trận Độ Cứng Và Ma Trận Khối Lượng

Việc xây dựng mô hình FEM đòi hỏi việc xác định ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho từng phần tử. Các ma trận này thể hiện mối quan hệ giữa lực và chuyển vị, cũng như giữa khối lượng và gia tốc. Việc xây dựng các ma trận này đòi hỏi kiến thức sâu về cơ học vật rắn và phương pháp phần tử hữu hạn.

3.3. Yêu Cầu Về Độ Tin Cậy Và Tốc Độ Hội Tụ Của Mô Hình FEM

Một mô hình FEM tốt cần đảm bảo độ tin cậy cao và tốc độ hội tụ tốt. Độ tin cậy đảm bảo rằng kết quả phân tích là chính xác, trong khi tốc độ hội tụ đảm bảo rằng quá trình tính toán không mất quá nhiều thời gian. Các yếu tố ảnh hưởng đến độ tin cậy và tốc độ hội tụ bao gồm kích thước phần tử, loại phần tử và phương pháp giải.

IV. Ứng Dụng FEM Phân Tích Ảnh Hưởng Của Nhiệt Độ Hình Dạng

Các mô hình FEM được phát triển trong luận án này được sử dụng để phân tích ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và sự thay đổi của thiết diện ngang dọc theo trục dầm đến đặc tính dao động. Nhiệt độ có thể ảnh hưởng đáng kể đến cơ tính của vật liệu, trong khi hình dạng kết cấu có thể ảnh hưởng đến độ cứng và khối lượng. Các mô hình này cũng có khả năng mô phỏng ảnh hưởng của biến dạng trượt đến các đặc trưng dao động và đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM. Kết quả phân tích giúp hiểu rõ hơn về hành vi của dầm FGM trong các điều kiện khác nhau. Trích dẫn từ tài liệu gốc: "Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và sự thay đổi của thiết diện ngang dọc theo trục dầm là các yếu tố thường xuất hiện trong thực tế được xem xét trong mô hình PTHH phát triển trong Luận án."

4.1. Ảnh Hưởng Của Nhiệt Độ Đến Đặc Tính Dao Động Của Dầm

Nhiệt độ có thể ảnh hưởng đáng kể đến cơ tính của vật liệu, như mô-đun đàn hồi và hệ số giãn nở nhiệt. Sự thay đổi cơ tính này có thể ảnh hưởng đến tần số dao động và biên độ dao động của dầm. Việc phân tích ảnh hưởng của nhiệt độ là rất quan trọng để thiết kế dầm FGM có khả năng hoạt động ổn định trong môi trường nhiệt độ cao.

4.2. Ảnh Hưởng Của Hình Dạng Thiết Diện Đến Độ Cứng Và Khối Lượng

Hình dạng thiết diện của dầm có thể ảnh hưởng đến độ cứng và khối lượng của nó. Dầm có thiết diện lớn hơn thường có độ cứng cao hơn và khối lượng lớn hơn. Sự thay đổi hình dạng thiết diện dọc theo trục dầm cũng có thể ảnh hưởng đến đặc tính dao động. Việc phân tích ảnh hưởng của hình dạng thiết diện là rất quan trọng để tối ưu hóa thiết kế dầm FGM.

4.3. Biến Dạng Trượt Yếu Tố Cần Xét Đến Trong Phân Tích Dầm

Biến dạng trượt là một yếu tố quan trọng cần được xem xét trong phân tích dầm, đặc biệt là đối với dầm ngắn và dầm dày. Bỏ qua biến dạng trượt có thể dẫn đến kết quả phân tích không chính xác. Các mô hình FEM được phát triển trong luận án này có khả năng mô phỏng ảnh hưởng của biến dạng trượt đến đặc tính dao động của dầm.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Hội Tụ So Sánh Và Ảnh Hưởng Tham Số Dầm

Luận án đánh giá sự hội tụ và độ tin cậy của các mô hình FEM đã phát triển. Các mô hình này được so sánh với nhau và với các kết quả đã được công bố trước đó. Nghiên cứu cũng tập trung vào phân tích ảnh hưởng của các tham số vật liệu (tỷ phần thể tích, cơ tính), tham số hình học (chiều dài, chiều cao, hình dạng thiết diện) và điều kiện biên đến đặc tính dao động của dầm 2D-FGM. Kết quả cho thấy các mô hình FEM được phát triển có độ tin cậy cao và khả năng mô phỏng chính xác hành vi của dầm 2D-FGM. Trích dẫn từ tài liệu gốc: "Các mô hình này cần có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM."

