ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÚY NGÀ BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÚY NGÀ BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017 c Mục lục Mở đầu 3 1 Thang thời gian 6 1. Giải tích trên thang thời gian . Định nghĩa thang thời gian và những khái niệm cơ bản 6 1. Tôpô trên thang thời gian . Đạo hàm trên thang thời gian . Phép tính tích phân trên thang thời gian . Tính hồi quy trên thang thời gian . Hệ động lực trên thang thời gian . Phương trình động lực tuyến tính bậc nhất . Công thức nghiệm của phương trình và hệ phương trình động lực tuyến tính bậc nhất . 25 2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học trên thang thời gian 27 2. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học trên thang thời gian . Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học và thông tin chậm trên thang thời gian . Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp trên thang thời gian . Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp trên thang thời gian . Trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc với hạn chế hỗn hợp . Trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục với hạn chế hỗn hợp . Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với thông tin chậm và hạn chế hỗn hợp trên thang thời gian . 39 c Mở đầu Phương trình sai phân là một mô hình của nhiều bài toán thực tế. Đồng thời có thể coi phương trình sai phân là sự rời rạc hóa của phương trình vi phân và là mô hình xấp xỉ của phương trình sai phân. Lý thuyết phương trình vi phân và phương trình sai phân phát triển song song. Khá nhiều kết quả của phương trình vi phân (tính ổn định, tính điều khiển được, bài toán trò chơi,.) được phát biểu lại một cách tương tự cho phương trình sai phân. Vậy một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Liệu có thể hợp nhất hai mô hình phương trình sai phân và phương trình vi phân trong một mô hình thống nhất được không? Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian. Từ đó tới nay, đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về giải tích (phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian. Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và tính rời rạc. Trong toán học, thang thời gian cho phép thống nhất nhiều mô hình khác nhau dưới cùng một khái niệm và công cụ. Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian đang được nhiều nhóm các nhà toán học trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, xem thí dụ [1]) và ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc,.) quan tâm nghiên cứu. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian trong nghiên cứu kinh tế vĩ mô, trong mô tả hệ sinh thái, bài toán tối ưu. Lý thuyết trò chơi ra đời từ những năm 1950-1960 với những công trình 3 c 4 nền móng của các nhà toán học Isaacs R. Sau đó lý thuyết trò chơi đã phát triển mạnh mẽ, rất nhiều các nhà toán học trên thế giới nghiên cứu vấn đề này. Lý thuyết trò chơi có nguồn gốc từ các bài toán thực tế: Khảo sát hệ động lực có nhiều đối tượng điều khiển, trong đó mỗi đối tượng có một mục đích riêng, thậm chí trái ngược nhau; nghiên cứu các đối tượng điều khiển khi không có đầy đủ thông tin về trạng thái pha của nó; đưa một đối tượng điều khiển chịu những tác động bởi ngẫu nhiên không biết trước về một trạng thái cho trước; bài toán đuổi bắt một đối tượng này bởi một đối tượng khác,. Bài toán đuổi bắt là một trong các bài toán cơ bản của lý thuyết trò chơi. Bài toán này có thể phát biểu như sau: cho hai đối tượng (người đuổi và người chạy) mà chuyển động của chúng được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân có tham gia biến điều khiển. Mục tiêu của người đuổi là làm sao để tiến gần đến người chạy càng nhanh càng tốt. Mục đích của người chạy là làm thế nào để tránh được người đuổi càng lâu càng tốt, càng xa càng tốt. Vì vậy có thể nói mục đích của người đuổi là làm cực tiểu một hàm nào đó, còn của người chạy là làm cực đại hàm ấy. Để giải quyết vấn đề này người ta thường tập trung vào tìm điều kiện đủ hoặc điều kiện cần đề kết thúc trò chơi. Luận văn "BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN" nghiên cứu về trò chơi tuyến tính trên thang thời gian. Luận văn gồm phần Mở đầu, 2 chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo. Chương 1 Nhắc lại khái niệm thang thời gian, các khái niệm về toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật và các điểm cô lập; các khái niệm và tính chất của các phép tính vi phân, tích phân trên thang thời gian cũng như đối chiếu kết quả trên một số thang thời gian thường gặp. Tiếp đó đưa ra công thức nghiệm của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian. Chương 2 Trình bày khái niệm trò chơi đuổi bắt tuyến tính trên thang thời gian với hạn chế hình học và điều kiện kết thúc trò chơi; chứng minh điều kiện đủ kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính trên thang thời gian với hạn chế hình học hoặc hạn chế hỗn hợp với thông tin chậm. Các định lí trong chương này là kết quả chung của ba tác giả Vi Diệu Minh, Lê Thị c 5 Thúy Ngà và Lê Văn Quý được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. Tạ Duy Phượng, người thầy đã dành thời gian hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ trong trang bị kiến thức, trong nghiên cứu và tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thày, cô trong Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập tại trường và trong qua trình làm luận văn. Xin được cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chuyên môn cùng các đồng nghiệp trong Trường trung học phổ thông Hưng Yên, tỉnh Hưng Yên, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập. Xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Vi Diệu Minh, giảng viên môn Toán, trường Đại học Nông Lâm, Đại học Thái Nguyên đã cùng cộng tác và giúp đỡ tôi về chuyên môn trong suốt quá trình làm luận văn. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người thân, gia đình, đồng nghiệp và những người bạn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Lê Thị Thúy Ngà c Chương 1 Thang thời gian Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Các kiến thức trong chương được tham khảo trong các tài liệu [1], [4], [5], [7], [8], [9]. Giải tích trên thang thời gian 1. Định nghĩa thang thời gian và những khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) là tập con đóng tùy ý khác rỗng trong tập số thực R. Thang thời gian thường được ký hiệu là T.1 1) Các tập hợp R, Z là thang thời gian vì chúng là các tập đóng trong R. 2) Các tập hợp ∞ [ ∞ [ T1 = [2k, 2k + 1] ; Pa,b = [k (a + b) , k (a + b) + a] k=0,k∈N k=0,k∈N (với a, b là các số thực dương) là thang thời gian vì chúng là các tập đóng trong R. 3) Các khoảng mở trong R không là tập đóng trong R nên chúng không phải là thang thời gian. 4) Các tập Q, R\Q; [0, 1) không phải là thang thời gian vì chúng không phải là tập đóng trong R. 6 c 7 Thật vậy, tập Q không phải là tập đóng trên R vì trên Q dãy 1, 7; 1, 73; 1, 732; . √ có giới hạn √là √ 3√không thuộc Q. Tập R\Q không là tập đóng trên R vì √ dãy số 2; 22 32 ; 42 . trên R\Q nhưng có giới hạn là 0 không thuộc R\Q. 1 2 3 4 Tập [0, 1) không là tập đóng vì có dãy ; ; ; ; . 5) Cho số cố định h ∈ R, h > 0. T được xác định như sau T = hZ = {hn, n ∈ Z} = {. T là thang thời gian vì nó là tập đóng trong trong R. 6) Cho số cố định q ∈ R, q > 1. T được xác định như sau T = q Z = {q n , n ∈ Z} = . n T không là thang thời gian. Thật vậy, xét dãy số un = 1q trong T có giới hạn bằng 0 không thuộc T nên T không là tập đóng. 7) Cho số cố định q ∈ R, q > 1. T được xác định như sau T = q Z ∪ {0} = {q n , n ∈ Z} ∪ {0} = . T là thang thời gian vì T là tập đóng. 8) Tập số phức C không phải thang thời gian vì C không phải là tập con của R mặc dù C là tập đóng.2 Cho T là thang thời gian. Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử σ:T→T được xác định bởi công thức σ(t) := inf{s ∈ T, s > t}. Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử ρ:T→T được xác định bởi công thức ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t}.
Tổng quan nghiên cứu
Lý thuyết trò chơi đuổi bắt tuyến tính là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt khi kết hợp với khung giải tích trên thang thời gian – một công cụ thống nhất mô hình liên tục và rời rạc. Theo ước tính, các hệ động lực tuyến tính với điều khiển bị giới hạn hình học và hỗn hợp xuất hiện phổ biến trong nhiều bài toán thực tế như điều khiển robot, mô phỏng sinh thái và kinh tế học. Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học trên thang thời gian, bao gồm cả trường hợp có thông tin chậm và hạn chế hỗn hợp, trong phạm vi thang thời gian tổng quát, không giới hạn ở dạng liên tục hay rời rạc truyền thống.
