Nghiên Cứu Chỉnh Hóa Một Số Phương Trình Và Hệ Phương Trình Phi Tuyến

Luận án tiến sĩ trình bày các phương pháp giải tích chỉnh hóa cho một số phương trình và hệ phương trình phi tuyến trong toán học.

• Tác giả: Nguyễn Hữu Cần
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Huy Tuấn
• Trường học: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Chỉnh hóa một số phương trình và hệ phương trình phi tuyến
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾNG VIỆT
• 1. CHƯƠNG 1: ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• 1.1. Phạm vi nghiên cứu
• 1.2. Ý nghĩa khoa học hoặc thực tiễn của đề tài. Tình hình nghiên cứu trên thế giới. Tình hình nghiên cứu trong nước. Nội dung nghiên cứu của luận án.
• 1.3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• 4. CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
• 4.1. Chỉnh hóa nghiệm phương trình sóng dầm phi tuyến. Nghiệm nhẹ của bài toán. Tính không chỉnh của bài toán. Kết quả chỉnh hóa. Ví dụ số minh họa.
• 4.2. Chỉnh hóa nghiệm hệ phương trình sóng dầm phi tuyến. Nghiệm nhẹ của bài toán. Tính không chỉnh của bài toán. Kết quả chỉnh hóa.
• 4.3. Ví dụ số minh họa. Bài toán ngược thời gian cho phương trình hyperbolic phi tuyến. Nghiệm tích phân của bài toán. Tính không chỉnh của bài toán. Kết quả chỉnh hóa.
• 4.4. Ví dụ số minh họa. Chỉnh hóa nghiệm phương trình khuếch tán với đạo hàm conformable. Một số giả thiết. Nghiệm nhẹ của bài toán. Tính không chỉnh của bài toán. Kết quả chỉnh hóa.
• 4.5. Ví dụ số minh họa. Bài toán không chỉnh cho phương trình elliptic ngẫu nhiên với điều kiện phi địa phương. Nhắc lại kiến thức liên quan.
• 4.6. Công thức nghiệm nhẹ của bài toán
• 4.7. Kết quả về sự tồn tại nghiệm
• 4.8. Sự không ổn định của nghiệm trong không gian Lÿ, Hệ và kết quả. Ví dụ số minh họa.
• 5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Phương Trình Phi Tuyến Toán Giải Tích

Nghiên cứu phương trình phi tuyến trong toán giải tích là một lĩnh vực rộng lớn và quan trọng. Các phương trình này xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế, từ vật lý, kỹ thuật đến kinh tế và sinh học. Tuy nhiên, việc giải các phương trình này thường gặp nhiều khó khăn do tính chất phi tuyến của chúng. Chỉnh hóa là một phương pháp quan trọng để giải quyết các vấn đề này, đặc biệt là khi các bài toán đặt ra là ill-posed problems. Các phương pháp chỉnh hóa giúp tạo ra các giải pháp gần đúng ổn định và có ý nghĩa vật lý, ngay cả khi dữ liệu đầu vào bị nhiễu. Các công trình của Tikhonov và Landweber là những đóng góp nền tảng cho lý thuyết này. Việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cho các phương trình phi tuyến là một hướng đi đầy tiềm năng.

1.1. Giới Thiệu Bài Toán Về Phương Trình Phi Tuyến

Các phương trình phi tuyến mô tả nhiều hiện tượng tự nhiên và kỹ thuật phức tạp. Đặc điểm chung của chúng là không thỏa mãn tính chất tuyến tính, gây khó khăn cho việc tìm kiếm nghiệm chính xác. Nhiều phương pháp số và giải tích đã được phát triển để giải quyết các phương trình phi tuyến, nhưng tính hội tụ và ổn định của các phương pháp này luôn là một thách thức lớn. Việc ứng dụng toán giải tích vào việc nghiên cứu các phương trình phi tuyến là vô cùng cần thiết. Cần có các điều kiện chặt chẽ để đảm bảo nghiệm tồn tại duy nhất.

