Luận án tiến sĩ: Nghiên cứu ký hiệu modular p-adic gắn với dạng cusp

• Tác giả: Vicentiu Pasol
• Người hướng dẫn: Glenn Stevens, Professor of Mathematics
• Trường học: Boston University Graduate School of Arts and Sciences
• Chuyên ngành: Mathematics
• Đề tài: P-adic Modular Symbols Attached to Cusp Forms
• Loại tài liệu: Dissertation
• Năm xuất bản: 2006
• Địa điểm: Boston

• Acknowledgments
• 1. Introduction
• 2. p-adic Distributions
• 2.1. Distributions on Zp
• 2.2. Locally analytic distributions
• 2.3. Operators and maps
• 2.3.1. The Norm map
• 2.3.2. Coleman Power series and Norm invariant Distributions
• 2.4. Weight Space and p-adic E-functions
• 2.4.1. The Melin Transform
• 2.5. Two variable distributions
• 2.5.1. Special values and convolution
• 2.5.2. Scalar equivalence for distributions on 2š x Zp
• 2.5.3. Trace compatible elements and the Frobenius twist
• 2.5.4. Existence of Trace compatible sequences
• 2.5.5. Trace compatible sequences and measures
• 3. L-functions and special values
• 3.1. L-functions attached to modular forms
• 3.2. L-functions attached to elliptic curves
• 3.2.1. Formal group
• 3.2.2. Special values of Eisenstein series and L-function
• 3.2.3. 2-variable p-adic measure attached to aC
• 3.2.4. The 2-variable p-adic measure wS-¥
• 4. Modular Symbols
• 4.1. Modular Symbols-Introduction
• 4.2. Modular Symbols attached to cusp forms
• 4.3. Two variable p-adic modular symbol
• 4.4. Elliptic construction-existence
• 5. Weil representations
• 5.1. The cocycle of the Weil representation
• 5.2. The ZA isomorphism

I. Luận án tiến sĩ về ký hiệu modular p adic gắn với dạng cusp

Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các ký hiệu modular p-adic và dạng cusp trong lý thuyết số hiện đại. Tác giả sử dụng các phương pháp toán học p-adic để chứng minh sự tồn tại của một ký hiệu modular mà hàm L liên kết với nó chính là hàm L p-adic Katz-Yager. Lý thuyết biểu diễn Weil được sử dụng như một công cụ mạnh mẽ để xây dựng các dạng modular, từ đó gợi ý khả năng mô tả rõ ràng ký hiệu modular p-adic.

1.1. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án là hiểu rõ mối quan hệ giữa các cấu trúc modular và cấu trúc CM (elliptic) trong việc xây dựng các hàm L p-adic hai biến. Tác giả sử dụng các phương pháp phân tích p-adic và lý thuyết số để chứng minh sự tồn tại của ký hiệu modular p-adic. Phương trình modular và hàm số modular đóng vai trò trung tâm trong nghiên cứu này.

1.2. Ứng dụng thực tiễn

Nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong toán học hiện đại, đặc biệt trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học đại số và lý thuyết biểu diễn. Kết quả của luận án góp phần vào việc chứng minh các giả thuyết quan trọng như giả thuyết Mazur-Tate-Teitelbaum.

II. Ký hiệu modular p adic và phân tích p adic

Trong phần này, luận án đi sâu vào việc phân tích các ký hiệu modular p-adic và các phân bố p-adic. Tác giả sử dụng các công cụ như biến đổi Mellin và chuỗi lũy thừa Coleman để xây dựng các phân bố p-adic hai biến. Lý thuyết số p-adic và hình học đại số được áp dụng để nghiên cứu các tính chất của các phân bố này.

2.1. Phân bố p adic và không gian trọng số

Luận án giới thiệu khái niệm về phân bố p-adic trên các không gian trọng số. Các phân bố này được sử dụng để xây dựng các hàm L p-adic thông qua biến đổi Mellin. Phương pháp p-adic được áp dụng để chứng minh tính chất của các phân bố này trong không gian trọng số.

2.2. Các giá trị đặc biệt và tích chập

Các giá trị đặc biệt của hàm L được nghiên cứu thông qua các phân bố p-adic. Tác giả sử dụng tích chập để liên kết các phân bố này với các giá trị đặc biệt của hàm L. Lý thuyết số và hình học đại số được áp dụng để phân tích các tính chất của các giá trị này.

III. Lý thuyết biểu diễn Weil và ký hiệu modular

Phần này tập trung vào việc sử dụng lý thuyết biểu diễn Weil để xây dựng các ký hiệu modular. Tác giả chứng minh rằng các ký hiệu modular này có thể được sử dụng để mô tả các hàm L p-adic một cách rõ ràng. Lý thuyết biểu diễn và hình học đại số đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các ký hiệu này.

3.1. Biểu diễn Weil và không gian vector phức

Luận án giới thiệu biểu diễn Weil như một công cụ để xây dựng các ký hiệu modular trong không gian vector phức. Các ký hiệu này được sử dụng để liên kết với các giá trị đặc biệt của hàm L Hecke. Lý thuyết biểu diễn và hình học đại số được áp dụng để phân tích các tính chất của các ký hiệu này.

3.2. Ứng dụng trong lý thuyết số

Các ký hiệu modular được xây dựng từ biểu diễn Weil có ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số, đặc biệt trong việc nghiên cứu các hàm L p-adic. Kết quả của luận án góp phần vào việc chứng minh các giả thuyết quan trọng trong lý thuyết số hiện đại.