Luận Văn Thạc Sĩ: Các Phương Pháp Rút Gọn Hệ Động Lực Tuyến Tính Rời Rạc

Khám phá các phương pháp rút gọn hệ động lực rời rạc tuyến tính trong luận văn thạc sĩ HUS, giúp tối ưu hóa quy trình nghiên cứu và ứng dụng.

• Tác giả: Nguyễn Đỗ Kiều Loan
• Người hướng dẫn: TS. Hà Bình Minh
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Các Phương Pháp Rút Gọn Hệ Động Lực Tuyến Tính Rời Rạc
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Khoa Học
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Hệ tuyến tính điều khiển rời rạc
• 1.2. Hệ tuyến tính rời rạc
• 1.3. Khái niệm về hàm truyền
• 1.4. Tính điều khiển được, quan sát được, biểu diễn tối thiểu
• 1.5. Tính ổn định của hệ rời rạc
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
• 2.1. Bài toán rút gọn mô hình
• 2.2. Phương pháp chặt cân bằng
• 2.3. Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào Impluse Response Gramian
• 2.3.1. Impluse Response Gramian (IRG)
• 2.3.2. Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG
• 2.3.3. Cải tiến phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG
• 2.3.4. Thực hiện các thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Phương Pháp Rút Gọn Hệ Động Lực Tuyến Tính Rời Rạc

Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc là một lĩnh vực quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng kỹ thuật điều khiển. Hệ động lực tuyến tính rời rạc thường có cấu trúc phức tạp, đòi hