Nghiên Cứu Mô Hình Truyền Sóng Của Phương Trình Schrödinger Có Nhiễu Phi Tuyến

Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến và các mô hình sóng liên quan, khám phá ứng dụng và lý thuyết.

• Tác giả: Huỳnh Thanh Toàn
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Minh Quân
• Trường học: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Nghiên Cứu Mô Hình Truyền Sóng Phương Trình Schrödinger Có Nhiễu Phi Tuyến
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Sơ lược về lịch sử soliton
• 1.2. Phương trình Schrodinger phi tuyến và các kết quả chuẩn bị
• 1.3. Nghiệm soliton lý tưởng
• 1.4. Lý thuyết tính nhiễu quanh soliton lý tưởng
• 1.5. Một số kết quả biến đổi Fourier cho nghiệm soliton
• 1.6. Luật bảo toàn cho phương trình Schrodinger phi tuyến
• 1.7. Một số kết quả về ổn định Lyapunov
• 1.8. Phương pháp giải số
• 1.8.1. Phương pháp tách bước Fourier
• 1.8.2. Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian ảo
• 2. CHƯƠNG 2: TRUYỀN DẪN SOLITON CỦA MÔ HÌNH (1+1)D SCHRODINGER PHI TUYẾN BẬC BA CÓ NHIỄU
• 2.1. Giới thiệu bài toán
• 2.2. Dịch chuyển tần số soliton
• 2.2.1. Dịch chuyển tần số cho soliton đơn
• 2.2.2. Dịch chuyển tần số cho chuỗi soliton
• 2.3. Kết quả mô phỏng số
• 2.4. Một số bài toán ứng dụng phép dịch chuyển tần số soliton
• 2.4.1. Ổn định truyền dẫn soliton với suy hao/lợi nhiễu tuyến tính
• 2.4.2. Va chạm lặp lại của hai soliton
• 2.4.3. Động lực biên độ soliton có nhiễu Raman và suy hao/lợi nhiễu phi tuyến
• 2.5. Mô hình Lotka-Volterra và phân tích tính ổn định điểm cân bằng
• 2.5.1. Kết quả mô phỏng số
• 2.6. Kết luận chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: VA CHẠM CỦA 2D SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN BÃO HÒA VÀ CỦA SÓNG TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU
• 3.1. Giới thiệu bài toán
• 3.2. Va chạm của 2D SNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến
• 3.3. Tính toán lý thuyết
• 3.4. Kết quả mô phỏng số
• 3.5. Va chạm của sóng tuyến tính có nhiễu suy hao phi tuyến
• 3.6. Mô hình Schrodinger tuyến tính có nhiễu suy hao bậc ba
• 3.7. Mô hình tái-khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao bậc hai
• 3.8. Kết luận chương 3
• 4. CHƯƠNG 4: VA CHẠM CỦA SOLITON TRONG MÔ HÌNH (n + 1)D SCHRODINGER PHI TUYẾN BẬC BA-NĂM CÓ NHIỄU
• 4.1. Giới thiệu bài toán
• 4.2. Động lực biên độ va chạm của 1D soliton
• 4.2.1. Tính toán lý thuyết
• 4.2.2. Kết quả mô phỏng số
• 4.3. Động lực biên độ va chạm của 2D soliton
• 4.3.1. Tính toán lý thuyết
• 4.3.2. Kết quả mô phỏng số
• 4.4. Động lực biên độ va chạm của 3D soliton
• 4.4.1. Tính toán lý thuyết
• 4.4.2. Kết quả mô phỏng số
• 4.5. Kết luận chương 4
• 5. CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
• 5.1. Kết luận chung
• 5.2. Kiến nghị
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Nghiên Cứu Mô Hình Truyền Sóng Phương Trình Schrödinger

Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng và vật lý. Phương trình Schrödinger phi tuyến (NLS) mô tả sự tương tác của sóng trong các môi trường phi tuyến, nơi mà các hiện tượng như soliton và nhiễu phi tuyến xuất hiện. Các nghiên cứu này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý mà còn có ứng dụng thực tiễn trong công nghệ thông tin quang.

1.1. Khái niệm về Mô Hình Truyền Sóng và Nhiễu Phi Tuyến

Mô hình truyền sóng là một công cụ toán học mô tả sự lan truyền của sóng trong không gian và thời gian. Nhiễu phi tuyến là các yếu tố làm biến đổi hình dạng và năng lượng của sóng trong quá trình truyền dẫn, ảnh hưởng đến độ chính xác của thông tin truyền tải.

1.2. Tầm Quan Trọng của Nghiên Cứu Mô Hình NLS

Nghiên cứu mô hình NLS giúp phát hiện và phân tích các hiện tượng như soliton, một dạng sóng ổn định có khả năng truyền dẫn mà không bị biến dạng. Điều này có ý nghĩa lớn trong việc phát triển công nghệ truyền thông quang hiện đại.

II. Vấn Đề và Thách Thức trong Nghiên Cứu Mô Hình NLS

Một trong những thách thức lớn trong nghiên cứu mô hình truyền sóng là ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến đến các nghiệm soliton. Nhiễu này có thể làm thay đổi biên độ, tần số và hình dạng của sóng, dẫn đến sai số trong quá trình truyền thông. Việc hiểu rõ các yếu tố này là cần thiết để cải thiện chất lượng truyền dẫn.

2.1. Ảnh Hưởng của Nhiễu Phi Tuyến đến Soliton

Nhiễu phi tuyến có thể gây ra sự thay đổi năng lượng và tần số của soliton, làm giảm hiệu suất truyền dẫn. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, trong môi trường quang dẫn, nhiễu này có thể dẫn đến sự tách rời hoặc biến dạng của soliton.

2.2. Các Thách Thức Kỹ Thuật trong Mô Hình NLS

Việc mô phỏng và tính toán các nghiệm của phương trình NLS trong điều kiện nhiễu phi tuyến đòi hỏi các phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả. Các thách thức này bao gồm việc phát triển các thuật toán mới và cải tiến các mô hình hiện có.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Mô Hình Truyền Sóng NLS

Để nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến, nhiều phương pháp đã được áp dụng. Các phương pháp này bao gồm tách bước Fourier, phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian và các kỹ thuật mô phỏng số khác. Những phương pháp này giúp phân tích và dự đoán hành vi của sóng trong các điều kiện khác nhau.

3.1. Phương Pháp Tách Bước Fourier

Phương pháp tách bước Fourier là một kỹ thuật mạnh mẽ trong việc giải quyết các phương trình đạo hàm riêng. Kỹ thuật này cho phép phân tích sóng trong miền tần số và thời gian, giúp hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các sóng.

3.2. Phương Pháp Gia Tốc Tiến Hóa Theo Thời Gian

Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian là một kỹ thuật mới giúp cải thiện tốc độ tính toán và độ chính xác trong mô phỏng các nghiệm soliton. Kỹ thuật này cho phép theo dõi sự thay đổi của sóng theo thời gian một cách hiệu quả.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn của Nghiên Cứu Mô Hình NLS

Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến có nhiều ứng dụng thực tiễn trong công nghệ thông tin quang. Các nghiệm soliton được sử dụng để truyền tải thông tin trong các hệ thống quang dẫn, giúp nâng cao hiệu suất và độ tin cậy của truyền thông.

4.1. Ứng Dụng trong Công Nghệ Thông Tin Quang

Soliton được sử dụng như các bit thông tin trong hệ thống quang dẫn, giúp truyền tải dữ liệu với tốc độ cao và độ chính xác cao. Điều này đã mở ra nhiều cơ hội mới trong lĩnh vực truyền thông hiện đại.

4.2. Ứng Dụng trong Kỹ Thuật Quang Điện Tử

Nghiên cứu về soliton và nhiễu phi tuyến cũng có ứng dụng trong các thiết bị quang điện tử, giúp cải thiện hiệu suất và khả năng hoạt động của các thiết bị này trong thực tế.

V. Kết Luận và Tương Lai của Nghiên Cứu Mô Hình NLS

Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến là một lĩnh vực đầy tiềm năng. Các kết quả nghiên cứu hiện tại đã mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo, đặc biệt là trong việc cải tiến các mô hình và phương pháp tính toán.

5.1. Kết Luận về Tác Động của Nhiễu Phi Tuyến

Nhiễu phi tuyến có ảnh hưởng lớn đến các nghiệm soliton, và việc hiểu rõ các tác động này là cần thiết để cải thiện chất lượng truyền dẫn. Các nghiên cứu tiếp theo cần tập trung vào việc phát triển các mô hình chính xác hơn.

5.2. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai

Hướng nghiên cứu tương lai có thể bao gồm việc phát triển các phương pháp mới để giải quyết các bài toán mở trong lĩnh vực này, cũng như ứng dụng các kết quả nghiên cứu vào thực tiễn trong công nghệ thông tin quang.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số 62460112) của nghiên cứu sinh Huỳnh Thanh Toàn, thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Minh Quân và PGS. Mai Đức Thành (năm 2022), tập trung nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger phi tuyến (Nonlinear Schrödinger - NLS) có nhiễu và các mô hình sóng liên quan trong vật liệu quang học nhân tạo (silica, silicon, tinh thể quang học).

Trong kỹ thuật thông tin quang hiện đại, công nghệ ghép kênh theo bước sóng (Wavelength Division Multiplexing - WDM) cho phép truyền tải đồng thời nhiều chuỗi xung soliton trên cùng một sợi quang dẫn nhằm gia tăng dung lượng kênh mà không cần tăng số lượng sợi cáp quang. Tuy nhiên, sự tương tác giữa trường sóng ánh sáng và vật liệu dẫn sóng làm xuất hiện các hiệu ứng nhiễu phi tuyến và nhiễu ngẫu nhiên, tiêu biểu là tán xạ Raman trong sợi silica, sự hấp thụ hai photon (Two-Photon Absorption - TPA, gây suy hao bậc ba) và sự hấp thụ nhiều photon (Multiphoton Absorption - MPA, gây suy hao bậc $2m+1$) trong vật liệu silicon. Các quá trình nhiễu này gây biến đổi biên độ, dịch chuyển tần số và làm suy hao năng lượng của xung sóng trong quá trình truyền dẫn cũng như khi xảy ra va chạm nhanh ($|\Delta\beta| \gg 1$), dẫn đến sai số truyền tin. Do đó, việc nghiên cứu định lượng tác động của nhiễu lên nghiệm sóng và xác định mức năng lượng cần thiết cho các bộ khuếch đại (amplifier) nhằm bù đắp tổn hao năng lượng là yêu cầu cấp thiết.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định và tập trung giải quyết gồm 4 nội dung chính:

1. Xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số một lượng tùy ý tại vị trí truyền dẫn bất kỳ cho xung đơn và chuỗi soliton trong mô hình Schrödinger phi tuyến bậc ba (Cubic NLS - CNLS), đồng thời khắc phục hạn chế của các mô hình truyền sóng thuần nhất trong việc duy trì ổn định biên độ chuỗi soliton đa kênh qua khoảng cách truyền dẫn dài.
2. Xây dựng kỹ thuật tính nhiễu cho soliton 2 chiều (2D soliton) trong môi trường quang dẫn phi tuyến bão hòa (Saturable NLS - SNLS) – một hệ phương trình đạo hàm riêng không khả tích.
3. Khảo sát động lực biên độ va chạm nhanh của các xung sóng không phải soliton trong các mô hình truyền sóng tuyến tính có suy hao phi tuyến yếu.
4. Định lượng sự biến đổi biên độ do va chạm nhanh của soliton $n$ chiều ($n=1, 2, 3$) trong môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm (Cubic-Quintic NLS - CQNLS) có nhiễu suy hao phi tuyến bậc cao.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là nghiệm sóng soliton và sóng tuyến tính của các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến: phương trình CNLS $(1+1)\text{D}$, phương trình SNLS $(2+1)\text{D}$, phương trình CQNLS $(n+1)\text{D}$ ($n=1, 2, 3$), phương trình Schrödinger tuyến tính và phương trình tải - khuếch tán tuyến tính có nhiễu. Phạm vi nghiên cứu bao gồm việc phân tích giải tích các tham số nghiệm (biên độ, tần số, vận tốc, pha) kết hợp kiểm chứng mô phỏng số thông qua phương pháp tách bước Fourier (SSFM) và phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian ảo (AITEM) trên hệ tọa độ không thứ nguyên tương ứng với cự ly truyền dẫn thực tế trong hệ thông tin quang tốc độ 40 Gb/s đến hàng nghìn kilômét.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Hiện tượng sóng đơn độc (solitary waves) được John Scott Russell quan sát lần đầu tiên vào năm 1834 trên kênh đào nước và xây dựng công thức vận tốc $v = \sqrt{g(h+k)}$. Đến năm 1895, Diederik Korteweg và Gustav de Vries thiết lập phương trình toán học mô tả sóng đơn độc (phương trình KdV). Năm 1965, N. Zabusky và M. Kruskal thực hiện giải số phương trình KdV, phát hiện tính chất bảo toàn hình dạng của sóng sau va chạm và đặt ra thuật ngữ "soliton". Năm 1973, A. Hasegawa và F. Tappert chỉ ra sự tồn tại của soliton quang học trong sợi quang mô tả bởi phương trình NLS. Đến năm 1980, L. F. Mollenhauer tiến hành thành công thí nghiệm truyền dẫn soliton quang trong sợi quang tại phòng thí nghiệm Bell (Hoa Kỳ).

Đối với bài toán tính nhiễu cho soliton 1 chiều (1D soliton), D. J. Kaup (1976, 1990) đã xây dựng lý thuyết tính nhiễu quanh soliton lý tưởng của phương trình CNLS $(1+1)\text{D}$ dựa trên nghiệm giải tích dạng $\text{sech}$ và hệ hàm riêng của toán tử tuyến tính hóa $L_\eta$. Kỹ thuật của Kaup được nhiều tác giả áp dụng thành công để tính toán sự biến đổi tham số của 1D soliton dưới tác động của tán xạ Raman, suy hao bậc ba và suy hao bậc $2m+1$ tổng quát khi xảy ra va chạm nhanh. Bên cạnh đó, các hệ phương trình vi phân thường (ODEs) mô tả động lực biên độ soliton cũng được thiết lập cho mô hình NLS có nhiễu suy hao bậc ba, nhiễu Raman hoặc nhiễu dạng Ginzburg-Landau (GL). Về dịch chuyển tần số, một số công trình trước đây sử dụng hệ thống quang dẫn có nhiễu Raman kết hợp bộ khuếch đại phụ thuộc tần số, nhưng phương pháp này không dịch chuyển được thành phần bức xạ tương ứng và không dịch chuyển được một lượng tần số $\Delta\beta$ tùy ý tại khoảng cách bất kỳ.

