Chương 1: Tổng quan Trang 22 ƯƠNG 2 CHƯƠNG ĐỘNG NG HỌC H ƠC CƠ CẤU C ĐỊNH U KHUNG CỐ NH NGOÀI DẠNG D NG HEXAPOD 2. Động ng học h cơ cấu. Khái niệm ni - Khung chỉnh c định ch nh hình cố nh ngoài dạng d ng Hexapod là dạng d ng khung có kết k cấuu độộng họcc song song, thường th thư đượ ợc gọii là Stewart Gough Platform. - Kếtt cấu c u 1 tay máy song song thường th ng gồm c định g m giá cố nh (Fixed Base), giá chuyển chuy n độộng t m này đượcc nối ng (Moving Platform).
Hai tấm n vớii nhau bằng b ng các chân (Limb). -Vì Vì các chân ít chịu ch tải trọng u và tảải đượcc phân bố ng uốn b cho nhi nhiều u chân nên cơ c cấuu độộng họcc song song có độ đ cứng vữ ững cơ họcc rấtt cao, khả kh năng tảii llớn, n, quán tính nhỏ. Phân tích vị v trí của c phần n công tác v trí củủa phầnn công tác nằm Phân tích vị n m trong số nh ng bài toán ccơ bảản nhất củaa s những độộng học cơ cấu c u song song. Có 2 loại lo i bài toán phân tích vị v trí: thu n: xác định - Bài toán thuận: nh vị v trí và hướng hư phầầnn công tác khi bi biếtt giá trị tr các bi khớp.
biến ngh ch: xác định - Bài toán nghịch: nh giá trị tr các biến ớp để đảm bi khớ m bbảo o quy luật lu chuyểnn độộng củaa phần ph n công tác. Đối vớới một cơơ ccấu song song thì bài toán ngượ ng ợc đơn giảnn hhơn n bài toán thuận. Bài toán ngược ng ngư có thểể có nhiềuu nghiệm, nghi m, tùy thuộc thu c vào số ừaa và trong s bậcc ttự do thừ tính toán kếkết cấu cầnn biết bi chiềuu dài các chân của c cơ ơ ccấu nên chúng ta ch chỉỉ quan tâm đếếnn bài toán ngược. Cơ cấu không gian 6xSPS (Stewart-Gough (Stewart Gough Platform) Chương 2.
Đ Chương Động họcc cơ cấu khung cố c định nh ngoài dạng d ng Hexapod Trang 23 2. Mô tả hình học của cơ cấu công tác Để mô tả vị trí vòng di động so với vòng cố định ta gắn hệ tọa độ A(x, y, z) lên vòng cố định và hệ tọa độ B(x, y, z) lên vòng di động như hình 2. Chuyển vị của vòng di động so với vòng cố định được thay thế bằng chuyển vị giữa hệ tọa độ B(u, v, w) so với hệ tọa độ A(x, y, z) và được biển diễn bằng vector chuyển vị p và ma trận quay RAB. Ký hiệu u, v, w là các vector đơn vị trong hệ tọa độ di động B(u, v, w), mà trận quay RAB có thể viết như sau: ux vx wx cos cos ( x, u ) cos cos ( x, v ) cos cos ( x, w ) R = uy A B vy a y = cos cos ( y , u ) cos cos ( y, v ) cos cos ( y, w ) (2.1) u vz wz cos cos ( z , u ) cos cos ( z , v ) cos cos ( z , w ) z Là các vector đơn vị, các phần tử của ma trận RAB phải thõa mãn đồng thời các điều kiện: ux2 + uy2 + uz2 = 1 (2.2) vx2 + vy2 + vz2 = 1 (2.3) wx2 + wy2 + wz2 = 1 (2.4) uxvx + uy vy + uz vz = 0 (2.5) ux wx + uy wy + uz wz = 0 (2.6) vx wx + vy wy + vz wz = 0 (2.7) Ký hiệu ai = [aix, aiy, aiz] và bBi = [biu, biv, biv] là các vector biểu diễn vị trí của tâm khớp cầu Ai, Bi( với i=1, 2, 3, ., 6) trong hệ tọa độ A( x, y, z), có thể viết phương trình vector vòng kín tương ứng với chân thứ i như sau: Ai Bi = p + RBAbiB − ai (2.8) Chiều dài di của chân thứ i nhận được bằng cách nhân vô hướng vector Ai Bi với chính nó: di2 = [ p + RBAbiB − ai ]T [ p + RBAbiB − ai ]T với i= 1, 2, .9) Khai triển vế phải của biểu thức (3.9), ta được: di2 = pT p + [bi B ]T [bi B ] + aiT ai + 2 pT [ RBAbi B ] − 2 pT ai − 2[ RBAbi B ]T ai (2.
Động học cơ cấu khung cố định ngoài dạng Hexapod Trang 24 Hệ 6 phương trình dạng (2.10) biểu diễn vị trí của vòng di động so với vòng cố định, trong đó biB và ai là các vector hằng , phụ thuộc vào kết cấu của cơ cấu song song. Động học ngược Đối với bài toán động học ngược, đã biết vector chuyển vị p và ma trận quay RAB của hệ tọa độ B so với A. Do đó, chiều dài các chân di (i= 1, 2,., 6) là: di = pT p + [bi B ]T [bi B ] + aiT ai + 2 pT [ RBAbi B ] − 2 pT ai − 2[ RBAbi B ]T ai Với i =1,2,…,6. Ứng với mỗi vị trí bệ, có 2 nghiệm khả dĩ cho mỗi nhánh.
