Chương 1 "Tổng quan về lấy mẫu nén" trình bày tổng quan về lấy mẫu nén và cơ sở lý thuyết trong lĩnh vực lấy mẫu nén. Nội dung chương cũng khảo 5 sát đánh giá các nghiên cứu về lấy mẫu nén bao gồm việc thiết kế ma trận lấy mẫu và thuật toán khôi phục. Từ các điểm còn tồn tại của các nghiên cứu đó để đề xuất các hướng nghiên cứu của luận án. Chương 2 "Thiết kế ma trận lấy mẫu nén xác định" trình bày về các phương pháp thiết kế, mô hình toán học của ma trận lấy mẫu nén xác định.
Đóng góp của luận án trong chương này là đề xuất một ma trận lấy mẫu nén xác định được thiết kế từ các chuỗi nhị phân phi tuyến giả ngẫu nhiên tốc độ cao. Kết quả nghiên cứu của chương 2 được trình bày trong [C1]. Chương 3 "Đề xuất thuật toán khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén DRMP". Nội dung trình bày một thuật toán khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén dựa trên thuật toán gốc MP.
Đồng thời cũng chứng minh thuật toán cải tiến giảm lỗi xảy ra ở mỗi bước trong quá trình khôi phục. Kết quả nghiên cứu được trình bày trong [J1]. Chương 4 "Đề xuất mô hình lấy mẫu nén" trình bày quá trình mô phỏng, đánh giá hiệu năng của ma trận và thuật toán khôi phục được đề xuất trên 02 ứng dụng cụ thể với đầu vào là các tín hiệu phổ biến bao gồm tín hiệu vô tuyến và tín hiệu ảnh đa cấp xám. Kết quả nghiên cứu của chương đã được công bố trong [J2], [J3], [J4].
TỔNG QUAN VỀ LẤY MẪU NÉN Nội dung chương giới thiệu mô hình lấy mẫu nén và cơ sở toán học cơ bản của nó. Ngoài ra, các tiêu chí và các tham số đánh giá hiệu năng của mô hình lấy mẫu nén cũng được trình bày trong chương. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến lĩnh vực lấy mẫu nén cũng được khảo sát theo các hướng khác nhau. Trên cơ sở các hướng nghiên cứu đó, các hướng nghiên cứu của luận án cũng được đề xuất.
Mô hình lấy mẫu nén Lấy mẫu nén là một phương pháp thu nhận và xử lý tín hiệu tiên tiến được đề xuất bởi Candès và Donoho [15], [31]. Đối với phương pháp lấy mẫu truyền thống, tín hiệu được lấy mẫu bằng với tốc độ Nyquist, trong khi đó với phương pháp lấy mẫu nén, tín hiệu được lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist. Tín hiệu Lấy mẫu ADC Lưu mẫu Nén Giải nén Kết quả Tín hiệu Lấy mẫu nén Khôi phục Kết quả Hình 1.1: Lấy mẫu truyền thống và lấy mẫu nén Điều này có thể thực hiện được bởi tín hiệu được chuyển đổi sang một miền mà trong đó có biểu diễn thưa và được thực hiện lấy mẫu nén thông qua ma trận lấy mẫu. Sau đó, tín hiệu được tái tạo lại từ các mẫu nén bằng cách sử dụng một kỹ thuật tối ưu hóa.1 là sơ đồ khối minh họa sự khác biệt giữa phương pháp thu tín hiệu truyền thống và phương pháp CS.
Đối 7 với phương pháp lấy mẫu truyền thống, tín hiệu được lấy mẫu với tốc độ lấy mẫu Nyquist, sau đó, các mẫu được lưu lại và quá trình nén tiếp theo sau sẽ loại bỏ đi phần lớn các tín hiệu dư thừa. Trong khi đó, đối với phương pháp CS tín hiệu được lấy mẫu ở dạng đã được nén. Do đó, có thể giảm bớt nhiều khâu cả phần cứng và phần mềm trong quá trình lấy mẫu.2: Mô hình lấy mẫu nén [57] Mô hình tổng quan về CS được thể hiện trong hình 1. Một tín hiệu rời rạc giả định xN ×1 ∈ RN được biến đổi thành yM ×1 ∈ RM bởi ma trận ΦM ×N.