Đối với soliton đa chiều ($n \ge 2$), soliton trong môi trường phi tuyến bậc ba thông thường không ổn định do hiện tượng sụp đổ chùm sáng (beam collapse) ở mức năng lượng cao. Các nghiên cứu gần đây chỉ ra 2D và 3D soliton có thể truyền dẫn ổn định trong môi trường phi tuyến bão hòa (SNLS), phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm (CQNLS), hoặc môi trường có thế năng ngoài. Tuy nhiên, các mô hình $(2+1)\text{D}$ SNLS, $(2+1)\text{D}$ CQNLS và $(3+1)\text{D}$ CQNLS đều không khả tích, khiến phương pháp tính nhiễu giải tích truyền thống của Kaup không thể áp dụng trực tiếp.

Vị trí học thuật của luận án:

• Về phương pháp dịch chuyển tần số: Luận án khắc phục hạn chế của các công trình trước bằng việc đề xuất thuật toán phân rã tần số trên miền biến đổi Fourier, cho phép dịch chuyển tần số chính xác cho chuỗi soliton.
• Về mô hình truyền dẫn đa kênh: Luận án đề xuất mô hình lai ghép (hybrid model) kết hợp phân tích hệ động lực Lotka-Volterra và hàm Lyapunov, tối ưu hóa năng lượng khuếch đại so với các mô hình thuần nhất (uniform models).
• Về lý thuyết tính nhiễu: Luận án phát triển phương pháp tính nhiễu dựa trên kỹ thuật cân bằng năng lượng và phương trình truyền dẫn soliton đơn cho các hệ NLS không khả tích đa chiều ($(2+1)\text{D}$ SNLS và $(n+1)\text{D}$ CQNLS với $n=1,2,3$).
• Về động lực sóng tuyến tính: Luận án mở rộng kỹ thuật tính nhiễu sang hệ thống sóng tuyến tính có suy hao phi tuyến, định lượng tính chất tương tự soliton (soliton-like) của sóng Gauss và sóng tải - khuếch tán.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng khung lý thuyết và hệ thống phương pháp toán học - tính toán sau:

1. Khung lý thuyết toán học:

   • Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến: Khảo sát phương trình CNLS $(1+1)\text{D}$, phương trình SNLS $(2+1)\text{D}$, phương trình CQNLS $(n+1)\text{D}$ và các phương trình sóng tuyến tính có số hạng nhiễu.
   • Biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier thuận $\mathcal{F}tf(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt$ và biến đổi ngược $\mathcal{F}t^{-1}$ trên không gian $L^1(\mathbb{R})$, ứng dụng phân tích cấu trúc phổ của soliton đơn và chuỗi soliton tuần hoàn dạng $\psi{sq}(t,z) = \sum_{k=-J}^J \psi_{sl}(t-kT, z)$.
   • Luật bảo toàn: Sử dụng các đại lượng bảo toàn của phương trình NLS lý tưởng gồm năng lượng $C_1 = \int_{-\infty}^\infty |\psi(t,z)|^2 dt$, động lượng $C_2 = i\int_{-\infty}^\infty (\psi\partial_t\psi^* - \psi^*\partial_t\psi)dt$ và Hamiltonian $C_3 = \int_{-\infty}^\infty (|\partial_t\psi|^2 - |\psi|^4)dt$.
   • Lý thuyết ổn định Lyapunov và phân tích hệ động lực: Áp dụng tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thông qua hàm Lyapunov $V(x)$, phương pháp Lyapunov gián tiếp (tuyến tính hóa ma trận Jacobi) và lý thuyết rẽ nhánh điểm cân bằng trên hệ phương trình vi phân thường tự trị dạng Lotka-Volterra.

2. Phương pháp nghiên cứu giải tích:

   • Phương pháp tính nhiễu giải tích Kaup quanh nghiệm soliton lý tưởng thông qua toán tử $L_\eta$ và ma trận Pauli $(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$.
   • Phương pháp cân bằng năng lượng: Thay thế việc giải phương trình vi phân tuyến tính hóa của Kaup bằng việc lấy đạo hàm tích phân mật độ năng lượng dọc theo khoảng cách truyền dẫn $z$, kết hợp tính xấp xỉ tích phân theo các thành phần biến đổi nhanh khi hai sóng va chạm ở vận tốc tương đối lớn ($|\Delta\beta| \gg 1$).

3. Phương pháp giải số và công cụ tính toán:

   • Phương pháp tách bước Fourier (Split-Step Fourier Method - SSFM): Lược đồ giả phổ cấp hai với sai số $O(h^3)$ (trong đó $h = \Delta z$ là bước lưới không gian), tách toán tử tuyến tính $\hat{L} = i\partial_t^2$ (hoặc $i\Delta_\perp$) giải trên miền tần số thông qua biến đổi Fourier nhanh (FFT, độ phức tạp $O(n\log n)$) và toán tử phi tuyến $\hat{N}$ giải bằng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 (RK4).
   • Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian ảo (Accelerated Imaginary-Time Evolution Method - AITEM): Giải phương trình biên độ elliptic không khả tích $\hat{L}\infty u = \mu u$ bằng cách biến đổi biến thời gian $t \to -it$, sử dụng toán tử điều chỉnh $M = c - \Delta\perp$ ($c > 0$) để gia tốc tốc độ hội tụ của nghiệm soliton tĩnh trước khi đưa vào mô phỏng va chạm.
   • Công cụ lập trình: Toàn bộ thuật toán và chương trình giải số được nghiên cứu sinh lập trình bằng ngôn ngữ C++ và phần mềm MATLAB.

4. Nguồn dữ liệu và quy chuẩn tham số:

   • Dữ liệu mô phỏng được chuẩn hóa không thứ nguyên từ các thông số vật lý thực tế của hệ thống thông tin quang sợi đơn mode: tốc độ bit $B = 40\text{ Gb/s}$, hệ số tán sắc bậc hai $\beta_2 = -4\text{ ps}^2/\text{km}$, hệ số phi tuyến Kerr $\gamma = 4\text{ W}^{-1}\text{km}^{-1}$, công suất đỉnh soliton $P_0 = 360\text{ mW}$, độ rộng xung $T_0 = 5/3\text{ ps}$, khoảng cách chuẩn hóa $z = Z/(2L_D)$ với $L_D = T_0^2/|\beta_2|$ (khoảng cách thực tế $Z = \frac{25}{18}z\text{ km}$).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các cơ sở lý thuyết và phương pháp bổ trợ phục vụ cho các chương nghiên cứu chuyên sâu:

• Trình bày lịch sử nghiên cứu sóng đơn độc và soliton từ quan sát của Russell (1834), phương trình KdV (1895), phát hiện của Zabusky - Kruskal (1965), đến phương trình NLS trong sợi quang của Hasegawa - Tappert (1973) và thực nghiệm của Mollenhauer (1980).
• Trình bày nghiệm soliton giải tích của phương trình CNLS lý tưởng ($i\partial_z\psi + \partial_t^2\psi + 2|\psi|^2\psi = 0$) và phương trình CQNLS ($i\partial_z\psi + \partial_t^2\psi + 2|\psi|^2\psi - \nu|\psi|^4\psi = 0$). Nghiệm soliton phụ thuộc 4 tham số: biên độ $\eta$, tần số $\beta$, vị trí ban đầu $y_0$ và pha ban đầu $\alpha$, với vận tốc nhóm $v_g = 2\beta$.
• Thiết lập lý thuyết tính nhiễu Kaup: Tách trường sóng $\psi(t,z) = \psi_s(t,z) + \psi_r(t,z)$, xây dựng toán tử vi phân tuyến tính $L_\eta = [i\partial_x - \eta^2\sigma_3 + \frac{2\eta^2}{\cosh^2(x)}\sigma_3 + \frac{i\eta^2\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\sigma_2]$, xác định hệ 4 hàm riêng ${f_0, f_1, f_2, f_3}$ tương ứng với các biến thiên pha, vị trí, tần số và biên độ.
• Trình bày các mệnh đề về biến đổi Fourier của xung đơn $\psi_{sl}$ và chuỗi $(2J+1)$ xung soliton $\psi_{sq}$, chứng minh các luật bảo toàn năng lượng, động lượng và Hamiltonian.
• Trình bày các định lý ổn định Lyapunov cho hệ động lực tự trị $\dot{x} = f(x)$ và tiêu chuẩn ổn định tiệm cận qua ma trận Jacobi.
• Trình bày chi tiết giải thuật số SSFM cấp hai và điều kiện hội tụ của phương pháp AITEM dựa trên phổ giá trị riêng của toán tử $L_1 = \Delta_\perp - \mu + F(u^2, x) + 2u^2\partial_{u^2}F(u^2, x)$.

Chương 2: Truyền dẫn soliton của mô hình (1+1)D Schrodinger phi tuyến bậc ba có nhiễu

Chương 2 giải quyết hai bài toán lớn: dịch chuyển tần số soliton và truyền dẫn ổn định biên độ trong hệ đa kênh CNLS.

1. Phương pháp dịch chuyển tần số soliton:

• Soliton đơn: Định lý 2.1 và thuật toán 2.2 chứng minh rằng bằng cách thực hiện biến đổi Fourier $\hat{\psi}{sl}(\omega,z)$, dịch chuyển phổ $\hat{\psi}{sl,n}(\omega,z) = \hat{\psi}{sl}(\omega - \Delta\beta, z)$ kết hợp phép ngoại suy trên vùng biên thiếu dữ liệu $[\omega{\min}, \omega_{\min} + \Delta\beta]$, sau đó lấy biến đổi ngược $\mathcal{F}_t^{-1}$, ta thu được soliton mới có tần số $\beta_n(z) = \beta(z) + \Delta\beta$ trong khi giữ nguyên biên độ $\eta(z)$ và vị trí $y(z)$. Mô phỏng số với $\Delta\beta = 20$, thực hiện 16 lần liên tiếp ($z_f = 8$) cho sai số đo dạng sóng thời gian $|\psi(t,z_f)|$ và phổ $|\hat{\psi}(\omega,z_f)|$ lần lượt là $5.0 \times 10^{-4}$ và $7.2 \times 10^{-4}$.
• Chuỗi soliton: Phổ của chuỗi soliton có dạng $\hat{\psi}_{sq}(\omega,z) = V(\omega,z)W(\omega)e^{iU(\omega,z)}$. Luận án chỉ ra:
  • Thuật toán I (Định lý 2.4): Áp dụng khi $\Delta\beta = 2m\pi/T$ ($m \in \mathbb{Z}$, $T$ là độ rộng khe thời gian). Phép dịch chuyển giữ nguyên cấu trúc pha tuần hoàn.
  • Thuật toán II (Định lý 2.7): Áp dụng cho $\Delta\beta$ bất kỳ bằng cách dịch chuyển độc lập hàm bao $V_n(\omega,z) = V(\omega - \Delta\beta, z)$ và pha $U_n(\omega,z) = U(\omega - \Delta\beta, z)$. Tuy nhiên, do phép chia cho $V(\omega,z)$ tại vùng đuôi có sai số lớn, Thuật toán II chỉ chính xác khi $|\Delta\beta| \ll L/2$ (với $15 \le L \le 40$).
  • Thuật toán III: Kết hợp phân rã tần số $\Delta\beta = \Delta\beta_1 + \Delta\beta_2$, trong đó $\Delta\beta_1 = 2m\pi/T$ được xử lý bằng Thuật toán I và phần dư $\Delta\beta_2 \in (-2\pi/T, 2\pi/T)$ được xử lý bằng Thuật toán II. Mô phỏng kiểm chứng chuỗi 9 soliton ($J=4, T=15$) dịch chuyển $\Delta\beta = 20$ qua 16 chu kỳ ($z_f = 80$) đạt sai số thời gian và tần số ở mức $2.3 \times 10^{-3}$ và $1.5 \times 10^{-3}$.

2. Động lực biên độ soliton trong mô hình lai ghép đa kênh: Xét hệ $N$ phương trình CNLS có ghép kênh, chịu tác động của tán xạ Raman ($\epsilon_R$), suy hao/lợi tuyến tính ($g_j$) và phi tuyến bậc ba/bậc năm ($L(|\psi_j|^2) = \epsilon_3^{(1)}|\psi_j|^2 - \epsilon_5|\psi_j|^4$ hoặc $L(|\psi_j|^2) = -\epsilon_3^{(2)}|\psi_j|^2$): $$i\partial_z\psi_j + \partial_t^2\psi_j + 2|\psi_j|^2\psi_j + 4\sum_{k=1, k\neq j}^N |\psi_k|^2\psi_j = ig_j\psi_j + iL(|\psi_j|^2)\psi_j - \epsilon_R\psi_j\partial_t|\psi_j|^2 - \epsilon_R\sum_{k=1}^N \left[\psi_j\partial_t|\psi_k|^2 + \psi_k\partial_t(\psi_j\psi_k^*)\right]$$ Bằng phương pháp tính toán biến thiên biên độ trong truyền dẫn đơn và va chạm nhanh, luận án rút gọn hệ phương trình đạo hàm riêng trên về hệ phương trình vi phân thường Lotka-Volterra (LV) mô tả động lực biên độ $\eta_j(z)$. Sử dụng hàm Lyapunov và kỹ thuật tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng, luận án xác định chính xác các hệ số khuếch đại $g_j$ để hệ đạt trạng thái ổn định tiệm cận. Kết quả mô phỏng số trên hệ 4 kênh truyền dẫn đến khoảng cách $z_f = 5350$ (tương đương hơn 7400 km) cho thấy biên độ các soliton duy trì ổn định quanh giá trị cân bằng lý thuyết. Vận dụng lý thuyết rẽ nhánh trên mô hình LV, luận án thực hiện thành công bài toán "chuyển kênh động" (bật/tắt chọn lọc các kênh truyền dẫn tại các khoảng cách định trước).

