Tổng quan luận án
Luận án tiến sĩ toán học "Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng" của nghiên cứu sinh Đặng Thanh Sơn, thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Cung Thế Anh và TS. Trần Xuân Tiếp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (năm 2015), thuộc chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân (mã số: 62460103). Luận án giải quyết các vấn đề giải tích định tính và bài toán điều khiển đối với ba mô hình hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến ghép cặp bắt nguồn từ cơ học chất lỏng.
Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu
Trong cơ học chất lỏng, hệ phương trình Navier-Stokes miêu tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất, nhớt và không nén được (được thiết lập từ năm 1822) giữ vai trò nền tảng. Khi mô tả các quá trình phức tạp trong vật lý, khí quyển, công nghiệp dầu mỏ hoặc vật lý plasma, phương trình Navier-Stokes thường được ghép cặp với các phương trình đạo hàm riêng khác để tạo thành các hệ phương trình cặp, tiêu biểu như:
- Hệ Bénard (trường hợp riêng của hệ Boussinesq): kết hợp giữa trường vận tốc chất lỏng và phương trình đối lưu - khuếch tán của nhiệt độ.
- Hệ động lực học thủy từ trường (MHD): kết hợp giữa trường vận tốc chất lỏng và hệ phương trình Maxwell của từ trường, mô tả chất lỏng dẫn điện (như plasma).
- Hệ Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi: mô tả dòng chảy chất lỏng không thuần nhất (hỗn hợp chất lỏng có mật độ biến thiên theo không gian và thời gian).
Theo phân tích của tác giả, các nghiên cứu trước đây chủ yếu tập trung vào trường hợp ôtônôm (ngoại lực không phụ thuộc vào thời gian), xét trong miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn, và đa phần giả định mật độ khối lượng là hằng số. Những khoảng trống nghiên cứu chính được chỉ ra gồm:
- Thiếu vắng các kết quả nghiên cứu đối với các hệ phương trình cặp trong trường hợp không ôtônôm (khi ngoại lực phụ thuộc thời gian) và trong miền không bị chặn. Khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn tính bất biến dương đối với phép tịnh tiến thời gian, khiến lý thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn áp dụng được. Đồng thời, trong miền không bị chặn, các phép nhúng Sobolev mất tính compact, làm cho bổ đề Aubin-Lions cổ điển bị vô hiệu hóa.
- Chưa có các nghiên cứu giải tích về sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm yếu cũng như các bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu cho hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi. Sự phụ thuộc của mật độ khối lượng vào không gian và thời gian làm phát sinh các khó khăn toán học phức tạp khi xử lý các số hạng phi tuyến ghép cặp.
Mục tiêu nghiên cứu
Luận án xác định hai nhóm mục tiêu cụ thể:
- Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm yếu và dáng điệu tiệm cận của nghiệm thông qua sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi đối với hệ phương trình Bénard hai chiều và hệ phương trình MHD hai chiều trong trường hợp không ôtônôm, trên miền không nhất thiết bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.
- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu, tính duy nhất có điều kiện của nghiệm yếu, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu (chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu và thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một) đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn hai hoặc ba chiều.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu:
- Hệ phương trình Bénard hai chiều không ôtônôm.
- Hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều không ôtônôm.
- Hệ phương trình Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi.
- Phạm vi nghiên cứu (3 nội dung):
- Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ phương trình Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.
- Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ phương trình MHD hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón.
- Nội dung 3: Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn hai hoặc ba chiều.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Tác giả đã điểm lại hệ thống các công trình nghiên cứu trong nước và quốc tế liên quan trực tiếp đến ba mô hình phương trình của luận án:
Các hướng nghiên cứu trước đây
-
Đối với hệ phương trình Bénard / Boussinesq:
- Hệ phương trình Boussinesq và Bénard mô tả dòng chất lỏng chịu lực nổi do biến thiên mật độ khối lượng gây ra bởi nhiệt độ thông qua phép xấp xỉ Boussinesq.
- Các tác giả trong các công trình [6, 30, 43] đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Bénard với các điều kiện biên khác nhau (Dirichlet, Neumann, tuần hoàn, tự do). Tuy nhiên, công cụ chủ yếu được sử dụng là nguyên lý cực đại đối với phương trình nhiệt độ, vốn chỉ áp dụng được cho các điều kiện biên đơn giản khi dữ kiện ban đầu và nguồn nhiệt thuộc $L^\infty(\Omega)$.
- Công trình [24] khảo sát hệ Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré với ngoại lực không phụ thuộc thời gian (hệ ôtônôm), chứng minh sự tồn tại và đánh giá số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục.
