ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI • KHOA HỌC • HỌC • NHIÊN • Tự =======o()o======= HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH TRUYỀN SÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CO NHIEU PHI TUYEN VÀ CÁC MÔ HÌNH SÓNG LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN sĩ toán học TP. I lồ Chí Minh - Năm 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI • KHOA HỌC • HỌC • NHIÊN • Tự =======o()o======= HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH TRUYÊN SÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CO NHIEU PHI TUYEN VÀ CÁC MÔ HÌNH SÓNG LIÊN QUAN Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 Phản biện 1: PGS. Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS.
Kiều Phương Chi Phản biện độc lập 1: PGS. Lê Thị Phương Ngọc Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Anh Triết NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Nguyễn Minh Quân 2.
Mai Đức Thành TP. Hồ Chí Minh - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán ứng dụng, với đề tài "Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrodinger có nhiễu phi tuyến và các mô hình sóng liên quan", là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Minh Quân và PGS. Mai Đức Thành.
Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp vói các công trình đã công bố trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Huỳnh Thanh Toàn i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học của tôi, TS. Nguyễn Minh Quân và PGS. Mai Đức Thành.
Quý Thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên và quan tâm tôi rất nhiều trong học tập, nghiên cứu khoa học và trong cuộc sống. Những kiến thức truyền đạt và lời chỉ dẫn quý báu của quý Thầy là nguồn động viên to lớn giúp tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án này. Tôi xin trân trọng căm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc giéì Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức quý báu và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận án. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Phòng, Ban của Trường đã giúp đỡ về các quy chế học vụ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Đại học Y Được Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi về mặt công tác cho tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong nhóm nghiên cứu của quý Thầy hướng dẫn và lớp Nghiên cứu sinh khóa 26, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi xin gửi lời biết ơn đến gia đình tôi. Gia đình là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong những lúc tôi khó khăn nhất.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì những hạn chế về kiến thức của bản thân, luận án khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, luận án rất mong nhận được những chỉ bảo quý báu của quý Thầy Cô, bạn bè và độc giả. ii MỤC LỰC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẤM ƠN 11 ••• MỤC LỤC ___ •_____ •___ ill DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIET tẮt vi DANH SÁCH HÌNH VẼ vii LỜI NÓI ĐẦu 1 1 KIẾN thức chuẩn bị• _________________________________ 15 1.1 Sơ lược _____________ về lịch •_______ sử soliton <_________________ 15 1.2 Phương trình Schrodinger phi tuyến và các kết quả chuẩn bị 16 1.1 Nghiệm soliton lý tưởng 17 1.2 Lý thuyết tính nhiễu quanh soliton lý tưởng 17 1.3 Một số kết quả biến đổi Fourier cho nghiệm soliton 19 1.4 Luật bảo toàn cho phương trình Schrodinger phi tuyến 20 1.3 Một sô kêt quả vê ôn định Lyapunov 21 -—" —---------------- -— -------- 777 7- 1.4 Phương pháp giai sô 1.1 Phương pháp tách bưâc Fourier 22 iiỉ 1.2 Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thòi gian áo 24 2 TRUYÊN DÂN SOLITON CỦA MỒ HÌNH (1+1)D SCHRODINGER PHI TUYÊN bậc ba có NHlỄu 27 2.1 Giới thiệu bài:--------------- ------------------- toán 27 2.2 Dịch chuyên tân sô soliton 30 2.1 Dịch chuyển tần số cho soliton đơn 31 2.2 Dịch chuyển tần số cho chuỗi soliton 32 2.3 Kêt quả mô phỏng số 36 2.3 Một sô bài toán ứng dụng phép dịch chuyến tân sô soliton 37 2.1 On định truyên dân soliton với suy hao/lợi nhiêu tuyên tính 37 2.2 Va chạm lặp lại của hai soliton 42 2.4 Dộng lực biên độ soliton có nhiễu Raman và suy hao/lợi nhiễu phi tuyến 46 2.1 Mô hình Lotka-Volterra và phân tích tính ổn định điểm cân bằng 47 2.2 Kết quả mô phỏng số 51 2.5 Kêt luận chương 2. 55 3 VA CHẠM CỦA 2D SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYÊN bão •________________ HÒA VÀ CỦA SÓNG TưyẾn tính có NHĩỄu 56 Giởi thiêu bài toán 56 3.2 Va chạm của 2D SNLS soliton có nhiễu suy hao phi tuyến 59 3.1 Tính toán lý thuyêt 60 3.2 Kết quă mô phỏng sô 64 3.3 Va chạm của sóng tuyên tính có nhiễu suy hao phi tuyên 68 iv 3.1 Mô hình Schrodinger tuyên tính có nhiễu suy hao bậc ba .2 Mô hình tái-khuêch tán tuyên tính có nhiêu suy hao bậc hai 73 3.4 Kết luận chương 3.
