Toán Cao Cấp cho Các Nhà Kinh Tế: Phần 2 - Giải Tích Toán Học

Khám phá phần 2 của Toán cao cấp cho các nhà kinh tế với giải tích toán học của Lê Đình Thúy, cung cấp kiến thức sâu sắc và ứng dụng thực tiễn.

• Trường học: Đại Học Kinh Tế Quốc Dân
• Chuyên ngành: Toán Cao Cấp
• Đề tài: Giải Tích Toán Học
• Loại tài liệu: Giáo Trình
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• 1. CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
• 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
• 1.2. QUAN HỆ HÀM SỐ
• 1.3. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• 1.4. KHÁI NIỆM HÀM NGƯỢC
• 1.5. HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
• 1.6. HÀM SỐ CHẴN VÀ HÀM SỐ LẺ

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Giải tích toán học

Giải tích toán học là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, đóng vai trò thiết yếu trong việc phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế. Trong phần này, tài liệu sẽ trình bày về khái niệm cơ bản của giải tích và cách thức ứng dụng của nó trong lĩnh vực kinh tế học. Đặc biệt, tài liệu sẽ nhấn mạnh vai trò của hàm số và đạo hàm trong việc phân tích các biến số kinh tế, từ đó giúp các nhà kinh tế có cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các yếu tố trong mô hình kinh tế.

1.1 Khái niệm hàm số

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản trong giải tích. Nó được định nghĩa là một quy tắc xác định một giá trị đầu ra cho mỗi giá trị đầu vào. Trong kinh tế, các biến số như giá cả, lượng cung và cầu thường được mô tả bằng các hàm số. Việc hiểu rõ về hàm số giúp các nhà kinh tế phân tích và dự đoán sự biến đổi của các yếu tố kinh tế dưới tác động của các yếu tố khác.

1.2 Đạo hàm và ứng dụng trong kinh tế

Đạo hàm của một hàm số là một công cụ quan trọng trong giải tích. Nó cho phép các nhà kinh tế xác định tốc độ thay đổi của một biến số khi biến số khác thay đổi. Ví dụ, trong kinh tế học, đạo hàm có thể được sử dụng để phân tích cách mà sự thay đổi trong giá cả ảnh hưởng đến lượng cầu. Điều này rất cần thiết trong việc tối ưu hóa lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro trong các quyết định kinh doanh.

II. Phân tích hàm số nhiều biến

Trong phần này, tài liệu sẽ đi sâu vào việc phân tích hàm số với nhiều biến. Các mô hình kinh tế thường liên quan đến nhiều yếu tố tác động lẫn nhau, do đó việc sử dụng hàm số nhiều biến là rất cần thiết. Tài liệu sẽ trình bày các phương pháp như phân tích định lượng và tối ưu hóa, giúp các nhà kinh tế có thể đưa ra quyết định chính xác hơn trong các tình huống phức tạp.

2.1 Phân tích định lượng

Phân tích định lượng là một phương pháp sử dụng các mô hình toán học để mô tả và phân tích các mối quan hệ giữa các biến số. Trong kinh tế học, phương pháp này giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về cách mà các yếu tố như giá cả, lượng cung, và lượng cầu tương tác với nhau. Việc áp dụng giải tích vào phân tích định lượng không chỉ giúp xác định các xu hướng mà còn hỗ trợ trong việc dự đoán các biến động trong tương lai.

2.2 Tối ưu hóa trong kinh tế

Tối ưu hóa là một khía cạnh quan trọng trong giải tích toán học, cho phép các nhà kinh tế tìm kiếm giá trị tối ưu cho các biến số trong một mô hình. Điều này có thể bao gồm việc tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí. Tài liệu sẽ trình bày các phương pháp tối ưu hóa như phương trình vi phân và phương pháp Lagrange, giúp các nhà kinh tế áp dụng vào thực tiễn trong các quyết định kinh doanh.