-
Đối với hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD):
- Được T. Cowling đề xuất lần đầu tiên năm 1957 ([52]) khi kết hợp phương trình Navier-Stokes với hệ phương trình Maxwell để mô tả dòng chảy chất lỏng dẫn điện trong từ trường.
- Khi ngoại lực không phụ thuộc thời gian, G. Temam đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cũng như nghiệm mạnh, đưa ra khái niệm tập bất biến để khảo sát dáng điệu tiệm cận và chứng minh tính hữu hạn của số chiều Hausdorff cho tập bất biến này.
- Dáng điệu tiệm cận của nghiệm (tính chất phân rã của nghiệm, tính ổn định của nghiệm dừng) được phân tích trong các công trình [34, 25, 10]. Tính chính quy của nghiệm được nghiên cứu trong [5, 49].
- Phần lớn các kết quả trên đều chỉ dừng lại ở phạm vi miền bị chặn và ngoại lực dừng (ôtônôm).
-
Đối với hệ Navier-Stokes và Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi:
- Đối với hệ Navier-Stokes có mật độ thay đổi, khi mật độ ban đầu thỏa mãn điều kiện cách ly khỏi số không ($\inf_{x \in \Omega} \rho_0(x) \ge c_0 > 0$), sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh lần đầu tiên bởi S. Antontsev, A. Kazhikhov và V. Monakhov; sau đó điều kiện được mở rộng thành $\rho_0(x) \ge 0$ trong [23].
- R. Danchin ([36, 37]) sử dụng phương pháp nửa nhóm chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm nhẹ trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$.
- Các cuốn chuyên khảo [46, 32] hệ thống hóa lý thuyết nghiệm cho hệ Navier-Stokes mật độ thay đổi. Gần đây, công trình [11] đã trình bày tương đối hoàn chỉnh về nghiệm yếu, nghiệm mạnh và các bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ Navier-Stokes mật độ thay đổi.
- Đối với hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, trước thời điểm luận án thực hiện, chưa có công trình nào công bố các kết quả toán học liên quan đến hệ này.
Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết
Luận án định vị nghiên cứu vào việc mở rộng lý thuyết giải tích định tính và lý thuyết điều khiển cho các bài toán chưa được giải quyết trọn vẹn:
- Chuyển từ trường hợp ngoại lực dừng sang trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời gian (không ôtônôm) cho hệ Bénard và hệ MHD.
- Mở rộng phạm vi miền không gian từ miền bị chặn sang miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.
- Thiết lập cơ sở toán học ban đầu cho hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn, bao gồm việc giải bài toán tồn tại nghiệm yếu, tính duy nhất có điều kiện và giải quyết trọn vẹn bài toán điều khiển tối ưu cũng như bài toán thời gian tối ưu.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Luận án hoàn toàn thuộc hướng nghiên cứu lý thuyết toán học thuần túy (giải tích định tính và giải tích hàm phi tuyến). Tác giả không sử dụng các phương pháp thống kê thực nghiệm hay phân tích số liệu định lượng.
Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng
-
Lý thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều không ôtônôm:
- Dựa trên các phát triển lý thuyết của Carvalho, Langa và Robinson ([1]) và Wang ([51]).
- Khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, khái niệm nửa nhóm nghiệm chuyển thành khái niệm quá trình ${Z(t, \tau)}_{t \ge \tau}$ trên không gian Banach $X$, thỏa mãn:
$$Z(t, r)Z(r, \tau) = Z(t, \tau), \quad \forall t \ge r \ge \tau; \quad Z(\tau, \tau) = \text{Id}, \quad \forall \tau \in \mathbb{R}$$
- Khái niệm họ tập hút lùi $\widehat{\mathcal{A}} = {\mathcal{A}(t): t \in \mathbb{R}}$: là họ các tập compact, bất biến đối với quá trình ($Z(t, \tau)\mathcal{A}(\tau) = \mathcal{A}(t), \forall t \ge \tau$), có tính chất hút lùi theo nửa khoảng cách Hausdorff đối với mọi họ tập bị chặn $\widehat{\mathcal{D}} \in \mathcal{D}$ khi $\tau \to -\infty$, và là họ tập hút đóng nhỏ nhất.
- Lý thuyết đánh giá số chiều fractal $d_F(\mathcal{A}(t))$ của tập compact dựa trên phương pháp của [16].
-
Lý thuyết điều khiển tối ưu đối với phương trình đạo hàm riêng:
- Dựa trên nền tảng lý thuyết của J. L. Lions ([21]) và các công cụ giải tích lồi ([2]).
