mở đầu ch0 việc nghiên cứu giải tich FOurier, tir dé doa đến các ứng dụng của giải lích FOurier lr0ng việc giải các lớp phoJơng trình da0 hàm riêng khác nhau, chẳng hạn mho phojong trình truyền nhiệt và phojong trình truyền sóng mà luận văn sẽ lập trung nghiên cứu. Tr0ng các phần tiếp the0 của luận văn la sẽ đoỊa ra các điều kiện chính xác để sài l0án lrên đơjợc nghiệm 13 đúng. Tuy nhiên, các hệ số A„ có thể đơjợc dự đ0án qua một cách đánh giá đơn giản nhơi sau. Đầu liên, lừ siểu thức xác dimh A, co = Sin"Z x = f(x) (1.18) n=l IThân hai về cha phojong trình với sin*# x rồi lấy tích phân từ 0 đến L †a thu đơjợc Tú _ mE J L-= ng mn ƒ@&)sin — xax= A,sin ` * sin „ xx 0 L 0 ne L L = nt.
mn L =~ A, sin Sin =Am 2. 5 Mi L ra A 2 Kết quả trên có đojợc là d0 o 1 : Co sin 7 xsin ME ydy = 0 nêu 7n ƒ=n, L Q ° Ure méu m =n. Tho vậy, la có thể dự đ0án đojợc 2]: Amn = — f(x) sin mn xdx.19) L 9 L bằng lap luam tojong lự †a cũng dự đ0án đojợc 2 `7 mn B,= — g(x)sin L x.20) H1đ 9 Tr0ng phần liếp †he0, khi xây dựng công thức nghiệm ch0 phoJơng lrình truyền nhiệt bằng phoJơng pháp lách biến fa cũng thấy xuất hiện câu hỏi loJơng tự nhọ| bài 10am 1. Phojong trimh truyén mhiét 1.1 Gidi thiéu vé phojong trimh truyén mhiét Xét mét vat thé ran mà nhiệt độ của nó lại diém (x, y, z) va0 tai thoi diém 71a mét ham u(x, y, z).
Téu cdc phan hr cia vat thé c6 mhiét d6 khaéc hau, thì sên tr0ng vậi thể có sự tra0 đổi nhiệt lojợng từ phần nóng (có nhiệt độ ca0 hơn) sang phần lạnh hơn (có nhiệt độ thấp hơn). 14 Giả sử vat thé dojgc c0i là đẳng hojong, tức là tại một điểm (x, y, z) xác định †hì nhiệt truyền the0 phojơng nà0 cũng nhơt nhau. Ilói cách khác đi, hệ số truyền nhiệt k chi phụ thudc va0 (x, y, z) không phụ thuộc vàO0 các hojớng. Khi đó quy luật truyền nhiệt đơjợc ch0 bởi ou Cu Cu Ou yx, y, z)p(% ¥, z) ar K(x, y, z)( ax * By? +2) +E(x, y, z, Ÿ), (1.
Tiếu vật thể là đồng chất, lức là ;, ø, £ là các hằng số và lr0ng vật thê không có nguồn nhiệt F(x, , z, j = 0 thì (1.21) có dạng ou = a Cu Cu Ky ) .22) at Ox? ôy? az? lr0ng đó a = + hơn nữa, nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, y, ? ví dụ xé! sự tra0 đổi nhiệHr0ng một bản phẳng mỏng thì (1.22) có dạng Cu a( ou + ou ot 2 Oy? Tiếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc và0 x, ¿ chẳng hạn xé! sự truyền nhiệt tr0ng một thanh thẳng, nhỏ thì (1.22) có dạng Ou 20°u ap =a 22: (1.24) Tr0ng hai irojong hợp này la cân giả sử là không có sự lra0 đôi nhiệt giữa bản mỏng hay thanh nhỏ với môi lrơiờng xung quanh. cũng loJơng lự nhơi phơjơng trình da0 động của dây và của màng, muốn xác định quy luật truyền nhiệt lr0ng vật thé thi ng0ai phojong trình (1.21) ta cam số sung thêm các điều kiện đầu lại 7 = 0 hOặc các điều kiện siên. The0 phân l0ại, phojơng lrình nhiệt thuộc l0ại phojơng lrình parap0l. Dojới đây la sẽ xây dựng công thức nghiệm ch0 phojơng trình truyền nhiệt lr0ng các điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thẻ.2 công thức siểu diễn nghiệm của sài l0án cauchy đối với phơjơng trình truyền nhiệt Xét phojong trình truyền nhiệt tr0ng thanh đồng chất Ou 20°u ca , (1.24) OF Ox2- 15 thỏa mãn điều kiện san đầu u(x,0) =ƒ@), 0 <x<1L, (1.25) và các điều kiện siên thuần nhất u(0,4)=0, £>0, u(L=0, 1> (1.
