Toán Cao Cấp cho Các Nhà Kinh Tế: Phần 2 - Giải Tích Toán Học

Khám phá phần 2 của Toán cao cấp cho các nhà kinh tế với giải tích toán học của Lê Đình Thúy, cung cấp kiến thức sâu sắc và ứng dụng thực tiễn.

• Trường học: Đại Học Kinh Tế Quốc Dân
• Chuyên ngành: Toán Cao Cấp
• Đề tài: Giải Tích Toán Học
• Loại tài liệu: Giáo Trình
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• 1. CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
• 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
• 1.2. QUAN HỆ HÀM SỐ
• 1.3. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• 1.4. KHÁI NIỆM HÀM NGƯỢC
• 1.5. HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
• 1.6. HÀM SỐ CHẴN VÀ HÀM SỐ LẺ

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Giải tích toán học

Giải tích toán học là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, đóng vai trò thiết yếu trong việc phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế. Trong phần này, tài liệu sẽ trình bày về khái niệm cơ bản của giải tích và cách thức ứng dụng của nó trong lĩnh vực kinh tế học. Đặc biệt, tài liệu sẽ nhấn mạnh vai trò của hàm số và đạo hàm trong việc phân tích các biến số kinh tế, từ đó giúp các nhà kinh tế có cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các yếu tố trong mô hình kinh tế.

1.1 Khái niệm hàm số

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản trong giải tích. Nó được định nghĩa là một quy tắc xác định một giá trị đầu ra cho mỗi giá trị đầu vào. Trong kinh tế, các biến số như giá cả, lượng cung và cầu thường được mô tả bằng các hàm số. Việc hiểu rõ về hàm số giúp các nhà kinh tế phân tích và dự đoán sự biến đổi của các yếu tố kinh tế dưới tác động của các yếu tố khác.

1.2 Đạo hàm và ứng dụng trong kinh tế

Đạo hàm của một hàm số là một công cụ quan trọng trong giải tích. Nó cho phép các nhà kinh tế xác định tốc độ thay đổi của một biến số khi biến số khác thay đổi. Ví dụ, trong kinh tế học, đạo hàm có thể được sử dụng để phân tích cách mà sự thay đổi trong giá cả ảnh hưởng đến lượng cầu. Điều này rất cần thiết trong việc tối ưu hóa lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro trong các quyết định kinh doanh.

II. Phân tích hàm số nhiều biến

Trong phần này, tài liệu sẽ đi sâu vào việc phân tích hàm số với nhiều biến. Các mô hình kinh tế thường liên quan đến nhiều yếu tố tác động lẫn nhau, do đó việc sử dụng hàm số nhiều biến là rất cần thiết. Tài liệu sẽ trình bày các phương pháp như phân tích định lượng và tối ưu hóa, giúp các nhà kinh tế có thể đưa ra quyết định chính xác hơn trong các tình huống phức tạp.

2.1 Phân tích định lượng

Phân tích định lượng là một phương pháp sử dụng các mô hình toán học để mô tả và phân tích các mối quan hệ giữa các biến số. Trong kinh tế học, phương pháp này giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về cách mà các yếu tố như giá cả, lượng cung, và lượng cầu tương tác với nhau. Việc áp dụng giải tích vào phân tích định lượng không chỉ giúp xác định các xu hướng mà còn hỗ trợ trong việc dự đoán các biến động trong tương lai.

2.2 Tối ưu hóa trong kinh tế

Tối ưu hóa là một khía cạnh quan trọng trong giải tích toán học, cho phép các nhà kinh tế tìm kiếm giá trị tối ưu cho các biến số trong một mô hình. Điều này có thể bao gồm việc tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí. Tài liệu sẽ trình bày các phương pháp tối ưu hóa như phương trình vi phân và phương pháp Lagrange, giúp các nhà kinh tế áp dụng vào thực tiễn trong các quyết định kinh doanh.

III. Ứng dụng của giải tích trong phân tích kinh tế

Giải tích toán học không chỉ là lý thuyết mà còn có những ứng dụng thực tiễn trong phân tích kinh tế. Phần này sẽ tập trung vào các ứng dụng cụ thể của giải tích trong việc phân tích và dự đoán các xu hướng kinh tế. Tài liệu sẽ cung cấp các ví dụ minh họa về việc sử dụng phân tích dữ liệu và mô hình hóa để đưa ra những quyết định kinh doanh chính xác.

