Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ trên nhóm đại số

Luận văn thạc sĩ phân tích cấp của thu gọn của điểm hữu tý trên nhóm đại số, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Nguyen Quang Khai
• Người hướng dẫn: Prof. Nguyen Quoc Thang
• Trường học: Graduate University of Science and Technology
• Chuyên ngành: Algebra and Number Theory
• Đề tài: On The Order Of The Reduction Of Rational Points On Algebraic Groups
• Loại tài liệu: master thesis
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Ha Noi

Mục lục chi tiết

• Declaration
• Acknowledgements
• List of Tables
• 1. Introduction
• 2. Algebraic Groups and Reductions
• 2.1. Linear Algebraic Groups
• 2.2. Semi-Abelian Varieties
• 2.3. Integral Models of Algebraic Groups
• 2.4. Reduction of Algebraic Groups
• 3. Height Functions and Diophantine Geometry
• 3.1. Heights on Elliptic Curves
• 3.2. Some Applications in Diophantine Geometry
• 3.2.1. Mordell-Weil Theorem
• 3.2.2. Siegel’s Theorem and S-Units Equation
• 4. The Orders of The Reductions of Rational Points on Algebraic Groups
• 4.1. Semi-Abelian Varieties
• 4.2. A Proof of Theorem 0
• Conclusion
• Bibliography

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Thứ Tự Thu Gọn Điểm Hữu Tỉ SEO

Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ trên nhóm đại số là một lĩnh vực quan trọng trong lý thuyết số và hình học đại số. Bài toán này liên quan đến việc khảo sát hành vi của các điểm hữu tỉ khi chúng được ánh xạ xuống các trường hữu hạn thông qua phép thu gọn modulo các ideal nguyên tố. Một trong những động lực chính của nghiên cứu này xuất phát từ kết quả cổ điển của Schinzel và Postnikova về ước nguyên thủy của an − bn. Nghiên cứu này mở ra hướng tiếp cận mới trong việc giải quyết các bài toán Diophantine và có ứng dụng trong mật mã. Nghiên cứu này tập trung vào trường hợp đường cong elliptic và đa tạp abel trên trường hàm toàn cục.

1.1. Giới thiệu bài toán về thứ tự thu gọn điểm hữu tỉ

Bài toán về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ trên nhóm đại số xem xét việc xác định thứ tự của một điểm trên một nhóm đại số sau khi nó được thu gọn modulo một ideal nguyên tố. Điều này liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỉ trên các trường hữu hạn và mối liên hệ của chúng với nhóm các điểm hữu tỉ trên trường ban đầu. Bài toán này có liên hệ mật thiết với giả thuyết Mordell-Weil và các kết quả liên quan đến chiều cao Néron-Tate.

1.2. Ứng dụng của thứ tự thu gọn trong lý thuyết số và mật mã

Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Trong lý thuyết số, nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của các nhóm đại số và giải quyết các phương trình Diophantine. Trong mật mã, nó được sử dụng để xây dựng các hệ mật mã dựa trên đường cong elliptic và các đa tạp abel, nơi mà độ khó của bài toán logarit rời rạc trên các nhóm này đảm bảo tính bảo mật của hệ thống.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Thứ Tự Thu Gọn Điểm Hữu Tỉ SEO

Một trong những thách thức lớn nhất trong nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ là việc kiểm soát sự phức tạp của cấu trúc nhóm và sự biến đổi của các điểm khi thu gọn. Việc tính toán chiều cao Néron-Tate và các bất biến khác của nhóm đại số cũng đòi hỏi các kỹ thuật tính toán phức tạp. Ngoài ra, việc mở rộng các kết quả từ trường số sang trường hàm cũng gặp nhiều khó khăn do sự khác biệt về tính chất của các trường này. Cần có các phương pháp descent hiệu quả và các công cụ phân tích p-adic để vượt qua những thách thức này.

2.1. Khó khăn trong việc tính toán chiều cao Néron Tate

Chiều cao Néron-Tate là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu về điểm hữu tỉ trên nhóm đại số. Tuy nhiên, việc tính toán chiều cao Néron-Tate thường rất khó khăn, đặc biệt là đối với các đa tạp abel có chiều lớn. Các phương pháp hiện tại thường dựa trên các xấp xỉ và các kỹ thuật tính toán phức tạp, đòi hỏi nhiều tài nguyên tính toán.

2.2. Vấn đề mở rộng kết quả từ trường số sang trường hàm

Nhiều kết quả trong lý thuyết số được chứng minh cho trường số không dễ dàng mở rộng sang trường hàm. Điều này là do sự khác biệt về tính chất của các trường này, chẳng hạn như sự tồn tại của các đơn vị và cấu trúc của nhóm class. Việc mở rộng các kết quả về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ từ trường số sang trường hàm đòi hỏi các kỹ thuật mới và sự hiểu biết sâu sắc về cấu trúc của các trường hàm.

2.3. Yêu cầu về phương pháp descent hiệu quả

Phương pháp descent là một công cụ quan trọng trong việc chứng minh các kết quả về điểm hữu tỉ trên nhóm đại số. Tuy nhiên, để phương pháp descent hoạt động hiệu quả, cần phải có các ước lượng tốt về kích thước của các nhóm Selmer và các đối tượng liên quan. Việc tìm kiếm các phương pháp descent hiệu quả là một thách thức lớn trong lĩnh vực này.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Thứ Tự Thu Gọn Điểm Hữu Tỉ SEO

Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ thường sử dụng kết hợp các công cụ từ hình học đại số, lý thuyết số và phân tích p-adic. Các hàm L và các kết quả liên quan đến giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hành vi của các điểm hữu tỉ. Lý thuyết Kummer và các biểu diễn Galois cũng được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc của các nhóm torsion và các nhóm Selmer. Các thuật toán tính toán cũng đóng vai trò quan trọng trong việc kiểm tra các giả thuyết và tìm kiếm các ví dụ cụ thể.

3.1. Sử dụng hàm L và giả thuyết Birch và Swinnerton Dyer

Hàm L là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các nhóm đại số và các điểm hữu tỉ của chúng. Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer liên hệ giá trị của hàm L tại s = 1 với hạng của nhóm các điểm hữu tỉ. Việc nghiên cứu hàm L và giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer có thể cung cấp thông tin quan trọng về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ.

3.2. Áp dụng lý thuyết Kummer và biểu diễn Galois

Lý thuyết Kummer và các biểu diễn Galois được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc của các nhóm torsion và các nhóm Selmer. Các nhóm này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ. Việc hiểu rõ cấu trúc của các nhóm này có thể giúp chúng ta chứng minh các kết quả về thứ tự thu gọn.

3.3. Vai trò của thuật toán tính toán trong nghiên cứu

Thuật toán tính toán đóng vai trò quan trọng trong việc kiểm tra các giả thuyết và tìm kiếm các ví dụ cụ thể. Các thuật toán có thể được sử dụng để tính toán chiều cao Néron-Tate, các nhóm Selmer và các đối tượng liên quan. Việc sử dụng thuật toán tính toán có thể giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của điểm hữu tỉ và thứ tự thu gọn của chúng.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Nghiên Cứu Thứ Tự Thu Gọn SEO

Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như mật mã, lý thuyết mã hóa và tối ưu hóa. Các kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng để xây dựng các hệ mật mã an toàn hơn và hiệu quả hơn. Ngoài ra, chúng cũng có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán Diophantine và các bài toán liên quan đến số học của đường cong.

4.1. Ứng dụng trong xây dựng hệ mật mã dựa trên đường cong elliptic

Các hệ mật mã dựa trên đường cong elliptic sử dụng độ khó của bài toán logarit rời rạc trên nhóm các điểm hữu tỉ để đảm bảo tính bảo mật. Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ có thể giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của nhóm này và xây dựng các hệ mật mã an toàn hơn.

4.2. Giải quyết bài toán Diophantine và số học đường cong

Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán Diophantine và các bài toán liên quan đến số học của đường cong. Các kết quả nghiên cứu có thể cung cấp thông tin quan trọng về sự tồn tại và cấu trúc của các nghiệm nguyên của các phương trình Diophantine.

V. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Thứ Tự Thu Gọn SEO

Nghiên cứu về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ trên nhóm đại số là một lĩnh vực đầy tiềm năng với nhiều câu hỏi mở và thách thức thú vị. Các hướng nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả cho các đa tạp abel có chiều lớn hơn, nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của giả thuyết Mordell-Weil và phát triển các thuật toán tính toán hiệu quả hơn.

5.1. Mở rộng kết quả cho đa tạp abel có chiều lớn hơn

Hầu hết các kết quả hiện tại về thứ tự thu gọn của điểm hữu tỉ tập trung vào đường cong elliptic và các đa tạp abel có chiều nhỏ. Việc mở rộng các kết quả cho các đa tạp abel có chiều lớn hơn là một hướng nghiên cứu quan trọng trong tương lai.

5.2. Nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của giả thuyết Mordell Weil

Giả thuyết Mordell-Weil khẳng định rằng nhóm các điểm hữu tỉ trên một nhóm đại số là hữu hạn sinh. Việc nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của giả thuyết Mordell-Weil có thể cung cấp thông tin quan trọng về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỉ và thứ tự thu gọn của chúng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MINISTRY OF EDUCATION VIETNAM ACADEMY OF AND TRAINING SCIENCE AND TECHNOLOGY GRADUATE UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNLOGY Nguyen Quang Khai ON THE ORDER OF REDUCTION OF RATIONAL POINTS ON ALGEBRAIC GROUPS MASTER THESIS IN MATHEMATICS Ha Noi - 2022 n MINISTRY OF EDUCATION VIETNAM ACADEMY OF AND TRAINING SCIENCE AND TECHNOLOGY GRADUATE UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNLOGY Nguyen Quang Khai ON THE ORDER OF REDUCTION OF RATIONAL POINTS ON ALGEBRAIC GROUPS Major : Algebra and Number Theory Code : 8 46 01 04 MASTER THESIS IN MATHEMATICS SUPERVISOR : Prof. Nguyen Quoc Thang Ha Noi - 2022 n I Declaration I declare that this thesis titled "On The Order Of The Reduction Of Rational Points On Algebraic Groups" has been composed solely by myself and it has not been previously included in a thesis or dissertation submitted for a degree or any other qualification at this graduate university or any other institution. Wherever the works of others are involved, every effort is made to indicate this clearly, with due reference to the literature. I will take responsibility for the above declaration. Hanoi, 30th September 2022 Signature of Student Nguyen Quang Khai n II Acknowledgements First and foremost, I would like to express my deepest gratitude to Professor Nguyen Quoc Thang for his support and encouragement throughout the two past years, and his advice and guidance on the topic of my thesis. My fascination with number theory, and its interaction with algebraic groups, has been expanded by him. I am grateful to Professor Phung Ho Hai for his help and guidance, especially in my early years learning algebraic geometry. His lectures and seminars on algebraic geometry play a key role in my algebraic geometry knowledge. I am thankful to the Graduate University of Science and Technology and the In- stitute of Mathematics for giving me a chance to study and work here. Learning mathematics there helps me to meet more mathematicians and friends who share the same interests. Participating in seminars and lectures there always motivates me to understand and study more mathematics. I would like to express my gratitude towards mathematicians in the Institute of Mathematics who always do not hesitate to answer my silly questions and encourage me to pursue advanced mathematics. I would like to thank my roommates, Vo Quoc Bao and Nguyen Khanh Hung, for the