Chương 1 Một số kết quả cần dùng 1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục 1.1 Vectơ ngẫu nhiên Giả sử X = (X1 , X2 , ., Xn ) trong đó Xi , i = 1, 2,. , n là các biến ngẫu nhiên một chiều, X được gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều.2 Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , ., Xn ) là hàm f : Rn → R thỏa hai điều kiện: (i) f (x1 , x2 , .xn ) dx1 dx2 .3 Hàm phân phối đồng thời của vectơ ngẫu nhiên Định nghĩa: Hàm F (x1 , x2 ., Xn < xn } = Rx1 Rx2 Rxn = ., tn )dt1 dt2. −∞ −∞ −∞ được gọi là hàm phân phối đồng thời của (X1 , X2 , ., xn ) là hàm mật độ đồng thời của (X1 , X2 ,. 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tính chất: (1) Liên tục bên trái đối với mỗi biến.
(2) Không giảm đối với mỗi biến số., xn ) → 0 khi có ít nhất một xi → −∞ ∂ nF (4) Ta có f (x1 , .4 Phân phối biên duyên Giả sử X = (X1 , X2 ., Xn ) là vectơ ngẫu nhiên liên tục n chiều có hàm mật độ đồng thời f (x1 , x2. Ta gọi hàm: Zxj1 Zxjm Z+∞ Z+∞ Fj1 .jm (xj1 , xj2 , .dxn −∞ −∞ −∞ −∞ là hàm phân phối biên duyên m chiều của vectơ X. Nói cách khác, ta lấy ra một nhóm m(m < n) biến bất kỳ, chẳng hạn xj1 , xj2 ,. < jm ≤ n) và cho (n − m) biến còn lại dần tới +∞., xn ) sẽ dần tới một hàm phân phối theo các biến xj1 , xj2 ,.
Hàm đó là phân phối biên duyên m chiều của vectơ X. Đó cũng chính là hàm phân phối của vectơ con m chiều (Xj1 , Xj2 ,. Khi m = 1, đặt j1 = i ta có hàm phân phối biên duyên của vectơ ngẫu 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nhiên X hay hàm phân phối của Xi : Zxi Z+∞ Z+∞ Fi (xi ) = ., +∞) −∞ −∞ −∞ Trường hợp hai chiều: Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X1 , X2 ) có hàm mật độ f (x1 , x2 ), khi đó ta chỉ có 2 phân phối biên duyên và đó chính là phân phối của thành phần thứ nhất X1 và phân phối của thành phần thứ hai X2 : Zx1 Z+∞ F1 (x1 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (x1 , +∞). −∞ −∞ Tương ứng với hàm phân phối biên duyên, chúng ta cũng có hàm mật độ biên duyên.
Trong trường hợp hai chiều hai mật độ biên duyên sẽ là: Z+∞ f1 (x1 ) = f (x1 , x2 )dx2 −∞ Z+∞ f2 (x2 ) = f (x1 , x2 )dx1 .5 Phân phối có điều kiện Trong luận văn này chúng ta chỉ dừng lại ở phân phối hai chiều, do đó để đơn giản chúng tôi chỉ nhắc lại định nghĩa phân phối có điều kiện trong trường hợp hai chiều. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ f (x, y). Hàm mật độ có điều kiện của X đối với Y được định nghĩa bởi: f (x, y) f (x|y) = f2 (y) 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó Z+∞ f2 (y) = f (x, y) dx. −∞ Tương tự hàm mật độ có điều kiện của Y đối với X là: f (x, y) f (y|x) = f1 (x) trong đó Z+∞ f1 (x) = f (x, y) dy.
−∞ Do đó hàm phân phối của X với điều kiên Y đã cho là: Zx Zx f (x, y) F (x|y) = f (x|y)dx = dx.2 Một số khái niệm liên quan đến phân phối mũ một chiều Biến ngẫu nhiên mũ một chiều có hàm mật độ λe−λx nếu x ≥ 0 f (x) = 0 nếu x < 0 1 1 với kỳ vọng và phương sai 2. λ λ Trên thực tế một đại lượng T dương tùy ý, biểu thị thời gian sống hoặc thời gian chờ đợi chính là các đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ. 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt R(t) = P (T > t) Rõ ràng R(t) là xác suất để thời gian sống (kể từ lúc sinh ra) vượt qua t. R(t) được gọi là phân phối đuôi hoặc hàm sống sót.
Giả sử, hệ hoặc cá thể đã sống qua thời gian s, biến cố {T > s + t} biểu thị cá thể sống thêm t thời gian sau khi đã sống qua thời gian s. Xác suất có điều kiện của biến cố này sẽ là: P (T > s + t) R(t + s) P (T > s + t/T > s) = =. P (T > s) R(s) Đây chính là phân phối của thời gian sống còn lại. Đối với phân phối mũ R(t) = e−λt.
Như vậy đối với phân phối mũ ta có: P (T > s + t/T > s) = R(t) = P (T > t), ∀s, t ≥ 0. Thỏa mãn hệ thức trên đại lượng ngẫu nhiên T được gọi là thỏa mãn tính mất trí nhớ (lack of mermory) (xác suất P (T > t) không phụ thuộc gì vào biến cố (T > s), nó đã quên mất rằng T đã vượt qua s)., Tn độc lập, cùng phân phối mũ với ETi =. Ta sắp xếp λ theo thứ tự tăng dần: T(1) ≤ T(2) ≤. Đại lượng T(k) được gọi là thống kê thứ tự k.