Mục tiêu chính của nghiên cứu là xây dựng và chứng minh các điều kiện đủ để kết thúc trò chơi đuổi bắt trong các mô hình này, đồng thời phát triển các công thức nghiệm và phương pháp phân tích hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian. Nghiên cứu được thực hiện trong khoảng thời gian từ năm 2016 đến 2017, tại Đại học Thái Nguyên, với phạm vi áp dụng rộng rãi cho các thang thời gian đóng trong tập số thực.
Ý nghĩa của luận văn thể hiện qua việc mở rộng lý thuyết trò chơi đuổi bắt tuyến tính sang mô hình thang thời gian, giúp thống nhất và phát triển các công cụ toán học cho cả hệ liên tục và rời rạc. Điều này không chỉ nâng cao tính ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật và khoa học tự nhiên mà còn góp phần làm rõ bản chất toán học của các hệ động lực phức tạp.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Khung lý thuyết áp dụng
Luận văn dựa trên hai nền tảng lý thuyết chính:
-
Giải tích trên thang thời gian: Khái niệm thang thời gian do Stefan Hilger đề xuất năm 1988 nhằm hợp nhất phương trình vi phân và phương trình sai phân. Các khái niệm cơ bản bao gồm toán tử nhảy tiến (σ), toán tử nhảy lùi (ρ), điểm cô lập và điểm trù mật, đạo hàm Hilger (đạo hàm ∆), tích phân trên thang thời gian, và tính hồi qui của hàm. Giải tích trên thang thời gian cho phép mô hình hóa các hệ động lực liên tục, rời rạc và hỗn hợp trong cùng một khuôn khổ toán học.
-
Lý thuyết trò chơi đuổi bắt tuyến tính: Mô hình trò chơi gồm hai đối tượng – người đuổi và người chạy – với hệ động lực tuyến tính bậc nhất có điều khiển bị giới hạn hình học hoặc hỗn hợp. Các khái niệm quan trọng gồm không gian con kết thúc trò chơi M, phép chiếu trực giao π, hiệu hình học Pontriagin, và điều kiện kết thúc trò chơi dựa trên vị trí nghiệm trong không gian trạng thái. Lý thuyết này được mở rộng trên thang thời gian tổng quát, bao gồm cả trường hợp thông tin chậm.
Các khái niệm chuyên ngành được sử dụng gồm: hàm rd-liên tục (right-dense continuous), ma trận hồi qui, toán tử Cauchy, điều khiển chấp nhận được, và các điều kiện tích phân giới hạn năng lượng điều khiển.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích toán học kết hợp chứng minh định lý và xây dựng ví dụ minh họa. Cỡ mẫu là các hàm điều khiển và nghiệm hệ động lực trên thang thời gian tổng quát T, với T là tập con đóng của tập số thực. Phương pháp chọn mẫu là lựa chọn các hàm rd-liên tục và các ma trận hồi qui phù hợp để đảm bảo tính khả vi và tính ổn định của hệ.
Phân tích tập trung vào việc chứng minh các điều kiện đủ để kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính với các loại hạn chế khác nhau (hình học, hỗn hợp, thông tin chậm) trên thang thời gian. Các công thức nghiệm được xây dựng dựa trên toán tử Cauchy và phép biến đổi tích phân trên thang thời gian. Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2017, với các bước tổng hợp lý thuyết, chứng minh định lý, và hoàn thiện luận văn.
Kết quả nghiên cứu và thảo luận
Những phát hiện chính
-
Công thức nghiệm hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian: Nghiệm của hệ động lực tuyến tính bậc nhất được biểu diễn qua toán tử Cauchy ΦA(t, t0), cho phép mô tả chính xác quỹ đạo của người đuổi và người chạy. Ví dụ, với thang thời gian rời rạc T = Z, đạo hàm Hilger tương đương sai phân tiến, còn với T = R là đạo hàm thông thường.
-
Điều kiện đủ kết thúc trò chơi với hạn chế hình học: Định lý chứng minh rằng trò chơi kết thúc sau thời gian K nếu tồn tại điều khiển chấp nhận được u(t) sao cho nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện z(K) ∈ M, với M là không gian con kết thúc trò chơi. Kết quả này được hỗ trợ bởi biểu thức tích phân hiệu hình học Pontriagin W(K), trong đó πΦA(t, t0)z0 ∈ W(K).
