CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU Nhiều vấn đề thực tế trong vật lí, kĩ thuật, sinh học, y học, kinh tế. có thể được mô hình hóa bằng một bài toán giá trị ban đầu, hoặc còn được gọi là bài toán Cauchy, cho các PTVPT có dạng y 0 (t) = g(t, y(t)), t ≥ t0 , y(t ) = y , (1.1) 0 0 trong đó hàm y(t), được gọi là biến trạng thái, biểu diễn một đại lượng nào đó tham gia vào quá trình. Tuy nhiên, để làm cho mô hình phù hợp hơn với các hiện tượng thực tế, đôi khi ta cần biến đổi vế phải của (1.1) để thể hiện sự phụ thuộc của biến y 0 vào các giá trị trong quá khứ của biến trạng thái y. Dạng tổng quát nhất của các mô hình như thế được cho bởi PTVPCC y 0 (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , trong đó yt = y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], là một hàm thuộc vào không gian Banach C = C 0 ([−r, 0], Rd ) các hàm số liên tục ánh xạ khoảng [−r, 0] vào Rd , và f : Ω → Rd là một hàm đã cho ánh xạ tập hợp Ω ⊂ R × C vào Rd.
Bài toán giá trị ban đầu bây giờ là y 0 (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , y = y(t + θ) = Φ(θ), (1.2) t0 0 trong đó Φ(θ) ∈ C biểu diễn điểm khởi tạo hoặc dữ liệu khởi tạo. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm và phương trình vi phân thường Trong tài liệu này, bài toán giá trị ban đầu (1.2) sẽ được mô tả theo một cách thức thân thiện hơn như sau y 0 (t) = f (t, y(t − τ1 ), .3) 0 Tùy theo độ phức tạp của hiện tượng, các chậm τi luôn luôn là không âm, có thể chỉ là các hằng số (trường hợp chậm hằng số), hoặc các hàm số của t, τi = τi (t) (trường hợp chậm biến thiên hoặc phụ thuộc thời gian) hoặc thậm chí là các hàm số của t và chính y , τi = τi (t, y(t)) (trường hợp chậm phụ thuộc trạng thái). Luận văn này sẽ tập trung sự nghiên cứu vào hai trường hợp: chậm phụ thuộc hằng số và chậm phụ thuộc thời gian.
Để đơn giản hóa về mặt kí hiệu, hàm φ(t) được hiểu là được định nghĩa trong [ρ, t0 ], trong đó ρ = min min(t − τi ). 1≤i≤n t≥t0 Một trường hợp khá phổ biến và thú vị là khi n = 2 và τ1 ≡ 0, khi đó (1.3) có dạng như sau y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 .4) Vì với t ≥ t0 nào đó có thể xảy ra t − τ < t0 , sự khác nhau đầu tiên giữa các phương trình dạng (1.4) đó là nghiệm của (1.4) thường phụ thuộc vào hàm khởi tạo φ(t) hơn là phụ thuộc vào giá trị khởi tạo y0 như đối với (1. Nói chung, đạo hàm bên phải y 0 (t+ 0 ), đó là f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ )), không bằng đạo hàm − trái y 0 (t0 ) và do đó nghiệm y không được liên kết trơn với hàm khởi tạo φ(t) tại điểm t0 , ở đó chỉ có tính chất C 0 -liên tục là có thể được đảm bảo. Hơn nữa, tính không liên tục của đạo hàm sẽ lan truyền từ điểm khởi tạo t0 theo khoảng tích phân và tạo ra các điểm gián đoạn tiếp theo mà tại đó, nghiệm càng ngày càng trơn hơn.
Như một hệ quả, thậm chí nếu các hàm f (t, y, x), τ (t, y) và φ(t) trong (1.4) là C ∞ -liên tục thì nói chung y(t) đơn giản chỉ là C 1 -liên tục trong [t0 , tf ]. Xét phương trình y 0 (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ 0.5) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 Nghiệm của phương trình được miêu tả trong Hình 1. Vì y 0 (0− ) = 0 và y 0 (0+ ) = −y(−1) = −1, hàm đạo hàm y 0 (t) có một điểm gián đoạn tại t = 0. Đạo hàm cấp hai y 00 (t) được cho bởi y 00 (t) = −y 0 (t − 1), và do đó nó có một điểm gián đoạn tại t = 1.
Đạo hàm cấp ba được cho bởi y 000 (t) = −y 00 (t − 1) = y 0 (t − 2) và do đó nó có một điểm gián đoạn tại t = 2, và tương tự như thế tại các điểm là các bội số của chậm t = 3, 4, .5) Trong các mô hình tổng quát hơn, đạo hàm y 0 (t) có thể phụ thuộc vào y và chính y 0 tại một giá trị quá khứ t − τ nào đó. Trong trường hợp này, (1.4) thay đổi thành dạng y 0 (t) = f (t, y(t), y(t − τ ), y 0 (t − τ )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t , (1.6) 0 trong đó hàm φ(t) được giả thiết ít nhất là C 1 -liên tục. Phương trình (1.6) được gọi là một PTVPCC trung tính (delay differential equation of neutral type). Như trước đã nói, hàm khởi tạo φ(t) không liên kết trơn với nghiệm y(t) tại t0 , nơi chỉ có duy nhất tính liên tục được đảm bảo.