Giả sử thêm ƒ là hàm liên lục, khả vi lừng khúc và triệt liêu lại điểm đầu x = 0 và x= L, lức là Z(0) =7() = 0. Tojơng lự đối với việc xây dựng công thức nghiệm ch0 phojơng lrình truyền sóng Phan 1.3, ta lìm nghiệm không lầm thojờng của sài l0án (1.24) dơjới dạng lách b1ell u(x, t) = X(x)T (0, tr0ng đó X là hàm chỉ phụ thuộc và0 x, 7 là hàm chỉ phụ thuộc và0 7. Thay siểu thức nghiệm lên phoJơng lrình (1.24) ta thu dojgc X(x)T '() = a7 ()X 0), hay , TỰ _ x@œ) a27T(} c. x6) ~ “A, tr0ng dé J 1a mét hang s6.
Tu dé phojong trimh (1.24) cũng dẫn đến pai 104m tim gid tri riéng va ham riéng nhơi sau L7'(9+a?2270_ =0, (1. Điều kiện siên (1. Tho vay déi voi ham X(x) ta nhận dojgc pai 104n siên đối Voi phojong trith vi phan cap hai X (x)+^X(x) =0, X(0) = x() = 0.28) a 22 nw — Au= HỆ n=1/28.28) có nghiệm không tầm thoJờng nT X@=Ausin ——¥ "=128. Với các giá trị riêng của A„ đojợc xác định nhọt (1.29), phoJơng lrình †hứ nhất lr0ng hệ (1.27) có nghiệm loJơng ứng là HUY Tông.
DO d6 phojong trình (1.24) thỏa mãn điều kiện siên (1.26) có các nghiệm riêng dạng oY gin Oy Uun(x, 1) = Gr L với œ là hằng số tùy ý. Tojong tu nhọ đối voi phojong trish truyền sóng, fa xây dựng hình thức chuỗi co = = u(x, ? = Un(x, ? = Gre“ .30) na 2 nw n=l n=l và đi xác định các hệ số œ, sa0 ch0 chuỗi đã ch0 là nghiệm của sài l0án truyền nhiệt. [6 rang, ham uí(x, ?) xác định bởi chuỗi (1.30) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) d0 từng hạng thức của chuỗi †hỏa mãn điều kiện đó. bây giờ ta 4p dụng điều kiện san đầu lại ¿ = 0 ch0 hàm u(x, ?), †a đơjợc = | sin! x= 1.31) n=l L Đến đây dẫn đến câu hỏi loJơng tr mhoy bai 104m 1.1 tr0ng phần xây dựng công thức nghiệm ch0 phoJơng trình truyền sóng.
Tr0ng phan tiép †he0 ta sẽ xét tới trạng thái ổn định của pho|ơng trình truyền nhiệt, Hr đó dẫn đến phoJơng trình Laplace khi nhiệt độ của môi trolờng ôn định.4 PhoJơng trinh Laplace 1.1 Gidi thiéu vé phojong trimh Laplace Xét phojong trình truyền nhiệt tr0ng môi †rojờng đẳng hoJớng và không có nguồn nhiệt 8 , ôu 9 Ou Ou ø15 2 (ay2* ay2}- 17 Giả sử sau một thời gian nhiệt độ lr0ng môi lrojờng ôn định nghĩa là u(x, y, ?) không còn phụ thuộc vàO0 thời gian, la có ou —=0. oF Khi dé, phojong trình nhiệt ôn định có dạng Cu Ou sô ” ấy? ” Định nghĩa 1. 7z0ng không gian hai chiêu (x, y), phương tình dạng Cu Ou art aye 0. được goi la phqong teinh Laplace.
Ta thang ky hiéu vé edi aia phqong kinh la Au 2 "hàn. (133) ôx+2_ Oy? và l0án tur Au dqoc goi la t0dn he Laplace. hàm u(x, y) đqợc gọi là hàm điều hòa lại điểm (xo, yo) nếu lại điểm đó nó qó đạO hàm cấp hai liên tục và thỏa mãn phaong teinh Laplace.2 công thức siểu diễn nghiệm ch0 phoJơng lrình Laplace lrOng hình tron dom vi Xét dén phojong trith Laplace t0ng hình tròn đơn vị, sán kính z = 1, trOng trojong hop t6ng quát với hình tròn sán kính 2 at ky fa xét tojong ty. Xét hình trom đơn vị lr0ng mặt phang D={(&y)€1I?:a?+y?< †}, biên của hình tròn ? là đơiờng lròn đơn vị ¢ = {(x, y) 6T”: x?+y? = 1}.