- Phương pháp phiếm hàm chi phí, hệ phương trình liên hợp và bất đẳng thức biến phân xác định điều kiện cần tối ưu cấp một.
-
Lý thuyết phương trình chuyển dịch:
- Sử dụng kết quả của R. J. DiPerna và P. L. Lions ([38]) về phương trình chuyển dịch đối với hàm mật độ khối lượng.
Không gian hàm và công cụ giải tích
Luận án sử dụng các không gian hàm cơ bản:
- Các không gian Lebesgue $L^p(\Omega)$ ($1 \le p \le \infty$), không gian Sobolev $W^{m,p}(\Omega)$, $H^m(\Omega)$, $H^1_0(\Omega)$.
- Không gian các hàm vectơ không phân kỳ (solenoidal spaces) $H$ và $V$ tương ứng cho từng hệ phương trình, không gian đối ngẫu $V'$. Bộ ba Gelfand: $V \subset H \equiv H' \subset V'$ với các phép nhúng liên tục và trù mật.
- Không gian phụ thuộc thời gian: $L^p(a, b; X)$, $W^{m,p}(0, T; X)$ và không gian Nikolskii $N^{s,q}(0, T; B)$ với $0 < s < 1, 1 \le q \le \infty$.
Phương pháp nghiên cứu cụ thể
- Chứng minh sự tồn tại nghiệm:
- Đối với hệ Bénard và hệ MHD: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các bổ đề compact thích hợp thay thế cho bổ đề Aubin-Lions cổ điển để khắc phục việc thiếu vắng phép nhúng compact của không gian Sobolev trên miền không bị chặn.
- Đối với hệ Boussinesq mật độ thay đổi: Sử dụng phương pháp nửa Galerkin (semi-Galerkin approximation) kết hợp kết quả của DiPerna - Lions đối với phương trình bảo toàn khối lượng $\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0$.
- Chứng minh sự tồn tại tập hút lùi:
- Chứng minh sự tồn tại họ tập $\mathcal{D}$-hấp thụ lùi.
- Sử dụng phương pháp phương trình năng lượng của J. Ball ([20]) đối với nghiệm yếu để chứng minh tính $\mathcal{D}$-compact tiệm cận lùi của quá trình sinh bởi bài toán trên miền không bị chặn.
- Đánh giá số chiều fractal: Sử dụng kỹ thuật làm trơn nghiệm và đánh giá bước dịch chuyển thời gian dựa trên phương pháp của [16].
- Chứng minh tính duy nhất có điều kiện: Phát triển kỹ thuật đánh giá năng lượng và các bất đẳng thức đối với số hạng phi tuyến theo ý tưởng của [32].
Nội dung chính theo từng chương
Luận án gồm 4 chương nội dung khoa học chính (bên cạnh Phần mở đầu, Kết luận và Danh mục công trình):
CẤU TRÚC LUẬN ÁN
Chương 1 Chương 2 Chương 3
Kiến thức chuẩn bị Hệ Bénard 2D Hệ MHD 2D
- Không gian hàm không ôtônôm không ôtônôm
- Bổ đề & bất đẳng thức - Tồn tại & duy nhất - Tồn tại & duy nhất
- Lý thuyết tập hút lùi - Tập hút lùi - Tập hút lùi
- Chiều fractal - Chiều fractal
Chương 4
Hệ Boussinesq mật độ thay đổi
- Tồn tại nghiệm yếu
- Duy nhất có điều kiện
- Bài toán điều khiển tối ưu
- Bài toán thời gian tối ưu
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, ký hiệu và bổ đề kỹ thuật làm công cụ cho các chương sau:
- Định nghĩa các không gian hàm giải tích: $L^p(\Omega)$, $H^m(\Omega)$, $H^1_0(\Omega)$, các không gian solenoidal $H_i, V_i$ ($i = 1, 2, 3$). Thiết lập quan hệ tương đương chuẩn trên miền $\Omega$ thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (tức là tồn tại hằng số $\lambda_1 > 0$ sao cho $\int_\Omega |u|^2 dx \le \frac{1}{\lambda_1} \int_\Omega |\nabla u|^2 dx, \forall u \in H^1_0(\Omega)$).
- Trình bày các bất đẳng thức giải tích quan trọng: bất đẳng thức Hölder, Young, Poincaré, Ladyzhenskaya, Agmon, Gagliardo-Nirenberg.
- Giới thiệu các không gian phụ thuộc thời gian và không gian Nikolskii $N^{s,q}(0, T; B)$.
