I. Giới thiệu về không gian LP
Trong luận văn này, việc xây dựng không gian LP cho các lớp đại số Toán tử trên không gian Hilbert phức H được trình bày một cách chi tiết. Dựa trên lý thuyết độ đo trong không gian tô pô compact địa phương, tích phân được coi là các phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian Cc(X). Từ đó, không gian L1 được định nghĩa cho các hàm khả tích, và không gian Lp cho các hàm lũy thừa p khả tích. Cách xây dựng này không chỉ mở rộng cho lớp các toán tử compact mà còn cho đại số của các toán tử tuyến tính liên tục trên H. Tích phân của một toán tử thuộc B0(H) được xác định là vết của toán tử đó, từ đó tạo ra một nền tảng vững chắc cho việc nghiên cứu các không gian Lp. Luận văn này không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong Toán học và Khoa học máy tính.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương đầu tiên của luận văn tập trung vào việc giới thiệu các khái niệm cơ bản liên quan đến không gian LP. Định nghĩa không gian tô pô Hausdorff và các hàm liên tục triệt tiêu bên ngoài một tập compact được trình bày rõ ràng. Đặc biệt, định lý biểu diễn Riesz được nhấn mạnh như một công cụ quan trọng trong việc xây dựng không gian Lp. Các phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian Cc(X) được khảo sát, và mối liên hệ giữa các phiếm hàm này với độ đo Baire được làm rõ. Điều này không chỉ giúp người đọc hiểu rõ hơn về lý thuyết mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng vào các bài toán thực tiễn trong Phân tích toán học và Khoa học máy tính.
III. Xây dựng không gian LP cho lớp các toán tử compact
Chương hai của luận văn trình bày chi tiết về việc xây dựng không gian LP cho lớp các toán tử compact. Các tính chất của lớp toán tử này được phân tích, và tích phân của một toán tử compact được xác định là vết của toán tử đó. Từ đó, không gian khả tích cấp p được hình thành, với các tính chất đặc trưng của lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt. Việc áp dụng các lý thuyết này vào thực tiễn cho thấy sự quan trọng của chúng trong việc giải quyết các bài toán trong Toán học ứng dụng và Khoa học máy tính.
IV. Xây dựng không gian LP cho đại số von Neumann
Chương ba giới thiệu về việc xây dựng không gian LP cho đại số von Neumann với vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn. Nội dung của chương này tập trung vào lý thuyết về tích phân không giao hoán, với cơ sở là sự hội tụ theo tô pô độ đo. Các ánh xạ thác triển liên tục từ đại số von Neumann A và không gian Hilbert H được khảo sát, từ đó xác định không gian Lp như một không gian Banach mở rộng đầy đủ. Điều này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như Khoa học máy tính và Toán học ứng dụng.