1.2. Tính Ứng Dụng Của Phương Trình Phi Tuyến Trong Thực Tế

Phương trình phi tuyến đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Trong vật lý, chúng mô tả các hiện tượng như sóng phi tuyến, động lực học chất lỏng, và quang học phi tuyến. Trong kỹ thuật, chúng được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống điều khiển phi tuyến, mạch điện tử, và cơ học kết cấu. Các phương trình phi tuyến cũng được sử dụng trong kinh tế để mô hình hóa các thị trường tài chính và trong sinh học để mô tả sự phát triển của quần thể và các quá trình sinh học. Ứng dụng chỉnh hóa được phát triển mạnh mẽ trong lĩnh vực xử lý ảnh.

II. Thách Thức Khi Giải Phương Trình Phi Tuyến Trong Toán Học

Việc giải phương trình phi tuyến trong toán giải tích đặt ra nhiều thách thức lớn. Một trong những vấn đề quan trọng là tính không chỉnh (ill-posed) của bài toán, tức là nghiệm có thể không tồn tại, không duy nhất, hoặc không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào. Điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán ngược, nơi ta cố gắng xác định nguyên nhân từ kết quả quan sát được. Các phương pháp chỉnh hóa được sử dụng để giải quyết vấn đề này, bằng cách thêm vào một số điều kiện bổ sung để làm cho bài toán trở nên ổn định hơn. Nghiên cứu sâu về điều kiện chỉnh hóa là vô cùng quan trọng.

2.1. Vấn Đề Tính Không Chỉnh Ill posed Trong Toán Giải Tích

Tính không chỉnh của bài toán là một trở ngại lớn trong việc giải phương trình phi tuyến. Nó xuất hiện khi nghiệm của phương trình không tồn tại duy nhất hoặc phụ thuộc quá nhiều vào dữ liệu đầu vào, khiến cho các sai số nhỏ trong dữ liệu có thể dẫn đến sai số lớn trong nghiệm. Các bài toán ngược thường gặp phải vấn đề này, và việc sử dụng các phương pháp chỉnh hóa là cần thiết để thu được các giải pháp có ý nghĩa. Ví dụ, trong bài toán xác định nguồn gây ô nhiễm từ dữ liệu quan trắc, nếu dữ liệu bị nhiễu, nghiệm có thể không ổn định.

2.2. Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sai Số Nghiệm Phương Trình

Nhiều yếu tố có thể ảnh hưởng đến sai số của nghiệm khi giải phương trình phi tuyến. Dữ liệu đầu vào bị nhiễu, phương pháp số không chính xác, và sự phức tạp của phương trình đều có thể góp phần làm tăng sai số. Việc lựa chọn phương pháp chỉnh hóa phù hợp và kiểm soát sai số là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của nghiệm. Ước lượng nghiệm đóng vai trò quan trọng trong kiểm soát sai số. Cần có các phương pháp chỉnh hóa mạnh mẽ để đảm bảo sai số nằm trong giới hạn cho phép.

2.3. Khó Khăn Khi Tìm Nghiệm Tường Minh Của Phương Trình

Việc tìm nghiệm tường minh của phương trình phi tuyến thường là bất khả thi. Điều này đòi hỏi phải sử dụng các phương pháp số hoặc các phương pháp giải tích gần đúng để xấp xỉ nghiệm. Tuy nhiên, việc sử dụng các phương pháp này có thể dẫn đến các vấn đề về tính hội tụ và ổn định của nghiệm. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp và kiểm soát sai số là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của nghiệm. Các phương pháp lặp thường được sử dụng, nhưng cần đảm bảo tính hội tụ.

III. Phương Pháp Tikhonov Chỉnh Hóa Phương Trình Phi Tuyến

Phương pháp Tikhonov regularization là một trong những phương pháp chỉnh hóa phổ biến nhất được sử dụng để giải các phương trình phi tuyến ill-posed. Phương pháp này dựa trên việc thêm vào một hàm phạt (regularization) vào bài toán gốc, giúp làm cho nghiệm trở nên ổn định hơn. Hàm phạt thường là một hàm đo độ lớn của nghiệm, nhằm ngăn chặn nghiệm trở nên quá lớn hoặc quá phức tạp. Việc lựa chọn tham số chỉnh hóa là rất quan trọng để đạt được sự cân bằng giữa tính chính xác và tính ổn định của nghiệm.