Tr0ng hệ lọa độ cực (z, Ø) với D<ø < 1 và0 <a< 2z, lacó D=({(. bài l0án ầm nghiệm của phojơng trình Laplace trên Ð với điều kiện siên u =f trén cdogc goi 1a bai 104m Dirichlet oO L]IAu =0 ténD, (1.34) Ou(1,0) =f(0) lrênc 18 Tr0ng lọa độ cực (e, 9), 10am tr Laplace (1.33) có dạng Ou lôu 1 Ø°u Au= a2” sáp” tam Tw do phojong trinh Laplace (1.32) có dạng đu lôu 1 ôu? "ốc? ”z0ø POF Ta fim nghiém phojong trimh dojoi dạng lách siến u(s, Ø) = F (z)G(0), lr0ng đó F (z) là hàm chỉ phụ thuộc va0 2, G(9) là hàm chỉ phụ thuộc vàO 6, thay công thức nghiệm và0 phojơng trình lrên thu đojợc 2F"(e) +eF'(e) G (0) _— F@ GO Về trái của phoJơng trình trên chỉ phụ thuộc và0 z, về phải của pho\ơng trình chỉ phụ thuộc Ø nên 22Ƒ“(z) +aF (e) G (9) ‹ - = —= 4, ^ là hăng sô thực. Ta thấy nếu cho Ø một gia số 2z thì ham u(r, Ø) phải lấy giá trị của nó u(z, 9 + 2z) = u(e, 6). DO vay, tir u(z, 0) = F (2)G(0) la có G(0 + 2z) = G(0).
Ta phan biét ba trojomg hop sau cua 2 1. Liễu 2 < 0 phoJơng trình (1.36) có nghiệm tổng quát v_ v ¬ G(6)=Ae_ ~?“+Be_ ?A,b là hằng số lùyý. Tiếu 2 = 0 thì G(Ø) = Ao. Liêu 4 > 0, phojong trimh (1.36) có nghiệm lông quái G(6) = A c0s Tu + bsin ‘a Tho vay G(6) tuần h0àn với chu kì 2z nếu mm.37) Khi đó, la có G„(6) = A„c0S nØ + bạ SỈnn6.38) Thay giá tri 1 = n* va0 phojong trimh thi hai trOng hệ (1.39) Voin = 0, ung voi gid iri 2 = 0 thì (1.39) có dạng ef" +F'=0, va phojong trish may co nghiém téng quat Fo(2) = @ + Dolna, Do la cdc hang sé twyy.
Void =r’, trOng dé n f= 0 thi ta xét 2F' (2) +2F (2) -n’F = 0.39) Day 1a phojong trình vi phân cấp hai dạng Euler thừa nhận nghiệm riêngdạng F() = z', với ¿ là hằng số, thay nghiệm riêng này lên phoJơng lrình (1.39) ta đojợc Sulu — et? + quet! = ne" = 0 ou = tn, lức là f= tn. Tho vay phojong trimh (1.39) có hai nghiệm riêng 1 2” va 2-" nén nghiém tong quát nó có dạng Fa(2) = Gn2" + Dn2™", (1.40) VOi G, Dy la cdc hang sé Wwyy. Vay phojong trimh Laplace thira nhan các nghiệm riêng Oo (0) O(c + Do) Ing, nếu n=0, (1.41) Um \e, = ; LÍ(œ2" + D„e~")(A c0s nØ + b sỉnn6) nếu on f= 0 20 Tuy nhiên các hàm ø„(z, Ø) là các hàm luần h0àn lr0ng hình tròn, nên liên lục lại z =0. Vì thế tr0ng (1.41) hệ số Do của In 2 va G cua 27” phải triệt liêu.
Tóm lại, các nghiệm riêng có dạng Ll„o(z,Ø) = ao (1. VỚI ao = Ao@, an = AnG, bạ = BạG¡. Tojong ty nhọ tr0ng cách xây dựng pho\ơng trình truyền sóng và truyền nhiệt †a xây dựng một cách hình thức chuỗi co co = = u(2, 0) = unl(2, 0) = do+ 2"(an COS nO + „ SÌn n0).43) n=0 n=1 Và đi xác định các hệ số z„ và ø„ sa0 ch0 chuỗi (1.43) thực sự là nghiệm của sài 1040 (1. Ta lạm giả thiết rằng các hệ số a„, s„ đơ|ợc chọn sa0 ch0 chuỗi (1.43) hội tụ và tổng của nó là một hàm điều hòa liên lục tr0ng hình tron 0 < z 1.
Ta ìm nghiệm của bài l0án (1.