Mô Hình Tăng Trưởng Lỗ Hổng Trong Phân Tích Đứt Gãy Ductile Kim Loại Anisotropic

Luận văn thạc sĩ kỹ thuật phân tích kỹ thuật cơ khí enhancement of void growth model for the anisotropic ductile metal, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả

• Tác giả: Nguyễn Hữu Hào
• Người hướng dẫn: Assoc. Vũ Công Hòa
• Trường học: Ho Chi Minh City University of Technology
• Chuyên ngành: Engineering Mechanics
• Đề tài: Mô Hình Tăng Trưởng Lỗ Hổng Trong Phân Tích Đứt Gãy Ductile Kim Loại Anisotropic
• Loại tài liệu: dissertation
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Ho Chi Minh City

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Mô Hình Tăng Trưởng Lỗ Hổng Giới Thiệu 50 60

Bài viết này tập trung vào mô hình tăng trưởng lỗ hổng trong phân tích đứt gãy ductile của kim loại anisotropic. Các vật liệu kim loại thường chứa các hạt pha thứ hai hoặc tạp chất. Khi vật liệu kim loại chịu biến dạng dẻo, các lỗ hổng vi mô hình thành, phát triển và liên kết, dẫn đến tổn thương vật liệu. Mục tiêu chính là tăng cường mô hình tăng trưởng lỗ hổng để dự đoán sự phá hủy dẻo của hợp kim nhôm tấm, điển hình cho các công trình dân dụng có tính dị hướng và triển khai chúng trong một subroutine vật liệu do người dùng định nghĩa (VUMAT). Code phần tử hữu hạn rõ ràng đã được chọn để thực hiện các mô hình vật liệu mới. Mô hình Constitutive với tiêu chí năng suất anisotropic, tăng trưởng tổn thương vật liệu và cơ chế phá hủy đã được phát triển và thực hiện trong phần mềm ABAQUS/Explicit.

1.1. Cơ Chế Hình Thành Lỗ Hổng Vi Mô Trong Kim Loại Anisotropic

Quá trình phân tích đứt gãy ductile bắt đầu với sự hình thành lỗ hổng vi mô. Các lỗ hổng vi mô này thường xuất hiện tại các vị trí tập trung ứng suất, chẳng hạn như ranh giới hạt hoặc tại các hạt pha thứ hai. Sự hình thành lỗ hổng chịu ảnh hưởng lớn bởi cấu trúc vi mô của vật liệu và ứng suất tác dụng. Ứng suất ba trục đóng vai trò quan trọng trong việc kích hoạt quá trình hình thành lỗ hổng. Các mô hình tăng trưởng lỗ hổng cần xem xét các yếu tố này để dự đoán chính xác sự phá hủy dẻo. Theo nghiên cứu của Nguyễn Hữu Hào, "một khi vật liệu kim loại chịu biến dạng dẫn đến sự hình thành, tăng trưởng và liên kết của lỗ hổng đó là gốc của tổn thương dẻo."

1.2. Ảnh Hưởng Của Tính Anisotropic Đến Tăng Trưởng Lỗ Hổng

Tính dị hướng của kim loại ảnh hưởng đáng kể đến quá trình tăng trưởng lỗ hổng. Trong vật liệu anisotropic, các tính chất cơ học thay đổi theo hướng. Do đó, sự phát triển của lỗ hổng không đồng đều và phụ thuộc vào hướng của ứng suất. Việc bỏ qua tính dị hướng có thể dẫn đến sai sót trong dự đoán độ bền kéo và tiêu chí phá hủy. Các mô hình tăng trưởng lỗ hổng tiên tiến cần kết hợp các tham số anisotropic để phản ánh chính xác hành vi của vật liệu. Theo Nguyễn Hữu Hào, tính dị hướng của kim loại tấm là một yếu tố quan trọng cần xem xét trong phân tích đứt gãy ductile.

II. Thách Thức Trong Phân Tích Đứt Gãy Ductile Vật Liệu 50 60

Phân tích đứt gãy ductile của kim loại anisotropic đặt ra nhiều thách thức. Các mô hình tăng trưởng lỗ hổng phải đối mặt với việc mô tả chính xác các cơ chế phức tạp như sự hình thành lỗ hổng, sự phát triển không đồng đều do tính dị hướng, và sự liên kết của lỗ hổng. Ngoài ra, việc xác định các tham số vật liệu chính xác cho các mô hình này là một khó khăn lớn. Mô phỏng phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ, nhưng đòi hỏi sự chính xác trong việc lựa chọn mô hình Constitutive và điều kiện biên.

