I. Kiến thức chuẩn bị
Nội dung đầu tiên của luận văn tập trung vào việc giới thiệu hệ tam phân mũ không đều. Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, cần xem xét các không gian con tâm, ổn định và không ổn định. Các không gian này được xác định dựa trên các véc tơ riêng của ma trận A, cho phép phân loại nghiệm của phương trình vi phân. Đặc biệt, các nghiệm xuất phát từ không gian con ổn định sẽ có tính ổn định, trong khi các nghiệm từ không gian con không ổn định có thể không ổn định. Điều này dẫn đến việc xác định đa tạp tâm của hệ thống, nơi mà mọi nghiệm có dáng điệu phức tạp nhất thường nằm trên đó. Tính ổn định của hệ thống hoàn toàn phụ thuộc vào dáng điệu của nghiệm trên đa tạp tâm. Do đó, việc nghiên cứu hệ thống trên không gian con tâm là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về tính ổn định của hệ thống.
1.1 Hệ tam phân mũ không đều
Hệ tam phân mũ không đều được định nghĩa thông qua các phép chiếu P, Q1, Q2, cho phép phân tích các nghiệm của phương trình vi phân. Sự tồn tại của hệ tam phân mũ không đều là điều kiện cần thiết để thiết lập sự tồn tại của đa tạp tâm. Các hằng số trong định nghĩa này được coi như các số mũ Lyapunov, và tính không đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số này. Ví dụ, một hệ phương trình vi phân có thể được mô tả bằng các phương trình liên quan đến các hàm liên tục và toán tử tiến hóa. Điều này cho thấy rằng việc hiểu rõ về hệ tam phân mũ không đều là rất quan trọng trong việc nghiên cứu các phương trình vi phân phức tạp.
II. Đa tạp tâm của hệ tam phân mũ không đều
Chương này tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm cho hệ phương trình vi phân có tam phân mũ không đều. Để làm điều này, một số giả thiết quan trọng được đưa ra, bao gồm việc xác định các không gian con và các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm. Đặc biệt, các nghiệm hyperbolic riêng không đều của phương trình vi phân sẽ được xem xét. Sự tồn tại của đa tạp tâm được chứng minh thông qua các điều kiện liên quan đến tính liên tục và các bất đẳng thức. Điều này cho thấy rằng đa tạp tâm không chỉ là một khái niệm lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích các hệ thống động lực học phức tạp.
2.1 Một vài giả thiết ban đầu
Để chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm, một số giả thiết ban đầu được đưa ra, bao gồm việc xác định các không gian Banach và các toán tử bị chặn. Các điều kiện này cho phép thiết lập một bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình vi phân. Sự tồn tại của nghiệm duy nhất cho bài toán này là điều kiện tiên quyết để tiếp tục nghiên cứu. Các nghiệm này sẽ được phân tích để xác định tính ổn định và sự tồn tại của đa tạp tâm. Điều này cho thấy rằng việc thiết lập các giả thiết ban đầu là rất quan trọng trong việc chứng minh các kết quả lý thuyết trong nghiên cứu toán học đa tạp.