Điểm gián đoạn này sẽ lan truyền thành một tập các điểm gián đoạn mà ở đó nghiệm, không giống trường hợp không trung tính, chỉ thuộc duy nhất lớp C 0. Do đó, trừ phi điều kiện nối φ0 (t− 0 0 ) = f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ ), φ (t0 − τ )) được thỏa mãn, còn không thì nghiệm của (1.6) phải được hiểu theo nghĩa tổng quát “hầu khắp nơi”. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Xét phương trình y 0 (t) = −y 0 (t − 1), t ≥ 0, y(t) = t, t ≤ 0, (1.7) có nghiệm được vẽ trên Hình 1.
Vì y 0 (0− ) = 1 và y 0 (0+ ) = −y 0 (−1) = −1, đạo hàm y 0 (t) có một điểm gián đoạn tại t = 0. Hơn nữa, vì y 0 (t) = −y 0 (t − 1) với mọi t ≥ 0, đạo hàm y 0 (t) không liên tục tại t = 1 cũng như tại t = 2, 3,. là các bội số của t = 1. Ví dụ sau chỉ ra rằng, trong khi các nghiệm bị chặn của các PTVPT có thể dao động chỉ khi hệ thống có ít nhất hai thành phần và có thể dao động hỗn loạn chỉ khi hệ thống có ít nhất ba thành phần (Định lí Poincaré-Bendixon), thì các nghiệm của PTVPCC có thể có tính chất dao động và thậm chí dao động hỗn loạn trong trường hợp vô hướng.
Xét phương trình logistic có chậm sau y 0 (t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8) phương trình này mô hình hóa sự thay đổi của dân số, là cải tiến của mô hình Verhulst-Pearl y 0 (t) = ay(t)(1 − y(t)). Trong khi các nghiệm của phương trình Verhulst-Pearl là đơn điệu, các nghiệm dương của (1.8) là đơn điệu với a ∈ (0, 1/e), dao động với a ∈ [1/e, π/2) và xấp xỉ với các quỹ đạo tuần hoàn với a > π/2 (Hình 1. (Xem [6]) Cuối cùng, ta thấy rằng sự có mặt của thành phần chậm có thể thay đổi mạnh mẽ tính chất định tính của nghiệm bằng cách tác động đến sự ổn định của mô hình. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.7 trong mặt phẳng pha.
Xét phương trình vô hướng tuyến tính y 0 (t) = λy(t) + µy(t − 1), t ≥ 0, y(t) = −t + 1, t ≤ 0, (1.9) với các hệ số λ, µ là các hằng số thực. Ta biết rằng, với µ = 0, phương trình (1.10) Nghiệm của phương trình này tiệm cận tới 0 với mọi λ âm và bùng nổ với λ dương bất kì. Hơn nữa trong trường hợp λ âm, nghiệm còn bị chặn bởi giá LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 trị khởi tạo 1. Mặt khác, với µ 6= 0, thành phần chậm µy(t − 1) trong (1.9) tác động như một thành phần cưỡng bức và các tính chất đã nêu của nghiệm có thể không còn được thoả mãn.
Đặc biệt, với mọi µ > 0, tồn tại λ < 0 sao cho nghiệm không tiệm cận tới 0 và tồn tại giá trị λ < 0 khác sao cho nghiệm tiệm cận tới 0 nhưng không bị chặn bởi giá trị khởi tạo y(0) = 1. Các tình huống này được minh họa trong Hình 1. Cũng vậy, với λ = 0.5 và µ = −1, thành phần chậm −y(t − 1) tác động như là một thành phần ổn định hoá (stabilizer) của mô hình có nghiệm ổn định bất chấp tính dương của λ (xem Hình 1.5: Nghiệm ổn định và không ổn định của (1.6: Nghiệm ổn định của (1. PTVPCC trung tính sau là một ví dụ cho thấy chậm với giá trị nhỏ có thể tạo ra một ảnh hưởng rộng lớn y 0 (t) = −1.11) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Nghiệm của phương trình này ổn định tiệm cận với τ = 0 và không ổn định với mọi τ > 0.
Trong trường hợp này thành phần chậm tác động như là một thành phần làm mất ổn định (destabilizer). Phương pháp số giải phương trình vi phân thường Để có cơ sở theo dõi được điểm khác biệt giữa các phương pháp số giải PTVPT và PTVPCC, trong phần này ta sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan đến PTVPT, một số phương pháp số tiêu biểu giải PTVPT cũng như tính chất của các phương pháp đó. Các khái niệm cơ bản Xét bài toán giá trị đầu cho PTVPT tổng quát y 0 = f (t, y), 0 ≤ t ≤ b, y(0) = c, (1.12) trong đó b > 0, c ∈ Rn cho trước, f ∈ C([0, b] × Rn → Rn ). Nếu có thêm điều kiện |y(t) − ŷ(t)| → 0 khi t → ∞ thì y(t) được gọi là ổn định tiệm cận.
Chọn lưới điểm ∆ = {t0 = 0, t1 ,. , tN = b} và đặt hn = tn − tn−1 với n = 1,. Ta xét một phương pháp số đơn giản giải (1.12), đó là phương pháp Euler hiển, có dạng yn = yn−1 + hn f (tn−1 , yn−1 ). Ta viết lại công thức trên thành yn − yn−1 − f (tn−1 , yn−1 ) = 0.
hn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13 Cho u là một hàm bất kì định nghĩa trên lưới điểm ∆. Xét toán tử sai phân u(tn ) − u(tn−1 ) Nh u(tn ) ≡ − f (tn−1 , u(tn−1 )) hn với n = 1, .