I. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng đã thu hút sự quan tâm lớn từ các nhà khoa học. Các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (SPDEs) mô tả nhiều quá trình thực tế. Các nhà nghiên cứu đã theo đuổi nhiều hướng nghiên cứu như tính đặt đúng, dáng điệu tiệm cận nghiệm và tốc độ hội tụ của nghiệm. Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực này. Mặc dù đã có nhiều nỗ lực nghiên cứu, kết quả đạt được vẫn còn hạn chế, đặc biệt trong trường hợp ba chiều (3D). Tính đặt đúng toàn cục vẫn là một vấn đề mở lớn. Các α-mô hình như hệ Navier-Stokes-α và hệ Leray-α đã được phát triển để phục vụ cho việc tính toán số và thu được tính đặt đúng toàn cục. Nghiên cứu này tập trung vào hệ Leray-α ngẫu nhiên và hệ N-S-V ngẫu nhiên, nhằm tìm hiểu dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu.
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của nghiên cứu này là tìm hiểu dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng. Đối tượng nghiên cứu bao gồm hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên và hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn. Phạm vi nghiên cứu sẽ tập trung vào việc phân tích tính ổn định của nghiệm dừng và sự hội tụ của nghiệm yếu dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng sẽ xem xét bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên. Những kết quả thu được sẽ góp phần làm rõ hơn về dáng điệu nghiệm và ứng dụng của các mô hình ngẫu nhiên trong thực tiễn.
III. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được áp dụng trong luận án bao gồm việc sử dụng các công cụ của Giải tích ngẫu nhiên và lý thuyết điều khiển toán học. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact sẽ được sử dụng. Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu của hệ có nhiễu ngẫu nhiên, các ý tưởng và kỹ thuật từ Giải tích ngẫu nhiên sẽ được kết hợp với lý thuyết điều khiển toán học. Những phương pháp này sẽ giúp xác định tính đặt đúng và tính ổn định của nghiệm dừng trong các mô hình ngẫu nhiên, từ đó đưa ra các kết luận có giá trị cho nghiên cứu.
IV. Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Đối với hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên, tính đặt đúng đã được chứng minh và điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng đã được thiết lập. Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng việc sử dụng nhiễu nhân tính Itô hoặc điều khiển phản hồi có thể ổn định hóa nghiệm dừng. Đối với hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn, luận án đã thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng và chỉ ra sự hội tụ của nghiệm yếu tới nghiệm dừng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên. Những kết quả này không chỉ có ý nghĩa khoa học mà còn có giá trị thực tiễn trong việc ứng dụng các mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.
V. Kết luận và kiến nghị
Nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng đã mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo. Các kết quả đạt được trong luận án không chỉ làm rõ hơn về dáng điệu nghiệm mà còn cung cấp cơ sở cho việc phát triển các phương pháp đồng hóa dữ liệu trong các mô hình ngẫu nhiên. Đề xuất cho các nghiên cứu tiếp theo bao gồm việc mở rộng phạm vi nghiên cứu sang các mô hình phức tạp hơn và áp dụng các phương pháp mới trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Những nghiên cứu này sẽ góp phần nâng cao hiểu biết về các quá trình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng và ứng dụng của chúng trong thực tế.