III. Ứng dụng của giải tích trong phân tích kinh tế

Giải tích toán học không chỉ là lý thuyết mà còn có những ứng dụng thực tiễn trong phân tích kinh tế. Phần này sẽ tập trung vào các ứng dụng cụ thể của giải tích trong việc phân tích và dự đoán các xu hướng kinh tế. Tài liệu sẽ cung cấp các ví dụ minh họa về việc sử dụng phân tích dữ liệu và mô hình hóa để đưa ra những quyết định kinh doanh chính xác.

3.1 Phân tích dữ liệu kinh tế

Phân tích dữ liệu là một phần quan trọng trong việc hiểu rõ các xu hướng và mô hình trong kinh tế. Việc áp dụng giải tích vào phân tích dữ liệu giúp các nhà kinh tế có thể xử lý và diễn giải thông tin một cách hiệu quả. Từ đó, họ có thể đưa ra các dự đoán chính xác hơn về tương lai của các biến số kinh tế, như doanh thu, chi phí, và lợi nhuận.

3.2 Mô hình hóa kinh tế

Mô hình hóa là một công cụ mạnh mẽ trong kinh tế học giúp các nhà nghiên cứu xây dựng các mô hình toán học để mô tả các hiện tượng kinh tế. Việc sử dụng giải tích trong mô hình hóa cho phép các nhà kinh tế mô phỏng các tình huống khác nhau và phân tích các kết quả có thể xảy ra. Điều này rất hữu ích trong việc lập kế hoạch và đưa ra quyết định trong các chiến lược kinh doanh.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 2: Giải tích toán học do PGS.TS. Lê Đình Thúy biên soạn, được Nhà xuất bản Đại học Kinh tế Quốc dân phát hành (tái bản lần thứ ba, có chỉnh sửa và bổ sung vào năm 2012). Đây là tập thứ hai trong bộ sách hai tập dành cho học phần Toán cao cấp tại Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, kế tiếp cuốn Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính. Giáo trình được thiết kế dùng chung cho cả hai khối ngành đào tạo: Kinh tế học và Quản trị kinh doanh.

Mục tiêu học tập của giáo trình là trang bị hệ thống kiến thức giải tích toán học cần thiết, giúp người học tiếp cận và xây dựng các mô hình trong kinh tế học thực chứng. Giáo trình cung cấp công cụ toán học để giải quyết hai dạng phân tích cốt lõi trong kinh tế: phân tích tĩnh so sánh (sử dụng phép tính đạo hàm, vi phân, cực trị) và phân tích động thái của các biến số kinh tế theo thời gian (sử dụng tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân).

Cấu trúc giáo trình gồm 7 chương được tổ chức từ cơ bản đến nâng cao. Cách tiếp cận của tài liệu được tinh giản nhằm phục vụ đối tượng sinh viên khối kinh tế: phần lớn các định lý toán học được phát biểu chính xác nhưng không trình bày chứng minh phức tạp, thay vào đó tập trung giải thích bản chất toán học bằng ngôn ngữ mô tả và hướng dẫn quy trình áp dụng. Điểm đặc thù của cuốn sách là sự kết hợp đan xen trực tiếp giữa lý thuyết giải tích và các khái niệm, quy luật kinh tế thông qua hệ thống ký hiệu chuẩn hóa của kinh tế học.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung giáo trình bao quát 7 chương kiến thức giải tích toán học ứng dụng:

• Chương 1: Hàm số và giới hạn: Trình bày khái niệm biến số, biến số kinh tế ($p, Q_s, Q_d, U, TC, TR, Y, C, S, I$), quan hệ hàm số, miền xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số, hàm ngược và các đặc trưng của hàm số (đơn điệu, bị chặn, chẵn lẻ, tuần hoàn). Giới thiệu hệ thống hàm số sơ cấp, lý thuyết dãy số, giới hạn dãy số, tiêu chuẩn Cauchy, số $e$, logarit tự nhiên và ứng dụng cấp số nhân trong tính toán tài chính (giá trị tương lai, giá trị hiện tại, giá trị hiện tại ròng $NPV$).
• Chương 2: Đạo hàm và vi phân: Trình bày định nghĩa, ý nghĩa hình học và quy tắc tính đạo hàm, vi phân của hàm một biến. Ứng dụng đạo hàm để phân tích tĩnh so sánh, phân tích cận biên và xác định hướng thay đổi của các quyết định kinh tế khi điều kiện ngoại sinh biến động.
• Chương 3: Hàm số nhiều biến số: Giới thiệu khái niệm hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần. Trình bày khái niệm hàm ẩn và phương pháp tính đạo hàm của hàm ẩn phục vụ phân tích mối quan hệ phụ thuộc giữa nhiều biến số kinh tế.
• Chương 4: Cực trị của hàm nhiều biến: Trình bày các bài toán tối ưu hóa không điều kiện và cực trị có điều kiện, cung cấp công cụ phân tích sự lựa chọn tối ưu của các chủ thể kinh tế (tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa lợi ích).
• Chương 5: Tích phân: Giới thiệu các phương pháp tính toán tích phân cơ bản, đóng vai trò công cụ nền tảng để xác định tổng lượng từ các đại lượng cận biên và làm cơ sở cho phân tích động thái.
• Chương 6: Phương trình vi phân: Tập trung vào các khái niệm cơ bản, phương pháp giải phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và phương pháp phân tích định tính quỹ đạo thời gian liên tục.
• Chương 7: Phương trình sai phân: Trình bày phương trình sai phân cấp một, cấp hai và cách phân tích định tính quỹ đạo thời gian rời rạc của các biến số kinh tế thông qua đồ thị.

Progression logic của giáo trình đi từ mô tả quan hệ hàm số tĩnh (Chương 1) $\rightarrow$ phân tích vi biến và tối ưu hóa tĩnh so sánh (Chương 2, 3, 4) $\rightarrow$ phân tích quá trình tích lũy và động thái biến đổi theo thời gian (Chương 5, 6, 7).

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình xây dựng các khối kiến thức nền tảng gồm:

• Lý thuyết hàm số và giới hạn: Định nghĩa không gian biến số thực, miền biến thiên, các phép toán sơ cấp, lý thuyết hội tụ dãy số, tiêu chuẩn Cauchy ($|x_{n+p} - x_n| < \varepsilon$), khái niệm vô cùng bé (VCB) và các định lý giới hạn.
• Lý thuyết vi tích phân: Phép tính đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, quy tắc đạo hàm hàm hợp và hàm ẩn; giải tích tích phân cơ bản.
• Lý thuyết tối ưu hóa: Điều kiện cần và đủ cho điểm cực trị của hàm số một biến và nhiều biến.
• Mô hình toán học động: Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân và phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng kỹ thuật tính toán (Technical skills): Xác định miền xác định/miền giá trị, tính giới hạn khử dạng vô định ($\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty$), tính đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, tích phân và giải các phương trình vi phân, sai phân tuyến tính.
• Kỹ năng phân tích (Analytical skills): Chuyển đổi các giả thiết kinh tế thành mô hình hàm số (hàm cung, hàm cầu, hàm sản xuất ngắn hạn $Q=f(L)$, hàm tổng chi phí $TC=TC(Q)$, hàm tổng doanh thu $TR=TR(Q)$, hàm lợi nhuận $\pi=TR-TC$, hàm tiêu dùng $C=f(Y)$, hàm tiết kiệm $S=S(Y)$); phân tích trạng thái cân bằng thị trường ($Q_s = Q_d$).
• Kỹ năng thực hành (Practical competencies): Ứng dụng cấp số nhân và công thức chiết khấu dòng tiền để xác định giá trị hiện tại ($A = B(1+r)^{-t}$), giá trị tương lai ($B = A(1+r)^t$) và đánh giá hiệu quả dự án đầu tư dựa trên tiêu chuẩn giá trị hiện tại ròng ($NPV = B(1+r)^{-t} - C > 0$).