5.1. Đánh Giá Độ Tin Cậy Và Khả Năng Hội Tụ Của Mô Hình FEM

Độ tin cậy và khả năng hội tụ là những yếu tố quan trọng để đánh giá chất lượng của một mô hình FEM. Độ tin cậy đảm bảo rằng kết quả phân tích là chính xác, trong khi khả năng hội tụ đảm bảo rằng quá trình tính toán không mất quá nhiều thời gian. Luận án đã thực hiện các thử nghiệm để đánh giá độ tin cậy và khả năng hội tụ của các mô hình FEM.

5.2. So Sánh Kết Quả Với Các Nghiên Cứu Đã Được Công Bố

Để đảm bảo tính chính xác của các mô hình FEM, kết quả phân tích đã được so sánh với các kết quả đã được công bố trước đó. Sự phù hợp giữa các kết quả cho thấy các mô hình FEM được phát triển có độ tin cậy cao và có thể được sử dụng để phân tích dao động của dầm 2D-FGM.

5.3. Phân Tích Ảnh Hưởng Của Các Tham Số Đến Dao Động Dầm

Luận án đã thực hiện phân tích ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số hình học và điều kiện biên đến đặc tính dao động của dầm 2D-FGM. Kết quả phân tích giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tham số và đặc tính dao động, từ đó đưa ra các khuyến nghị thiết kế phù hợp.

VI. Kết Luận Và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Về Dầm FGM

Luận án đã phát triển thành công một số mô hình FEM để phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Các mô hình này có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và khả năng mô phỏng ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác nhau. Kết quả nghiên cứu góp phần vào việc hiểu rõ hơn về hành vi của dầm FGM và cung cấp công cụ hữu ích cho thiết kế kết cấu. Hướng phát triển tiếp theo có thể tập trung vào nghiên cứu dầm FGM chịu tải trọng phức tạp hơn, kể đến ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến và phát triển các phương pháp tối ưu hóa thiết kế dầm FGM. Trích dẫn từ tài liệu gốc: "Từ những phân tích nêu trên, tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài nghiên cứu cho Luận án của mình."

6.1. Tóm Tắt Những Kết Quả Nghiên Cứu Chính Của Luận Án

Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng trong việc phát triển các mô hình FEM để phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Các mô hình này có khả năng mô phỏng chính xác hành vi của dầm FGM và cung cấp công cụ hữu ích cho thiết kế kết cấu.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Về Dầm FGM Chịu Tải Phức Tạp

Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào nghiên cứu dầm FGM chịu tải trọng phức tạp hơn, như tải trọng động, tải trọng va chạm và tải trọng nhiệt. Việc nghiên cứu các điều kiện tải trọng phức tạp này sẽ giúp mở rộng ứng dụng của dầm FGM trong các ngành công nghiệp khác nhau.

6.3. Phát Triển Phương Pháp Tối Ưu Hóa Thiết Kế Dầm FGM

Một hướng nghiên cứu quan trọng khác là phát triển các phương pháp tối ưu hóa thiết kế dầm FGM. Các phương pháp này có thể giúp tìm ra thiết kế dầm tối ưu về độ bền, độ cứng và trọng lượng. Việc tối ưu hóa thiết kế dầm FGM sẽ giúp giảm chi phí sản xuất và tăng hiệu suất của kết cấu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 TỔNG QUAN Chương này tóm lược các kết quả nghiên cứu trong phân tích dầm 1D-FGM của các tác giả trên thế giới. Kết quả được thảo luận trên cơ sở hai phương pháp phân tích, phương pháp giải tích và phương pháp số. Kết quả nghiên cứu liên quan tới dầm 2D-FGM, đối tượng nghiên cứu của Luận án, được thảo luận chi tiết. Các nghiên cứu trong nước về dầm FGM cũng được đề cập.

Cuối chương trình bày định hướng nghiên cứu và một số điểm mới của Luận án. Dầm FGM Vật liệu có cơ tính biến đổi (FGM), do các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần đầu tiên vào năm 1984 [1], có thể xem như là thế hệ vật liệu composite mới. FGM được tạo bằng cách thay đổi liên tục tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần, thường theo các tọa độ không gian. Vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong các vật liệu composite phân lớp và gia cường sợi như sự tách lớp hay tập trung ứng suất.

