I. Tổng quan về phương trình vi phân phi tuyến
Phương trình vi phân phi tuyến là công cụ toán học quan trọng để mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc khảo sát các mô hình một chiều đơn giản và giới thiệu hướng giải cho phương trình truyền nhiệt hai chiều trong chất bán dẫn. Luận văn được chia thành năm chương, mỗi chương tập trung vào một khía cạnh cụ thể của phương trình vi phân phi tuyến, từ bậc nhất đến bậc ba, và cuối cùng là ứng dụng trong khảo sát bùng nổ nhiệt.
1.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu các phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng của chúng trong việc mô tả các hiện tượng vật lý, đặc biệt là bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn. Luận văn cũng nhằm cung cấp một cách tiếp cận đơn giản và dễ hiểu cho những người mới bắt đầu nghiên cứu về lĩnh vực này.
1.2. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất, bậc hai, và bậc ba, với trọng tâm là phương trình truyền nhiệt phi tuyến. Các ứng dụng được khảo sát bao gồm sóng xung kích, khuếch tán phi tuyến, và sự lan truyền sóng trong các môi trường khác nhau.
II. Phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất
Chương này tập trung vào phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất, đặc biệt là phương trình lan truyền phi tuyến. Phương trình này mô tả sự lan truyền của vật chất trong các mô hình khí động lực học, phản ứng hóa học, và các hệ sinh học. Một hiện tượng quan trọng được nghiên cứu là sự gián đoạn của nghiệm, dẫn đến sự hình thành sóng xung kích.
2.1. Phương trình lan truyền tuyến tính
Phương trình lan truyền tuyến tính đơn giản nhất có dạng ut + cux = 0, mô tả sự lan truyền của vật chất trong một dòng chảy chất lỏng đồng nhất. Nghiệm của phương trình này là hằng số dọc theo đường đặc trưng, và sóng lan truyền với vận tốc không đổi.
2.2. Phương trình lan truyền phi tuyến
Phương trình lan truyền phi tuyến bậc nhất có dạng ut + uux = 0, mô tả sự lan truyền của vật chất với vận tốc phụ thuộc vào độ cao của sóng. Nghiệm của phương trình này có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng đường đặc trưng, và hiện tượng gián đoạn nghiệm dẫn đến sự hình thành sóng xung kích.
III. Phương trình vi phân phi tuyến bậc hai
Chương này tập trung vào phương trình vi phân phi tuyến bậc hai, đặc biệt là phương trình Burger. Phương trình này được sử dụng để khảo sát các quá trình khuếch tán phi tuyến, bao gồm nhiệt động lực học, phản ứng hóa học, và động lực học dân số.
3.1. Phương trình Burger
Phương trình Burger là một dạng đơn giản của phương trình vi phân phi tuyến bậc hai, được sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu về khuếch tán phi tuyến. Nghiệm của phương trình này có thể được tìm thấy bằng các phương pháp xấp xỉ và phân tích số.
IV. Phương trình vi phân phi tuyến bậc ba
Chương này trình bày về phương trình vi phân phi tuyến bậc ba, đặc biệt là phương trình Korteweg–deVries (KdV). Phương trình này mô tả sự lan truyền của sóng trong các môi trường đàn hồi và nước nông.
4.1. Phương trình Korteweg deVries
Phương trình KdV là một mô hình quan trọng trong việc nghiên cứu sự lan truyền sóng, đặc biệt là sóng nước và sóng plasma. Nghiệm của phương trình này bao gồm các soliton, là những sóng đơn độc có tính chất đặc biệt.
V. Phương trình truyền nhiệt phi tuyến và ứng dụng
Chương này tập trung vào phương trình truyền nhiệt phi tuyến và ứng dụng của nó trong việc khảo sát bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn. Phương pháp chủ yếu được sử dụng là tìm nghiệm mẫu dựa trên nguyên lý cực đại và các phương pháp tách biến.
5.1. Phương trình truyền nhiệt phi tuyến
Phương trình truyền nhiệt phi tuyến mô tả sự truyền nhiệt trong các vật liệu có tính chất phi tuyến, đặc biệt là chất bán dẫn. Nghiệm của phương trình này có thể được tìm thấy bằng các phương pháp xấp xỉ và phân tích số.
5.2. Ứng dụng trong khảo sát bùng nổ nhiệt
Luận văn tập trung vào việc ứng dụng phương trình truyền nhiệt phi tuyến để khảo sát bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn. Hiện tượng này xảy ra khi nhiệt độ tăng đột ngột, dẫn đến sự phá hủy vật liệu. Nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc thiết kế các thiết bị điện tử.