Quá trình lấy mẫu nén có thể được biểu diễn như sau: y = Φx, (1.1) trong đó M < N , và Φ được gọi là ma trận lấy mẫu. Từ biểu thức (1.1) tín hiệu xN ×1 được nén thành tín hiệu yM ×1 và không thể tìm lại được x từ biểu thức (1.1) bởi số ẩn nhiều hơn số phương trình. Điều kiện tiên quyết để có thể tìm được x là x phải thưa hoặc x thưa trên một số cơ sở trực giao, nghĩa là, x = Ψs, (1.2) trong đó Ψ là một ma trận trực giao có kích thước N × N như được biểu diễn trong hình 1.3 mà thỏa mãn điều kiện ΨΨT = I và ΨT Ψ = I. Ở đây, Ψ là ma trận thưa và s là vector thưa.
Khi đó K là số giá trị mà ở đó s 6= 0, N − K giá trị còn lại s = 0 và K N , gọi vector s là vector có độ thưa K (K − sparse).3: Ma trận biểu diễn thưa [57] ma trận thưa phổ biến được biết đến như ma trận biến đổi Fourier rời rạc (DFT) [12], biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) [38], và ma trận biến đổi Cosine rời rạc (DCT) [54]. Từ biểu thức (1.3) ở đây, ΦΨ là ma trận lấy mẫu nén. Để khôi phục x từ y , ma trận lấy mẫu ΦΨ phải thỏa mãn tính chất giới hạn đẳng trị RIP [11], [87] như được mô tả trong hình 1. Hằng số RIP δK bậc K đối với ma trận Θ là (1 − δK )ksk2 ≤ kΘsk2 ≤ (1 + δK )ksk2 , (1.
Quá trình khôi phục lại tín hiệu thưa được lấy mẫu nén Hình 1.4: Tính chất giới hạn đẳng trị RIP [19] 9 có thể biểu diễn như sau minkŝk`1 trong đó y = Θŝ, (1.5) ŝ việc khôi phục lại tín hiệu được lấy mẫu nén là một bài toán tối ưu hóa lồi. Tín hiệu thưa Việc chuyển đổi tín hiệu sang một hệ cơ sở mới phù hợp có thể giúp thu được một biểu diễn ngắn gọn hơn so với tín hiệu gốc. Trong một số ứng dụng việc lưu trữ và truyền dữ liệu là rất tốn kém. Do đó, việc lưu trữ và truyền đi các hệ số trong hệ cơ sở mà có biểu diễn ngắn gọn của tín hiệu sẽ thuận lợi hơn nhiều so với việc xử lý với tín hiệu gốc.
Trong trường hợp số lượng các hệ số khác 0 của tín hiệu là nhỏ, khi đó nó được gọi là một tín hiệu có biểu diễn thưa. Đối với tín hiệu thưa, trong đa số các trường hợp chỉ cần lưu trữ hoặc truyền đi các hệ số khác 0, phần còn lại của tín hiệu có thể được giả định bằng 0 [87], [88]. Về mặt toán học, có thể gọi tín hiệu x là K − sparse (x có độ thưa K ) khi nó có nhiều nhất K phần tử khác 0, tức là kxk0 ≤ K .6) là biểu thị tập hợp tất cả các tín hiệu có K − sparse. Tín hiệu trong thực tế thông thường không có biểu diễn thưa trong hệ cơ sở của nó nhưng có thể biểu diễn thông qua các vector thưa của một hệ cơ sở Ψ.