3.1. Nguyên Lý Của Phương Pháp Tikhonov Chỉnh Hóa

Phương pháp Tikhonov regularization hoạt động bằng cách thay thế bài toán gốc bằng một bài toán tối ưu hóa mới, trong đó ta cố gắng tìm nghiệm vừa thỏa mãn phương trình gốc, vừa có độ lớn nhỏ nhất. Hàm phạt thường có dạng ||u||^2, với u là nghiệm cần tìm. Tham số chỉnh hóa điều khiển mức độ phạt, và cần được lựa chọn cẩn thận để đạt được kết quả tốt nhất. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi ta có một số thông tin a priori về nghiệm.

3.2. Lựa Chọn Tham Số Chỉnh Hóa Regularization Parameter

Việc lựa chọn tham số chỉnh hóa là một bước quan trọng trong phương pháp Tikhonov regularization. Tham số này điều khiển mức độ phạt của hàm phạt, và ảnh hưởng trực tiếp đến tính chính xác và tính ổn định của nghiệm. Nếu tham số quá lớn, nghiệm sẽ quá ổn định, nhưng có thể không chính xác. Nếu tham số quá nhỏ, nghiệm có thể chính xác hơn, nhưng lại không ổn định và nhạy cảm với nhiễu. Có nhiều phương pháp để lựa chọn tham số chỉnh hóa, chẳng hạn như phương pháp L-curve, phương pháp generalized cross-validation (GCV), và phương pháp discrepancy principle.

3.3. Ưu Điểm Và Nhược Điểm Của Phương Pháp Tikhonov

Phương pháp Tikhonov regularization có nhiều ưu điểm, chẳng hạn như dễ sử dụng, có thể áp dụng cho nhiều loại phương trình phi tuyến, và cho phép kiểm soát tính ổn định của nghiệm. Tuy nhiên, phương pháp này cũng có một số nhược điểm, chẳng hạn như việc lựa chọn tham số chỉnh hóa có thể khó khăn, và phương pháp này có thể không hiệu quả đối với các bài toán có tính phi tuyến quá mạnh. Cần cân nhắc kỹ các ưu nhược điểm khi lựa chọn phương pháp này.

IV. Phương Pháp Lặp Chỉnh Hóa Phương Trình Phi Tuyến Toán Giải Tích

Các phương pháp lặp chỉnh hóa là một lớp các phương pháp chỉnh hóa được sử dụng để giải các phương trình phi tuyến ill-posed. Các phương pháp này dựa trên việc xây dựng một dãy các nghiệm xấp xỉ, hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trình. Một ví dụ điển hình là phương pháp Landweber iteration. Các phương pháp này thường được sử dụng khi phương trình quá phức tạp để có thể giải trực tiếp bằng các phương pháp chỉnh hóa khác. Tính hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ là một vấn đề quan trọng cần được nghiên cứu.

4.1. Giới Thiệu Về Phương Pháp Landweber Iteration

Phương pháp Landweber iteration là một phương pháp lặp chỉnh hóa cổ điển, được sử dụng để giải các phương trình phi tuyến. Phương pháp này dựa trên việc xây dựng một dãy các nghiệm xấp xỉ, bắt đầu từ một nghiệm ban đầu, và sau đó lặp lại quá trình cập nhật nghiệm cho đến khi đạt được một nghiệm đủ chính xác. Phương pháp này đơn giản và dễ thực hiện, nhưng có thể hội tụ chậm đối với các bài toán có tính phi tuyến mạnh.

4.2. Các Phương Pháp Quasi Newton Trong Chỉnh Hóa

Các phương pháp quasi-Newton là một lớp các phương pháp tối ưu hóa được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến. Các phương pháp này dựa trên việc xấp xỉ ma trận Hessian (ma trận đạo hàm bậc hai) của hàm mục tiêu, giúp giảm thiểu chi phí tính toán so với các phương pháp Newton truyền thống. Các phương pháp quasi-Newton có thể được sử dụng trong chỉnh hóa để cải thiện tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp.