2.1. Mô Hình Hóa Sự Liên Kết Lỗ Hổng Vi Mô

Sự liên kết của các lỗ hổng vi mô là một giai đoạn quan trọng trong quá trình phân tích đứt gãy ductile. Khi các lỗ hổng phát triển đủ lớn, chúng bắt đầu liên kết lại với nhau, tạo thành các nứt vỡ lớn hơn. Việc mô hình hóa sự liên kết này là rất khó khăn, vì nó liên quan đến các tương tác phức tạp giữa các lỗ hổng và sự thay đổi đột ngột trong trường ứng suất. Các mô hình thường sử dụng các tiêu chí liên kết dựa trên khoảng cách giữa các lỗ hổng hoặc mật độ lỗ hổng.

2.2. Xác Định Tham Số Vật Liệu Anisotropic Chính Xác

Việc xác định các tham số vật liệu cho các mô hình tăng trưởng lỗ hổng anisotropic là một thách thức lớn. Các tham số này mô tả tính dị hướng của vật liệu, chẳng hạn như hệ số Lankford (r-value) và các tham số trong hàm năng suất Hill48. Các thí nghiệm kéo ở các hướng khác nhau có thể được sử dụng để xác định các tham số này, nhưng quá trình này tốn kém và mất thời gian. Ngoài ra, sự phụ thuộc của các tham số vào tốc độ biến dạng và nhiệt độ cần được xem xét.

III. Phương Pháp Tăng Cường Mô Hình Tăng Trưởng Lỗ Hổng 50 60

Để giải quyết những thách thức trên, cần có các phương pháp tăng cường mô hình tăng trưởng lỗ hổng. Các phương pháp này có thể bao gồm việc kết hợp các cơ chế tổn thương vật liệu bổ sung, chẳng hạn như damage mechanics do cắt trượt, hoặc sử dụng các mô hình Constitutive phức tạp hơn để mô tả tính dị hướng. Ngoài ra, việc sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa để xác định các tham số vật liệu có thể cải thiện độ chính xác của mô hình.

3.1. Tích Hợp Cơ Chế Damage Mechanics Do Cắt Trượt

Trong một số trường hợp, damage mechanics do cắt trượt có thể đóng vai trò quan trọng trong quá trình phân tích đứt gãy ductile, đặc biệt là ở các vùng có ứng suất cắt cao. Việc tích hợp cơ chế này vào mô hình tăng trưởng lỗ hổng có thể cải thiện độ chính xác của dự đoán, đặc biệt là khi xem xét ứng suất ba trục. Các mô hình cắt trượt thường dựa trên các tiêu chí phá hủy dựa trên ứng suất cắt.

3.2. Sử Dụng Mô Hình Constitutive Anisotropic Phức Tạp

Các mô hình Constitutive anisotropic phức tạp hơn, chẳng hạn như các mô hình dựa trên lý thuyết độ dẻo tinh thể, có thể mô tả chính xác hơn tính dị hướng của vật liệu. Tuy nhiên, các mô hình này thường đòi hỏi nhiều tham số vật liệu hơn và phức tạp hơn về mặt tính toán. Việc lựa chọn mô hình Constitutive phù hợp phụ thuộc vào độ chính xác cần thiết và nguồn lực tính toán có sẵn.

IV. Ứng Dụng Mô Hình Tăng Trưởng Lỗ Hổng Trong Mô Phỏng FEM 50 60

Mô phỏng phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu phân tích đứt gãy ductile của kim loại anisotropic. Các mô hình tăng trưởng lỗ hổng có thể được triển khai trong các subroutine vật liệu do người dùng định nghĩa (VUMAT) trong các phần mềm FEM thương mại như ABAQUS. Việc sử dụng FEM cho phép mô phỏng các quá trình biến dạng phức tạp và dự đoán sự hình thành và phát triển của nứt vỡ.

