Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Dãy Số Jacobsthal Và Những Vấn Đề Liên Quan

Luận văn thạc sĩ khám phá dãy số Jacobsthal cùng các ứng dụng và vấn đề liên quan trong toán học, mang lại góc nhìn sâu sắc và chuyên sâu.

• Tác giả: Nguyễn Quang Vinh
• Người hướng dẫn: TS. Ngô Văn Định
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Khoa học
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Dãy số Jacobsthal và một số vấn đề liên quan
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Dãy số Jacobsthal

Dãy số Jacobsthal là một dãy số đặc biệt trong toán học, được xác định bởi công thức truy hồi: J₀ = 0, J₁ = 1, và Jₙ = Jₙ₋₁ + 2Jₙ₋₂ với n ≥ 2. Dãy số này có mối liên hệ chặt chẽ với dãy số Fibonacci, một dãy số nổi tiếng trong lý thuyết số. Dãy số Jacobsthal được nghiên cứu rộng rãi nhờ các tính chất độc đáo và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Công thức tổng quát của dãy số này là Jₙ = (2ⁿ - (-1)ⁿ)/3, được gọi là công thức Binet. Đây là một công cụ quan trọng để phân tích và chứng minh các tính chất của dãy số.

1.1 Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal Lucas

Dãy số Jacobsthal–Lucas {jₙ} được định nghĩa tương tự với điều kiện ban đầu j₀ = 2, j₁ = 1, và jₙ = jₙ₋₁ + 2jₙ₋₂ với n ≥ 2. Cả hai dãy số này đều là nghiệm của cùng một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai, nhưng khác nhau về điều kiện ban đầu. Công thức tổng quát của dãy Jacobsthal–Lucas là jₙ = 2ⁿ + (-1)ⁿ. Sự tương đồng và khác biệt giữa hai dãy số này tạo nên nhiều tính chất thú vị, được khai thác trong các nghiên cứu về lý thuyết số và toán học.

1.2 Một số tính chất cơ bản

Các tính chất cơ bản của dãy số Jacobsthal bao gồm công thức Simson: Jₙ₊₁Jₙ₋₁ - Jₙ² = (-1)ⁿ2ⁿ⁻¹. Ngoài ra, tổng của các số hạng đầu tiên của dãy số này cũng được xác định bởi công thức: ∑ Jᵢ = (Jₙ₊₂ - 3)/2. Các tính chất này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt trong lập trình và thuật toán.

II. Tổng bình phương và tích của các số Jacobsthal

Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất liên quan đến tổng bình phương và tích của các số trong dãy số Jacobsthal. Các kết quả này được dựa trên nghiên cứu của Čerin, người đã công bố nhiều công trình về dãy số Jacobsthal. Cụ thể, các tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn và lẻ được phân tích chi tiết, cùng với các tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp. Những kết quả này không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong toán học.

2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn

Các tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn được xác định bởi công thức: ∑ J₂ₖ₊₂ᵢ² = ∑ J₂ᵢ² + βₙJ₂ₖ[γₙJ₂ₖ + 8τₙ], trong đó βₙ, γₙ, và τₙ là các hệ số phụ thuộc vào chỉ số n. Công thức này được chứng minh bằng phương pháp quy nạp và sử dụng các tính chất của dãy số Jacobsthal. Kết quả này có ứng dụng trong việc tính toán và phân tích các dãy số phức tạp.

2.2 Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ

Tương tự, tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số lẻ được xác định bởi công thức: J₂ₖ₊₁² = 16J₂ₖJ₂ₖ₋₂ + 8J₂ₖ + 1. Công thức này được chứng minh bằng cách sử dụng công thức Binet và các tính chất của dãy số Jacobsthal. Kết quả này góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal và mở ra các hướng nghiên cứu mới trong toán học.

III. Một số mở rộng của dãy số Jacobsthal

Chương này trình bày các mở rộng của dãy số Jacobsthal, bao gồm dãy số Jacobsthal suy rộng và dãy số Jacobsthal suy rộng phức. Các mở rộng này được định nghĩa bằng cách thay đổi điều kiện ban đầu của dãy số, tạo ra các dãy số mới với các tính chất độc đáo. Các nghiên cứu này không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal mà còn mở ra các hướng nghiên cứu mới trong toán học và lý thuyết số.