many fun discussions on every aspect of mathematics and life. Exchanging mathematics ideas with them always amazes me and helps me a lot in understanding mathematics. Finally, I am indebted to my family, for their support throughout my academic study. This work is funded by International Center for Research and Postgraduate Train- ing in Mathematics Under the auspices of Unesco, grant ICRTM03_2020.06, and sup- ported by the Domestic Master Scholarship Programme of Vingroup Innovation Foun- dation, Vingroup Big Data Institute, grant VINIF. n Contents Declaration I Acknowledgements II List of Tables 1 Introduction 2 1 Algebraic Groups and Reductions 4 1.1 Linear Algebraic Groups .4 Semi-Abelian Varieties .3 Integral Models of Algebraic Groups .4 Reduction of Algebraic Groups . 30 2 Height Functions and Diophantine Geometry 35 2.1 Heights on Elliptic Curves .2 Some Applications in Diophantine Geometry .1 Mordell-Weil Theorem .3 Siegel’s Theorem and S-Units Equation . 50 3 The Orders of The Reductions of Rational Points on Algebraic Groups 55 3.3 Semi-Abelian Varieties .2 A Proof of Theorem 0. 77 n Conclusion 84 Bibliography 85 n 1 List of Tables Table 2.1: Heights of Points on y 2 = x3 − 2 over Q .2: Heights of Points on y 2 = x3 − t2 x + (t + 1) over F5 (t) . 39 n 2 Introduction The present thesis is motivated by the following classical result of Schinzel and Postnikova in 1968, see the main theorem in [1]. Let a and b be relatively prime nonzero integers of a number field K a for which is not a root of unity. Then there exists a constant n(a, b) such that for b all n > n(a, b), the number an − bn has a primitive divisor. Here, a primitive divisor of an − bn is a prime ideal p such that n is the smallest integer in the set of positive integers h satisfying p|ah −bh . In other words, n is the order a of the reduction modulo p of the non-torsion point ∈ Gm (K). The proof is based b on some estimates of the orders of an − bn modulo prime ideals and an approximation theorem of Gel’fond. This theorem gives us some information about the reduction of non-torsion rational points on the multiplicative group Gm over K. Passing to elliptic curves, S. Cheon also obtained a similar result (see [2]) Theorem 0. Let P ∈ E(K) be a point of infinite order on an elliptic curve E over a number field K. Then there exists an integer N such that for every n > N , there exists a prime p of good reduction of E so that the order of P modulo p is equal to n. Moreover, for all P , except finitely many points, there exists such a prime p for all positive integer n. As usual, when working with rational points on elliptic curves, one needs height function machinery. Using height functions, the idea of the elliptic curve proof is similar to the classical case. In this thesis, we prove a global function field version for above theorems for one-dimensional tori and elliptic curves. In the case of the one-dimensional tori over global function fields, we first give proof of the case of multiplicative groups, and, using reductions, we deduce the one-dimensional torus case. In the case of elliptic curves over number fields, height functions work well; however, we need some auxiliary results when passing to the function field cases. Therefore, we need to treat carefully calculations involving the characteristic of the base field. Precisely, we need some estimates for height functions over function fields of H. Zimmer in [3] and Roth’s theorem in positive characteristics which is proven in [4] by J. Perucca in her thesis [5] has proven the following theorem Theorem 0. Let G be a product of a torus and an abelian variety over a number field K, and L a finite extension of K. Let P ∈ G(L) be such that GP is connected, n 3 and m is some fixed non-zero integer. Then there exists a set of primes p of K whose Dirichlet density is positive satisfying the following: any prime q of L over p satisfies the order of P modulo q is prime to