I. Luận án tiến sĩ về ký hiệu modular p adic gắn với dạng cusp
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các ký hiệu modular p-adic và dạng cusp trong lý thuyết số hiện đại. Tác giả sử dụng các phương pháp toán học p-adic để chứng minh sự tồn tại của một ký hiệu modular mà hàm L liên kết với nó chính là hàm L p-adic Katz-Yager. Lý thuyết biểu diễn Weil được sử dụng như một công cụ mạnh mẽ để xây dựng các dạng modular, từ đó gợi ý khả năng mô tả rõ ràng ký hiệu modular p-adic.
1.1. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận án là hiểu rõ mối quan hệ giữa các cấu trúc modular và cấu trúc CM (elliptic) trong việc xây dựng các hàm L p-adic hai biến. Tác giả sử dụng các phương pháp phân tích p-adic và lý thuyết số để chứng minh sự tồn tại của ký hiệu modular p-adic. Phương trình modular và hàm số modular đóng vai trò trung tâm trong nghiên cứu này.
1.2. Ứng dụng thực tiễn
Nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong toán học hiện đại, đặc biệt trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học đại số và lý thuyết biểu diễn. Kết quả của luận án góp phần vào việc chứng minh các giả thuyết quan trọng như giả thuyết Mazur-Tate-Teitelbaum.
II. Ký hiệu modular p adic và phân tích p adic
Trong phần này, luận án đi sâu vào việc phân tích các ký hiệu modular p-adic và các phân bố p-adic. Tác giả sử dụng các công cụ như biến đổi Mellin và chuỗi lũy thừa Coleman để xây dựng các phân bố p-adic hai biến. Lý thuyết số p-adic và hình học đại số được áp dụng để nghiên cứu các tính chất của các phân bố này.
2.1. Phân bố p adic và không gian trọng số
Luận án giới thiệu khái niệm về phân bố p-adic trên các không gian trọng số. Các phân bố này được sử dụng để xây dựng các hàm L p-adic thông qua biến đổi Mellin. Phương pháp p-adic được áp dụng để chứng minh tính chất của các phân bố này trong không gian trọng số.
2.2. Các giá trị đặc biệt và tích chập
Các giá trị đặc biệt của hàm L được nghiên cứu thông qua các phân bố p-adic. Tác giả sử dụng tích chập để liên kết các phân bố này với các giá trị đặc biệt của hàm L. Lý thuyết số và hình học đại số được áp dụng để phân tích các tính chất của các giá trị này.
III. Lý thuyết biểu diễn Weil và ký hiệu modular
Phần này tập trung vào việc sử dụng lý thuyết biểu diễn Weil để xây dựng các ký hiệu modular. Tác giả chứng minh rằng các ký hiệu modular này có thể được sử dụng để mô tả các hàm L p-adic một cách rõ ràng. Lý thuyết biểu diễn và hình học đại số đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các ký hiệu này.
3.1. Biểu diễn Weil và không gian vector phức
Luận án giới thiệu biểu diễn Weil như một công cụ để xây dựng các ký hiệu modular trong không gian vector phức. Các ký hiệu này được sử dụng để liên kết với các giá trị đặc biệt của hàm L Hecke. Lý thuyết biểu diễn và hình học đại số được áp dụng để phân tích các tính chất của các ký hiệu này.
3.2. Ứng dụng trong lý thuyết số
Các ký hiệu modular được xây dựng từ biểu diễn Weil có ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số, đặc biệt trong việc nghiên cứu các hàm L p-adic. Kết quả của luận án góp phần vào việc chứng minh các giả thuyết quan trọng trong lý thuyết số hiện đại.
