Chương 1 Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày của luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, hay còn gọi là bài toán Cauchy dy Dy = = f (t, y), t0 ≤ t ≤ T, dt (1.1) y(t0 ) = y0 , y, f ∈ Rn , trong đó hàm y(t) : [t0 , T ] → Rn là hàm số cần xác định, giá trị ban đầu y0 ∈ Rn và hàm vế phải f : [t0 , T ] × Rn → Rn cho trước. Ta giả thiết rằng thời gian ban đầu t0 là hữu hạn, nhưng thời gian T có thể tiến đến vô cùng đối với hệ động lực học. Để đơn giản, ta giả sử rằng t0 = 0. Trong trường hợp f = f (y) thì phương trình được gọi là dừng (au- tonomous).
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình là dừng. Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ yn+1 = t và đặt ŷ = (y1 , y2 ,. Khi đó phương trình được viết lại dưới dạng T ŷ 0 = fˆ(ŷ), fˆ(ŷ) = f (y), 1 .2) Các kết quả liên quan đến bài toán giá trị ban đầu (1.1) như sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu. được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình vi phân (xem [3, 9, 10]) nên chúng ta không trình bày lại ở đây.
Từ giờ cho tới hết phần (LUAN.phan 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.phan trình bày của luận văn, chúng ta luôn giả thiết rằng nghiệm của bài toán Cauchy (1.1) là duy nhất toàn cục trên [0, T ]. Điểm ȳ ∈ Rn được gọi là điểm bất động (fixed point) hay điểm cân bằng (equilibrium point) hoặc nghiệm hằng (constant solution) của phương trình (1. Giả sử ȳ là một điểm bất động (1. Điểm (vị trí) ổn định (stable) nếu với mọi > 0, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho nếu y0 ∈ B(ȳ, δ) thì nghiệm y(t, y0 ) ∈ B(ȳ, ) với mọi t ≥ 0.
Điểm ổn định tiệm cận (asymptotically stable) nếu y là ổn định và ||y(t, y0 ) − y|| → 0 khi t → ∞ với mọi ||y0 − y|| đủ nhỏ. Điểm không ổn định nếu điều kiện 1 của định nghĩa không được thỏa mãn. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Nếu ȳ là ổn định thì các lời giải với giá trị ban đầu đủ gần ȳ cũng sẽ không nằm ngoài hình cầu tâm ȳ với bán kính . Còn nếu ȳ là ổn định tiệm cận thì nó sẽ hút các lời giải với giá trị ban đầu gần nó.
Tức là các lời giải với giá trị ban đầu gần ȳ sẽ hội tụ về ȳ. Hiển nhiên, nếu ȳ là ổn định tiệm cận thì nó là ổn định, trong trường hợp ȳ là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận thì ta nói ȳ là ổn định yếu (marginally stable). Giả sử rằng f : Rn → Rn là hàm thuộc lớp hàm C 1 , ta ký hiệu Jacobian của hàm f tại điểm bất động ȳ là J ≡ Jf (ȳ). Nếu ma trận J có tất cả các giá trị riêng λk đều có phần thực Re(λk ) 6= 0 thì ta gọi ȳ là điểm bất động hyperbolic.
Ngược lại, ta gọi ȳ là điểm bất động không hyperbolic (non - hyperbolic). Giả sử f là hàm số khả vi liên tục với ȳ là điểm bất động hyperbolic và y(t) là một nghiệm của (1. Ta ký hiệu (t) = y(t) − y là thay đổi (nhiễu) của nghiệm y(t) xung quanh điểm bất (LUAN.phan 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.phan động hyperbolic ȳ. Sử dụng khai triển Taylor, bỏ qua thành phần bậc hai trở đi ta có 0 = y 0 (t) = f (y) = f (ȳ + ) ≈ f (ȳ) + Jf (ȳ) = J.
Phương trình 0 = J, (1.3) được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình nhiễu xung quanh điểm ổn định hyperbolic ȳ. Giả sử f là hàm số khả vi liên tục và ȳ là một điểm bất động hyperbolic. Khi đó ȳ là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với các trạng thái ban đầu 0 = y0 − y mà ||0 || đủ nhỏ thì nghiệm (t) = 0 etJ của (1. t→∞ Điều này tương đương với Re(λ) < 0, ∀λ ∈ σ(J), trong đó σ(J) là tập hợp các giá trị riêng của ma trận J.
Ngược lại, điểm bất động y là không ổn định khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ σ(J) sao cho Re(λ) > 0 hoặc limt→∞ (t) = ∞. Định lý không áp dụng được trong trường hợp ȳ không phải điểm bất động hyperbolic. Trong trường hợp Re(λ) < 0, ∀λ ∈ σ(J), ta còn gọi điểm ȳ là điểm ổn định tuyến tính (linearly stable). Điều này tương đương sự kiện phương trình tuyến tính 0 = J là ổn định.
Xét hệ động lực xác định bởi phương trình Logistic y 0 = λy(1 − y), y(0) = y0 .4) Phương trình này có nghiệm chính xác y0 y(t) = .5) (1 − y0 )e−λt + y0 Phương trình (1.4) có hai điểm bất động là y = 0, ŷ = 1. Sử dụng Định lý 1.1, ta nhận được.phan 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. ȳ = 0 là ổn định tiệm cận nếu λ < 0 và không ổn định nếu λ > 0. ŷ = 1 là không ổn định nếu λ < 0 và ổn định tiệm cận nếu λ > 0.
λ = 0 thì mọi hằng số đều là ổn định nhưng không ổn định hyperbolic. Trong trường hợp λ < 0, tất cả các nghiệm của (1.4) với y0 < 1 đều hội tụ đơn điệu về ȳ = 0. Tất cả các nghiệm với y0 > 1 dẫn đến các quỹ đạo tăng trưởng không bị chặn trong thời gian hữu hạn. Tức là, các nghiệm bùng nổ (blow - up solution).
Thời gian bùng nổ là 1 1 y0 y0 − 1 T (y0 ; λ) = − ln = ln( ) λ > 0.6) λ y0 − 1 y0 Nếu λ > 0, tất cả các nghiệm với y0 > 0 đều hội tụ đơn điệu về ŷ = 1. Tất cả các nghiệm với y0 < 0 dẫn đến các quỹ đạo tiến về −∞ trong khoảng thời gian hữu hạn T , trong đó 1 1 y0 − 1 y0 − 1 T (y0 ; λ) = ln = ln( ) λ > 0.4 biểu diễn các quỹ đạo của phương trình Logistic. Tiếp theo, ta trình bày lại một số khái niệm và kết quả liên quan tới các phương pháp số giải phương trình vi phân. Chúng ta xét bài toán giá trị ban đầu (1.1) 0 y = f (t, y), 0 ≤ t ≤ T, y(0) = y0 , y, f ∈ Rn , với giả thiết hàm f đủ trơn có các đạo hàm riêng bị chặn sao cho lời giải của bài toán là tồn tại duy nhất và lời giải có đạo hàm bị chặn tới cấp cần thiết.
Ta lấy một phân hoạch không nhất thiết đều của đoạn [0, T ] (rời rạc hóa trục thời gian) π = {0 = t0 < t1 < t2 <. < tN = T }, hn = tn − tn−1 được gọi là bước lưới hay cỡ bước (stepsize). Ta cần tìm các xấp xỉ yn ≈ y(tn ) tại các nút lưới t0 ,. Ta gọi các giá trị {yn }n=N n=0 là nghiệm số xấp xỉ, hay ngắn gọn là nghiệm số của phương pháp trên lưới π .phan 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.phan 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.phan Ta xét lược đồ số một bước ở dạng Dh (yk ) = Fh (f ; yk ), (1.8) dy trong đó Dh ≈ là phần rời rạc hóa đạo hàm trên lưới.
Còn Fh là phần dt rời rạc hóa hàm vế phải. Tương tự như đối với phương trình vi phân, ta có kết quả phát biểu cho phương trình sai phân (1. Giả sử ȳ là một điểm bất động của lược đồ (1. Ký hiệu Jh là Jacobian của hàm F tại ȳ.
Khi đó, nhiễu k = yk − ȳ xung quanh điểm bất động y được xấp xỉ bằng nghiệm phương trình tuyến tính hóa (sử dụng khai triển Taylor) Dh k = Jh k .9) Điểm bất động y được gọi là ổn định tuyến tính khi và chỉ khi nghiệm {k } (với ||0 || đủ nhỏ) của (1. Điều này tương đương với điều kiện mọi giá trị riêng λi của Jh đều có |λi | < 1. Trong rất nhiều các giáo trình về phương trình sai phân, Định lý 1.2 được lấy làm định nghĩa điểm bất động ổn định tuyến tính cho phương trình sai phân. Các phương pháp sai phân bình thường chủ yếu được xây dựng dựa trên việc rời rạc hóa đạo hàm bằng các công thức sai phân hữu hạn.
Chẳng hạn, công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm yn+1 − yn yn − yn−1 yn+1 − yn−1 y 0 (tn ) ≈ , y 0 (tn ) ≈ , y 0 (tn ) ≈. h h 2h Tương ứng ta nhận được: Công thức Euler hiển yn+1 = yn + hf (tn , yn ).10) Công thức Euler ẩn yn+1 = yn + hf (tn+1 , yn+1 ).11) Công thức hình thang ẩn hn yn+1 = yn + f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ) .phan 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.phan Các công thức Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn là trường hợp riêng của công thức θ có dạng hn yn+1 = yn + θf (tn , yn ) + (1 − θ)f (tn+1 , yn+1 ). 2 Đây là trường hợp riêng của phương pháp Runge - Kutta tổng quát. Phương pháp Runge - Kutta và phương pháp Taylor là các phương pháp tiêu biểu cho các phương pháp sai phân bình thường giải phương trình vi phân.
Chúng ta đã biết rằng các phương pháp trên đều là tương thích, hội tụ (xem [3, 9, 10]). Điều đó có nghĩa là khi bước lưới h dần về 0 thì sai số toàn cục |y(tn ) − yn | cũng hội tụ về 0. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ quan tâm đến sự tương thích, tính hội tụ của phương pháp thôi thì chưa đủ. Trong nhiều trường hợp, các phương pháp cần bảo toàn được các tính chất của bài toán.
Chẳng hạn, tính dương, tính bị chặn, tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chất ổn định của các điểm bất động, các tính chất bất biến trong các phương trình mô tả các hiện tượng Vật lý, Sinh học. Để minh họa cho điều này, chúng ta xét ví dụ đơn giản sau đây.