4.3. Phân Tích Tính Hội Tụ Của Các Phương Pháp Lặp

Tính hội tụ của các phương pháp lặp là một vấn đề quan trọng cần được nghiên cứu. Ta cần chứng minh rằng dãy các nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trình, và ước lượng tốc độ hội tụ của phương pháp. Các điều kiện cần và đủ để đảm bảo tính hội tụ của các phương pháp lặp có thể khác nhau tùy thuộc vào tính chất của phương trình và phương pháp được sử dụng. Cần có các điều kiện chặt chẽ để đảm bảo tính hội tụ.

V. Ứng Dụng Thực Tiễn Chỉnh Hóa Phương Trình Phi Tuyến

Chỉnh hóa phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Ví dụ, trong xử lý ảnh, chỉnh hóa được sử dụng để khử nhiễu và khôi phục ảnh bị mờ. Trong y học, chỉnh hóa được sử dụng để tái tạo ảnh từ các thiết bị chẩn đoán hình ảnh như MRI và CT. Trong địa vật lý, chỉnh hóa được sử dụng để xác định cấu trúc dưới lòng đất từ dữ liệu địa chấn. Trong tài chính, chỉnh hóa được sử dụng để xây dựng các mô hình dự báo rủi ro. Các ứng dụng chỉnh hóa ngày càng được mở rộng.

5.1. Chỉnh Hóa Trong Bài Toán Ngược Thời Gian

Bài toán ngược thời gian cho phương trình hyperbolic phi tuyến là một ví dụ điển hình về các bài toán ill-posed, nơi ta cố gắng xác định trạng thái ban đầu của hệ thống từ trạng thái hiện tại. Bài toán này có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật, nhưng rất khó giải do tính không chỉnh của nó. Các phương pháp chỉnh hóa được sử dụng để giải quyết vấn đề này, bằng cách thêm vào các điều kiện bổ sung để làm cho bài toán trở nên ổn định hơn.

5.2. Ứng Dụng Trong Xử Lý Ảnh Và Tín Hiệu

Chỉnh hóa là một công cụ quan trọng trong xử lý ảnh và tín hiệu. Nó được sử dụng để khử nhiễu, khôi phục ảnh bị mờ, và tái tạo ảnh từ dữ liệu không đầy đủ. Các phương pháp chỉnh hóa dựa trên các mô hình về cấu trúc của ảnh và tín hiệu, nhằm tìm kiếm các giải pháp phù hợp với dữ liệu quan sát được và đồng thời thỏa mãn các điều kiện về tính mịn và liên tục. Ví dụ, phương pháp Total Variation (TV) regularization được sử dụng rộng rãi để khử nhiễu ảnh.

5.3. Giải Bài Toán Không Chỉnh Cho Phương Trình Elliptic

Bài toán không chỉnh cho phương trình elliptic ngẫu nhiên với điều kiện phi địa phương thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến truyền nhiệt và khuếch tán trong môi trường không đồng nhất. Do tính chất không chỉnh, việc tìm ra nghiệm duy nhất và ổn định là rất khó khăn. Việc áp dụng các kỹ thuật chỉnh hóa sẽ giúp tìm ra những giải pháp gần đúng có thể ứng dụng trong thực tế.

VI. Kết Luận Và Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Toán Giải Tích

Nghiên cứu về chỉnh hóa phương trình phi tuyến trong toán giải tích là một lĩnh vực đầy tiềm năng và còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Các phương pháp chỉnh hóa đã chứng minh được tính hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán ill-posed, nhưng vẫn cần được cải thiện và phát triển để có thể áp dụng cho các lớp phương trình phức tạp hơn. Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp chỉnh hóa mới, phân tích tính hội tụ và ổn định của các phương pháp này, và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế.

6.1. Tóm Tắt Các Kết Quả Nghiên Cứu Chính Đã Đạt Được

Luận án đã tập trung vào việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa cho một số lớp phương trình phi tuyến quan trọng, chẳng hạn như phương trình hyperbolic, phương trình parabolic, và phương trình elliptic. Luận án đã trình bày các kết quả về tính tồn tại và duy nhất của nghiệm, tính ổn định của các phương pháp chỉnh hóa, và các ứng dụng của các phương pháp này trong thực tế. Các kết quả này đóng góp vào sự hiểu biết sâu sắc hơn về các phương trình phi tuyến và mở ra các hướng nghiên cứu mới.