3.1 Phân tích dữ liệu kinh tế

Phân tích dữ liệu là một phần quan trọng trong việc hiểu rõ các xu hướng và mô hình trong kinh tế. Việc áp dụng giải tích vào phân tích dữ liệu giúp các nhà kinh tế có thể xử lý và diễn giải thông tin một cách hiệu quả. Từ đó, họ có thể đưa ra các dự đoán chính xác hơn về tương lai của các biến số kinh tế, như doanh thu, chi phí, và lợi nhuận.

3.2 Mô hình hóa kinh tế

Mô hình hóa là một công cụ mạnh mẽ trong kinh tế học giúp các nhà nghiên cứu xây dựng các mô hình toán học để mô tả các hiện tượng kinh tế. Việc sử dụng giải tích trong mô hình hóa cho phép các nhà kinh tế mô phỏng các tình huống khác nhau và phân tích các kết quả có thể xảy ra. Điều này rất hữu ích trong việc lập kế hoạch và đưa ra quyết định trong các chiến lược kinh doanh.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TRl/dNG DAI HOC KINH TE Ql)| LB Dinh Thuy ■ 3® Giao iWm GHO GAG NHA KI E PHAN H: Giai tich toan hoc TRlTdNG DAI HOC KINH Ttz QU6c DAN ----------- ------------------------ LE DINH THUY TOAN CAO CAP CHO CAC NHA KINH TE PHAN 2: GIAI TICH TOAN HOC ■ (Tai ban Ian thft ba, co chinh sua bo sung) DAI HQC NGAN HANG TP. HO CHI MINH THU VIEN 0^943 NHA XUAt BAN DAI HQC KINH t£ Qlldc DAN NAM 2012 ___ *. Cudn sdch nay Id cudn sdch thit hai ciia bo sdch hai tap ‘TOAN CAO CAP CHO CAC NHA KINH TE’, ditqc bien soan dtfa theo chitcmg trinh mon Toan Cao cap cua fritting Dai hoc Kinh te qudc dan, dung chung cho cd hai khdi: Kinh te hoc vd Quan tri kinh doanh. Tiep theo cudn Toan Cao cap cho cdc nhd kinh te, Phan 1: Dai so tuyen tinh’ da ditqc xudt ban, cudn Toan Cao cap cho cdc nhd kinh te, Phan 2: Giai tich toan hoc’ bao ham nhitng noi dung sau day: Chitcmg 1 : Ham so vd gitii han.

Chitcmg 2 : Dao ham vd vi phdn. Chitcmg 3 : Ham sdnhieu bien so. Chitcmg 4 : Cite tri cua ham nhieu bien. Chitcmg 5 : Tich phdn.

Chitcmg 6 : Phitcmg trinh vi phdn. Chitcmg 7 : Phitcmg trinh sai phdn. Trong pham vi cua cdc chitcmg noi tren, chiing toi Ian hteft trinh bay cdc van de ccf ban cua Giai tich Toan hoc, ciing vtii mot so noi dung chon loc cua ly thuyet phitcmg trinh vi phdn vd phitcmg trinh sai phdn. Nhitng noi dung do ditac hta chon can cit vao nhu can sit IbKinh terQuoc dan 3! TOAN CAO CXPCHOCACNHA KINH " '1 dung cdc phicang phdp Todn hoc trong phan tich kinh te, vai muc " dich trang bi kien thi'cc todn hoc can thiei de sinh vien co the tiep can vai phicang phdp mo hinh trong Kinh tehoc thifc chieng.

Chuang 1 trinh bay nludig khdi niem caban ve ham sd'va giai han, trong do cluing toi nhdn manh viec sic dung quan he ham so de bien dien quan he giifa cdc bien so kinh te. Ly thuyet giai han dicqc trinh bay mot each co he thong dot vai day so. Doi vdi ham so ddi so lien tuc cluing toi chichu trong dinh nghia bang ngon ngic day so, tic do trinh bay tom tat (khong co chftng minh) cdc dinh ly ca ban ve giai han, khdi niem ham so lien tuc vd cdc tinh chat ca ban ciia ham lien tuc. Cdc chicang 2,3,4 bao quat cdc noi dung ca ban ve phep todn vi phan, pluic vu cho viec phan tich finh so sdnh trong kinh te.

