I. Tổng Quan Về Ổn Định Hệ Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính
Lý thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân là một hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kỹ thuật. Các công trình nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học người Nga Lyapunov. Đến những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta đã bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn định hóa các hệ điều khiển. Từ đó đến nay, hai tính chất này đã trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống cả về lý thuyết lẫn ứng dụng, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân, nhưng có hai phương pháp chủ yếu là: Phương pháp thứ nhất Lyapunov hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp thứ hai Lyapunov hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov. Trong đó, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu sự ổn định và ổn định hóa các hệ điều khiển, các hệ động lực, các phương trình vi phân hàm. Vì vậy, luận văn này nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ phương trình vi phân hàm theo phương pháp hàm Lyapunov.
1.1. Bài Toán Ổn Định và Ứng Dụng Thực Tế Kỹ Thuật
Bài toán ổn định nghiên cứu điều kiện để nghiệm của hệ phương trình vi phân không thay đổi quá nhiều khi có sự thay đổi nhỏ ở điều kiện ban đầu. Ứng dụng thực tế kỹ thuật rất đa dạng, từ thiết kế hệ thống điều khiển tự động đến phân tích ổn định của các công trình xây dựng. Lyapunov đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng cho tính ổn định mũ của hệ tuyến tính dừng dựa vào các giá trị riêng của ma trận A. Hệ (1.4) ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm. Một tiêu chuẩn cổ điển quan trọng khác là hệ (1.4) ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ một ma trận Q đối xứng xác định dương, phương trình Lyapunov AT P + P A = −Q có nghiệm P đối xứng xác định dương.
1.2. Phương Pháp Hàm Lyapunov Nghiên Cứu Tính Ổn Định
Phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ mạnh mẽ để đánh giá tính ổn định của hệ phương trình vi phân. Hàm Lyapunov là một hàm vô hướng, có giá trị dương và giảm dần theo thời gian dọc theo quỹ đạo của hệ. Nếu tồn tại một hàm Lyapunov cho một hệ, thì hệ đó ổn định. Định lý 1.2 phát biểu rằng nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện về tính xác định dương và đạo hàm âm, thì hệ đó ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt, thì hệ là ổn định tiệm cận. Định lý 1.3 mở rộng kết quả này cho tính ổn định mũ, cung cấp các chỉ số ổn định Lyapunov.
II. Thách Thức và Ý Nghĩa của Hệ Phương Trình Vi Phân Trễ
Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế, kỹ thuật đều liên quan đến độ trễ thời gian. Do đó, lớp hệ có trễ đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế mà được mô tả bởi các phương trình vi phân thường bị suy biến. Trong trường hợp này, nghiên cứu sự ổn định của nó phức tạp hơn hệ không suy biến. Vì thế, giải quyết được bài toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó góp phần giải quyết hàng loạt bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao. Luận văn trình bày một hướng nghiên cứu mới về sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ.
2.1. Độ Trễ Thời Gian và Tính Di Truyền trong Hệ Thống
Hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái của hệ thống x(t) và vận tốc thay đổi của trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Song trên thực tế, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ, đều mang ít nhiều tính di truyền. Vì vậy khi mô tả các quá trình này, chúng sẽ được biểu diễn bằng các phương trình vi phân có trễ. Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (0 6 h < +∞). Khi đó, hệ phương trình có trễ mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tại thời điểm t vào trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước đó [t − h, t] được cho dưới dạng ẋ(t) = f (t, xt), t > 0, (1.8).
2.2. Ổn Định Tiệm Cận và Ổn Định Mũ cho Hệ Có Trễ
Các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.8) được định nghĩa tương tự như hệ phương trình vi phân thường. Định nghĩa 1.5 đưa ra các định nghĩa chính thức cho các loại ổn định này. Tương tự như với hệ phương trình vi phân thường, ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.8). Định lý 1.6 cung cấp một tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.8) dựa trên hàm Lyapunov, bao gồm các điều kiện về tính xác định dương và đạo hàm âm.
III. Tiêu Chuẩn Ổn Định cho Hệ Tuyến Tính Suy Biến Trễ
Chương này trình bày một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ không suy biến có trễ biến thiên và tiêu chuẩn ổn định cho hệ suy biến với trễ là hằng số. Đây là cơ sở cho việc mở rộng ở chương 3. Xét hệ có trễ biến thiên sau đây: ẋ(t) = Ax(t) + A1 x(t − h(t)), t > 0. Các định lý và hệ quả sau đây cung cấp các điều kiện để hệ (2.1) ổn định tiệm cận.
3.1. Ổn Định Tiệm Cận cho Hệ Trễ Biến Thiên
Định lý 2.1 cung cấp các điều kiện để hệ (2.1) ổn định tiệm cận cho 0 6 h1 6 h2 và µ. Các điều kiện này được biểu diễn dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI). Hệ quả 2.1 là một trường hợp đặc biệt của định lý 2.1 khi h1 = 0. Ví dụ 2.1 minh họa việc áp dụng các kết quả này để kiểm tra tính ổn định của một hệ cụ thể.
3.2. Hệ Tuyến Tính Suy Biến và Tính Chính Quy
Xét một hệ suy biến tuyến tính có trễ sau đây: E ẋ(t) = Ax(t) + Ad x(t − h), t > 0. Trước hết ta cần một số định nghĩa sau. Định nghĩa 2.1 định nghĩa các khái niệm regular, impulse-free, ổn định tiệm cận và ổn định mũ cho hệ suy biến có trễ. Mệnh đề 2.1 phát biểu rằng nếu hệ (2.6) là regular và impulse-free, thì tồn tại duy nhất một nghiệm liên tục trên [0, +∞) của hệ (2.7).
3.3. Tiêu Chuẩn Ổn Định Mũ cho Hệ Suy Biến Trễ
Định lý 2.2 cung cấp một tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ (2.6). Tiêu chuẩn này yêu cầu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương Q và ma trận P sao cho các bất đẳng thức (2.8) và (2.9) được thỏa mãn. Chứng minh của định lý dựa trên việc sử dụng hàm Lyapunov và các bất đẳng thức ma trận.
IV. Ứng Dụng Kỹ Thuật và Hướng Nghiên Cứu Hệ Phương Trình Trễ
Các kết quả về ổn định hệ phương trình vi phân trễ có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau, như điều khiển hệ thống, xử lý tín hiệu và mạng truyền thông. Việc nghiên cứu các hệ suy biến có trễ là một hướng nghiên cứu quan trọng, vì nó cho phép mô hình hóa các hệ thống thực tế một cách chính xác hơn. Các tiêu chuẩn ổn định được trình bày trong luận văn có thể được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển ổn định cho các hệ thống này.
4.1. Điều Khiển Hệ Thống và Xử Lý Tín Hiệu với Độ Trễ
Trong điều khiển hệ thống, độ trễ có thể gây ra các vấn đề về ổn định và hiệu suất. Các phương pháp điều khiển bù trễ có thể được sử dụng để giảm thiểu ảnh hưởng của độ trễ. Trong xử lý tín hiệu, độ trễ có thể được sử dụng để tạo ra các hiệu ứng đặc biệt hoặc để đồng bộ hóa các tín hiệu khác nhau.
4.2. Mạng Truyền Thông và Các Hệ Thống Phân Tán
Trong mạng truyền thông, độ trễ là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến chất lượng dịch vụ. Các giao thức truyền thông phải được thiết kế để xử lý độ trễ một cách hiệu quả. Trong các hệ thống phân tán, độ trễ có thể gây ra các vấn đề về đồng bộ hóa và nhất quán dữ liệu.