-
Mở rộng với thông tin chậm: Khi người đuổi chỉ biết điều khiển của người chạy tại thời điểm r(t) ≤ t, điều kiện kết thúc trò chơi vẫn được đảm bảo nếu tồn tại điều khiển u*(t) trên đoạn [0, α] và không gian con M2 đủ lớn để "nuốt" các sai lệch do thông tin chậm. Đây là phát hiện quan trọng cho các ứng dụng thực tế, nơi thông tin thường không đồng bộ.
-
Trò chơi với hạn chế hỗn hợp: Luận văn chứng minh điều kiện kết thúc trò chơi khi người đuổi chịu hạn chế tích phân năng lượng, còn người chạy chịu hạn chế hình học. Giả thiết tồn tại toán tử tuyến tính F(t) liên tục rd sao cho πΦA(t, τ)B(τ)F(τ) = πΦA(t, τ)C(τ) và năng lượng tiêu tốn không vượt quá giới hạn ρ. Kết quả này bao gồm cả trường hợp liên tục và rời rạc.
Thảo luận kết quả
Các kết quả trên mở rộng đáng kể lý thuyết trò chơi đuổi bắt tuyến tính truyền thống bằng cách áp dụng giải tích trên thang thời gian, cho phép mô hình hóa đồng thời các hệ liên tục, rời rạc và hỗn hợp. Việc sử dụng hiệu hình học Pontriagin làm công cụ phân tích giúp xác định điều kiện kết thúc trò chơi một cách trực quan và chính xác.
So với các nghiên cứu trước đây chỉ tập trung vào trường hợp liên tục hoặc rời rạc riêng biệt, luận văn đã phát triển các định lý tổng quát hơn, bao gồm cả trường hợp thông tin chậm – một yếu tố thực tế quan trọng trong điều khiển và truyền thông. Các điều kiện về ma trận hồi qui và toán tử tuyến tính F(t) đảm bảo tính khả thi của chiến lược điều khiển người đuổi, đồng thời giới hạn năng lượng tiêu thụ, phù hợp với các ứng dụng kỹ thuật.
Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ minh họa quỹ đạo z(t) trong không gian trạng thái, biểu diễn các tập W(K), G(K), H(K) và các điều kiện tích phân năng lượng, giúp trực quan hóa quá trình kết thúc trò chơi.
Đề xuất và khuyến nghị
-
Phát triển thuật toán tính toán điều khiển u(t): Xây dựng các thuật toán số để tính toán điều khiển người đuổi dựa trên toán tử tuyến tính F(t) và các ma trận hồi qui, nhằm ứng dụng trong mô phỏng và điều khiển thực tế. Thời gian thực hiện dự kiến 6-12 tháng, do các nhóm nghiên cứu toán ứng dụng và kỹ thuật điều khiển đảm nhiệm.
-
Mở rộng mô hình cho các hệ phi tuyến: Nghiên cứu áp dụng lý thuyết thang thời gian và trò chơi đuổi bắt cho các hệ động lực phi tuyến, nhằm tăng tính thực tiễn và đa dạng ứng dụng. Khuyến nghị thực hiện trong 1-2 năm với sự phối hợp giữa các chuyên gia toán học và kỹ sư.
-
Ứng dụng trong điều khiển robot và hệ thống tự động: Áp dụng các kết quả về trò chơi đuổi bắt tuyến tính với thông tin chậm để thiết kế chiến lược điều khiển robot trong môi trường có độ trễ thông tin, nâng cao hiệu quả và độ an toàn. Thời gian triển khai 1 năm, do các nhóm nghiên cứu robot và tự động hóa thực hiện.
-
Phát triển phần mềm mô phỏng trên thang thời gian: Tạo ra phần mềm hỗ trợ mô phỏng các hệ động lực và trò chơi đuổi bắt trên thang thời gian, giúp các nhà nghiên cứu và sinh viên dễ dàng tiếp cận và ứng dụng lý thuyết. Thời gian phát triển 6 tháng, do các nhóm công nghệ thông tin và toán học hợp tác.