Trong kinh tehoc, dqo ham vd vi phan dicqc sic dung dephan tich xu hicang thay ddi cua cdc quyei dinh khi dieu kien ngoai sinh thay ddi. Cdc bai todn ciCc tri giic vai tro quan trong trong viec phan tich su hca chon toi itu ciia cdc chu the kinh te, do do, ciing vai bai todn cite tri cua ham mot bien da dicqc trinh bay a chtcang 2, cluing toi ddnh rieng chicang 4 de trinh bay Ian heat cdc bai todn ciCc tri vd ieng dung trong phan tich kinh te. Ngoai ra, trong nhieu cud'n sach kinh te hoc ngicdi ta dung den dqo ham ciia ham an de phan tich cdc quan he, do do trong chicang 3 chiing toi co trinh bay mot each het sice cd dong khdi niem ham an vd phicang phdp tinh dqo ham ciia ham an. Cdc chicang 5, 6, 7 la ca sd todn hoc de tiep can vai viec phan tich dong thai ciia cdc bien so'kinh tetheo thdi gian.

Cdc noi dung dicqc hca chon chi dieng a mice do sic dung ciia sinh vien bqc cic nhdn kinh te, khong chii trong ly thuyet. Phep todn tich phan dicqc trinh —------------ ---------------- 4.,----- ---------------- ----------------- 4 * Trirdng Dai hpc Kinh te QUotdan bay gian hcqc, chu yea la cdc phicang phap tinh loan. Cdc chicang ve • phicang trinh vi phan va phicang trinh sal phan chi diCng a cdc khdi niem ca ban nhat va phicang phap giai mot so loqi phicang trinh cap mot, phicang trinh tuyen tinh cap hai va each phan tich dinh tinh quy dqo thdi gian bang do thi. Trong khuon khd cua cudn sdeh nay, cdc nqi dung toan hoc dicac trinh bay bang ngon ngic danh rieng cho sinh vien cita cdc tricdng thuqc khdi kinh te.

Dan xen vdi cdc nqi dung toan hoc, chiing toi diCa vdo mot so khdi niem ca ban cua Kinh te hoc, tren ccf sd do Ian heat giai thieu cdc mo hinh sit dung toan hoc trong phan tich kinh te. Gido trinh nay khong khai thde sdu cdc van de loan hoc ma chi de cap d mice do phuc vu cho mot cong cu nghien cicu kinh te. Cdc khdi niem toan hoc tricu ticang dicac didn dat bang ngdn ngit mo td, giup ban doc ndm dicac thicc chat cua van de. Da so cdc dinh ly dicac phat bieu khong co chicng minh ma chi hicang dan each sic dung.

Mac du vdy, tinh chat he thong va tinh chat che cua logic suy luan van dicac ton trong. Can noi them rang cdc nqi dung kinh teducfc diCa vdo Id nhdm muc dich minh hoa, giup sinh vien lam quen vdi viec sic dung cong cu toan hoc trong phan tich kinh te. Day la cudn sdeh toan hoc phuc vu cho cdc nhd kinh te chic khong phai la tai lieu pho bien kien thi'Cc kinh te. Vdi cudn gido trinh nay, chiing toi da cd gang tao dieng mot can true mon hoc de viec gidng day toan hoc co y ngliia thiet thicc han ddi vdi viec ddo tao can bq trong linh vice khoa hoc kinh te va quan tri kinh doanh.

Chac han van con nhfeng van de can phai dicac tiep tuc thdo luan ve edit true cua cudn sdeh va frirdng Dai hoc Kinh te Qud'c dan 5, r TOAN CAO gAp cho cAc nha kinh -----. cdc npi dung da dicqc de cap. Chung toi mong moi co ditete nhftng y kien dong gop tic phia cdc nhd toan hoc, cdc nhd kinh te, cdc ban dong nghiep va dong dao ban doc de cd diCcfc mot cuon gido trinh tot hern. Cudi ciing, tdc gid xin ditete bay to long biei cm chan thanh tcri Hoi dong Gidm dinh gido trinh ciia Triccmg Dai hoc kinh te qudc dan, cdc nhd gido ciia Bp mon Toan ccf ban va cdc ban dong nghiep trong va ngodi triccmg da co nhicng y kien dong gop het site bo ich, giup tdc gid hoan thanh viec bien scan cudn sdeh nay.

Xin tran trong cam cm NXB Dai hoc Kinh Te Quoc Dan da tao dieu kien dita cuon sachdenvaibandoc. LED1NHTHUV hoc Kinh Chuang 1: Ham sova gi& han * ‘ ‘ wr-ffrrr tt-; • ~ - ■tar•—'■------ ■—"----------- v.-» nr u?» — Chuomgl HAM SO VA GlOl HAN §1. CAC KHAI NIEM C0 BAN VE HAM SO MOT BIEN SO I. Khdi niem bien so Trong cac linh vuc khoa hoc, chung ta thuomg gap cac dai lugng do dirge bang so.