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Phương pháp tiếp cận sư phạm (Pedagogical approach)

Giáo trình áp dụng phương pháp tiếp cận công cụ:

• Ngôn ngữ toán học trừu tượng được diễn đạt dưới dạng mô tả trực quan, giúp người học nắm bắt bản chất khái niệm mà không bị phân tán bởi các chứng minh thuần túy.
• Lý thuyết toán học được gắn kết trực tiếp với các mô hình ứng dụng kinh tế ngay sau khi khái niệm được thiết lập.
• Giữ vững tính hệ thống và tính chặt chẽ của logic suy luận toán học trong khi vẫn tối ưu hóa độ phức tạp phù hợp với sinh viên ngành kinh tế.

Bài tập và bài toán thực hành (Practical exercises)

Hệ thống bài tập cuối mỗi chương được thiết kế đa dạng, gồm 2 nhóm chính:

• Nhóm bài tập rèn luyện kỹ năng giải tích: Tìm miền xác định, miền giá trị của hàm chứa căn, phân thức, logarit; chứng minh tính chẵn, lẻ, tuần hoàn; chứng minh các hệ thức lượng giác ngược ($\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, $\text{arctg } x + \text{arccotg } x = \frac{\pi}{2}$); tính giới hạn dãy số; thiết lập hàm hợp ($f[g(x)]$) và hàm ngược ($f^{-1}(x)$).
• Nhóm bài tập ứng dụng kinh tế - tài chính: Điền thuật ngữ kinh tế tương ứng với biểu thức toán học; giải bài toán cân bằng cung cầu với hàm số bậc hai ($Q_s = 4p - 1; Q_d = 159 - 2p^2$); tính sản lượng cận biên từ hàm sản xuất ($Q = 100\sqrt[3]{L}$); xác định chi phí cố định, chi phí khả biến và lập hàm lợi nhuận trong môi trường cạnh tranh và độc quyền từ hàm chi phí ($TC = Q^3 - 5Q^2 + 20Q + 9$); tính toán so sánh $NPV$ của các dự án đầu tư có chi phí và thời gian thu hồi vốn khác nhau với lãi suất $10%$.

Phương pháp đánh giá và hướng dẫn tự học

• Phương pháp đánh giá: Kiểm tra mức độ thông hiểu định nghĩa giải tích, khả năng tính toán chuẩn xác và năng lực thiết lập, giải quyết các bài toán kinh tế lượng hóa.
• Hướng dẫn tự học: Người học cần nắm vững các định nghĩa và công thức quy tắc tính toán trước khi áp dụng vào các bài toán kinh tế cụ thể; thực hiện tuần tự từ các bài tập đại số giải tích cơ bản đến các bài toán mô hình hóa thị trường và tài chính.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Hiệu chỉnh qua các lần tái bản: Bản tái bản lần thứ ba có chỉnh sửa, bổ sung hoàn thiện cấu trúc chương hồi, chuẩn hóa hệ thống định lý và bổ sung các ví dụ minh họa sát với chương trình đào tạo theo hệ thống tín chỉ.
• Tích hợp hệ thống thuật ngữ và ký hiệu kinh tế chuẩn quốc tế: Giáo trình sử dụng nhất quán các ký hiệu viết tắt từ tiếng Anh như $p$ (Price), $Q_s$ (Quantity Supplied), $Q_d$ (Quantity Demanded), $TC$ (Total Cost), $TR$ (Total Revenue), $\pi$ (Profit), $K$ (Capital), $L$ (Labor), $C$ (Consumption), $S$ (Saving), $I$ (Investment), giúp người học đồng bộ kiến thức khi học các môn chuyên ngành.
• Liên kết chặt chẽ với phân tích kinh tế thực tế: Các nội dung giải tích được ánh xạ trực tiếp sang các ứng dụng kinh tế như:
  • Hàm cung, hàm cầu và điểm cân bằng thị trường;
  • Hàm sản xuất ngắn hạn và năng suất cận biên của lao động;
  • Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo và thị trường độc quyền;
  • Phương pháp chiết khấu dòng tiền và tiêu chuẩn $NPV$ để thẩm định dự án đầu tư tài chính.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