4.1. Triển Khai Mô Hình Trong Subroutine Vật Liệu VUMAT

Việc triển khai mô hình tăng trưởng lỗ hổng trong một subroutine vật liệu (VUMAT) cho phép người dùng tùy chỉnh hành vi vật liệu trong mô phỏng FEM. VUMAT cho phép tích hợp các phương trình mô hình vào code FEM và xác định các thuộc tính vật liệu dựa trên kết quả tính toán. Điều này đòi hỏi kiến thức về lập trình và hiểu biết sâu sắc về mô hình.

4.2. Xác Thực Mô Hình Bằng Thí Nghiệm Kéo Và Deep Drawing

Việc xác thực mô hình là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác của dự đoán. Các thí nghiệm kéo và deep drawing có thể được sử dụng để so sánh kết quả mô phỏng với kết quả thí nghiệm thực tế. Các thông số vật liệu có thể được điều chỉnh để phù hợp với kết quả thí nghiệm.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Dự Đoán Đứt Gãy AA6061 T6 50 60

Nghiên cứu sử dụng mô hình tăng trưởng lỗ hổng tăng cường để dự đoán phân tích đứt gãy ductile của hợp kim nhôm AA6061-T6. Kết quả cho thấy mô hình có thể dự đoán chính xác sự hình thành nứt vỡ và đường đi của nứt vỡ trong các thí nghiệm kéo. Ngoài ra, mô hình có thể được sử dụng để tạo ra sơ đồ giới hạn tạo hình (FLD), cung cấp thông tin hữu ích cho thiết kế và sản xuất.

5.1. Dự Đoán Vị Trí Khởi Đầu Nứt Vỡ Vi Mô

Việc dự đoán chính xác vị trí khởi đầu nứt vỡ vi mô là rất quan trọng để kiểm soát quá trình phân tích đứt gãy ductile. Mô hình cho thấy vị trí khởi đầu nứt vỡ thường xảy ra tại các vị trí tập trung ứng suất, chẳng hạn như góc của các mẫu thí nghiệm hoặc tại các hạt pha thứ hai.

5.2. Dự Đoán Đường Đi Nứt Vỡ Và FLD Của AA6061 T6

Mô hình có thể dự đoán chính xác đường đi nứt vỡ trong các thí nghiệm kéo. Ngoài ra, mô hình có thể được sử dụng để tạo ra sơ đồ giới hạn tạo hình (FLD) cho hợp kim nhôm AA6061-T6. FLD cung cấp thông tin hữu ích cho thiết kế và sản xuất, cho phép kỹ sư lựa chọn các thông số quá trình để tránh phân tích đứt gãy ductile.

VI. Kết Luận Và Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về Ductile 50 60

Bài viết đã trình bày một tổng quan về mô hình tăng trưởng lỗ hổng trong phân tích đứt gãy ductile của kim loại anisotropic. Các phương pháp tăng cường mô hình và ứng dụng trong mô phỏng FEM đã được thảo luận. Hướng nghiên cứu tương lai bao gồm việc phát triển các mô hình phức tạp hơn để mô tả các cơ chế tổn thương vật liệu khác nhau, cải thiện việc xác định các tham số vật liệu và áp dụng mô hình cho các ứng dụng thực tế.

6.1. Phát Triển Mô Hình Tổn Thương Vật Liệu Đa Cơ Chế

Hướng nghiên cứu tương lai nên tập trung vào việc phát triển các mô hình có thể mô tả nhiều cơ chế tổn thương vật liệu khác nhau, chẳng hạn như tổn thương vật liệu do cắt trượt, tổn thương vật liệu do mỏi và tổn thương vật liệu do ăn mòn. Việc kết hợp các cơ chế này vào mô hình có thể cải thiện độ chính xác và độ tin cậy của dự đoán.

6.2. Ứng Dụng Trong Các Bài Toán Thực Tế Và Thiết Kế Sản Phẩm

Các mô hình tăng trưởng lỗ hổng có thể được áp dụng cho các bài toán thực tế, chẳng hạn như dự đoán độ bền của các bộ phận kết cấu trong ngành công nghiệp ô tô, hàng không vũ trụ và xây dựng. Ngoài ra, mô hình có thể được sử dụng trong quá trình thiết kế sản phẩm để tối ưu hóa hình dạng và vật liệu để giảm thiểu nguy cơ phân tích đứt gãy ductile.