Khi nghidn cuu quy luat thay doi tri so cua cac dai lirgng do, ngirdri ta thuomg diing chu dd ky hidu sd do cua chung. Chang han, trong hinh hoc, chung ta thirdmg dung chu V dd ky hieu thd tfch. Vdi mdi khdi hinh hoc trong khdng gian, V la mdt sd thuc. Ngucd ta goi V la mdt bien sd hinh hoc.

Trong ngdn ngtr hinh thuc cua toan hoc, tir “bidn sd” dugc hieu theo nghia nhu sau: - Dinh nghia: Bien so U mdt ky hidu ma ta cd thd gan cho nd mdt sd bat ky thudc mdt tap sd X * 0 cho tnrdc (X cR). Tap hgp X dugc goi la mien bien thien (MBT) va mdi sd thuc XqgX dugc goi la mdt gid tri cua bidn sd do. TO bien so nhidu khi dugc goi tat la bien. Cac bidn sd thuomg dugc ky hidu bang cdc chu edi: x, y, z,.

Thdng thuomg ngubi ta chi xet cac bidn sd md MBT cua nd cd ft nha't hai sd. Mdt bidn sd chi nhan mdt gid tri duy nhat dugc goi Id hang so. Trong giai tfch toan hoc ta thuomg xet cac bidn sd thay ddi gia tri mdt each lidn tuc, vdi MBT Id mdt khoang sd. Cdc khoang sd dugc k^ hidu nhu sau: !.

TrirdngDai hoc Kinhte Quocdan 75 __________ T( )AN CAO CAP CHO CAC NHA KINH T& Khoang dong (doan): [a;b] = {x: a<x<b). Cac khoang nua ma: [a; b) = {x: a < x < b |; (a; b] = {x: a<x <b). Cac khoang vd han: (-co; b] = {x: x<b}; (-oo;b)={x: x<b}; [a; + oo) = {x: x>a}; (a; + oo) = {x: x>a}; (- 00 ; 4- oo) = R. Cac bien so kinh te Trong Imh vuc kinh td ngucfi ta thudmg quan tam d6h cac dai luqng nhu: gia ca, luqng cung, luqng c£u, doanh thu, chi phi, thu nhap quoc dan, ty 16 lam phat, ty 16 that nghi6p,.

Khi phan rich xu hudng thay doi tri so cua cac dai luqng do theo khdng gian, then gian va theo cac dieu ki6n khac nhau, cac nha kinh td xem chung nhu cac bien sd. Cac bien sd d6 duqc goi la bien sd'kinh te. Trong cac tai li6u kinh td, ngudri ta thubng ky hi6u cac bidn sd kinh td bang cac chu cai d£u cac th tieng Anh li6n quan ddn y nglua cua cac bieh sd do. Sau day la m6t sd ky hi6u thucfng gap: p : Gia hang hoa (price); Qs : Luqng cung (Quantity Supplied); Qd : Luqng c&i (Quantity Demanded); U : Lqi ich (Utility); TC : Tong chi phi (Total Cost); TR : Tdng doanh thu (Total Revenue); Y : Thu nhap qudc dan (National Income); C : Ti6u dung (Consumption); S : Tiet ki6m (Saving); I : D£u tu (Investment).

8 TrUdriij Dai hgc Kinh teQy&cjan 1 I ! ••. >-:-q : Ham so va gidi han <• II. QUAN HE HAM SO a. Khdi niem ham so Khai niem ham sd dirge sir dung rong rai trong nhidu linh vuc de bidu dien quan he chi phoi Iln nhau giua cac bien sd.

Dinh nghia khai niem ham sd bang ngdn ngtr hmh thiic cua toan hoc co ndi dung nhu sau: Dinh nghia: Mdt ham sd'f xac dinh tren mdt tap hop Xc R la mdt quy tac dat tirong ling mdi sd thuc xeX vdi mdt va chi mdt sd thuc y. Tap hop X dugc goi la mien xac dinh (MXD) cua ham sd f. Sd y tuong ung voi sd x, theo quy tac f, dugc goi la gid tri ciia ham so f tai diem x. Gia tri cua ham sd f tai diem x dugc ky hieu la f(x).

Khi ndi deh cac ham sd khac nhau, ta si dung cac ky hieu khac nhau: f, g, cp,. Dinh nghia: Mien gid tri (MGT) cua mdt ham sd f la tap hgp tdt ca cac sd thuc la gia tri cua ham sd do tai ft nhdt mot diem thudc mi£n xac dinh cua no. Mien gia tri cua ham sd f xac dinh tren mien X duoc ky hieu la f(X): f(X)={yeR: 3xgX sao cho f(x) = y).