• Sinh viên đại học: Giáo trình được biên soạn phục vụ trực tiếp cho sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai thuộc khối ngành Kinh tế học, Quản trị kinh doanh, Tài chính - Ngân hàng, Kế toán, Quản trị dịch vụ và các ngành kinh tế liên quan.
• Điều kiện tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững kiến thức toán học phổ thông (đại số sơ cấp, hàm số, giới hạn, lượng giác, hàm mũ, logarit) và nội dung Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính.
• Giảng viên: Sử dụng làm giáo trình giảng dạy chính cho học phần Giải tích / Toán cao cấp tại các trường đại học khối kinh tế; làm cơ sở xây dựng đề cương môn học, bài tập thực hành và đề thi học phần.
• Học viên cao học và tự học: Dùng làm tài liệu tham khảo để chuẩn bị kiến thức toán định lượng phục vụ các học phần Kinh tế vi mô nâng cao, Kinh tế vĩ mô nâng cao, Kinh tế lượng và Tài chính doanh nghiệp.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với đối tượng nào? Giáo trình được thiết kế chuẩn cho sinh viên đại học và người học khối ngành Kinh tế học, Quản trị kinh doanh cần trang bị công cụ toán giải tích phục vụ phân tích kinh tế.

2. Người học cần có kiến thức nền tảng nào trước khi học giáo trình này? Cần nắm vững kiến thức toán trung học phổ thông (hàm số, lượng giác, mũ, logarit, dãy số) và phần kiến thức Đại số tuyến tính (Phần 1 của bộ sách).

3. Giáo trình này có điểm gì khác biệt so với các giáo trình giải tích toán học thuần túy? Giáo trình không đi sâu vào việc chứng minh các định lý phức tạp mà tập trung vào việc mô tả khái niệm, hướng dẫn phương pháp tính toán và tích hợp trực tiếp các mô hình kinh tế (hàm cung - cầu, hàm sản xuất, hàm chi phí, hàm doanh thu, phân tích $NPV$).

4. Phương pháp tự học giáo trình này như thế nào để đạt hiệu quả? Người học nên đọc kỹ các định nghĩa mô tả, theo dõi các bước tính toán trong ví dụ mẫu, sau đó giải quyết toàn bộ hệ thống bài tập toán thuần túy và bài tập ứng dụng kinh tế ở cuối mỗi chương.

5. Giáo trình có các tài liệu nào đi kèm trong cùng bộ sách? Tài liệu liên quan trực tiếp là cuốn Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính của cùng tác giả Lê Đình Thúy do Nhà xuất bản Đại học Kinh tế Quốc dân phát hành.

---

Kết luận

Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 2: Giải tích toán học của PGS.TS. Lê Đình Thúy là tài liệu học thuật cơ sở, cung cấp hệ thống công cụ giải tích toán học được tinh chỉnh trực tiếp cho mục đích phân tích kinh tế và quản trị kinh doanh.

Lộ trình học tập đề xuất là tiếp cận tuần tự từ quan hệ hàm số và giới hạn (Chương 1), kỹ thuật vi phân và bài toán cực trị (Chương 2, 3, 4) đến các phương pháp phân tích động thái thời gian qua tích phân, vi phân và sai phân (Chương 5, 6, 7). Để hoàn thiện kiến thức toán cao cấp khối kinh tế, người học nên kết hợp nghiên cứu đồng bộ với Phần 1: Đại số tuyến tính.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TRl/dNG DAI HOC KINH TE Ql)| LB Dinh Thuy ■ 3® Giao iWm GHO GAG NHA KI E PHAN H: Giai tich toan hoc TRlTdNG DAI HOC KINH Ttz QU6c DAN ----------- ------------------------ LE DINH THUY TOAN CAO CAP CHO CAC NHA KINH TE PHAN 2: GIAI TICH TOAN HOC ■ (Tai ban Ian thft ba, co chinh sua bo sung) DAI HQC NGAN HANG TP. HO CHI MINH THU VIEN 0^943 NHA XUAt BAN DAI HQC KINH t£ Qlldc DAN NAM 2012 ___ *. Cudn sdch nay Id cudn sdch thit hai ciia bo sdch hai tap ‘TOAN CAO CAP CHO CAC NHA KINH TE’, ditqc bien soan dtfa theo chitcmg trinh mon Toan Cao cap cua fritting Dai hoc Kinh te qudc dan, dung chung cho cd hai khdi: Kinh te hoc vd Quan tri kinh doanh. Tiep theo cudn Toan Cao cap cho cdc nhd kinh te, Phan 1: Dai so tuyen tinh’ da ditqc xudt ban, cudn Toan Cao cap cho cdc nhd kinh te, Phan 2: Giai tich toan hoc’ bao ham nhitng noi dung sau day: Chitcmg 1 : Ham so vd gitii han.

