Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "On the state estimation problem for some classes of dynamical systems and its application" (Giải pháp ước lượng trạng thái cho các hệ thống động lực và ứng dụng) do nghiên cứu sinh Đào Thị Hải Yến thực hiện tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Đinh Công Hướng. Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học (Mathematical Analysis), mã số chuyên ngành 9 46 01 02, được bảo vệ năm 2023 tại Bình Định. Hội đồng đánh giá có sự tham gia của ba phản biện gồm GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát (Reviewer 1), PGS. TS. Nguyễn Đình Phu (Reviewer 2) và PGS. TS. Phạm Quý Mười (Reviewer 3).

Trong thực tế kỹ thuật và tự nhiên, nhiều hệ thống vật lý như mạng lưới điện, cấp thoát nước, mạng truyền thông và các quá trình y sinh học thường được mô hình hóa bằng các hệ phương trình vi phân. Cùng với sự phát triển của lý thuyết định tính hệ động lực, lý thuyết điều khiển đã trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng. Nhằm đáp ứng các yêu cầu vận hành thực tế, các hệ thống điều khiển ngày càng mở rộng về quy mô và tăng tính phức tạp, trong đó các thiết bị, cơ cấu điều khiển và phân hệ liên kết với nhau qua các kênh truyền và dải kết nối. Quá trình thu nhận thông tin trạng thái của hệ thống thường xuyên gặp phải hiện tượng trễ thời gian (delayed), thiếu hụt thông tin (missing), mất mát dữ liệu ngắt quãng (lost), hoặc chịu ảnh hưởng của nhiễu và sai số (interference). Hậu quả dẫn đến hệ thống đối mặt với hỏng hóc, nhiễu loạn và suy giảm tính ổn định.

Mặc dù sự vận hành của các bộ điều khiển dựa trên thông tin trạng thái, nhưng trong nhiều trường hợp các ngõ ra đo được không cung cấp đủ thông tin trạng thái toàn phần do hạn chế về cảm biến hoặc chi phí đo lường. Vì vậy, bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái (state observer) hoặc bộ quan sát khoảng phiếm hàm (functional interval observer) để ước lượng các biến trạng thái chưa biết từ các phép đo vào - ra (input-output measurements) là vấn đề then chốt trong lý thuyết điều khiển. Kết quả ước lượng trạng thái phục vụ trực tiếp cho các bài toán phát hiện lỗi (fault detection), ước lượng lỗi (fault estimation), nhận dạng hệ thống (identification) và xử lý tín hiệu.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định bao gồm:

  1. Thiếu quy trình thiết kế bộ quan sát trực tiếp cho mô hình Glucose-Insulin (GI) phi tuyến có hai độ trễ thời gian chứa số hạng tích phi tuyến trễ giữa glucose và insulin $x_1(t)x_2(t-\tau)$.
  2. Sự hạn chế của các phương pháp quan sát lỗi hiện hành đối với hệ thống liên kết có trễ và đầu vào chưa biết khi các điều kiện hạng và tính khả quan sát của các cặp ma trận thành phần không được thỏa mãn.
  3. Nhu cầu thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho các hệ xung mạng quy mô lớn có chứa bất định bị chặn ở cả trạng thái và tín hiệu ngõ ra.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định rõ:

  1. Nghiên cứu và đề xuất phép biến đổi trạng thái mới kết hợp phép vi phân đồng phôi trên ngõ ra để thiết kế bộ quan sát trạng thái cho lớp hệ thống phi tuyến Glucose-Insulin có trễ thời gian.
  2. Mở rộng cấu trúc phép biến đổi trạng thái để thiết kế bộ quan sát phiếm hàm phân tán phục vụ bài toán phát hiện lỗi cơ cấu chấp hành trong các hệ thống liên kết có trễ và đầu vào chưa biết.
  3. Thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm tuyến tính phân tán cho lớp hệ xung mạng quy mô lớn có bất định bị chặn, cung cấp thuật toán giải ma trận quan sát và kiểm chứng tính hữu hiệu qua mô phỏng số.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp hệ thống động lực gồm hệ phi tuyến có trễ mô tả động học Glucose-Insulin, hệ thống liên kết có trễ chứa tín hiệu vào chưa biết và lỗi cơ cấu chấp hành, hệ xung tuyến tính mạng quy mô lớn chứa bất định bị chặn.
  • Phạm vi nghiên cứu: Khung lý thuyết giải tích toán học, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điều khiển và ước lượng trạng thái cho hệ động lực; các kết quả nghiên cứu lý thuyết được kiểm chứng thông qua các ví dụ tính toán và mô phỏng số.
Thông tin tổng quan Chi tiết
Tên luận án On the state estimation problem for some classes of dynamical systems and its application
Nghiên cứu sinh Đào Thị Hải Yến (Đơn vị công tác: Trường Đại học Phú Yên)
Cơ sở đào tạo Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn
Người hướng dẫn PGS. TS. Đinh Công Hướng
Chuyên ngành & Mã số Giải tích toán học (Mathematical Analysis) - Mã số: 9 46 01 02
Năm bảo vệ 2023
Danh sách phản biện GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, PGS. TS. Nguyễn Đình Phu, PGS. TS. Phạm Quý Mười

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Từ những năm 60 của thế kỷ XX, bài toán ước lượng trạng thái đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu lớn. Luenberger (1966, 1979) đã đặt nền móng với bộ quan sát trạng thái toàn phần (full order observer) bậc $n$ cho hệ tuyến tính liên tục dừng: $$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \quad y(t) = Cx(t)$$ với cấu trúc bộ quan sát: $$\dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + L(y(t) - C\hat{x}(t))$$ trong đó $L \in \mathbb{R}^{n \times p}$ là ma trận độ lợi quan sát. Luenberger cũng phát triển lý thuyết bộ quan sát bậc giảm (reduced order observer) bậc $n-p$ và bộ quan sát phiếm hàm tuyến tính (linear functional observer) để tái tạo tổ hợp tuyến tính $z(t) = Fx(t)$.

Darouach cùng các cộng sự (1994, 1999, 2001) đã mở rộng các bộ quan sát trạng thái cho các hệ thống có tín hiệu vào chưa biết $D\omega(t)$ và các hệ thống có trễ thời gian dạng: $$\dot{x}(t) = Ax(t) + A_d x(t-\tau) + Bu(t), \quad y(t) = Cx(t)$$ Deng et al. (2004) tiếp tục mở rộng cho hệ thống xuất hiện nhiễu ở cả phương trình trạng thái và phương trình ngõ ra. Fairman et al. (1986) nghiên cứu bộ quan sát bậc giảm không trễ cho hệ có trễ. Trinh et al. (2010) xem số hạng trễ $A_d x(t-\tau)$ như một tín hiệu vào chưa biết $W\omega(t)$ để chuyển đổi về bài toán ước lượng cho hệ không trễ. Nam et al. (2014) đề xuất bộ quan sát phiếm hàm cho hệ có trễ chứa thành phần vào chưa biết $H\omega(t)$ với sự xuất hiện của các số hạng trễ ở cả tín hiệu vào và ngõ ra đo được.

Đối với hệ thống có nhiều độ trễ ở trạng thái và ngõ ra biểu diễn qua toán tử đa thức trễ $d = {d_i}$, Hou et al. (2002) đề xuất phép biến đổi tọa độ $z(t) = T(d)x(t)$. Tuy nhiên, phương pháp toán tử của Hou et al. đòi hỏi các điều kiện tồn tại biến đổi rất chặt chẽ. Để khắc phục điều này, Huong et al. (2014, 2015, 2016) đã đề xuất phương pháp biến đổi trạng thái đưa các số hạng trễ từ vector trạng thái sang thông tin ngõ vào và ngõ ra, cho phép thiết kế bộ quan sát Luenberger cho hệ có trễ ngay cả khi cặp ma trận gốc $(A, C)$ không khả quan sát hoàn toàn.