6.2. Các Vấn Đề Còn Bỏ Ngỏ Và Hướng Phát Triển

Mặc dù đã đạt được nhiều kết quả quan trọng, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết trong lĩnh vực chỉnh hóa phương trình phi tuyến. Các vấn đề này bao gồm việc phát triển các phương pháp chỉnh hóa cho các lớp phương trình phức tạp hơn, phân tích tính hội tụ và ổn định của các phương pháp này, và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế. Một hướng nghiên cứu tiềm năng là phát triển các phương pháp chỉnh hóa dựa trên học sâu (deep learning), tận dụng khả năng của mạng nơ-ron để xấp xỉ các hàm phi tuyến.

6.3. Nghiên Cứu Về Phương Trình Đạo Hàm Riêng Phi Tuyến

Việc mở rộng nghiên cứu sang các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến là một hướng đi đầy hứa hẹn. Các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mô tả nhiều hiện tượng phức tạp trong tự nhiên và kỹ thuật, và việc giải quyết các bài toán liên quan đến chúng đòi hỏi các công cụ toán học mạnh mẽ. Nghiên cứu về chỉnh hóa cho các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có thể mang lại những đóng góp quan trọng cho nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ. Cần có các phương pháp chỉnh hóa hiệu quả để giải quyết các vấn đề này.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài + Lý do thứ nhất: tôi đã được làm luận văn thạc sĩ với chủ đề bài toán ngược và vấn đề chỉnh hóa với Thầy hướng dẫn, PGS. Nguyễn Huy Tuấn. Thời gian làm luận văn thạc sĩ về chủ đề này, cụ thể là: “Chỉnh hóa nghiệm bài toán Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến”, đã giúp tôi có nhiều kiến thức nền tang cho việc học nghiên cứu sinh sau này.

+ Lý do thứ hai: Nhóm nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, PGS. Nguyễn Huy Tuấn, PGS. Bùi Lê Trọng Thanh, có nhiều kinh nghiệm và sở trường về chủ đề định tính của nghiệm, đặc biệt là hướng nghiên cứu chỉnh hóa. Vì thế, Thầy đã giao cho.

tôi một số các bài toán để tôi tập trung nghiên cứu. s Lý do thứ ba: Dù các bài toán ngược cho phương trình parabolic được nghiên cứu nhiều, nhưng phương trình hyperbolic, phương trình sóng dam,. còn ít được nghiên cứu. Đặc biệt, bài toán ngược cho hệ phương trình còn mới mẻ.

Chúng tôi đã vận dụng các phương pháp chỉnh hóa để khảo sát các bài toán mới. Dựa vào các lý do nêu trên, tôi đã theo đuổi hướng nghiên cứu này và nhờ sự định hướng của hai Thầy hướng dẫn đã lựa chọn cho tôi đề tài của luận án tiến sĩ với tên “Chỉnh hóa một số phương trình và hệ phương trình phi tuyến”. Đối tượng nghiên cứu Đề tài của luận án tập trung khảo sát các bài toán sau: * Chỉnh hóa nghiệm cho phương trình sóng dầm phi tuyến. * Chỉnh hóa nghiệm cho hệ phương trình sóng dầm phi tuyến.

* Bài toán ngược thời gian cho phương trình hyperbolic phi tuyến. * Chỉnh hóa nghiệm phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm conformable. * Bài toán không chỉnh cho phương trình elliptic ngẫu nhiên với điều kiện phi dia phương. Pham vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Toán học, ngành Toán giải tích, hướng nghiên cứu tập trung vào chủ đề chỉnh hóa ng lệm phương trình, hệ phương trình dao hàm riêng phi tuyến, điều kiện phi địa phương.

Ý nghĩa khoa học hoặc thực tiễn của đề tài Lam phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về bài toán không chỉnh cho các loại phương trình đạo hàm riêng. Kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần nâng cao thứ hạng và uy tín về nghiên cứu khoa học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh ở trong nước và quốc tế. Phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng thu hút sự quan tâm của cộng đồng các nhà toán học trên thế giới vì có nhiều ứng dụng khác nhau như vật lý, quang học, y học, sinh học, kinh té,.