Chương 3: Va chạm của 2D soliton trong môi trường phi tuyến bão hòa và của sóng tuyến tính có nhiễu

Chương 3 trình bày phương pháp tính nhiễu mới không phụ thuộc nghiệm giải tích dạng $\text{sech}$:

1. Va chạm của 2D soliton trong mô hình SNLS có suy hao phi tuyến: Xét phương trình $(2+1)\text{D}$ SNLS với số hạng suy hao bậc $2m+1$ tổng quát: $$i\partial_z\psi_j + \Delta_\perp\psi_j + \frac{|\psi_j|^2 + |\psi_l|^2}{1 + \gamma(|\psi_j|^2 + |\psi_l|^2)}\psi_j = -i\epsilon_{2m+1}|\psi_j|^{2m}\psi_j - i\epsilon_{2m+1}\sum_{k=1}^m b_{klm}|\psi_l|^{2k}|\psi_j|^{2(m-k)}\psi_j$$ Do mô hình SNLS không khả tích, luận án áp dụng kỹ thuật cân bằng năng lượng: $\frac{d}{dz}\int_{\mathbb{R}^2} |\psi_j|^2 dx dy = \text{phần nhiễu}$. Tách quá trình truyền dẫn thành truyền dẫn đơn và tương tác va chạm, luận án thiết lập công thức giải tích tính độ suy giảm biên độ $\Delta A_j^{(c)}$ của 2D soliton sau va chạm nhanh ($d = |d_1 - d_2| \gg 1$). Kết quả phân tích lý thuyết được so sánh với mô phỏng số 2D SSFM (sử dụng nghiệm tĩnh ban đầu từ AITEM), cho thấy độ trùng khớp cao giữa lý thuyết và mô phỏng với các tham số suy hao bậc ba $\epsilon_3 = 0.01; 0.02; 0.03$ và vận tốc $d_1, d_2$ khác nhau.

2. Va chạm của sóng tuyến tính có suy hao phi tuyến:

• Mô hình Schrödinger tuyến tính có suy hao bậc ba: $$i\partial_z\psi_1 - \text{sgn}(\beta_2)\partial_t^2\psi_1 = -i\epsilon_1\psi_1 - i\epsilon_3|\psi_1|^2\psi_1 - 2i\epsilon_3|\psi_2|^2\psi_1$$ $$i\partial_z\psi_2 + id_1\partial_t\psi_2 - \text{sgn}(\beta_2)\partial_t^2\psi_2 = -i\epsilon_1\psi_2 - i\epsilon_3|\psi_2|^2\psi_2 - 2i\epsilon_3|\psi_1|^2\psi_2$$ Luận án chứng minh rằng sự biến thiên biên độ $\Delta A_1^{(c)}$ của hai xung sóng Gaussian tuyến tính sau va chạm nhanh có dạng toán học đồng nhất với công thức suy hao biên độ của soliton trong mô hình CNLS $(1+1)\text{D}$ có nhiễu suy hao bậc ba.
• Mô hình tải - khuếch tán tuyến tính có suy hao bậc hai: $$\partial_t u_1 = \partial_x^2 u_1 - \epsilon_1 u_1 - \epsilon_2 u_1^2 - \epsilon_2 u_1 u_2$$ $$\partial_t u_2 = \partial_x^2 u_2 - v_d\partial_x u_2 - \epsilon_1 u_2 - \epsilon_2 u_2^2 - \epsilon_2 u_1 u_2$$ Biểu thức giải tích cho độ suy giảm biên độ $\Delta A_1^{(c)}$ của hai sóng vật chất nồng độ $u_1, u_2$ được thiết lập và kiểm chứng bằng mô phỏng số, khẳng định "tính chất tương tự soliton" (soliton-like) của sóng tuyến tính trong tương tác va chạm nhanh có suy hao phi tuyến.

Chương 4: Va chạm của soliton trong mô hình (n+1)D Schrodinger phi tuyến bậc ba-năm có nhiễu

Chương 4 mở rộng nghiên cứu sang môi trường phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm ($(n+1)\text{D}$ CQNLS với $n=1, 2, 3$): $$i\partial_z\psi_j + \Delta_\perp\psi_j + 2|\psi_j|^2\psi_j - \nu|\psi_j|^4\psi_j + 4|\psi_l|^2\psi_j - 4\nu|\psi_l|^2|\psi_j|^2\psi_j - 2\nu|\psi_l|^4\psi_j = -i\epsilon_{2m+1}|\psi_j|^{2m}\psi_j - i\epsilon_{2m+1}\sum_{k=1}^m b_{klm}|\psi_l|^{2k}|\psi_j|^{2(m-k)}\psi_j$$ trong đó $\nu > 0$ là hệ số phi tuyến bậc năm cạnh tranh với phi tuyến bậc ba.

• Trường hợp 1D ($n=1$): Soliton đỉnh phẳng (flat-top soliton hay flaton). Luận án xây dựng phương pháp tính tác động của nhiễu dựa trên kỹ thuật cân bằng năng lượng và phương trình truyền dẫn soliton đơn. Biểu thức biến thiên biên độ $\Delta A_j^{(c)}$ được kiểm chứng qua mô phỏng SSFM tại điểm va chạm $z_c = 0.125$, cho thấy sự phù hợp giữa lý thuyết và mô phỏng số.
• Trường hợp 2D ($n=2$): Thiết lập biểu thức giải tích biến thiên biên độ $\Delta A_j^{(c)}$ của chùm sáng 2D soliton. Kết quả mô phỏng số 2D SSFM kiểm chứng sự phụ thuộc của $\Delta A_1^{(c)}$ vào các vận tốc va chạm $d_1, d_2$ và góc truyền sóng $\theta$.
• Trường hợp 3D ($n=3$): Thiết lập công thức biến thiên biên độ cho "đạn ánh sáng" (3D light bullets). Mô phỏng số 3D kiểm chứng sự tiến hóa của phân bố trường sóng $|\psi_j(\tau, x, y, z)|$ tại các mặt cắt phẳng $\tau = T_j(z)$, $x = X_j(z)$ và mặt cong đồng mức $|\psi_j| = 0.5$ tại khoảng cách trước và sau va chạm ($z=0$ và $z=Z_f$), xác nhận tính chính xác của phương pháp cân bằng năng lượng trên không gian 3 chiều.

Chương 5: Kết luận chung và kiến nghị

Tổng kết toàn bộ các kết quả lý thuyết và mô phỏng số đạt được trong 4 chương, khẳng định tính nhất quán giữa mô hình giải tích và kết quả tính toán số, đồng thời nêu các kiến nghị mở rộng hướng nghiên cứu.

Bảng dưới đây tổng hợp các mô hình, phương pháp giải tích và phương pháp giải số được nghiên cứu trong luận án:

Chương	Mô hình toán học	Dạng sóng nghiên cứu	Phương pháp giải tích	Phương pháp giải số
Chương 2	CNLS $(1+1)\text{D}$	Soliton đơn, chuỗi soliton 1D	Biến đổi Fourier, phân tích hệ động lực Lotka-Volterra, hàm Lyapunov	SSFM cấp hai, Runge-Kutta 4
Chương 3	SNLS $(2+1)\text{D}$	Soliton 2 chiều (chùm sáng)	Cân bằng năng lượng, xấp xỉ tích phân thành phần nhanh	AITEM, SSFM 2D
Chương 3	Schrödinger tuyến tính & Tải - khuếch tán	Sóng Gaussian, sóng nồng độ chất	Cân bằng năng lượng trường sóng tuyến tính	SSFM 1D, sai phân
Chương 4	CQNLS $(n+1)\text{D}$ ($n=1,2,3$)	Flaton 1D, chùm sáng 2D, đạn ánh sáng 3D	Cân bằng năng lượng, xấp xỉ tích phân đa chiều	AITEM, SSFM $(1\text{D}, 2\text{D}, 3\text{D})$

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả và đóng góp mới sau:

1. Đóng góp về lý luận và phương pháp toán học:

   • Xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số cho soliton đơn và chuỗi soliton trong mô hình CNLS $(1+1)\text{D}$. Phát hiện hạn chế của phép dịch chuyển trực tiếp trên miền Fourier và đề xuất Thuật toán III dựa trên kỹ thuật phân rã tần số $\Delta\beta = \Delta\beta_1 + \Delta\beta_2$, cho phép dịch chuyển chính xác một lượng tần số tùy ý mà không làm biến dạng hình bao và pha của chuỗi soliton.
   • Đề xuất mô hình lai ghép $N$ phương trình CNLS kết hợp tán xạ Raman và suy hao/lợi phi tuyến. Thiết lập hệ phương trình vi phân thường Lotka-Volterra mô tả động lực biên độ và sử dụng hàm Lyapunov để xác định chính xác bộ tham số khuếch đại tuyến tính $g_j$, duy trì ổn định biên độ chuỗi soliton qua cự ly truyền dẫn dài (trên 7400 km). Đồng thời, giải quyết bài toán chuyển kênh động (bật/tắt kênh) bằng lý thuyết rẽ nhánh hệ động lực.
   • Xây dựng phương pháp tính nhiễu mới dựa trên kỹ thuật cân bằng năng lượng cho các mô hình phương trình Schrödinger phi tuyến không khả tích đa chiều ($(2+1)\text{D}$ SNLS và $(n+1)\text{D}$ CQNLS với $n=1,2,3$). Phương pháp này không đòi hỏi dạng nghiệm giải tích $\text{sech}$ như lý thuyết Kaup truyền thống, cho phép định lượng chính xác sự suy hao biên độ do va chạm nhanh dưới tác động của suy hao phi tuyến bậc $2m+1$.
   • Chứng minh sự tồn tại của "tính chất tương tự soliton" (soliton-like) trong tương tác va chạm nhanh của sóng tuyến tính (phương trình Schrödinger tuyến tính có suy hao bậc ba và phương trình tải - khuếch tán có suy hao bậc hai).

2. Đóng góp về thực tiễn và tính toán khoa học:

   • Cung cấp công thức giải tích xác định mức năng lượng cần bổ sung cho các bộ khuếch đại quang học nhằm bù trừ chính xác phần năng lượng suy hao do tương tác va chạm và tán xạ Raman trong hệ thống truyền tin quang đa kênh WDM.
   • Xây dựng bộ mã nguồn tính toán khoa học bằng C++ và MATLAB kết hợp giải thuật SSFM và AITEM, cho phép mô phỏng chính xác quá trình tiến hóa và va chạm của soliton từ 1 chiều đến 3 chiều.

3. Kiến nghị và giải pháp đề xuất từ luận án:

   • Ứng dụng mô hình lai ghép và quy trình điều khiển Lyapunov vào việc thiết kế các thuật toán quản lý năng lượng tự động trong mạng thông tin quang đường trục.
   • Mở rộng kỹ thuật cân bằng năng lượng để nghiên cứu các hệ phương trình sóng phi tuyến khác có cấu trúc thế năng ngoài hoặc môi trường tinh thể quang tử (photonic crystal).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án:

• Các công thức giải tích tính toán biến thiên tham số sóng được xây dựng dựa trên giả thiết nhiễu yếu ($\epsilon \ll 1$) và vận tốc va chạm tương đối giữa các sóng là lớn ($|\Delta\beta| \gg 1$ hay $d \gg 1$). Khi các điều kiện này không thỏa mãn (va chạm chậm hoặc nhiễu mạnh), sai số giải tích sẽ gia tăng.
• Mô hình giải tích chủ yếu tập trung vào các dạng nhiễu xác định (Raman, TPA, MPA, suy hao/lợi tuyến tính và phi tuyến), chưa tích hợp đầy đủ các nguồn nhiễu ngẫu nhiên phát sinh từ sợi quang trong mô hình đa chiều.
• Thuật toán II trong dịch chuyển tần số chuỗi soliton bị giới hạn khoảng dịch chuyển $|\Delta\beta| \ll L/2$ do ảnh hưởng của việc chia cho giá trị hàm bao gần bằng không ở vùng biên phổ.

Hướng nghiên cứu tiếp:

• Nghiên cứu tác động đồng thời của nhiễu xác định và nhiễu ngẫu nhiên lên động lực truyền dẫn và va chạm của 2D và 3D soliton trong mô hình CQNLS và SNLS.
• Nghiên cứu các phương pháp giải số có bậc chính xác cao hơn và thuật toán song song hóa trên GPU để tối ưu hóa thời gian tính toán cho mô phỏng va chạm 3D soliton ("đạn ánh sáng").
• Khảo sát động lực truyền sóng trong các loại vật liệu quang học phi tuyến mới có thành phần tán sắc bậc cao và phi tuyến định hình phức tạp.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu cho:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán ứng dụng: Cung cấp phương pháp luận chi tiết về việc kết hợp giải tích phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, lý thuyết hệ động lực Lyapunov, lý thuyết nhiễu và các giải thuật số giả phổ (SSFM, AITEM).
• Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Vật lý quang học và Kỹ thuật viễn thông: Tham khảo các công thức định lượng suy hao năng lượng, phương pháp dịch chuyển tần số, mô hình cân bằng năng lượng đa kênh và phương pháp điều khiển chuyển kênh động trong hệ thống WDM.
• Phần nội dung có giá trị tham khảo cao: Thuật toán III về phân rã tần số Fourier (Chương 2), khung phân tích ổn định Lyapunov cho hệ Lotka-Volterra (Chương 2), và kỹ thuật cân bằng năng lượng cho hệ NLS đa chiều không khả tích (Chương 3 và Chương 4).

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao phương pháp tính nhiễu truyền thống của Kaup không áp dụng được cho 2D SNLS và 2D/3D CQNLS soliton? Trả lời: Phương pháp của Kaup (1976, 1990) dựa trên tính khả tích của phương trình CNLS $(1+1)\text{D}$ và dạng nghiệm giải tích tường minh dạng $\text{sech}$. Đối với mô hình $(2+1)\text{D}$ SNLS cũng như $(2+1)\text{D}$ và $(3+1)\text{D}$ CQNLS, các phương trình này là không khả tích và không có nghiệm giải tích tường minh (nghiệm biên độ tĩnh là hàm ẩn xác định qua phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic). Do đó, toán tử tuyến tính hóa không thể giải giải tích được, buộc luận án phải phát triển phương pháp tính nhiễu mới dựa trên kỹ thuật cân bằng năng lượng.

2. Thuật toán III giải quyết nhược điểm của Thuật toán I và Thuật toán II trong dịch chuyển tần số chuỗi soliton như thế nào? Trả lời: Thuật toán I chỉ thực hiện được khi độ dịch tần số có dạng rời rạc $\Delta\beta = 2m\pi/T$ ($m \in \mathbb{Z}$). Thuật toán II cho phép dịch chuyển $\Delta\beta$ tùy ý nhưng bị sai số lớn khi $|\Delta\beta|$ lớn do phép chia cho hàm biên độ phổ $V(\omega,z)$ tại vùng đuôi có giá trị tiến về 0 theo bậc mũ. Thuật toán III khắc phục bằng cách phân rã $\Delta\beta = \Delta\beta_1 + \Delta\beta_2$, trong đó phần lớn $\Delta\beta_1 = 2m\pi/T$ được dịch chuyển chính xác bằng Thuật toán I, còn phần dư nhỏ $\Delta\beta_2 \in (-2\pi/T, 2\pi/T)$ thỏa mãn điều kiện $|\Delta\beta_2| \ll L/2$ để xử lý bằng Thuật toán II.