Với các ưu điểm này cùng khả năng chịu nhiệt cao của gốm, độ dai và va đập tốt của kim loại, FGM ngày càng được sử dụng nhiều để chế tạo các phần tử kết cấu và chi tiết máy trong các lĩnh vực công nghệ cao như công nghiệp hạt nhân, hàng không, vũ trụ, truyền thông, năng lượng,. Luật thay đổi tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần đóng vai trò quan trọng nhất tới tính chất hiệu dụng và ứng xử của kết cấu FGM. Dầm FGM phổ biến và được quan tâm nhiều nhất được tạo từ hai vật liệu thành phần, gốm và kim loại, với tỷ phần thể tích thay đổi theo chiều cao dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa [2]: z 1 n   h h Vc = + , Vm = 1 −Vc , với − ≤ z ≤ (1.1) h 2 2 2 trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ phần thể tích của gốm và kim loại; z là tọa độ theo chiều cao dầm, tính từ mặt giữa; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham số vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần. Trong phương trình (1.1) và dưới đây, các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ được dùng để chỉ các pha gốm và kim loại.

Dầm với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật (1.1) 5 6 được gọi là dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang (transverse FGM beam). Các tính chất hiệu dụng của dầm này chỉ là hàm của tọa độ z. Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc (axially FGM beam) cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Dầm được thiết kế để tăng khả năng ổn định và cải thiện ứng xử sau tới hạn, trong đó tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của dầm thay đổi theo chiều dài dầm, chẳng hạn bằng quy luật hàm số lũy thừa:  x n Vc = 1 − , Vm = 1 −Vc , với 0 ≤ x ≤ L (1.2) L trong đó L là chiều dài dầm, x là tọa độ theo chiều dài dầm.

Dao động của dầm FGM với quy luật hàm số lũy thừa (1.2) đã được nhiều tác giả trong nước và trên thế giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Alshorbagy và cộng sự [3], Shahba và cộng sự [4, 5], Gan và cộng sự [6, 7, 8], Lê Thị Hà [9], Wang và Wu [10], Nguyễn Ngọc Huyên [11], Nguyễn Tiến Khiêm [12], Vũ Thị An Ninh [13], Bùi Văn Tuyển [14]. Ngoài quy luật hàm số lũy thừa, dầm với cơ tính biến đổi theo quy luật hàm số mũ [15, 16], quy luật sigmoid [17, 18, 19] cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Phân tích dầm FGM với các tính chất vật liệu thay đổi theo hai quy luật này tương tự như phân tích dầm có các tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa. Dầm FGM với tính chất cơ-lý chỉ thay đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài, được ký hiệu là "dầm 1D-FGM" trong Luận án này.

Ngoài dầm FGM hai pha với các tính chất cơ-lý của các vật liệu thành phần chỉ thay đổi theo chiều cao hoặc chiều dài, một số tác giả còn nghiên cứu dầm FGM với cơ tính biến đổi theo hai chiều (two-dimensional functionally graded material beam - dầm 2D-FGM), chiều cao và chiều dài dầm. Chẳng hạn, Şimşek [20] nghiên cứu dầm 2D-FGM với tính chất vật liệu được giả sử thay đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa, trong đó tỷ phần thể tích của hai vật liệu thành phần được cho bởi [20, 21]: x 1 ku  z 1 kw V2(x, z) = + + , V1(x, z) +V2(x, z) = 1 (1.3) L 2 h 2 với ku và kw là các tham số vật liệu xác định sự thay đổi của các vật liệu thành phần tương ứng theo chiều dài và chiều cao của dầm. Quy luật hàm số mũ sử dụng cho sự thay đổi tính chất vật liệu của dầm 2D- 7 FGM cũng được Şimşek khảo sát trong [22, 23]: P(x, z) = PLB ek1 α (x)+k3 β (z) (1.4), k1 và k3 là các tham số không thứ nguyên. Tỷ phần thể tích của hai vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm số lũy thừa tương tự như (1.3) được Shafiei và cộng sự sử dụng trong nghiên cứu dầm nano/micro làm từ 2D-FGM [24]: 1 z nz  x nx Vc(x, z) = + , Vc +Vm = 1 (1.5) 2 h L trong đó nx và nz tương ứng là tham số vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm.

Trong các nghiên cứu về dầm 2D-FGM nói trên, dầm được giả định được tạo từ hai vật liệu thành phần. Gần đây, một số tác giả nghiên cứu kết cấu FGM được tạo từ hơn hai vật liệu thành phần [25, 26, 27, 28]. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần trong phần lớn các nghiên cứu này được giả định tuân theo quy luật hàm số lũy thừa theo hai hướng không gian. Theo hiểu biết của tác giả, trước Luận án chưa có nghiên cứu nào về dầm 2D-FGM được tạo từ hơn hai vật liệu thành phần.