Các bài toán thực tiễn này thường được mô hình hóa thành những phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng ứng với nhiều hướng tiếp cận khác nhau như bài toán xác định hàm nguồn, bài toán giá trị ban đầu, bài toán giá trị cuối, bài toán xác định tính chất của nghiệm. Bên cạnh đó, các kết quả của đề tài có thé xem như là một tài liệu tham khảo hỗ trợ trong việc dạy và học trong hướng giải tích, đặc biệt là môn phương trình đạo hàm riêng. Chương 2 TỔNG QUAN 2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới Chủ đề chỉnh hóa nghiệm cho phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các phương trình, hệ phương trình dạng phi tuyến, luôn được cập nhật, mang tính thời sự và ngày càng nhận được sự thu hút của rất nhiều nhà khoa học trong nước và trên thế giới.

Nhiều nhà tác giả đã nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả công bố trên các tạp chí uy tín, có chỉ số ảnh hưởng cao như Communications in Partial Differential Equations, SIAM Journal on Applied Mathematics, Journal of Differential Equations, Maths Annalen, Mathematics of Computation,. Khi xét bat ky mô hình biểu diễn bởi phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thì các câu hỏi sau đây thường sẽ được quan tam * Thứ nhất, phương trình và hệ phương trình trên có tồn tại nghiệm hay không? Với điều kiện thế nào thì nghiệm tồn tại? + Thứ hai, nếu phương trình và hệ phương trình đang xét có nghiệm, thì nghiệm đó duy nhất, hay là bài toán có nhiều nghiệm? * Thứ ba, nghiệm có ổn định, hay phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào (tức là các đữ liệu quan sát được) hay không? Để minh họa rõ hơn các câu hỏi trên thì nhà toán hoc Hadamard đã đưa ra khái niệm về tính chỉnh và tính không chỉnh của một bài toán. Ban đầu, ông đã xét bài toán Cauchy phương trình sóng, ta có thể xem chỉ tiết tại [1]. Cụ thể như sau: Một bài toán Ax = y (A là một ánh xạ đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y) được gọi là bài toán chỉnh (well-posed problem) theo định nghĩa của Hadamard nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau: Tinh chất 1: Tồn tại, có nghĩa là tồn tại nghiệm x € X thỏa Ax = y, Vy € Y; Tính chất 2: Duy nhất, nếu bài toán Ax = y có nghiệm xị,x¿ € X thì xị = xa.

Tinh chất 3: On định, có nghĩa là nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, hay nói cách khác, với mọi dãy {x„} € X thỏa Ax, — y thÌ x„ — x. 3 Nếu bài toán không thỏa một trong ba tính chất trên thi được gọi là bài oán không chỉnh (non well-posed problem hoặc ill-posed problem) theo định nghĩa của Hadamard. Chủ đề chỉnh hóa cho bài toán ngược cho các phương trình parabolic thu hút rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chúng tôi có thể nêu ra một vài ví dụ minh họa như sau: Trên bình diện quốc tế có một số nhà toán học quan tâm đến bài toán giá trị cuối như: * Ting Wei (Trường Đại học LanZhou, Trung Quốc [2-4]); * Yongzhi Steve Xu (Trường Dai hoc Louisville, Mỹ [Š-8]); * Daniel Lesnic (Trường Đại học Leeds, Anh [9-I I]); * Michael Victor Klibanov (Trường Đại học Bắc Carolina, Mỹ [12-14]).

Tình hình nghiên cứu trong nước Trong nước, một số nhóm nghiên cứu mạnh liên quan đến chủ đề của luận án, điển hình như nhóm nghiên cứu của: ® Dinh Nho Hào (Viện Toán học Việt Nam [I5—1§]); s Đặng Đức Trọng (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP. Hồ Chí Minh [19-23]): * Nguyễn Huy Tuấn (Trường Đại học Văn Lang [24-29]); * Nguyễn Văn Đức (Trường Dai học Vinh [30-32]). Hiện nay, nhóm nghiên cứu của Nguyễn Huy Tuấn và cộng sự đã giải quyết được nhiều bài toán mở, trong đó có công trình gần đây trên SIAM Math Analysis [33]. Nhóm nghiên cứu của Đặng Đức trọng, Phạm Hoàng Quân, Nguyễn Huy Tuấn đã đào tạo một số nghiên cứu sinh bảo vệ thành công luận án từ 2010 đến nay, về chủ đề này như: Lê Minh Triết, Bùi Thanh Duy, Võ Văn Âu, Nguyễn Hoàng Lực, Nguyễn Đức Phương, Trần Ngọc Thạch, Lê Đình Long,.