Trích đoạn nội dung tài liệu

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY – HO CHI MINH CITY HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NGUYỄN HỮU HÀO ENHANCEMENT OF VOID GROWTH MODEL FOR THE ANISOTROPIC DUCTILE METAL DISSERTATION HO CHI MINH CITY 2019 VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY – HO CHI MINH CITY HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NGUYỄN HỮU HÀO ENHANCEMENT OF VOID GROWTH MODEL FOR THE ANISOTROPIC DUCTILE METAL Major: Engineering Mechanics Code: 62 52 01 01 Independent reviewer 1: Assoc. Nguyễn Đức Toàn Independent reviewer 2: Dr. Trương Quang Tri Reviewer 1: Assoc. Nguyễn Xuân Hùng Reviewer 2: Assoc.

Nguyễn Văn Hiếu Reviewer 3: Assoc. Bùi Công Thành SCIENCE ADVISORS: 1. Nguyễn Ngọc Trung DECLARATION OF ORIGINALITY I confirm that this dissertation is my own work and that any material from published or unpublished work from others is appropriately referenced. Signature: Nguyễn Hữu Hào i COPYRIGHT DECLARATION The copyright of this dissertation rests with the author and is made available under a Ho Chi Minh City University of Technology, VNU-HCM license.

Researchers are free to copy, distribute or transmit the dissertation on the condition that they attribute it, that they do not use it for commercial purposes and that they do not alter, transform or build upon it. For any reuse or redistribution, researchers must make clear to others the license terms of this work. ii ABSTRACT The aim of work presented in this dissertation was to produce the improvement of the existing void growth-based damage models used for the ductile fracture analysis and prediction of sheet metals, which are subjected plastic deformation. The original metal material is usually containing the second phase particles or/and inclusions.

Once the metallic material under deformation lead to the nucleation, growth and coalescence of voids that it is root of ductile damage. The main objective of this work was enhancement of micro-void growth-based damage model to predict ductile fracture behavior of sheet aluminum alloys, typical for civil structures with anisotropic properties and their implementation in user-defined material subroutine (VUMAT). The explicit finite element code has been chosen for implementation of new material models. Constitutive model with anisotropic yield criterion, damage growth and failure mechanism has been developed and implemented into ABAQUS/Explicit software.

The second important aspect of this dissertation was performance of tensile experiments in three different orientations of materials for identification of mechanical behavior of high strength sheet aluminum alloys AA6061-T6. The results from these tests allowed derivation of material constants for constitutive models and help to have a better understanding of anisotropic material behavior. The tensile tests were also used to validate the implementation and accuracy of constitutive material models. The constitutive models were developed within the general framework of ductile damage mechanics.

Coupling of the quadratic yield function Hill48 with damage model based on micro-mechanical and continuum damage mechanics (CDM) theories has been chosen to suit the anisotropic behavior of sheet material. The validation of the constitutive models has been performed by numerical simulations of tensile, deep drawing and Nakajima tests. The micro-crack and fracture initiation, crack path and forming limit diagram (FLD) are predicted using these constitutive models. iii ACKNOWLEDGEMENT I would like to express my sincere gratitude to my supervisors, Assoc.

Vũ Công Hòa and Dr. Nguyễn Ngọc Trung for their guidance, technical support, and helpful discussions during this research. The knowledge and efforts of my colleagues in our group was a valuable source of inspiration and success. Finally, I would like to express my profound gratitude to my wife and my parents for their support and encouragement throughout my education and professional career.

iv CONTENTS DECLARATION OF ORIGINALITY.v LIST OF FIGURES. viii LIST OF TABLES .xi LIST OF ACRONYMS. xiii CHAPTER 1 INTRODUCTION .1 The research motivation .1 The research objectives. 5 The contributions of dissertation.

6 CHAPTER 2 DUCTILE FRACTURE OF METALLIC MATERIAL .7 Ductile damage mechanism of metallic material .7 Microscopic void nucleation .2 Void nucleation models.3 Needleman and Tvergaard model.4 Bouaziz and Maire model.11 Microscopic void growth .2 Void growth model .2 Rice and Tracey model .3 Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) model .17 Void coalescence leads to microscopic crack .2 Void coalescence models .2 Brown and Embury model .3 Tvergaard and Needleman model.4 Void coalescence model due to shear mechanism .25 CHAPTER 3 DUCTILE FRACTURE MODELLING .27 The continuum damage mechanics (CDM) model .1 The constitutive equations of void growth based CDM model .2 An extension of the void growth model for shear damage. 34 The porous ductile model.37 CHAPTER 4 NUMERICAL IMPLEMENTATION OF THE DUCTILE DAMAGE MODELS…………………………………………………………………………….42 Overview of the vectorized user material (VUMAT) subroutine .42 Numerical implementation of CDM model. 43 Numerical implementation of the porous ductile model .3 Updating the stress state and solution dependent variables .4 The derivatives of Dung-Hill48 model. 55 Verification of user-defined material subroutine .1 Verification by the unit elements .1 Geometries and boundary conditions .2 The material properties .3 The results using CDM model.

60 Effect of softening exponent β .60 g Effect of critical damage parameter Dcrit .4 The results using porous ductile model .62 Effect of hardening exponent .62 Effect of Lankford’s coefficients.63 Effect of shear coefficient .2 Verification by tensile and deep drawing tests of AA6016-T4 aluminum alloy…………………………………………………………………………….1 The material parameters. 68 CHAPTER 5 IDENTIFICATION OF MATERIAL PARAMETERS. 71 Calibration of the material parameters for the damage models .1 The calibrated approach and procedure .3 Porous ductile model .81 CHAPTER 6 DUCTILE FRACTURE PREDICTION OF AA6061-T6 ALUMINUM ALLOY……………………………………………………………………………….84 The tensile tests .1 Geometries, mesh and boundary conditions .3 Crack initiation and propagation prediction.4 Ductile fracture strain prediction. 98 Forming limit diagram (FLD) prediction.

99 CHAPTER 7 CONCLUSIONS AND FUTURE WORK .105 The overall conclusions .105 The recommends for future work .106 LIST OF PUPLICATIONS .129 vii LIST OF FIGURES Figure 1.1 The ductile fracture under forming process of plastic deformation [1, 2] .2 Exact prediction of ductile fracture by numerical simulation [2, 4] .1 Ductile fracture mechanism of metallic material: a) specimen, b) the process of void nucleation, growth and coalescence during plastic strain evolution [32] .2 Micro-void nucleation inside AA6061 aluminum alloy specimens: (a) interface deboning and (b) particle cracking [34].3 Second phase and non-metallic particles in alloy steel [40] .4 Void nucleation in double phase steel: (a) 2D view, (b) 3D view [41] .5 Microscopic graph of AA6061 alloy [53]: (a) microscopic structure in an unetched condition; (b) void growth in notched specimen under uniaxial tension .6 The void nucleation (red color) by Zirconia inclusions (light blue color): (a) homogeneous deformation; (b) localized deformation [55] .7 McClintock’s void growth model (a) solid contains the cylindrical voids; (b) unit cell model [9].8 Rice and Tracey void growth model [10].9 The Gurson void growth model: a) arbitrary voids in cubic solid, b) a spherical void in spherical solid [18].10 Circular cylindrical void in the cylindrical solid [18]. Dung void growth model: a) cylindrical void; b) ellipsoidal void; c) void distribution in matrix material [60].12 The first void coalescence mode: a) Benzerga [65] and b, c ) Weck [64] .13 Second mode of void coalescence a) and b) Benzerga [67] and c) Pardoen et al.14 Third void coalescence mode a) and b) Weck [64]; c) Benzerga [67] .1 Illustration of rotation of coordinates system about 3-axis.2 Illustration of void shear mechanism [25] .3 The yield surface presentation of the Dung-Hill48 and pure Hill48 models in normalized principal stress space .1 Geometrical illustration of the “cutting-plane” algorithm. Presentation of normal distribution function of void nucleation respect to equivalent plastic strain .3 Unit element (a) uniaxial tension and (b) simple shear .4 True stress-strain curve .5 Effect of softening exponent on evolution of damage variable  Dcrit g  1 .6 Effect of softening exponent on equivalent stress  Dcrit g  1 .7 Effect of critical damage parameter on the evolution of damage variable of unit element under uniaxial tension    3 .8 Effect of critical damage parameter on the equivalent stress of unit element under uniaxial tension    3 .9 Effect of hardening exponent on VVF evolution .10 Effect of hardening exponent on equivalent stress .11 Effect of Lankford’s coefficients on VVF evolution versus equivalent plastic strain .12 Effect of Lankford’s coefficients on the equivalent stress correspond to equivalent plastic strain .13 Effect of shear coefficient ( k ) on VVF evolution .14 Effect of shear coefficient ( k ) on the element equivalent stress .15 Geometry, mesh and boundary conditions of tensile test .16 Comparison of the crack path. (a) experiment [91], (b) CDM-Hill48 model, (c) Dung-Hill48 model .17 Force – displacement curves of tensile test.18 Diagram of the tooling setup in square cup drawing (a) dimensions (unit: mm) and (b) finite element model .19 Comparison of fracture path between experiment and numerical simulations.