Đối với các hệ thống có độ bất định cao, kỹ thuật ước lượng điểm (pointwise estimation) được thay thế bằng ước lượng khoảng (interval observer), nhằm xác định tập giá trị chấp nhận được của trạng thái tại mỗi thời điểm. Các công trình của Efimov et al. (2013), Mazenc et al., và các tác giả khác đã nghiên cứu bộ quan sát khoảng cho hệ rời rạc có nhiễu [9], hệ tuyến tính có nhiễu biến thiên theo thời gian qua phương trình Sylvester [29], và mở rộng cho hệ phân số liên kết phi tuyến [46]. Tuy nhiên, bộ quan sát khoảng trạng thái toàn phần làm tăng gấp đôi số chiều của hệ thống [63], đặt ra yêu cầu thiết kế bộ quan sát khoảng cho các hàm trạng thái (functional interval observers) để giảm số chiều tính toán.

Vị trí của luận án được xác lập thông qua việc giải quyết ba bài toán chưa được xử lý trọn vẹn trong y văn:

  1. Thiết kế bộ quan sát ước lượng nồng độ insulin có trễ trong mô hình Glucose-Insulin phi tuyến có hai độ trễ thời gian, xử lý triệt để số hạng phi tuyến $x_1(t)x_2(t-\tau)$.
  2. Thiết kế bộ quan sát phiếm hàm phân tán phát hiện lỗi cho hệ thống liên kết có trễ và đầu vào chưa biết trong các trường hợp mà phương pháp của các công trình trước đây (tiêu biểu như thuật toán của Shen et al. [78]) không khả thi do vi phạm điều kiện tồn tại nghiệm ma trận.
  3. Thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho hệ xung mạng quy mô lớn có bất định bị chặn, trong đó các cận trên và cận dưới là các hệ động lực xung liên kết.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và các khái niệm sử dụng

Luận án sử dụng nền tảng giải tích toán học và lý thuyết điều khiển tự động hiện đại, bao gồm:

  1. Lý thuyết ổn định Lyapunov và Routh-Hurwitz:

    • Tính ổn định tiệm cận và ổn định mũ của nghiệm phương trình vi phân $\dot{x}(t) = f(t, x)$.
    • Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov cho hệ tuyến tính dừng $\dot{x}(t) = Ax(t)$: Hệ ổn định mũ khi và chỉ khi mọi giá trị riêng của $A$ có phần thực âm, tương đương với sự tồn tại nghiệm đối xứng xác định dương $X > 0$ của phương trình ma trận Lyapunov: $$A^T X + XA = -Y \quad (Y > 0)$$
    • Tiêu chuẩn đại số Routh-Hurwitz xác định dấu phần thực các nghiệm của đa thức đặc trưng qua định thức các ma trận con $D_k$.

  2. Lý thuyết ổn định hệ xung và hệ dương:

    • Khái niệm ổn định từ đầu vào đến trạng thái (ISS - Input-to-State Stability) và ổn định cục bộ LISS (Locally Input-to-State Stable) cho hệ vi phân có xung tại dãy thời điểm ${t_i}$: $$\dot{x}(t) = Ax(t) + f(x(t), u(t)), \quad t \in [t_0, \infty) \setminus \mathcal{T}$$
    • Khái niệm ma trận Metzler (ma trận có các phần tử ngoài đường chéo không âm: $a_{ij} \ge 0, \forall i \ne j$) đảm bảo tính không âm của nghiệm hệ vi phân tuyến tính khi điều kiện ban đầu không âm.
    • Định lý ổn định ISS cho hệ xung tuyến tính có khoảng thời gian dwell-time $\theta_i = t_{i+1} - t_i \in [T_{\min}, T_{\max}]$ thông qua chuẩn logarithmic $\mu(A) = \max_{i} \lambda_i(\frac{A+A^T}{2})$ và nghiệm ma trận $P, Q \in \mathbb{S}_{>0}^n$.