Nội dung nghiên cứu của luận án Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tinh không chỉnh và van đề chỉnh hóa cho một số phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng dạng phi tuyến. Dựa trên dữ liệu đầu vào của bài toán, ta có thé chia các bài toán Cauchy cho phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng làm 2 loại sau: Loại 1. Bài toán thuận hay bài toán giá trị ban dau. Mục tiêu là xác định dữ liệu phân bố khi biết giá trị phân bố tại thời điểm ban đầu ¢ = 0.

Tinh chỉnh (well-posedness) của bài toán Loại / cho các phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng đã được khảo sát và đã có rất nhiều công trình về chủ đề này. Trong đó, ta có thể tham khảo một số kết quả điển hình như các công trình của Thầy Nguyễn Thành Long [34-39], các quyển sách chuyên ngành về bài toán giá trị ban đầu của Wolfgang [40], Karan [41]. Bài toán ngược thời gian hay bài toán giá trị cuối. Xác định dit liệu phân bỗ khi biết giá trị phân bố tại thời điểm cuối ? = 7 với 7 là một số dương cho trước.

Bài toán giá trị cuối (terminal/final value problem) hay còn gọi là bài toán ngược thời gian (backward problem) thường là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Liên quan đến các bài toán ngược thời gian hay bài toán giá trị cuối, ta phải kể n cuốn ách của Lattes và Lions năm 1969, xem chỉ tiết ở tài liệu [42]. Có thể nói rằng các tác giả này đã đặt nền móng cho bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic như sau u, + Au =0, u(T) = 9.1) Viéc nghiên cứu bai toán trên bắt nguồn trong thực tế, trong các lĩnh vực cơ học, vật ly,. và được nhiều nhà toán học quan tâm.

Thật vậy, trong các vụ hỏa hoạn, chúng ta rất khó đo được nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu cháy hoặc nhiệt độ trong lúc đang cháy (to > 0) mà ta chỉ xác định được nhiệt độ tại thời điểm sau đó (t; > fo). Cũng tương tự, trong sinh học, việc xác định mật độ cá thể của một loài sinh vật tại thời điểm trong quá khứ là vấn đề quan tâm của các nhà sinh vật học. Trong khi đo đạc thực tế, chúng ta thường nhận phải dự liệu bị sai số vì một số lí do khách quan hoặc chủ quan. Lions đã chứng minh cho bài toán (2.1) rằng khi có sai số nhỏ của dữ liệu tại thời điểm cuối ¿ trong (2.1), sẽ dẫn đến sa At lớn của dữ liệu tại thời điểm ban đầu z(0).

Sau đây, ta xét một ví dụ về ứng dụng của bài toán ngược trong xử lý ảnh dựa trên Khóa trường hè tháng 6 năm 2018 Gene Golub SIAM được tổ chức tại Breckenridge, Colorado, USA về chủ dé “Inverse problems: Systematic integration of data with models under uncertainty”. Xét bai toán tuyến tinh tổng quát trong mô hình khôi phục hình ảnh bị nhòe có dạng như sau g=Aftn, (2.2) trong đó g là ảnh tại thời điểm quan sát, f là ảnh lúc ban dau, A là toán tử tuyến tinh 5 gây nhiễu mờ ảnh (blur), ảnh chụp bị rung lắc (tomography),. và mô hình nhiễu ngẫu nhiên. Mục tiêu: Tìm lại dit liệu ƒ khi biết trước dữ liệu g.

“Trong bài toán này, ta chuyển dữ liệu về dang ma trận và xét toán tử A được cho bởi như sau: f= (flo) fl)., — 1}, [X]† là ma trận chuyển vị của ma trận X va ma trận A có dạng cụ thể như sau h[0] = h[M-— 1] nh h[1] A= h[1] ñ[0]} — h[NM-— 1] (23⁄6) h[N — 1] h[N - 2] vn h[0] Ta đặt V = [vo VỊ. vy-1] va A =diag(Ao 4i.