77 4 VA CHẠM CỦA SOLITON TRONG MÔ HÌNH (/? + 1)D SHCRÕDINGER PHI TUYẾN bậc BA-NĂM có NHlễu 78 ____________ •_________ .1 Giối thiệu bài toán 78 4.2 Động lực biên độ va chạm của ID soliton 80 4.1 Tính toán lý thuyết 80 4.2 Kết quả mô phỏng số 84 4.3 Động lực biên độ va chạm của 2D soliton.1 Tính toán lý thuyết 86 4.2 Kết quả mô phóng số.4 Động lực biên độ va chạm của 3D soliton 93 4.1 Tính toán lý thuyết 93 4.2 Kết quả mô phỏng số 96 4.5 Kêt luận chương 4 99 5 KET LUẠN ______________ CHUNG VA KIEN NGHỊ• •________________________________ 100 KET luận __________ chung và kiẾn nghị• •________________________________ 100 5.1 Kết luận chung .2 Kiên nghị 102 DANH MỤC ____________ CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ •_______________________________________ 103 TÀI LIỆU________ THAM KHẢO •____________________ 104 V DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIET tẮt R Tập hợp các số thực. NLS Schrodinger phi tuyến (nonlinear Schrodinger). CNLS Schrodinger phi tuyến bậc ba (cubic NLS). CQNLS Schrodinger phi tuyến bậc ba-năm (cubic-quintic NLS).
SNLS Schrodinger phi tuyến bão hòa (saturable NLS). NLS soliton Soliton của phương trình NLS. CNLS soliton Soliton của phương trình CNLS. CQNLS soliton Soliton của phương trình CQNLS.
SNLS soliton Soliton của phương trình SNLS. nD soliton Soliton với số chiều của biến không gian là n. (rz + l)D Mô hình vởi số chiều tiến hóa là 1 và số chiều của biến không gian là n. GL : Ginzburg-Landau.
TPA : Sự hấp thụ hai photon ánh sáng (two-photon absorption). MPA : Sự hấp thụ nhiều photon ánh sáng (multiphoton absorption). PDEs : Hệ phương trình đạo hàm riêng. ODEs : Hệ phương trình vi phân thường.
LV : Mô hình Lotka-Volterra. FFT : Biến đôi Fourier nhanh (Fast Fourier transform). SSFM : Phương pháp tách bước Fourier (Split-step Fourier method). AITEM : Phương pháp gia tốc tiến hóa theo thời gian ảo (Accelerated imaginary-time evolution method).
Ft : Biến đối Fourier. F”1 : Biến đổi Fourier ngược. : I vi Danh sách hình vẽ 2.1 Minh họa Thuật toán III. Các hình vuông xanh lá, ngôi sao tím và kim cương xanh dương lần lượt tương ứng với lig™"'”1!, và Icon'Ll I- (b) Kết quả dịch chuyển tần số với Afi2 = 0.