3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng

Dãy số Jacobsthal suy rộng được định nghĩa bằng cách thay đổi điều kiện ban đầu của dãy số Jacobsthal. Cụ thể, dãy số này được xác định bởi J₀ = q, J₁ = p + q, và Jₙ = Jₙ₋₁ + 2Jₙ₋₂ với n ≥ 2, trong đó p và q là các số nguyên tùy ý. Các tính chất của dãy số này được nghiên cứu và so sánh với dãy số Jacobsthal ban đầu, tạo ra nhiều kết quả thú vị trong toán học.

3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức

Dãy số Jacobsthal suy rộng phức là một mở rộng khác của dãy số Jacobsthal, được định nghĩa bằng cách sử dụng các số phức trong điều kiện ban đầu. Dãy số này có các tính chất phức tạp hơn và được nghiên cứu để khám phá các ứng dụng mới trong toán học và lý thuyết số. Các kết quả này góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về dãy số Jacobsthal và các dãy số liên quan.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Dãy số Jacobsthal Mục đích của chương này là trình bày lại khái niệm về dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal - Lucas. Đồng thời chúng tôi trình bày chứng minh các công thức số hạng tổng quát, công thức Simson và một số tính chất thú vị của hai dãy số này. Đặc biệt, chúng tôi trình bày về một số tính chất của hai dãy số tổng riêng của các số hạng đầu tiên của hai dãy số đó. Các nội dung này được tham khảo trong hai bài báo [3] và [4].

Trước đó, chúng tôi trình bày sơ lược về lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất để làm cơ sở cho việc trình bày về hai dãy số nói trên. Nội dung này chúng tôi tham khảo trong cuốn sách [5].1 Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas và công thức tổng quát của hai dãy số này. Thực chất hai dãy số này chính là nghiệm của một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với điều kiện ban đầu khác nhau. Chính vì vậy, trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, .1) trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = 0.2) Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1. Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân (1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt. Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β.

Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, .3) trong đó C1 và C2 là những số bất kì. Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các hằng số C1 và C2 hoàn toàn được xác định. Tìm nghiệm của phương trình sai phân un+1 = 5un − 6un−1 (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.

5 Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1. Từ điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 ta có hệ phương trình  C + C = 0, 1 2 2C1 + 3C2 = −1. Giải hệ phương trình này ta được C1 = 1, C2 = −1.

Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 là un = 2n − 3n , n = 0, 1,. Một cách tổng quát, trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β , phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u0 , u1 xác định một dãy số {un }∞ n=0 với aαn − bβ n un = , α−β trong đó a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu khái niệm của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas dựa trên lý thuyết chung về phương trình sai phân như trên. a) Dãy số Jacobsthal {Jn } được xác định bởi J0 = 0, J1 = 1 và Jn+2 = Jn+1 + 2Jn , với n ≥ 0.5) b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } được xác định bởi j0 = 2, j1 = 1 và jn+2 = jn+1 + 2jn , với n ≥ 0.6) 6 Từ công thức (1.6) ta có bảng các số hạng đầu tiên của các dãy số Jn và jn như sau: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · Jn 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 · · · jn 2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 1025 · · · Từ các công thức (1.6) ta dễ dàng thấy rằng, với n ≥ 1, tất cả các giá trị của Jn và jn đều là số lẻ.

Đây một đặc trưng đầu tiên của hai dãy số này. Từ định nghĩa của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, ta thấy rằng, cả hai dãy số này đều được xác định bởi cùng một phương trình sai phân nhưng khác nhau về điều kiện ban đầu. Phương trình sai phân xác định hai dãy số đó có phương trình đặc trưng là x2 − x − 2 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1.

Do vậy, theo Định lý 1.2 cả hai dãy có số hạng tổng quát dạng C1 2n + C2 (−1)n , n = 0, 1, 2,. Do đó Với điều kiện ban đầu J0 = 0 và J1 = 1 ta tìm được C1 = 13 , C2 = −1 công thức tổng quát cho Jn là αn − β n 1 Jn = = (2n − (−1)n ) , với n ≥ 0. 3 3 Tương tự, với điều kiện ban đầu j0 = 2 và j1 = 1 ta thu được C1 = C2 = 1. Do đó, công thức tổng quát cho jn là jn = αn + β n = 2n + (−1)n , với n ≥ 0.

Hai công thức tổng quát này còn lần lượt được gọi là công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas. Do vậy, ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1. Với số nguyên n ≥ 0, ta có 1 n Jn = (2 − (−1)n ) và jn = 2n + (−1)n .2 Một số tính chất cơ bản Ở mục trước ta đã có định nghĩa và công thức Binet xác định số hạng tổng quát của hai dãy số Jn và jn. Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của hai dãy số này.