  3. Lý thuyết không gian hàm và các bổ đề ma trận:

    • Các lớp hàm so sánh: $\mathcal{P}$, $\mathcal{K}$, $\mathcal{K}_\infty$, $\mathcal{L}$, $\mathcal{KL}$.
    • Ký hiệu $\mathbb{R}+^n$, $\mathbb{R}^{n \times m}$, $\mathbb{Z}+$, ma trận chuyển vị $A^T$, ma trận nghịch đảo $A^{-1}$, nghịch đảo Moore-Penrose $A^\ddagger$ (hoặc $A^+$), hạng $\text{rank}(A)$, định thức $\det(A)$, ký hiệu ma trận xác định dương $A > 0$.
    • Các bổ đề ma trận bổ trợ:
      • Bất đẳng thức: $2\langle Qy, x \rangle - \langle Sy, y \rangle \le \langle QS^{-1}Q^T x, x \rangle$ với $S > 0$.
      • Bất đẳng thức: $\pm 2x^T y \le x^T N x + y^T N^{-1} y$ với $N > 0$.
      • Bổ đề bù Schur (Schur complement): $$\begin{bmatrix} X & Z^T \ Z & -Y \end{bmatrix} < 0 \iff X + Z^T Y^{-1} Z < 0 \quad (\text{với } Y = Y^T > 0, X = X^T)$$

Phương pháp nghiên cứu

Luận án kết hợp các phương pháp nghiên cứu giải tích định lượng và mô phỏng số:

  • Phương pháp biến đổi vi phân đồng phôi (Diffeomorphism): Áp dụng phép đổi biến ngõ ra $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ để tuyến tính hóa từng phần và khử cấu trúc phi tuyến phức tạp trong phương trình trạng thái.
  • Phương pháp biến đổi tọa độ không gian trạng thái: Xây dựng các thuật toán truy hồi xác định các ma trận biến đổi trạng thái $M_i, N_i$ và các tham số vô hướng $\alpha_i, \beta_i, \gamma_i$ nhằm đưa hệ thống có trễ về dạng chính tắc khả quan sát.
  • Phương pháp Bất đẳng thức Ma trận Tuyến tính (LMI) và nghịch đảo giả: Thiết lập các điều kiện tồn tại của bộ quan sát dưới dạng phương trình ma trận và giải ma trận hệ số thông qua nghịch đảo Moore-Penrose và LMI Control Toolbox trên phần mềm Matlab.
  • Phương pháp mô phỏng số: Xây dựng các kịch bản kiểm chứng mô phỏng trên máy tính nhằm đối sánh quỹ đạo trạng thái thực tế và trạng thái ước lượng, kiểm tra tính hội tụ của sai số quan sát và hiệu năng phát hiện lỗi của bộ sinh phần dư.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Preliminaries (Kiến thức chuẩn bị)

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức toán học nền tảng được sử dụng xuyên suốt trong các chương tiếp theo của luận án. Nội dung chương bao gồm:

  • Trình bày các định nghĩa và tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, tiêu chuẩn đại số Routh-Hurwitz cho hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng và phi tuyến.
  • Thiết lập tiêu chuẩn ổn định ISS cho hệ xung tuyến tính có dwell-time giới hạn trong đoạn $[T_{\min}, T_{\max}]$, chứng minh đánh giá cận tiệm cận của quỹ đạo trạng thái: $$\lim_{t \to \infty} |x(t)| \le \left[ \rho_{P,Q,W} |g|\infty + T{\max} (1 + \rho_{P,Q,W} |G| \rho(A)) |f|_\infty \right] \varrho(A)$$
  • Phân tích chi tiết ba dạng bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái kinh điển:
    1. Bộ quan sát toàn phần (Full order state observer): Bậc $n$, ước lượng toàn bộ vector trạng thái $x(t)$, sai số $e(t) = x(t) - \hat{x}(t)$ thỏa mãn $\dot{e}(t) = (A-LC)e(t)$.
    2. Bộ quan sát bậc giảm (Reduced order state observer): Bậc $n-p$, thực hiện biến đổi trạng thái $x(t) = P w(t)$ để tách thành phần đo được $w_p(t)$ và thành phần chưa biết $w_u(t)$, chỉ thiết kế quan sát cho $w_u(t)$.
    3. Bộ quan sát phiếm hàm tuyến tính (Linear functional state observer): Bậc $q \le n-p$, ước lượng hàm trạng thái $z(t) = Fx(t)$, giải hệ phương trình ma trận tham số $D, E, N, J, L, H$ thỏa mãn điều kiện ma trận $N$ là Hurwitz.
  • Trình bày khái niệm bộ quan sát khoảng (Interval observer) xác định hai cận trạng thái $x^-(t)$ và $x^+(t)$ bao bọc quỹ đạo thực $x(t)$ dựa trên tính chất ma trận Metzler và nghiệm không âm.