m. Here, GP is the Zariski closure of ZP , the group generated by P , in GL := G ×K L. When L = K and G is a product of an elliptic curve and Gm , we note that Theorems 0.2 give us infinitely many places p satisfying the order of P modulo p is prime to m, but this theorem tells us more, the Dirichlet density of such places is positive. At the end of the thesis, we recall the Kummer theory after Ribet and apply it to give proof of this result due to A. Finally, we propose some open questions. n 4 Chapter 1 Algebraic Groups and Reductions The main references for this chapter are [5], [6], [7], [8], and [9]. This chapter contains five following sections 1. Integral Models of Algebraic Groups. Reduction of Algebraic Groups.1 Global Fields Because we will work with global fields most of the time, I start the thesis with some properties of global fields. By global field we mean a number field (i., a finite extension of the field of rational numbers Q), or a global function field (i., a finite extension of the field Fq (t) for a variable t and a finite field Fq ). We denote F the base field Q or Fq (t). For a field K, denote by K s its separable extension and Γ := Gal(K s /K) its absolute Galois group. F4 (t) and Q( 2) are global fields. • MQ = {primes p} ∪ | · | where | · | is the usual absolute value. 1 • MFq (t) is the set of irreducible monic polynomials and . In addition, those places t induce normalized absolute values as follows: (a) |x|p := p− ordp (x) for x ∈ Q× and prime number p, and (b) |x|f := q − ordf (x). deg f for x ∈ Fq (t)× and f ∈ MFq (t) . n 5 These two kinds of global fields share a lot of common behaviours. A global field K admits a set of non-trivial non-equivalent normalized places (absolute values) MK . We let OK to be the ring of integers in K, i., the integral closure of Z or Fq [t] in K. Now, for S a set of finitely many places in K (we always assume that S contains all Archimedean places), we denote OK,S := OS := {x ∈ K : v(x) ⩾ 0, ∀x ̸∈ S} the ring × of S−integer, OK,S := OS× = {x ∈ K : v(x) = 0, ∀x ̸∈ S} the group of S−units, and OK,v := Ov := {x ∈ K × : v(x) ⩾ 0} the valuation ring correspond to non- Archimedean place v . We denote pv the maximal ideal in Ov , and ordv (x) := ordpv (x). For a place v of K over p of Q (or f of Fq (t)), we denote Kv the completion of K at v and Nv := [Kv : Qp ] (or [Kv : Fq (t)f ]). The number Nv is called the local degree at v. To simplify, we work with normalized absolute values, i., we have (see [10] Propo- sition 2.1) • |x|v = |x|Nv if v is Archimedean, • |x|v = (1/Nv)ordv x for every non-Archimedean place v of a number field, where Nv := #Ov /pv , and • |x|v = (1/q)ordv x. deg v for every place v of a global function field. Here, the degree of v, deg(v) is defined to be the degree [Ov /pv : Fq ] when K is a global function field. We note that those normalized absolute values satisfy • (P) The product formula: for any x ∈ K \ {0} Y |x|v = 1; v∈MK • (F) The finiteness property: for any x ∈ K \ {0}, for all but finitely many v, |x|v = 1. For v ∈ MK a non-Archimedean place, its associated valuation v(.) on K × is defined to be − log |.|v in the number field case, and − logq |. deg v in the global function field case. We denote Div(K) the divisor group that is the free abelian group generated by places of K. It means that a divisor is a formal sum X D= nv .v with nv ∈ Z, and almost nv = 0. v n 6 Such D is called a prime divisor if D is of the form D = v for some v ∈ MK . D is principal if it is of the form X (x) = ordv (x). v Similarly, for the set S as above, the group of S−divisors, DivS (K), is the subgroup of Div(K) generated by primes not in S. A divisor is called S−principal if it is of the form X (x)S := ordv (x). v̸∈S We denote Prin(K) (resp. PrinS (K)) the group of principal divisors (resp. The quotients Cl(K) := Div(K)/ Prin(K), and ClS (K) := DivS (K)/ PrinS (K) are called the class group, and S−class group respectively.