- Trình bày khuôn khổ lý thuyết trừu tượng về quá trình không ôtônôm ${Z(t, \tau)}$, tính liên tục yếu, tính $\mathcal{D}$-compact tiệm cận lùi, khái niệm họ tập $\mathcal{D}$-hấp thụ lùi, định lý tồn tại duy nhất tập $\mathcal{D}$-hút lùi, và các bổ đề đánh giá số chiều fractal trong không gian Banach.
Chương 2. Hệ Bénard hai chiều không ôtônôm
Chương này nghiên cứu hệ phương trình Bénard trong miền không bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré:
$$\begin{cases}
\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \nu \Delta u + \nabla p = f_u(x, t) + \alpha \vec{e}_2 (T - T_r) \
\partial_t T + u \cdot \nabla T - \kappa \Delta T = f_T(x, t) \
\nabla \cdot u = 0
\end{cases}$$
với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu tương ứng, trong đó $\vec{e}_2 = (0, 1)$, $\alpha = \vartheta g$ là hệ số nổi, $\nu > 0$ là hệ số nhớt, $\kappa > 0$ là hệ số dẫn nhiệt. Ngoại lực $f_u(x, t)$ và nguồn nhiệt $f_T(x, t)$ phụ thuộc thời gian.
Các nội dung và kết quả chính đạt được trong chương:
- Đặt bài toán và không gian nghiệm: Xây dựng hệ toán tử trừu tượng, định nghĩa khái niệm nghiệm yếu trên khoảng thời gian $[\tau, T]$.
- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu: Áp dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Do miền $\Omega$ không bị chặn, tác giả sử dụng các đánh giá tiên nghiệm trong $L^2(\tau, T; V)$ và $L^\infty(\tau, T; H)$, kết hợp bổ đề compact thích hợp để qua giới hạn, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
- Sự tồn tại tập hút lùi:
- Chứng minh sự tồn tại của một họ tập $\mathcal{D}$-hấp thụ lùi $\widehat{\mathcal{B}} = {\mathcal{B}(t): t \in \mathbb{R}}$ trong không gian $H$.
- Sử dụng phương pháp phương trình năng lượng của J. Ball để khắc phục việc thiếu vắng tính compact của phép nhúng Sobolev, chứng minh quá trình sinh bởi nghiệm yếu là $\mathcal{D}$-compact tiệm cận lùi.
- Thiết lập định lý về sự tồn tại duy nhất của họ tập $\mathcal{D}$-hút lùi $\widehat{\mathcal{A}} = {\mathcal{A}(t): t \in \mathbb{R}}$.
- Đánh giá số chiều fractal: Chứng minh tập hút lùi $\mathcal{A}(t)$ có số chiều fractal hữu hạn $d_F(\mathcal{A}(t)) < +\infty$ với mọi $t \in \mathbb{R}$ và thiết lập công thức chặn trên tường minh cho số chiều này thông qua các thông số vật lý của hệ ($\nu, \kappa, \alpha$) và chuẩn của ngoại lực.
Chương 3. Hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều không ôtônôm
Chương này nghiên cứu hệ phương trình MHD hai chiều mô tả dòng chảy chất lỏng dẫn điện trong từ trường, đặt trong miền không bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón:
$$\begin{cases}
\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \frac{1}{R_e} \Delta u + \nabla\left(p + \frac{S}{2}|B|^2\right) - S(B \cdot \nabla)B = f(x, t) \
\partial_t B + (u \cdot \nabla)B - (B \cdot \nabla)u + \frac{1}{R_m} \tilde{\text{curl}}(\text{curl} B) = 0 \
\nabla \cdot u = 0, \quad \nabla \cdot B = 0
\end{cases}$$
ở đó $R_e, R_m, S$ là các số Reynolds, Reynolds từ và hệ số tương tác từ; $\text{curl} u = \partial_{x_1} u_2 - \partial_{x_2} u_1$, $\tilde{\text{curl}} \phi = (\partial_{x_2} \phi, -\partial_{x_1} \phi)$. Ngoại lực $f(x, t)$ phụ thuộc thời gian.
Các nội dung và kết quả chính đạt được:
- Đặt bài toán: Thiết lập hệ trong không gian pha tích $H = H_1 \times H_2$ và $V = V_1 \times V_2$, khử áp suất và biến đổi số hạng phi tuyến ghép cặp giữa vận tốc $u$ và từ trường $B$.
- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu: Sử dụng phương pháp Galerkin trên cơ sở các hàm riêng của toán tử Stokes và toán tử Laplace tương ứng, kết hợp các đánh giá tiên nghiệm phức tạp đối với số hạng phi tuyến $(B \cdot \nabla)B$ và $(B \cdot \nabla)u$. Chứng minh nghiệm yếu tồn tại duy nhất và xác định một quá trình liên tục trong không gian $H$.