Chương 2: A new method for designing observers of a nonlinear time-delay Glucose-Insulin system (Phương pháp mới thiết kế bộ quan sát cho hệ Glucose-Insulin phi tuyến có trễ)

Chương 2 giải quyết bài toán thiết kế bộ quan sát nồng độ insulin cho bệnh nhân đái tháo đường dựa trên mô hình Glucose-Insulin (GI) tổng quát có hai độ trễ thời gian: $$\dot{x}(t) = f(x(t), x(t-\tau)) + Bu(t) + g(y(t), y(t-\tau_g)), \quad t > 0$$ trong đó $x(t) = [x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t)]^T$ gồm:

  • $x_1(t)$: Nồng độ glucose trong huyết tương (ngõ ra đo được $y(t) = x_1(t)$).
  • $x_2(t)$: Nồng độ insulin trong huyết tương.
  • $x_3(t), x_4(t)$: Khối lượng insulin trong khoang dưới da tiếp cận được và không tiếp cận được.
  • $u(t)$: Tốc độ truyền insulin dưới da (tín hiệu điều khiển).
  • $\tau$: Trễ thời gian tác động của insulin kích thích hấp thu glucose ở các mô ngoại vi.
  • $\tau_g$: Trễ thời gian tuyến tụy tiết insulin thứ cấp đáp ứng với nồng độ glucose huyết tương.

Quy trình thiết kế gồm hai giai đoạn:

  1. Giai đoạn 1 - Phép vi phân đồng phôi ngõ ra: Chứng minh tính dương $x_1(t) > 0, \forall t > 0$, từ đó áp dụng phép biến đổi $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ để chuyển mô hình GI phi tuyến về hệ tương đương dạng: $$\dot{\tilde{x}}(t) = A\tilde{x}(t) + A_d \tilde{x}(t-\tau) + Bu(t) + \bar{\mu}(\bar{y}(t), \bar{y}(t-\tau_g))$$
  2. Giai đoạn 2 - Phép biến đổi trạng thái mới: Xây dựng thuật toán xác định ma trận biến đổi tọa độ $z(t) = [M_i \ N_i] [\tilde{x}^T(t) \ \tilde{x}^T(t-\tau)]^T$ ($i=1,\dots,n$) đưa hệ thống về dạng chính tắc khả quan sát mới: $$\dot{z}(t) = \bar{A}z(t) + \bar{B}u(t) + \bar{B}_1 u(t-\tau) + \Gamma \bar{y}(t) + \Gamma_1 \bar{y}(t-\tau) + \Gamma_2 \bar{y}(t-2\tau) + \dots$$ trong đó cặp $(\bar{A}, \bar{C})$ khả quan sát hoàn toàn và các số hạng trễ phi tuyến được chuyển dịch gắn liền với ngõ vào và ngõ ra.

Từ hệ tọa độ mới, một bộ quan sát phiếm hàm bậc 3 được thiết kế để ước lượng vector trạng thái có trễ $h(t) = [x_2(t-\tau), x_3(t-\tau), x_4(t-\tau)]^T$. Kết quả mô phỏng số với thông số cụ thể ($a_1 = 3.1, \tau = 3\text{ min}$) và các giá trị riêng mong muốn của ma trận $N$ (ví dụ $\lambda_1 = -0.08$) qua Matlab LMI Toolbox cho thấy đáp ứng của bộ quan sát $\hat{x}_2(t-3)$ bám sát chính xác giá trị thực tế $x_2(t-3)$.