Số lượng các công trình công bố liên quan đến dầm FGM ngày càng tăng nhanh. Dưới đây tóm lược một số kết quả liên quan trực tiếp đến hướng nghiên cứu của Luận án. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới Cả hai phương pháp, phương pháp giải tích và phương pháp số, được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu ứng xử của dầm 1D-FGM. Với dầm có cơ tính biến đổi ngang, các hệ số của phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động của dầm FGM với thiết diện ngang không đổi là các hằng số, vì thế phương pháp giải tích có thể phát huy các ưu điểm như trong nghiên cứu dầm thuần nhất.

Phương pháp giải tích Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng Navier được Aydogdu và Taskin [29] sử dụng để thu nhận tần số và mode dao động của dầm FGM tựa giản đơn với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa hoặc quy luật hàm số mũ. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao được các tác giả sử 8 dụng để thiết lập phương trình chuyển động cho dầm. Benatta và cộng sự [30] xây dựng nghiệm giải tích cho bài toán uốn của dầm Euller-Bernoulli và dầm Rayleigh làm từ FGM có tính tới ảnh hưởng của sự oằn (warping effect). Trong [31], dao động riêng, sự phân bố ứng suất và lan truyền sóng trong dầm FGM có tính chất vật liệu thay đổi tùy ý theo chiều cao dầm được nghiên cứu bằng một phương pháp giải tích mới.

Phương pháp không gian trạng thái (State space method) được Ying và cộng sự [16] sử dụng để thu nhận nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng cho bài toán uốn và dao động tự do của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi Winkler- Pasternak. Sina cùng đồng nghiệp [32] thiết lập phương trình chuyển động cho dao động tự do của dầm FGM trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt mới và sử dụng phương pháp giải tích để thu nhận tần số dao động riêng. Nghiệm giải tích cho phương trình chuyển động của bài toán dao động tự do của dầm FGM, thiết lập trên cơ sở mô hình dầm thứ bậc (Hierarchical beam models), được Giunta và đồng nghiệp [33] xây dựng. Mô hình dầm Euler-Bernoulli và dầm Timoshenko có thể nhận được như là trường hợp riêng của mô hình dầm thứ bậc do các tác giả đề nghị.

Wei và Liu [34] sử dụng phương pháp Ritz–Galerkin để nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến của dầm Euler-Bernoulli FGM. Sử dụng phương pháp ma trận truyền, Wei và cộng sự [35] thu nhận được phương trình tần số cho dầm FGM có vết nứt chịu lực dọc trục. Phương pháp Galerkin được Lai và đồng nghiệp [36] sử dụng để nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM. Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên độ dao động tới tần số dao động riêng của dầm được các tác giả khảo sát chi tiết.

Birsan và cộng sự [37] đưa ra biểu thức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm sandwich FGM có lõi xốp. Ảnh hưởng của sự tách lớp được Liu và Shu [38] xét đến trong nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có tính chất cơ-lý thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa sử dụng phương pháp giải tích. Phương pháp giải tích cũng được một số tác giả sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới ứng xử của dầm FGM. Trong [39], Kiani và Eslami xây dựng nghiệm giải tích cho bài toán mất ổn định nhiệt của dầm Euler-Bernoulli FGM với các điều kiện biên khác nhau.

Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, Mahi cùng cộng sự [18] trình bày phương pháp giải tích để đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ tới tần số dao động riêng của dầm FGM. Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba mới do Shi đề nghị [40] được Wattanasakulpong và đồng nghiệp [41] sử dụng để thiết lập các 9 phương trình cơ bản cho nghiên cứu mất ổn định nhiệt và dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ. Kết quả số của các tác giả chỉ ra rằng tần số dao động cơ bản của dầm giảm dần về 0 khi nhiệt độ môi trường tăng dần tới nhiệt độ tới hạn. Ma và Lee [42] đưa ra nghiệm giải tích cho bài toán ứng xử phi tuyến của dầm FGM chịu tải trọng nhiệt.

Phương pháp giải tích cũng được Eroglu sử dụng trong nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ [43]. Ảnh hưởng của nhiệt độ được xem xét bởi một số tác giả trong nghiên cứu dao động tự do phi tuyến của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi [44, 45].