- Sự tồn tại tập hút lùi: Xây dựng tập $\mathcal{D}$-hấp thụ lùi. Tác giả áp dụng phương pháp phương trình năng lượng của J. Ball, khai thác cấu trúc triệt tiêu của các số hạng phi tuyến khi nhân vô hướng để chứng minh tính compact tiệm cận lùi trong không gian pha, từ đó suy ra sự tồn tại tập hút lùi duy nhất.
- Đánh giá số chiều fractal: Thiết lập chặn trên hữu hạn cho số chiều fractal của tập hút lùi $d_F(\mathcal{A}(t))$ thông qua các hệ số Reynolds, số Hartmann và chuẩn của ngoại lực không ôtônôm.
Chương 4. Hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi
Chương này nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi $\rho(x, t)$ trong miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N = 2, 3$):
$$\begin{cases}
\partial_t (\rho u) - \nu \Delta u + \nabla \cdot (\rho u u) + \nabla p = \rho f + \vec{e}N \gamma \theta \
\nabla \cdot u = 0 \
\partial_t (\rho \theta) - \kappa \Delta \theta + \nabla \cdot (\rho \theta u) = \rho g \
\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0
\end{cases}$$
với điều kiện biên $u = 0, \theta = 0$ trên $\partial\Omega$ và các điều kiện ban đầu $\rho|{t=0} = \rho_0 \ge c_0 > 0$, $(\rho u)|t=0 = \rho_0 u_0$, $(\rho \theta)|t=0 = \rho_0 \theta_0$.
Các nội dung chính của chương:
- Sự tồn tại nghiệm yếu: Tác giả xây dựng quy trình xấp xỉ nửa Galerkin (semi-Galerkin): vận tốc $u$ và nhiệt độ $\theta$ được xấp xỉ trên không gian hữu hạn chiều sinh bởi hệ hàm riêng của toán tử Stokes và Dirichlet-Laplace, trong khi phương trình bảo toàn khối lượng của $\rho$ được giải chính xác bằng lý thuyết phương trình chuyển dịch của DiPerna - Lions. Sau đó, qua giới hạn bằng việc sử dụng các định lý nhúng compact và tính chất bảo toàn của nghiệm phương trình chuyển dịch.
- Tính duy nhất có điều kiện của nghiệm yếu: Do mật độ $\rho$ biến thiên, phương pháp hiệu hai nghiệm thông thường không làm triệt tiêu được các số hạng phi tuyến đạo hàm bậc cao. Tác giả chứng minh tính duy nhất với điều kiện bổ sung về độ chính quy của nghiệm (nghiệm thỏa mãn điều kiện tích phân kiểu Serrin hoặc thuộc không gian trơn hơn).
- Bài toán điều khiển tối ưu:
- Khảo sát bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu dạng:
$$J(u, \theta, f, g) = \frac{1}{2}\int_0^T |u - u_d|^2 dt + \frac{\alpha_1}{2}\int_0^T |\theta - \theta_d|^2 dt + \frac{\alpha_2}{2}\int_0^T |f|^2 dt + \frac{\alpha_3}{2}\int_0^T |g|^2 dt$$
với tập các điều khiển $(f, g)$ thuộc tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian hàm thích hợp.
- Chứng minh sự tồn tại của nghiệm điều khiển tối ưu thông qua tính compact yếu và tính nửa liên tục dưới của phiếm hàm chi phí.
- Thiết lập hệ phương trình liên hợp (adjoint system) và dẫn ra điều kiện cần tối ưu cấp một dưới dạng bất đẳng thức biến phân.
- Bài toán thời gian tối ưu:
- Đặt bài toán tìm điều khiển đưa hệ từ trạng thái ban đầu về một tập đích lồi, đóng trong thời gian ngắn nhất $T^*$.
- Chứng minh sự tồn tại của thời gian tối ưu và điều khiển tối ưu tương ứng.
- Thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một cho bài toán thời gian tối ưu.
Bảng tổng hợp so sánh các mô hình và phương pháp trong 4 chương
| Chương |
Mô hình toán học |
Chiều không gian & Tính chất miền |
Hướng tiếp cận & Kỹ thuật chính |
Kết quả cốt lõi đạt được |
| Chương 1 |
Không gian hàm & Quá trình ${Z(t, \tau)}$ |
$\mathbb{R}^N$, miền thỏa Poincaré |
Giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết tập hút lùi |
Khung giải tích chuẩn bị, các bổ đề compact và đánh giá số chiều |
| Chương 2 |
Hệ Bénard không ôtônôm |
$N = 2$, miền k |
|
|