Thông số mô hình GI (Chương 2) Ký hiệu / Giá trị Ý nghĩa sinh học
Biến trạng thái $x_1(t)$ $y(t) = x_1(t)$ Nồng độ glucose trong huyết tương (đo được)
Biến trạng thái $x_2(t)$ $x_2(t)$ Nồng độ insulin trong huyết tương (cần ước lượng)
Biến trạng thái $x_3(t), x_4(t)$ $x_3(t), x_4(t)$ Khối lượng insulin tại khoang dưới da
Trễ tác động insulin $\tau$ $\tau = 3\text{ min}$ Thời gian trễ insulin kích thích hấp thu glucose
Trễ tiết insulin tụy $\tau_g$ $\tau_g > 0$ Trễ giải phóng insulin thứ cấp từ tuyến tụy
Phép đổi biến ngõ ra $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ Diffeomorphism trên ngõ ra đo được
Bậc bộ quan sát đề xuất Bậc 3 (Third-order) Ước lượng trạng thái trễ $x_2(t-\tau)$

Chương 3: A new observer for interconnected time-delay systems and its applications to fault detection problem (Bộ quan sát mới cho các hệ liên kết có trễ và ứng dụng vào bài toán phát hiện lỗi)

Chương 3 nghiên cứu thiết kế bộ quan sát phiếm hàm phân tán nhằm phát hiện lỗi cơ cấu chấp hành $f_i(t)$ cho hệ thống liên kết gồm $K$ phân hệ có trễ và đầu vào chưa biết: $$\dot{x}i(t) = A{ii} x_i(t) + A_{dii} x_i(t-\tau_{ii}) + \sum_{j=1, j \ne i}^K A_{ij} x_j(t-\tau_{ji}) + B_i u_i(t) + D_i d_i(t) + E_i f_i(t)$$ $$y_i(t) = C_i x_i(t), \quad i = 1, \dots, K$$

Các đóng góp chính của chương gồm:

  • Mở rộng cấu trúc phép biến đổi trạng thái trong [50] cho hệ liên kết đa phân hệ có số chiều $n_{i\zeta} = n_i + 2p_i - 1$: $$\zeta_i(t) = T_i x_i(t) + T_{dii} x_i(t-\tau_{ii}) + \sum_{\ell=1, \ell \ne i}^K T_{\ell i} x_\ell(t-\tau_{\ell i})$$
  • Thiết lập Định lý 3.1 xác định 11 điều kiện triệt tiêu ma trận ($[H_{ki}^1]U = 0, \dots, [H{ki}^7]U = 0, H{ki}^f = 0, H_{ki}^d = 0, H_{k\ell}^f = 0, H_{k\ell}^d = 0$) để chuyển đổi từng phân hệ thứ $i$ về dạng chính tắc khả quan sát $(\bar{A}_i, \bar{C}_i)$ với các số hạng trễ chuyển sang ngõ vào/ngõ ra.
  • Xây dựng bộ sinh phần dư cục bộ (residual generator): $$r_i(t) = T_i \omega_i(t) + F_i y_i(t)$$ thỏa mãn khi không có lỗi ($f_i(t) = 0$), $r_i(t) \to 0$ tiệm cận khi $t \to \infty$; khi xuất hiện lỗi cơ cấu chấp hành ($f_i(t) \ne 0$), $r_i(t)$ lệch khỏi 0 và kích hoạt cảnh báo lỗi.
  • Luận án đưa ra ví dụ minh chứng phân tích rằng phương pháp của Shen et al. (2010) [78] thất bại do điều kiện hạng $\text{rank}([\bar{\Omega}_1^T \ \Phi_1^T]^T) = 5 \ne 4 = \text{rank}(\bar{\Omega}_1)$ không thỏa mãn, trong khi phương pháp mới của luận án thiết kế thành công bộ quan sát bậc 3 phát hiện chính xác lỗi tại phân hệ 1 và phân hệ 2.