Trước tiên là công thức Simson cho hai dãy số này. Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có Jn+1 Jn−1 − Jn2 = (−1)n 2n−1 và jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2. Theo công thức Binet, ta có Jn = 31 (2n − (−1)n ). Suy ra 1 n+1
1 Jn+1 Jn−1 − Jn2 = − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2
2 9 9 1  n+1 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2

 = 2 9 1 2n 2 − (−1)n−1 2n+1 − (−1)n+1 2n−1 + 1 − 22n + (−1)n 2n+1 − 1
= 9 1 = (−1)n 2n−1 23 + 1 = (−1)n 2n−1.

9 Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng minh được jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1. Suy ra jn+1 jn−1 − jn2 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2.
Mệnh đề sau đây cho ta tổng của các số hạng đầu của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas. a) Với n ≥ 2, ta có n Jn+2 − 3 (1.

2 i=2 8 b) Với n ≥ 1, ta có n jn+2 − 5 (1. Ta chứng minh đẳng thức (1.7) bằng quy nạp theo n.8) được chứng minh tương tự. Dễ dàng thấy rằng đẳng thức (1. Giả sử đẳng thức đúng với n.

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n + 1, tức là n+1 X Jn+3 − 3 Ji =. 2 i=2 Thật vậy, ta có n+1 n X X Jn+2 − 3 Ji = Ji + Jn+1 = + Jn+1 2 i=2 i=2 Jn+2 + 2Jn+1 − 3 Jn+3 − 3 = =. 2 2 Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều cần chứng minh. Mệnh đề sau đây cho ta một số đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal {Jn } và dãy số Jacobsthal–Lucas {jn }.

Các đẳng thức sau đây là đúng: jn Jn = J2n , (1.9) jn = Jn+1 + 2Jn−1 , (1.10) 9Jn = jn+1 + 2jn−1 , (1.19) Jn + jn = 2Jn+1 , (1.20)     Jn+1 jn+1 lim = lim = 2, (1.21) n→∞ Jn n→∞ jn   jn lim = 3.22) n→∞ Jn Chứng minh. Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta chỉ cần sử dụng công thức Binet và tính toán đơn giản. Ở đây, chúng tôi trình bày chứng minh cho một vài đẳng thức đầu. Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Trước tiên, ta chứng minh đẳng thức (1. Sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal và công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta có: 1 n jn.
= 3 Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (1. Tiếp tục sử dụng các công thức Binet, ta có: 1 n+1 1 − (−1)n+1 + 2 2n−1 − (−1)n−1

Jn+1 + 2Jn−1 = 2 3 3 2 n 1 1 2 = 2 − (−1)n+1 + 2n + (−1)n 3 3 3 3 = 2n + (−1)n = jn.

Thay công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas vào vế trái của đẳng thức (1.11) ta được: jn+1 + 2jn−1 = 2n+1 + (−1)n+1 + 2 2n−1 + (−1)n−1
= 2. 3 Tiếp tục sử dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas để biến đổi vế trái và vế phải của đẳng thức (1.12), ta được: VT = jn+1 + jn = 2n+1 + (−1)n+1 + 2n + (−1)n = 2. Suy ra đẳng thức (1. Các đẳng thức còn lại trong mệnh đề được chứng minh hoàn toàn tương tự.3 Dãy tổng riêng Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về dãy tổng riêng các phần tử đầu tiên của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas.

Cụ thể, ta xét hay dãy số được xác định như sau: n+1 (1.23) X Tn = Ji , T0 = 0, T1 = 1 i=2 và n (1. i=1 11 Theo định nghĩa, ta có bảng 10 giá trị đầu của Tn và ̂n như sau: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · T 0 1 4 9 20 41 84 169 340 681 1364 · · · jˆn 0 1 6 13 30 61 126 253 510 1021 2046 · · · Theo Mệnh đề 1.2, ta có n n Jn+2 − 3 jn+2 − 5 và X X Ji = ji =. 2 2 i=2 i=1 Suy ra Jn+3 − 3 jn+2 − 5 Tn = và ̂n =. 2 2 Từ đó, ta có thể chứng minh được công thức truy hồi xác định các dãy {Tn } và {̂n } như trong mệnh đề sau đây.

Với n ≥ 0, ta có Tn+2 = Tn+1 + 2Tn + 3 (1. Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.26) được chứng minh tương tự.