I. Dãy số Jacobsthal
Dãy số Jacobsthal là một dãy số đặc biệt trong toán học, được xác định bởi công thức truy hồi: J₀ = 0, J₁ = 1, và Jₙ = Jₙ₋₁ + 2Jₙ₋₂ với n ≥ 2. Dãy số này có mối liên hệ chặt chẽ với dãy số Fibonacci, một dãy số nổi tiếng trong lý thuyết số. Dãy số Jacobsthal được nghiên cứu rộng rãi nhờ các tính chất độc đáo và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Công thức tổng quát của dãy số này là Jₙ = (2ⁿ - (-1)ⁿ)/3, được gọi là công thức Binet. Đây là một công cụ quan trọng để phân tích và chứng minh các tính chất của dãy số.
1.1 Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal Lucas
Dãy số Jacobsthal–Lucas {jₙ} được định nghĩa tương tự với điều kiện ban đầu j₀ = 2, j₁ = 1, và jₙ = jₙ₋₁ + 2jₙ₋₂ với n ≥ 2. Cả hai dãy số này đều là nghiệm của cùng một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai, nhưng khác nhau về điều kiện ban đầu. Công thức tổng quát của dãy Jacobsthal–Lucas là jₙ = 2ⁿ + (-1)ⁿ. Sự tương đồng và khác biệt giữa hai dãy số này tạo nên nhiều tính chất thú vị, được khai thác trong các nghiên cứu về lý thuyết số và toán học.
1.2 Một số tính chất cơ bản
Các tính chất cơ bản của dãy số Jacobsthal bao gồm công thức Simson: Jₙ₊₁Jₙ₋₁ - Jₙ² = (-1)ⁿ2ⁿ⁻¹. Ngoài ra, tổng của các số hạng đầu tiên của dãy số này cũng được xác định bởi công thức: ∑ Jᵢ = (Jₙ₊₂ - 3)/2. Các tính chất này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt trong lập trình và thuật toán.
II. Tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất liên quan đến tổng bình phương và tích của các số trong dãy số Jacobsthal. Các kết quả này được dựa trên nghiên cứu của Čerin, người đã công bố nhiều công trình về dãy số Jacobsthal. Cụ thể, các tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn và lẻ được phân tích chi tiết, cùng với các tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp. Những kết quả này không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong toán học.
2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn
Các tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn được xác định bởi công thức: ∑ J₂ₖ₊₂ᵢ² = ∑ J₂ᵢ² + βₙJ₂ₖ[γₙJ₂ₖ + 8τₙ], trong đó βₙ, γₙ, và τₙ là các hệ số phụ thuộc vào chỉ số n. Công thức này được chứng minh bằng phương pháp quy nạp và sử dụng các tính chất của dãy số Jacobsthal. Kết quả này có ứng dụng trong việc tính toán và phân tích các dãy số phức tạp.
2.2 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ
Tương tự, tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số lẻ được xác định bởi công thức: J₂ₖ₊₁² = 16J₂ₖJ₂ₖ₋₂ + 8J₂ₖ + 1. Công thức này được chứng minh bằng cách sử dụng công thức Binet và các tính chất của dãy số Jacobsthal. Kết quả này góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal và mở ra các hướng nghiên cứu mới trong toán học.
III. Một số mở rộng của dãy số Jacobsthal
Chương này trình bày các mở rộng của dãy số Jacobsthal, bao gồm dãy số Jacobsthal suy rộng và dãy số Jacobsthal suy rộng phức. Các mở rộng này được định nghĩa bằng cách thay đổi điều kiện ban đầu của dãy số, tạo ra các dãy số mới với các tính chất độc đáo. Các nghiên cứu này không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal mà còn mở ra các hướng nghiên cứu mới trong toán học và lý thuyết số.
3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng
Dãy số Jacobsthal suy rộng được định nghĩa bằng cách thay đổi điều kiện ban đầu của dãy số Jacobsthal. Cụ thể, dãy số này được xác định bởi J₀ = q, J₁ = p + q, và Jₙ = Jₙ₋₁ + 2Jₙ₋₂ với n ≥ 2, trong đó p và q là các số nguyên tùy ý. Các tính chất của dãy số này được nghiên cứu và so sánh với dãy số Jacobsthal ban đầu, tạo ra nhiều kết quả thú vị trong toán học.
3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức
Dãy số Jacobsthal suy rộng phức là một mở rộng khác của dãy số Jacobsthal, được định nghĩa bằng cách sử dụng các số phức trong điều kiện ban đầu. Dãy số này có các tính chất phức tạp hơn và được nghiên cứu để khám phá các ứng dụng mới trong toán học và lý thuyết số. Các kết quả này góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal và các dãy số liên quan.