Chitcmg 2 : Dao ham vd vi phdn. Chitcmg 3 : Ham sdnhieu bien so. Chitcmg 4 : Cite tri cua ham nhieu bien. Chitcmg 5 : Tich phdn.

Chitcmg 6 : Phitcmg trinh vi phdn. Chitcmg 7 : Phitcmg trinh sai phdn. Trong pham vi cua cdc chitcmg noi tren, chiing toi Ian hteft trinh bay cdc van de ccf ban cua Giai tich Toan hoc, ciing vtii mot so noi dung chon loc cua ly thuyet phitcmg trinh vi phdn vd phitcmg trinh sai phdn. Nhitng noi dung do ditac hta chon can cit vao nhu can sit IbKinh terQuoc dan 3! TOAN CAO CXPCHOCACNHA KINH " '1 dung cdc phicang phdp Todn hoc trong phan tich kinh te, vai muc " dich trang bi kien thi'cc todn hoc can thiei de sinh vien co the tiep can vai phicang phdp mo hinh trong Kinh tehoc thifc chieng.

Chuang 1 trinh bay nludig khdi niem caban ve ham sd'va giai han, trong do cluing toi nhdn manh viec sic dung quan he ham so de bien dien quan he giifa cdc bien so kinh te. Ly thuyet giai han dicqc trinh bay mot each co he thong dot vai day so. Doi vdi ham so ddi so lien tuc cluing toi chichu trong dinh nghia bang ngon ngic day so, tic do trinh bay tom tat (khong co chftng minh) cdc dinh ly ca ban ve giai han, khdi niem ham so lien tuc vd cdc tinh chat ca ban ciia ham lien tuc. Cdc chicang 2,3,4 bao quat cdc noi dung ca ban ve phep todn vi phan, pluic vu cho viec phan tich finh so sdnh trong kinh te.

Trong kinh tehoc, dqo ham vd vi phan dicqc sic dung dephan tich xu hicang thay ddi cua cdc quyei dinh khi dieu kien ngoai sinh thay ddi. Cdc bai todn ciCc tri giic vai tro quan trong trong viec phan tich su hca chon toi itu ciia cdc chu the kinh te, do do, ciing vai bai todn cite tri cua ham mot bien da dicqc trinh bay a chtcang 2, cluing toi ddnh rieng chicang 4 de trinh bay Ian heat cdc bai todn ciCc tri vd ieng dung trong phan tich kinh te. Ngoai ra, trong nhieu cud'n sach kinh te hoc ngicdi ta dung den dqo ham ciia ham an de phan tich cdc quan he, do do trong chicang 3 chiing toi co trinh bay mot each het sice cd dong khdi niem ham an vd phicang phdp tinh dqo ham ciia ham an. Cdc chicang 5, 6, 7 la ca sd todn hoc de tiep can vai viec phan tich dong thai ciia cdc bien so'kinh tetheo thdi gian.

Cdc noi dung dicqc hca chon chi dieng a mice do sic dung ciia sinh vien bqc cic nhdn kinh te, khong chii trong ly thuyet. Phep todn tich phan dicqc trinh —------------ ---------------- 4.,----- ---------------- ----------------- 4 * Trirdng Dai hpc Kinh te QUotdan bay gian hcqc, chu yea la cdc phicang phap tinh loan. Cdc chicang ve • phicang trinh vi phan va phicang trinh sal phan chi diCng a cdc khdi niem ca ban nhat va phicang phap giai mot so loqi phicang trinh cap mot, phicang trinh tuyen tinh cap hai va each phan tich dinh tinh quy dqo thdi gian bang do thi. Trong khuon khd cua cudn sdeh nay, cdc nqi dung toan hoc dicac trinh bay bang ngon ngic danh rieng cho sinh vien cita cdc tricdng thuqc khdi kinh te.