3. Mô hình lai ghép (hybrid model) trong Chương 2 có ưu điểm gì so với các mô hình thuần nhất trước đây? Trả lời: Mô hình lai ghép kết hợp hệ $N$ phương trình CNLS có nhiễu Raman với số hạng suy hao/lợi phi tuyến dạng đa thức bậc ba - bậc năm. Bằng cách rút gọn về hệ phương trình vi phân thường Lotka-Volterra và áp dụng tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, mô hình lai ghép cho phép xác định chính xác mức bù năng lượng $g_j$ để hệ đạt trạng thái cân bằng tiệm cận, giúp chuỗi soliton truyền dẫn ổn định biên độ qua khoảng cách hơn 7400 km và thực hiện chuyển kênh động hiệu quả hơn so với các mô hình thuần nhất chỉ có suy hao bậc ba hoặc chỉ có nhiễu GL.

4. "Tính chất tương tự soliton" (soliton-like) trong va chạm sóng tuyến tính được hiểu như thế nào theo kết quả Chương 3? Trả lời: Thông thường, sóng tuyến tính không bảo toàn hình dạng khi truyền dẫn do hiện tượng tán sắc. Tuy nhiên, luận án chứng minh được rằng khi hai xung sóng Gaussian tuyến tính (hoặc sóng nồng độ chất trong mô hình tải - khuếch tán) va chạm nhanh dưới tác động của suy hao phi tuyến yếu, biểu thức giải tích mô tả độ suy giảm biên độ $\Delta A_1^{(c)}$ của sóng sau va chạm có cấu trúc toán học hoàn toàn trùng khớp với biểu thức suy giảm biên độ của soliton trong phương trình Schrödinger phi tuyến bậc ba.

5. Phương pháp AITEM đóng vai trò gì trong quy trình mô phỏng số của luận án? Trả lời: Trong các mô hình NLS không khả tích như $(2+1)\text{D}$ SNLS và $(n+1)\text{D}$ CQNLS ($n=2,3$), nghiệm biên độ soliton ban đầu không có công thức giải tích. Luận án sử dụng phương pháp AITEM (Accelerated Imaginary-Time Evolution Method) với toán tử biến đổi $M = c - \Delta_\perp$ để giải số phương trình vi phân elliptic phi tuyến, tạo ra biên độ profile soliton tĩnh chính xác trước khi đưa vào lược đồ SSFM để mô phỏng quá trình truyền dẫn và va chạm động lực học.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Huỳnh Thanh Toàn đã giải quyết có hệ thống các bài toán truyền dẫn và va chạm sóng trong các mô hình phương trình Schrödinger phi tuyến và tuyến tính có nhiễu. Bằng việc kết hợp chặt chẽ giữa các kỹ thuật giải tích (phân rã biến đổi Fourier, cân bằng năng lượng, hệ động lực Lyapunov) và phương pháp tính toán số (SSFM, AITEM, RK4), công trình đã đóng góp các công thức định lượng suy hao biên độ cho soliton đa chiều và chuỗi xung đa kênh trong sợi quang học. Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên 05 công trình khoa học quốc tế và báo cáo tại các hội nghị chuyên ngành Toán học trong nước.

Trích đoạn nội dung tài liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI • KHOA HỌC • HỌC • NHIÊN • Tự =======o()o======= HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH TRUYỀN SÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CO NHIEU PHI TUYEN VÀ CÁC MÔ HÌNH SÓNG LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN sĩ toán học TP. I lồ Chí Minh - Năm 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI • KHOA HỌC • HỌC • NHIÊN • Tự =======o()o======= HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH TRUYÊN SÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CO NHIEU PHI TUYEN VÀ CÁC MÔ HÌNH SÓNG LIÊN QUAN Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 Phản biện 1: PGS. Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS.

Kiều Phương Chi Phản biện độc lập 1: PGS. Lê Thị Phương Ngọc Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Anh Triết NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Nguyễn Minh Quân 2.

Mai Đức Thành TP. Hồ Chí Minh - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán ứng dụng, với đề tài "Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrodinger có nhiễu phi tuyến và các mô hình sóng liên quan", là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Minh Quân và PGS. Mai Đức Thành.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp vói các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Huỳnh Thanh Toàn i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học của tôi, TS. Nguyễn Minh Quân và PGS. Mai Đức Thành.

Quý Thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên và quan tâm tôi rất nhiều trong học tập, nghiên cứu khoa học và trong cuộc sống. Những kiến thức truyền đạt và lời chỉ dẫn quý báu của quý Thầy là nguồn động viên to lớn giúp tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án này. Tôi xin trân trọng căm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc giéì Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức quý báu và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận án. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Phòng, Ban của Trường đã giúp đỡ về các quy chế học vụ.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Đại học Y Được Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi về mặt công tác cho tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong nhóm nghiên cứu của quý Thầy hướng dẫn và lớp Nghiên cứu sinh khóa 26, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi xin gửi lời biết ơn đến gia đình tôi. Gia đình là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong những lúc tôi khó khăn nhất.

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì những hạn chế về kiến thức của bản thân, luận án khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, luận án rất mong nhận được những chỉ bảo quý báu của quý Thầy Cô, bạn bè và độc giả. ii MỤC LỰC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẤM ƠN 11 ••• MỤC LỤC ___ •_____ •___ ill DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIET tẮt vi DANH SÁCH HÌNH VẼ vii LỜI NÓI ĐẦu 1 1 KIẾN thức chuẩn bị• _________________________________ 15 1.1 Sơ lược _____________ về lịch •_______ sử soliton <_________________ 15 1.2 Phương trình Schrodinger phi tuyến và các kết quả chuẩn bị 16 1.1 Nghiệm soliton lý tưởng 17 1.2 Lý thuyết tính nhiễu quanh soliton lý tưởng 17 1.3 Một số kết quả biến đổi Fourier cho nghiệm soliton 19 1.4 Luật bảo toàn cho phương trình Schrodinger phi tuyến 20 1.3 Một sô kêt quả vê ôn định Lyapunov 21 -—" —---------------- -— -------- 777 7- 1.4 Phương pháp giai sô 1.1 Phương pháp tách bưâc Fourier 22 iiỉ 1.2 Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thòi gian áo 24 2 TRUYÊN DÂN SOLITON CỦA MỒ HÌNH (1+1)D SCHRODINGER PHI TUYÊN bậc ba có NHlỄu 27 2.1 Giới thiệu bài:--------------- ------------------- toán 27 2.2 Dịch chuyên tân sô soliton 30 2.1 Dịch chuyển tần số cho soliton đơn 31 2.2 Dịch chuyển tần số cho chuỗi soliton 32 2.3 Kêt quả mô phỏng số 36 2.3 Một sô bài toán ứng dụng phép dịch chuyến tân sô soliton 37 2.1 On định truyên dân soliton với suy hao/lợi nhiêu tuyên tính 37 2.2 Va chạm lặp lại của hai soliton 42 2.4 Dộng lực biên độ soliton có nhiễu Raman và suy hao/lợi nhiễu phi tuyến 46 2.1 Mô hình Lotka-Volterra và phân tích tính ổn định điểm cân bằng 47 2.2 Kết quả mô phỏng số 51 2.5 Kêt luận chương 2. 55 3 VA CHẠM CỦA 2D SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYÊN bão •________________ HÒA VÀ CỦA SÓNG TưyẾn tính có NHĩỄu 56 Giởi thiêu bài toán 56 3.2 Va chạm của 2D SNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến 59 3.1 Tính toán lý thuyêt 60 3.2 Kết quă mô phỏng sô 64 3.3 Va chạm của sóng tuyên tính có nhiễu suy hao phi tuyên 68 iv 3.1 Mô hình Schrodinger tuyên tính có nhiễu suy hao bậc ba .2 Mô hình tái-khuêch tán tuyên tính có nhiêu suy hao bậc hai 73 3.4 Kết luận chương 3.