Chương 4: Distributed functional interval observer design for large-scale networks impulsive systems (Thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho các hệ xung mạng quy mô lớn)

Chương 4 nghiên cứu bài toán thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho lớp hệ xung mạng quy mô lớn chứa các thành phần bất định bị chặn ở trạng thái và ngõ ra:

  • Thiết lập mô hình hệ xung liên kết phân tán với thời điểm xung $t_i$.
  • Xây dựng cặp hệ thống động lực xung đóng vai trò cận trên $z_i^+(t)$ và cận dưới $z_i^-(t)$ để ước lượng phiếm hàm tuyến tính của vector trạng thái $z_i(t) = L_i x_i(t)$ của từng phân hệ: $$z_i^-(t) \le z_i(t) \le z_i^+(t), \quad \forall t \ge t_0$$
  • Thiết lập các điều kiện tồn tại của bộ quan sát khoảng phiếm hàm và đề xuất thuật toán giải các ma trận hệ số quan sát chưa biết dựa trên bất đẳng thức ma trận.
  • Kết quả mô phỏng số cho hai ví dụ minh họa (với các hàm trạng thái $z_1(t) = x_{13}(t)$, $z_2(t) = x_{23}(t)$ và $z_i(t) = x_{i1}(t)$) chứng minh các dải bao $[z_i^-(t), z_i^+(t)]$ bọc kín và hội tụ bám sát quỹ đạo thực của trạng thái hệ xung.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả và đóng góp khoa học mới sau:

  1. Đề xuất quy trình thiết kế bộ quan sát trạng thái cho mô hình Glucose-Insulin phi tuyến có trễ:

    • Thiết lập quy trình hai giai đoạn kết hợp phép vi phân đồng phôi trên ngõ ra $\bar{y} = -\ln(y(t))$ và phép biến đổi trạng thái mới.
    • Chuyển đổi thành công hệ phi tuyến có trễ chứa số hạng tích $x_1(t)x_2(t-\tau)$ về dạng chính tắc khả quan sát, cho phép thiết kế bộ quan sát bậc 3 ước lượng nồng độ insulin có trễ $x_2(t-\tau)$.

  2. Phát triển bộ quan sát phiếm hàm phân tán phát hiện lỗi cho hệ thống liên kết có trễ:

    • Xây dựng phép biến đổi trạng thái tổng quát cho các hệ thống liên kết có trễ và đầu vào chưa biết.
    • Thiết lập các điều kiện đủ để chuyển từng phân hệ về dạng khả quan sát và thiết kế bộ sinh phần dư $r_i(t)$ phát hiện lỗi cơ cấu chấp hành.
    • Khắc phục các hạn chế nghiêm ngặt về điều kiện hạng ma trận trong các công trình trước đây (tiêu biểu như phương pháp trong [78]).

  3. Thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho hệ xung mạng quy mô lớn:

    • Xây dựng cấu trúc bộ quan sát khoảng gồm hai cận trên và dưới là các hệ động lực xung.
    • Đưa ra điều kiện tồn tại và thuật toán giải ma trận quan sát, xử lý đồng thời tính chất xung, liên kết mạng và bất định bị chặn, đồng thời giảm số chiều tính toán so với bộ quan sát khoảng toàn phần.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Phương pháp biến đổi trạng thái ở Chương 2 trong một số trường hợp không tạo ra bộ quan sát trạng thái tức thời (instantaneous state observer) mà chỉ thu được bộ quan sát trạng thái có trễ (delayed state observer) hoặc hỗn hợp giữa tức thời và trễ do bản chất cấu trúc chuyển dịch trễ sang tín hiệu vào/ra.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    1. Nghiên cứu mở rộng phương pháp biến đổi trạng thái để thu được các bộ quan sát trạng thái tức thời cho các lớp hệ phi tuyến có trễ phức tạp hơn.
    2. Tiếp tục mở rộng các kết quả quan sát khoảng và phát hiện lỗi cho các hệ thống phân số (fractional-order systems) hoặc hệ thống có tham số biến thiên theo thời gian (LPV systems).