Dan xen vdi cdc nqi dung toan hoc, chiing toi diCa vdo mot so khdi niem ca ban cua Kinh te hoc, tren ccf sd do Ian heat giai thieu cdc mo hinh sit dung toan hoc trong phan tich kinh te. Gido trinh nay khong khai thde sdu cdc van de loan hoc ma chi de cap d mice do phuc vu cho mot cong cu nghien cicu kinh te. Cdc khdi niem toan hoc tricu ticang dicac didn dat bang ngdn ngit mo td, giup ban doc ndm dicac thicc chat cua van de. Da so cdc dinh ly dicac phat bieu khong co chicng minh ma chi hicang dan each sic dung.

Mac du vdy, tinh chat he thong va tinh chat che cua logic suy luan van dicac ton trong. Can noi them rang cdc nqi dung kinh teducfc diCa vdo Id nhdm muc dich minh hoa, giup sinh vien lam quen vdi viec sic dung cong cu toan hoc trong phan tich kinh te. Day la cudn sdeh toan hoc phuc vu cho cdc nhd kinh te chic khong phai la tai lieu pho bien kien thi'Cc kinh te. Vdi cudn gido trinh nay, chiing toi da cd gang tao dieng mot can true mon hoc de viec gidng day toan hoc co y ngliia thiet thicc han ddi vdi viec ddo tao can bq trong linh vice khoa hoc kinh te va quan tri kinh doanh.

Chac han van con nhfeng van de can phai dicac tiep tuc thdo luan ve edit true cua cudn sdeh va frirdng Dai hoc Kinh te Qud'c dan 5, r TOAN CAO gAp cho cAc nha kinh -----. cdc npi dung da dicqc de cap. Chung toi mong moi co ditete nhftng y kien dong gop tic phia cdc nhd toan hoc, cdc nhd kinh te, cdc ban dong nghiep va dong dao ban doc de cd diCcfc mot cuon gido trinh tot hern. Cudi ciing, tdc gid xin ditete bay to long biei cm chan thanh tcri Hoi dong Gidm dinh gido trinh ciia Triccmg Dai hoc kinh te qudc dan, cdc nhd gido ciia Bp mon Toan ccf ban va cdc ban dong nghiep trong va ngodi triccmg da co nhicng y kien dong gop het site bo ich, giup tdc gid hoan thanh viec bien scan cudn sdeh nay.

Xin tran trong cam cm NXB Dai hoc Kinh Te Quoc Dan da tao dieu kien dita cuon sachdenvaibandoc. LED1NHTHUV hoc Kinh Chuang 1: Ham sova gi& han * ‘ ‘ wr-ffrrr tt-; • ~ - ■tar•—'■------ ■—"----------- v.-» nr u?» — Chuomgl HAM SO VA GlOl HAN §1. CAC KHAI NIEM C0 BAN VE HAM SO MOT BIEN SO I. Khdi niem bien so Trong cac linh vuc khoa hoc, chung ta thuomg gap cac dai lugng do dirge bang so.

Khi nghidn cuu quy luat thay doi tri so cua cac dai lirgng do, ngirdri ta thuomg diing chu dd ky hidu sd do cua chung. Chang han, trong hinh hoc, chung ta thirdmg dung chu V dd ky hieu thd tfch. Vdi mdi khdi hinh hoc trong khdng gian, V la mdt sd thuc. Ngucd ta goi V la mdt bien sd hinh hoc.