(a) experiment, (b) CDM-Hill48 model, (c) Dung-Hill48 model .20 Comparison of forming force curve between experiment and the numerical simulations .1 Illustration of AA6061-T6 sheet used to create the specimens .2 ASTM-E8 dog-bone specimen.3 Tensile test setup .4 Force - displacement curve of dog-bone specimen.5 (a) Engineering and (b) true stress versus strain curves .6 The best fit hardening curve.7 Yield locus in 2D principal stress space of AA6061-T6 sheet .8 Flowchart of optimized process .9 FEM mesh and boundary condition of dog-bone specimen .10 The best-fit force-displacement curve using CDM model .11 Force – displacement curve using set of optimum material parameters .1 Dimensions and geometries.5 specimen and (d) shear specimen .2 Mesh and boundary condition.5 specimen and (d) shear specimen .3 Force- displacement response of tensile tests .4 No damage occurrence when using a) CDM-Hill48 and b) GTN models without shear damage variable .5 The contour of state variables at micro-crack initiation when using Dung- Hill48 model: (a) dog-bone specimen, (b) R6 specimen, (c) R3 specimen, (d) R1.5 specimen and (e) shear specimen .6 Micro-crack location of R-notched specimen .7 Contour of state variables at moment just before fracture occurrence when using CDM-Hill48 model: (a) dog-bone specimen and (b) R6-specimen.8 Contour of state variables at moment just before fracture occurrence when using CDM-Hill48 model: (c) R3 specimen, (d) R1.5 specimen and (e) shear specimen (cont.9 The damage evolution corresponds to equivalent plastic strain .10 The variation of Lode angle parameter in equivalent plastic strain .11 Predicted fracture path by CDM-Hill48 and Dung-Hill48 models.12 Predicted fracture path by CDM-Hill48 and Dung-Hill48 models (cont.13 Predicted fracture path by CDM-Hill48 and Dung-Hill48 models (cont.14 The variation of stress triaxiality in equivalent plastic strain using Dung- Hill48 model .15 Equivalent plastic fracture strain as a function of average stress triaxiality .17 Finite element mesh and model: (a) W30 specimen, (b) W55 specimen, (c) W70 specimen, (d) W90 specimen, (e) W120 specimen, (f) W145 specimen, (g) circular specimen, (h) finite element model .18 Illustration of the method to determine limit strains.19 The forming limit diagram of AA6061-T6 aluminum alloy.20 The equivalent plastic fracture strain of AA6061-T6 aluminum alloy .104 x LIST OF TABLES Table 4.1 The material parameter for Dung-Hill48 model .2 The material parameter for CDM-Hill48 model .1 Chemical composition of AA6061-T6 aluminum alloy.2 The calculation of the Lankford’s coefficients.3 The Swift hardening model parameters .4 The mechanical properties of AA6061-T6 aluminum alloy .5 The anisotropic coefficients of Hill48 equivalent stress function.6 Initial guess values and constrains for optimization process .7 The best-fit material parameters for CDM model .8 Initial guess values and constrains for optimization process. The optimal values for Dung-Hill48 model .1 The ductility predictions of the R-notched specimen.2 Average Lode angle parameter values .3 Summary of fracture initiation location prediction .97 xi LIST OF ACRONYMS 2D Two dimensions 3D Three dimensions ASTM American society for testing and materials CDM Continuum damage mechanics CONT.