Trong trường hợp này, x vẫn được xem là K − sparse, và có thể biểu diễn x dưới dạng x = Ψs trong đó ksk0 ≤ K [31].5a biểu diễn một tín hiệu được tổng hợp từ 2 tín hiệu hình sin có tần số khác nhau trong miền thời gian. Tín hiệu này trong miền thời gian có nhiều điểm khác 0, hình 1.5b biểu diễn biến đổi Furier của nó và chỉ yêu cầu 2 vector cơ sở khác 0 để biểu diễn nó. Do đó, có thể coi tín hiệu ban đầu là thưa trong miền tần số.5: Biểu diễn tín hiệu trong miền (a) thời gian (b) tần số Tính chất thưa của tín hiệu cũng được biểu hiện đối với các tín hiệu 2-D. Ví dụ, một bức ảnh nhị phân chụp bầu trời vào ban đêm là thưa trong miền điểm ảnh vì phần lớn các điểm ảnh có màu đen và có giá trị bằng không.
Tương tự như vậy, các bức ảnh thông thường cũng có các vùng ảnh với số điểm ảnh tương đồng nhau đặc biệt là đối với các bức ảnh y tế [50]. Tín hiệu ảnh thể hiện tính chất thưa khi được biểu diễn trong miền wavelet [66].6 minh họa về một bức ảnh được biến đổi wavelet, hầu hết các hệ số đều rất nhỏ. Do đó, có thể có đặt các hệ số có giá trị nhỏ bằng 0 và thu được một tín hiệu thưa có K − sparse.6: (a) Ảnh gốc (b) Ảnh biến đổi wavelet 11 Các tín hiệu thưa hoặc thưa trên một hệ cơ sở trực giao là phổ biến trong tự nhiên. Do đó, phương pháp CS rất có tiềm năng khi được ứng dụng với các tín hiệu thưa trong thực tế [34], [50], [88].
Ma trận lấy mẫu nén Lấy mẫu nén bao gồm ba quá trình chính, biểu diễn tín hiệu thưa, lấy mẫu tín hiệu dựa trên ma trận lấy mẫu, khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén [31]. Ma trận lấy mẫu đóng vai trò quan trọng đến độ chính xác và thời gian xử lý của quá trình khôi phục lại tín hiệu được lấy mẫu nén. Trong thập kỷ qua, các nghiên cứu về ma trận lấy mẫu nén đã được công bố và có thể phân thành 2 nhóm chính là ma trận ngẫu nhiên và ma trận xác định [7] như được liệt kê trong hình 1. Ma trận lấy mẫu nén Ma trận Ma trận xác định ngẫu nhiên Không có Bán xác Xác định Có cấu trúc định toàn phần cấu trúc Hình 1.7: Phân loại ma trận lấy mẫu nén a.
Ma trận ngẫu nhiên Ma trận ngẫu nhiên có 2 loại là ma trận ngẫu nhiên không có cấu trúc và ma trận ngẫu nhiên có cấu trúc. Ma trận ngẫu nhiên không có cấu trúc với các phần tử được tạo ra ngẫu nhiên theo một phân bố xác suất như Gauss và Bernoulli [9]. Một ma trận ngẫu nhiên có kích thước N × N được tạo thành, sau đó từ M hàng của ma trận ban đầu sẽ được chọn ngẫu nhiên để tạo thành ma trận lấy mẫu nén. Các ma trận dạng này có ưu điểm dễ xây dựng và đáp 12 ứng tiêu chí RIP với xác suất cao.
Tuy nhiên, chúng có một số hạn chế trong thực tế bởi các phần tử trong ma trận là các số thực dấu phảy động nên không khả thi với các bài toán quy mô lớn do khối lượng tính toán và cần bộ nhớ để lưu trữ lớn. Loại ma trận ngẫu nhiên có cấu trúc với các phần tử được tạo thành từ một hàm hoặc một cấu trúc nhất định. Sau đó các hàng được lựa chọn ngẫu nhiên từ các cấu trúc ban đầu để tạo ra ma trận lấy mẫu nén. Các ví dụ điển hình của loại ma trận này là các ma trận con được tạo thành từ ma trận Fourier [103] và ma trận Hadamard [86].
Các ma trận loại này có ưu điểm làm tăng tốc trong quá trình khôi phục lại tín hiệu.