Trong ngdn ngtr hinh thuc cua toan hoc, tir “bidn sd” dugc hieu theo nghia nhu sau: - Dinh nghia: Bien so U mdt ky hidu ma ta cd thd gan cho nd mdt sd bat ky thudc mdt tap sd X * 0 cho tnrdc (X cR). Tap hgp X dugc goi la mien bien thien (MBT) va mdi sd thuc XqgX dugc goi la mdt gid tri cua bidn sd do. TO bien so nhidu khi dugc goi tat la bien. Cac bidn sd thuomg dugc ky hidu bang cdc chu edi: x, y, z,.

Thdng thuomg ngubi ta chi xet cac bidn sd md MBT cua nd cd ft nha't hai sd. Mdt bidn sd chi nhan mdt gid tri duy nhat dugc goi Id hang so. Trong giai tfch toan hoc ta thuomg xet cac bidn sd thay ddi gia tri mdt each lidn tuc, vdi MBT Id mdt khoang sd. Cdc khoang sd dugc k^ hidu nhu sau: !.

TrirdngDai hoc Kinhte Quocdan 75 __________ T( )AN CAO CAP CHO CAC NHA KINH T& Khoang dong (doan): [a;b] = {x: a<x<b). Cac khoang nua ma: [a; b) = {x: a < x < b |; (a; b] = {x: a<x <b). Cac khoang vd han: (-co; b] = {x: x<b}; (-oo;b)={x: x<b}; [a; + oo) = {x: x>a}; (a; + oo) = {x: x>a}; (- 00 ; 4- oo) = R. Cac bien so kinh te Trong Imh vuc kinh td ngucfi ta thudmg quan tam d6h cac dai luqng nhu: gia ca, luqng cung, luqng c£u, doanh thu, chi phi, thu nhap quoc dan, ty 16 lam phat, ty 16 that nghi6p,.

Khi phan rich xu hudng thay doi tri so cua cac dai luqng do theo khdng gian, then gian va theo cac dieu ki6n khac nhau, cac nha kinh td xem chung nhu cac bien sd. Cac bien sd d6 duqc goi la bien sd'kinh te. Trong cac tai li6u kinh td, ngudri ta thubng ky hi6u cac bidn sd kinh td bang cac chu cai d£u cac th tieng Anh li6n quan ddn y nglua cua cac bieh sd do. Sau day la m6t sd ky hi6u thucfng gap: p : Gia hang hoa (price); Qs : Luqng cung (Quantity Supplied); Qd : Luqng c&i (Quantity Demanded); U : Lqi ich (Utility); TC : Tong chi phi (Total Cost); TR : Tdng doanh thu (Total Revenue); Y : Thu nhap qudc dan (National Income); C : Ti6u dung (Consumption); S : Tiet ki6m (Saving); I : D£u tu (Investment).

8 TrUdriij Dai hgc Kinh teQy&cjan 1 I ! ••. >-:-q : Ham so va gidi han <• II. QUAN HE HAM SO a. Khdi niem ham so Khai niem ham sd dirge sir dung rong rai trong nhidu linh vuc de bidu dien quan he chi phoi Iln nhau giua cac bien sd.

Dinh nghia khai niem ham sd bang ngdn ngtr hmh thiic cua toan hoc co ndi dung nhu sau: Dinh nghia: Mdt ham sd'f xac dinh tren mdt tap hop Xc R la mdt quy tac dat tirong ling mdi sd thuc xeX vdi mdt va chi mdt sd thuc y. Tap hop X dugc goi la mien xac dinh (MXD) cua ham sd f. Sd y tuong ung voi sd x, theo quy tac f, dugc goi la gid tri ciia ham so f tai diem x. Gia tri cua ham sd f tai diem x dugc ky hieu la f(x).

Khi ndi deh cac ham sd khac nhau, ta si dung cac ky hieu khac nhau: f, g, cp,. Dinh nghia: Mien gid tri (MGT) cua mdt ham sd f la tap hgp tdt ca cac sd thuc la gia tri cua ham sd do tai ft nhdt mot diem thudc mi£n xac dinh cua no. Mien gia tri cua ham sd f xac dinh tren mien X duoc ky hieu la f(X): f(X)={yeR: 3xgX sao cho f(x) = y).