(d) Dường cong liên nét xanh lá và đứt nét đỏ tương ứng với và 36 2.02, Afi = 20, IV = 15 vàp = 10.005, Afi = 20, IV = 15 và p = 107].3 Mô phỏng Zì 4 - Truyền dẫn soliton với g(íơ). (a) Soliton trên miền thời gian tại Zf = 1000. Đường cong đứt nét đỏ và liền nét xanh dương tương ứng với ,Zf)\ và lv/(f/ỉ)(/-,2y)|. (b) Soliton trên miên tân sô tại Zf = 1000.
Các hình tròn đỏ và hình kim cương xanh dương tương ứng với \ỳ{num\ừ),Zf)\ và |ựư/ỉ)(íơ,zy)|. Các hình tròn đỏ mô tả thu được tỳ- mộ phông số. Dường cong xanh dương tương ứng với ĩfthì(z) thu được từ ( 2.4 Mô phỏng|2 5 - Va chạm lặp lại của soliton, (a) Minh họa va chạm của hai soliton tại zCl = 0. Các hình tròn đỏ tương ứng TỊ{ýllim\zì thu được từ mô phỏng.
Đường cong xanh dương tương ứng vối từ tính toán d2. Truyền dẫn soliton ổn định biên độ với mô hình (|2. (a)- (b) Các hình tròn đò, hình vuông xanh lá, hình tam giác thuận xanh dương và hình tam giác ngược tím tương ứng vói T][jll"u\z), j = 1,2,3,4, thu được từ mô phỏng. Các đường cong liên nét nâu, đứt nét xám, đứt nét có châm đen và đường châm cam tương ứng với j = 1,2,3,4, thu được từ dự đoán lý thuyết trên mô hình LV ( 2.
(c)-(d) Soliton trên miền thời gian tại Zr4 = 5300 (c) và Zf4 = 5350 (d) thu được từ mô phỏng. Các đường cong đỏ liền nét, đưòng xanh lá đứt nét có chấm, đường xanh dương dầu nhân và đường màu tím đứt nét tương ứng với chuỗi soliton j = 1,2,3,4 thu được từ mô phòng. (a)-(b) Soliton trên miền tân số tại Zr4 = 5300 (a) và Zf4 = 5350 (b) thu được từ mô phỏng. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá, hình tam giác thuận xanh dương và tam giác ngược màu tím tương ứng với \ỳj (&>, z) I, j = 1,2,3,4, thu được từ mô phỏng J.
Bài toán chuyển kênh động, (a) Biên độ soliton ĩij(z) trên [0. Các đường cong màu nâu liên nét, màu xám đứt nét và màu đen đứt nét có chầm tương ứng vói kênh 1,2,3 thu được từ mô hình LV ||2. Các hình tròn đỏ, hình vuông xanh lá và hình tam giác xanh dương tương ứng với kênh 1, 2, 3 thu được từ mô phỏng của phương trình (2,4|. (b) Soliton trên miền thời gian tại Zf.
Các đường cong đỏ liên nét, đường xanh lá đứt nét có chàm và đưòng xanh dương dấu nhân tương ứng vói chuỗi soliton j = 1,2,3 thu được từ mô phongj.1 Kết quă mô phỏng cho 1 3.4 ) - Truyên dân 2D soliton (chùm sáng) dơn trong môi trưòng quang dẫn phi tuyến bão hòa vói c3 = 0._______ Phổ màu của soliton tại z = 0 và quá trình tiến hóa tại các khoảng cách truyền dẫn z = 2,4,6,8 và Zf = 10 thu được từ mô phỏng.2 Một va chạm của hai sóng 2D soliton vói phi tuyến bão hòa thu được tù’ mô phỏng ( 3. Hình ảnh soliton tại z = 0 (a, b), z = Zị = 0.3 (a) Sự phụ thuộc của vào dì và d2 với e3 = 0. Các hình tròn đỏ tương ứng với đo từ mô phỏng ( 3. Các đường cong xanh dương tương ứng với &A\cniỉl) trong 3.
(b) Kết quả mô phỏng số cho (|3.1 1 vái nhiều giá trị của €3 và dj.4 Kết quả mô phỏng số từ ( 3.