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo có giá trị học thuật và ứng dụng thực tiễn cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng, Lý thuyết điều khiển tự động và Kỹ thuật điều khiển.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Y sinh học tính toán: Tham khảo thuật toán ước lượng nồng độ insulin từ tín hiệu glucose đo được ở bệnh nhân đái tháo đường.
  • Kỹ sư và chuyên gia chẩn đoán hệ thống: Ứng dụng các thuật toán thiết kế bộ sinh phần dư để phát hiện sớm các sự cố cơ cấu chấp hành trong các mạng lưới công nghiệp liên kết quy mô lớn.

Các phần đáng tham khảo chuyên sâu gồm: Thuật toán giải ma trận biến đổi trạng thái (Algorithm 2.1), Định lý 3.1 về điều kiện biến đổi hệ liên kết có trễ, và cấu trúc thuật toán giải LMI cho bộ quan sát khoảng xung ở Chương 4.

Câu hỏi thường gặp

1. Mã số chuyên ngành và cơ sở đào tạo của luận án là gì?

Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học (Mathematical Analysis), mã số 9 46 01 02, được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Đinh Công Hướng.

2. Mô hình Glucose-Insulin trong Chương 2 gồm những biến trạng thái nào và giải quyết khó khăn gì?

Mô hình gồm 4 biến trạng thái: $x_1(t)$ (nồng độ glucose huyết tương, đo được), $x_2(t)$ (nồng độ insulin huyết tương, cần ước lượng), $x_3(t)$ và $x_4(t)$ (khối lượng insulin tại khoang dưới da tiếp cận và không tiếp cận được). Luận án giải quyết khó khăn của số hạng tích phi tuyến trễ $x_1(t)x_2(t-\tau)$ bằng phép đổi biến ngõ ra $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ và biến đổi trạng thái đưa về bộ quan sát bậc 3 ước lượng $x_2(t-\tau)$.

3. Tại sao phương pháp thiết kế bộ quan sát phát hiện lỗi trong tài liệu [78] không áp dụng được cho ví dụ ở Chương 3?

Phương pháp trong [78] yêu cầu điều kiện hạng ở Bước 2 phải thỏa mãn $\text{rank}(\bar{\Omega}_1) = \text{rank}([\bar{\Omega}_1^T \ \Phi_1^T]^T)$. Trong ví dụ của Chương 3, $\text{rank}(\bar{\Omega}_1) = 4$ trong khi $\text{rank}([\bar{\Omega}_1^T \ \Phi_1^T]^T) = 5$, dẫn đến không tồn tại nghiệm ma trận theo phương pháp cũ. Thuật toán của luận án đã khắc phục và giải quyết thành công bài toán này.

4. Điểm đặc thù của bộ quan sát khoảng phiếm hàm ở Chương 4 là gì?

Khác với các bộ quan sát khoảng truyền thống ước lượng toàn phần làm tăng gấp đôi số chiều hệ thống, bộ quan sát ở Chương 4 ước lượng tổ hợp tuyến tính của trạng thái cho từng phân hệ mạng xung, trong đó hai cận trên và dưới đều là các hệ động lực xung, cho phép xử lý hiệu quả hệ xung mạng quy mô lớn có bất định bị chặn.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Đào Thị Hải Yến đã giải quyết một cách có hệ thống bài toán ước lượng trạng thái và ước lượng khoảng cho ba lớp hệ thống động lực phức tạp: hệ phi tuyến có trễ Glucose-Insulin, hệ thống liên kết có trễ chứa thành phần vào chưa biết, và hệ xung mạng quy mô lớn chứa bất định. Thông qua việc kết hợp sáng tạo giữa phép vi phân đồng phôi, kỹ thuật biến đổi không gian trạng thái và lý thuyết ổn định Lyapunov/hệ xung, tác giả đã đề xuất các thuật toán thiết kế bộ quan sát có tính khả thi cao, mở rộng phạm vi áp dụng so với các kết quả hiện có trong y văn. Toàn bộ các kết quả lý thuyết đã được công bố trên các tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế và được kiểm chứng tính đúng đắn qua các mô phỏng số chi tiết.