77 4 VA CHẠM CỦA SOLITON TRONG MÔ HÌNH (/? + 1)D SHCRÕDINGER PHI TUYẾN bậc BA-NĂM có NHlễu 78 ____________ •_________ .1 Giối thiệu bài toán 78 4.2 Động lực biên độ va chạm của ID soliton 80 4.1 Tính toán lý thuyết 80 4.2 Kết quả mô phỏng số 84 4.3 Động lực biên độ va chạm của 2D soliton.1 Tính toán lý thuyết 86 4.2 Kết quả mô phóng số.4 Động lực biên độ va chạm của 3D soliton 93 4.1 Tính toán lý thuyết 93 4.2 Kết quả mô phỏng số 96 4.5 Kêt luận chương 4 99 5 KET LUẠN ______________ CHUNG VA KIEN NGHỊ• •________________________________ 100 KET luận __________ chung và kiẾn nghị• •________________________________ 100 5.1 Kết luận chung .2 Kiên nghị 102 DANH MỤC ____________ CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ •_______________________________________ 103 TÀI LIỆU________ THAM KHẢO •____________________ 104 V DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIET tẮt R Tập hợp các số thực. NLS Schrodinger phi tuyến (nonlinear Schrodinger). CNLS Schrodinger phi tuyến bậc ba (cubic NLS). CQNLS Schrodinger phi tuyến bậc ba-năm (cubic-quintic NLS).

SNLS Schrodinger phi tuyến bão hòa (saturable NLS). NLS soliton Soliton của phương trình NLS. CNLS soliton Soliton của phương trình CNLS. CQNLS soliton Soliton của phương trình CQNLS.

SNLS soliton Soliton của phương trình SNLS. nD soliton Soliton với số chiều của biến không gian là n. (rz + l)D Mô hình vởi số chiều tiến hóa là 1 và số chiều của biến không gian là n. GL : Ginzburg-Landau.

TPA : Sự hấp thụ hai photon ánh sáng (two-photon absorption). MPA : Sự hấp thụ nhiều photon ánh sáng (multiphoton absorption). PDEs : Hệ phương trình đạo hàm riêng. ODEs : Hệ phương trình vi phân thường.

LV : Mô hình Lotka-Volterra. FFT : Biến đôi Fourier nhanh (Fast Fourier transform). SSFM : Phương pháp tách bước Fourier (Split-step Fourier method). AITEM : Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian ảo (Accelerated imaginary-time evolution method).

Ft : Biến đối Fourier. F”1 : Biến đổi Fourier ngược. : I vi Danh sách hình vẽ 2.1 Minh họa Thuật toán III. Các hình vuông xanh lá, ngôi sao tím và kim cương xanh dương lần lượt tương ứng với lig™"'”1!, và Icon'Ll I- (b) Kết quả dịch chuyển tần số với Afi2 = 0.

(d) Dường cong liên nét xanh lá và đứt nét đỏ tương ứng với và 36 2.02, Afi = 20, IV = 15 vàp = 10.005, Afi = 20, IV = 15 và p = 107].3 Mô phỏng Zì 4 - Truyền dẫn soliton với g(íơ). (a) Soliton trên miền thời gian tại Zf = 1000. Đường cong đứt nét đỏ và liền nét xanh dương tương ứng với ,Zf)\ và lv/(f/ỉ)(/-,2y)|. (b) Soliton trên miên tân sô tại Zf = 1000.

Các hình tròn đỏ và hình kim cương xanh dương tương ứng với \ỳ{num\ừ),Zf)\ và |ựư/ỉ)(íơ,zy)|. Các hình tròn đỏ mô tả thu được tỳ- mộ phông số. Dường cong xanh dương tương ứng với ĩfthì(z) thu được từ ( 2.4 Mô phỏng|2 5 - Va chạm lặp lại của soliton, (a) Minh họa va chạm của hai soliton tại zCl = 0. Các hình tròn đỏ tương ứng TỊ{ýllim\zì thu được từ mô phỏng.

Đường cong xanh dương tương ứng vối từ tính toán d2. Truyền dẫn soliton ổn định biên độ với mô hình (|2. (a)- (b) Các hình tròn đò, hình vuông xanh lá, hình tam giác thuận xanh dương và hình tam giác ngược tím tương ứng vói T][jll"u\z), j = 1,2,3,4, thu được từ mô phỏng. Các đường cong liên nét nâu, đứt nét xám, đứt nét có châm đen và đường châm cam tương ứng với j = 1,2,3,4, thu được từ dự đoán lý thuyết trên mô hình LV ( 2.

(c)-(d) Soliton trên miền thời gian tại Zr4 = 5300 (c) và Zf4 = 5350 (d) thu được từ mô phỏng. Các đường cong đỏ liền nét, đưòng xanh lá đứt nét có chấm, đường xanh dương dầu nhân và đường màu tím đứt nét tương ứng với chuỗi soliton j = 1,2,3,4 thu được từ mô phòng. (a)-(b) Soliton trên miền tân số tại Zr4 = 5300 (a) và Zf4 = 5350 (b) thu được từ mô phỏng. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá, hình tam giác thuận xanh dương và tam giác ngược màu tím tương ứng với \ỳj (&>, z) I, j = 1,2,3,4, thu được từ mô phỏng J.

Bài toán chuyển kênh động, (a) Biên độ soliton ĩij(z) trên [0. Các đường cong màu nâu liên nét, màu xám đứt nét và màu đen đứt nét có chầm tương ứng vói kênh 1,2,3 thu được từ mô hình LV ||2. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá và hình tam giác xanh dương tương ứng với kênh 1, 2, 3 thu được từ mô phỏng của phương trình (2,4|. (b) Soliton trên miền thời gian tại Zf.

Các đường cong đỏ liên nét, đường xanh lá đứt nét có chàm và đưòng xanh dương dấu nhân tương ứng vói chuỗi soliton j = 1,2,3 thu được từ mô phongj.1 Kết quă mô phỏng cho 1 3.4 ) - Truyên dân 2D soliton (chùm sáng) dơn trong môi trưòng quang dẫn phi tuyến bão hòa vói c3 = 0._______ Phổ màu của soliton tại z = 0 và quá trình tiến hóa tại các khoảng cách truyền dẫn z = 2,4,6,8 và Zf = 10 thu được từ mô phỏng.2 Một va chạm của hai sóng 2D soliton vói phi tuyến bão hòa thu được tù’ mô phỏng ( 3. Hình ảnh soliton tại z = 0 (a, b), z = Zị = 0.3 (a) Sự phụ thuộc của vào dì và d2 với e3 = 0. Các hình tròn đỏ tương ứng với đo từ mô phỏng ( 3. Các đường cong xanh dương tương ứng với &A\cniỉl) trong 3.

(b) Kết quả mô phỏng số cho (|3.1 1 vái nhiều giá trị của €3 và dj.4 Kết quả mô phỏng số từ ( 3.