Tuy nhiên di chỉ nhận giá trị dương. Khi nghiệm di là số phức, vị trí bệ di động là không thể đạt được. Xác định các thành phần trong bài toán động học ngược: Hình 2. Xác định các thông số động học ngược - Xác định vecto vị trí p: Tọa độ vecto vị trí p trùng với tọa độ gia công tại vị trí đang xét.
Phương và chiều vecto p hướng từ tọa độ cố định đến vị trí đầu dụng cụ. - Xác định ma trận quay RAB: Có nhiều phương pháp xác định ma trận quay như phương pháp thực hiện phép quay theo 3 góc Euler, phương pháp phép quay Roll-Pitch-Yaw (RPY), … Dưới đây trình bày phương pháp thường dùng là phép quay theo 3 góc Euler. Động học cơ cấu khung cố định ngoài dạng Hexapod Trang 25 Giả sử ban đầu vecto trục dụng cụ trùng với trục z và có tọa độ n=[0, 0,1]T, tiến hành thực hiện 2 phép quay để đưa trục dụng cụ đến vị trí có tọa độ n=[nx, ny,nz]T: Hình 2. Phép quay theo 3 góc Euler 1.
Quay góc ∅ quanh trục z. Quay tiếp góc θ quanh trục y mới, đó là trục y’. Quay tiếp góc ψ quanh trục z mới, đó là trục z”. Ma trận biểu diễn phép quay theo 3 góc Euler nhận được bằng cách nhân 3 ma trận với nhau.
Ở phép quay Euler nếu thực hiện thứ tự quay ngược lại (ψ-θ-∅)cũng cho kết quả như nhau. Động học cơ cấu khung cố định ngoài dạng Hexapod Trang 26 Xác định các góc Euler: Lần lượt cân bằng 2 biểu thức (2.11), ta có: ∅ θ ψ− ∅ ψ − ∅ θ ψ− ∅ ψ ∅ θ = = ∅ θ ψ + ∅ ψ − ∅ θ ψ + θ ψ ∅ θ − θ ψ θ ψ θ = ∅ θ ψ − ∅ ψ = ∅ θ ψ + ∅ ψ = − θ ψ = − ∅ θ ψ − ∅ ψ = − ∅ θ ψ + θ ψ = θ ψ = ∅ θ = ∅ θ = θ Từ đó ta có: = θ ⇒ θ = arccosw$ = cos %& w$ (2.14) Do tính đa trị của hàm lượng giác arccos và có hàm sin ở mẫu số nên các công thức trên không xác định khi θ = 01 hoặc θ = 751 ± 1801. Do đó người ta thường dùng hàm arctag2(y,x) gọi là hàm arctg2 biến với mục đích xác định góc thực duy nhất với dấu của tỷ thức y/x. Hàm số trả về giá trị góc trong khoảng -π ≤ θ ≤ π bằng cách xét dấu của y và x.
Các góc Euler được xác định như sau:[7] ∅ = arctg2a9 , a: ) (2. Động học cơ cấu khung cố định ngoài dạng Hexapod Trang 27 2. Jacobian Jacobian là một ma trận dùng để chuyển đổi vận tốc trong không gian khớp sang vận tốc trong không gian công tác và ngược lại. Do tồn tại nhiều vòng động học kín nên bài toán vận tốc của cơ cấu song song rất phức tạp.
Thông số đầu vào của bài toán là vector vận tốc q = [q 1 ,q 2 ,.,q 6 ]T , còn thông số đầu ra là vector, được mô tả bởi vận tốc của gốc P của hệ tọa độ di dộng và vận B tốc góc của tấm di động: ?@ =AC D (2.18) Ma trận Jacobian có thể được xác định từ phương trình vector vòng kín của mỗi chân.1, ta có: OP + PBi = OAi + AB i i (2.19) Đạo hàm theo thời gian hai vế của phương trình trên, ta được: vp + ωB bi = qiωi si + qi si (2.20) trong đó: bi và si ký hiệu vector PBi và vector đơn vị theo trục Ai Bi , ωi là vận tốc góc của chân thứ i so với hệ tọa độ cố định A. Để khử ωi , nhân 2 vế của phương trình (2.20) với si : si vp + (bi si )ωB = qi (2., 6 nhận được 6 phương trình dạng (2.21) và chúng được ghép thành ma trận dạng: J x x = J q q (2.22) s1T (b1 s1 )T T s T2 (b2 s2 ) trong đó: Jx = và Jq= I T s 6 (b6 s6 )T Từ đây suy ta được thông số đầu ra của bài toán thuận: Jq 1 x = q = q (2.23) Jx J Chương 2. Động học cơ cấu khung cố định ngoài dạng Hexapod Trang 28 Đối với bài toán ngược ta có quan hệ ngược lại: Jx q = x = Jx (2.24) Jq trong đó: J được gọi là ma trận Jacobian. Phân tích tĩnh và độ cứng vững của cơ cấu song song Phân tích tĩnh cơ cấu song song nhằm xác định lực tác động lên các cơ cấu và trạng thái cân bằng của chúng.
Kết quả phân tích tĩnh dùng để đánh giá tính ổn định của các cơ cấu khi làm việc.Mặt khác, giá trị lực và momen tác động lên các khâu, khớp cho phép cho pháp tính toán độ bền của các khâu. Mục này trình bày phương pháp biểu diễn lực tĩnh tác dụng lên cơ cấu và chuyển đổi lực giữa các hệ tọa độ.Sự phân tích tĩnh cơ cấu song songcũng dẫn đến phân tích độ cứng vững.Quan hệ giữa lực tác dụng lên phần công tác với chuyển vị của nó được biểu diễn thông qua ma trận độ cứng (Stiffness matrix). Phân tích tĩnh a.