Ta có: Các đại lượng ngẫu nhiên T(1) , T(2) − T(1) ,. 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.3 Phân phối của tổng Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm phân phối F1 (x), F2 (y) và hàm mật độ f1 (x), f2 (y) tương ứng. Khi đó hàm phân phối FZ của Z được xác định bởi: Z+∞ FZ (x) = F1 (x − y) dF2 (y) = F1 ∗F2 −∞ trong đó phép toán "*" giữa hai hàm phân phối được gọi là tích chập. Dưới dạng hàm mật độ, tích chập trên sẽ là: Z+∞ Z+∞ fZ (x) = f1 (x − y) f2 (y) dy = f2 (x − y) f1 (y) dy.
−∞ −∞ Phép toán trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến độc lập. 1 Đặc biệt nếu các Xi , i = 1, n, độc lập, cùng phân phối mũ với E(Xi ) = thì λ tổng (X1 + X2 +. + Xn ) có phân phối Gamma với hàm mật độ: (λx)n−1 −λx λ e nếu x > 0. (n − 1)! 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2 Phân phối mũ hai chiều Dưới đây chúng ta sẽ giới thiệu vắn tắt những phát triển chính của phân phối mũ hai chiều và các tính chất của chúng.
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày về phân phối mũ hai chiều. Lịch sử của phân phối mũ hai chiều có thể được giới hạn trong khoảng thời gian ba thập niên 60-70-80 của thế kỉ trước. Lý do chủ yếu là do sự nhận biết tương đối muộn về sự thay thế đáng tin cậy của mô hình mũ một chiều trong trường hợp không chuẩn. Mặc dù ý tưởng của phân phối mũ hai chiều đã được diễn đạt rõ ràng và đầy đủ trong công trình của Gumbel.
Khi Ông mở rộng phân phối giá trị cực trị cũng như trong một vài sự phát triển sớm hơn liên quan tới phân phối Gamma nhiều chiều, nhưng dấu ấn thực sự trong lĩnh vực này có lẽ được bắt đầu từ bài báo của Gumbel năm 1960 về phân phối mũ hai chiều. Trong bài báo này Ông đã giới thiệu ba dạng của phân phối mũ hai chiều và vai trò của chúng trong các tình huống mà ở đó quần thể bố mẹ không phải là chuẩn.1 Phân phối mũ hai chiều của Gumbel Năm 1960 Gumbel (xem [16]) đã giới thiệu 3 mô hình hai biến với các phân phối biên duyên là mũ. Mô hình đầu tiên trong chúng được xác định bởi 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hàm mật độ xác suất sau: f (x1, x2 ) = [(1 + θx1 )(1 + θx2 ) − θ]exp[−x1 − x2 − θx1 x2 ] (2. Các phân phối biên duyên của X1 và X2 là các phân phối mũ chuẩn tắc, trong khi đó phân phối có điều kiện của Xi khi Xj đã cho là: f (xi |xj ) = [(1 + θx1 )(1 + θx2 ) − θ]exp[−xi (1 + θxj )] (2.2) i, j = 1, 2; i 6= j; xi > 0, với các mômen 0 r!(1 + θx1 + rθ) µr (X2 |X1 = x1 ) = , r = 1, 2, 3,.
θ−1 −1 Hệ số tương quan giữa X1 và X2 là −θ−1 eθ Ei (θ−1 ) − 1. Khi θ = 1 thì các biến là độc lập. Không như các trường hợp chuẩn, các đường cong của các hàm mật độ xác suất không phải Elip và cũng không phải là các đường hồi quy tuyến tính mà chúng giao nhau tại các điểm giá trị trung bình chung. Khi tăng giá trị của một trong các biến, kỳ vọng có điều kiện của biến khác vẫn còn là trong giới hạn hữu hạn.
Chú ý đến hệ số tương quan, nó tiến về 0 khi θ tiến về 0 và θ tăng, hệ số này giảm đến một giá trị cực tiểu là -0,40365 tại θ = 1. Mặc dù phân phối này đã công bố từ năm 1960 và có dạng toán học đơn giản nhưng lại có rất ít công trình nghiên cứu về các tính chất, kể cả các đặc 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trưng của nó. Năm 1964 Seshadri và Patil (xem [33]) là những người đầu tiên đưa ra các đặc trưng của phân phối này. Kết quả này có thể tóm tắt như sau: Định lý 2.
Chú ý rằng một đặc trưng của phân phối hai chiều tự nó có thể nhận được nếu hàm mật độ có điều kiện ở dạng trên được giả định cùng với phân phối biên duyên của X2. Phân phối có điều kiện được xét ở đây không phải là dạng mũ hoặc thậm chí không tuân theo dạng phân phối chính tắc đã biết. Năm 1964 Seshadri và Patil (xem [33]) cũng chỉ ra rằng kết quả tương tự sẽ không thỏa mãn đối với dạng hai chiều thứ hai của Gumbel được xác định bởi (2. Một đặc trưng khác của phân phối Gumbel được dựa trên tính chất của tốc độ thất bại (failure rate) biến hai chiều.
Trong trường hợp biến một chiều nếu biến số ngẫu nhiên có hàm mật độ f (.), hàm tốc độ thất bại được định nghĩa bởi f (x) r(x) = (2.3) R(x) ở đây R(x) = P [X > x] hay R(x) chính là phân phối “đuôi”.