Đối tượng nên tham khảo luận văn
-
Giảng viên và nghiên cứu sinh ngành Toán Ứng dụng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp phân tích hiện đại về giải tích trên thang thời gian và trò chơi đuổi bắt, hỗ trợ nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực hệ động lực và điều khiển.
-
Kỹ sư điều khiển và tự động hóa: Các kết quả về điều kiện kết thúc trò chơi với hạn chế hình học và hỗn hợp giúp thiết kế chiến lược điều khiển tối ưu trong các hệ thống có độ trễ và giới hạn năng lượng.
-
Nhà phát triển phần mềm mô phỏng toán học: Luận văn cung cấp các công thức nghiệm và thuật toán cơ bản để xây dựng phần mềm mô phỏng hệ động lực trên thang thời gian, phục vụ nghiên cứu và đào tạo.
-
Chuyên gia nghiên cứu trong lĩnh vực robot và hệ thống đa tác nhân: Các mô hình trò chơi đuổi bắt tuyến tính với thông tin chậm rất phù hợp để áp dụng trong điều khiển robot đa tác nhân, giúp nâng cao hiệu quả phối hợp và tránh va chạm.
Câu hỏi thường gặp
-
Thang thời gian là gì và tại sao lại quan trọng trong nghiên cứu này?
Thang thời gian là tập con đóng của tập số thực, cho phép thống nhất mô hình liên tục và rời rạc trong cùng một khung toán học. Điều này giúp nghiên cứu trò chơi đuổi bắt tuyến tính áp dụng cho nhiều loại hệ động lực khác nhau, tăng tính linh hoạt và ứng dụng. -
Điều kiện kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính được xác định như thế nào?
Trò chơi kết thúc khi nghiệm hệ động lực đạt vào không gian con M sau thời gian K, tức là πz(K) = 0. Điều kiện này được chứng minh dựa trên hiệu hình học Pontriagin và các tích phân liên quan đến điều khiển người đuổi và người chạy. -
Thông tin chậm ảnh hưởng thế nào đến chiến lược điều khiển?
Thông tin chậm khiến người đuổi chỉ biết điều khiển của người chạy tại thời điểm trước đó r(t) ≤ t. Luận văn chứng minh rằng với không gian con M2 đủ lớn để "nuốt" sai lệch do chậm trễ, trò chơi vẫn có thể kết thúc, đảm bảo tính khả thi của chiến lược. -
Hạn chế hỗn hợp trong trò chơi đuổi bắt là gì?
Hạn chế hỗn hợp là khi người đuổi chịu giới hạn tích phân năng lượng điều khiển (ví dụ tổng bình phương điều khiển không vượt quá ρ²), còn người chạy chịu hạn chế hình học (điều khiển thuộc tập Q(t)). Đây là mô hình thực tế cho các hệ có giới hạn năng lượng. -
Làm thế nào để áp dụng kết quả luận văn vào thực tế?
Kết quả có thể được áp dụng trong thiết kế điều khiển robot, hệ thống tự động có độ trễ thông tin, hoặc mô phỏng các hệ đa tác nhân. Việc phát triển thuật toán và phần mềm mô phỏng dựa trên các công thức nghiệm và điều kiện kết thúc trò chơi là bước đầu tiên để ứng dụng thực tế.
Kết luận
- Luận văn đã xây dựng và chứng minh các điều kiện đủ để kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học và hỗn hợp trên thang thời gian tổng quát.
- Phát triển thành công công thức nghiệm hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian, thống nhất mô hình liên tục và rời rạc.
- Mở rộng lý thuyết cho trường hợp thông tin chậm, phù hợp với các ứng dụng thực tế có độ trễ thông tin.
- Đề xuất các hướng nghiên cứu và ứng dụng tiếp theo trong điều khiển robot, hệ thống đa tác nhân và phát triển phần mềm mô phỏng.
- Khuyến khích các nhà nghiên cứu và kỹ sư ứng dụng kết quả để nâng cao hiệu quả điều khiển trong các hệ thống phức tạp.
Hành động tiếp theo là triển khai các thuật toán tính toán điều khiển, mở rộng mô hình phi tuyến và phát triển phần mềm hỗ trợ mô phỏng, nhằm đưa lý thuyết vào thực tiễn một cách hiệu quả.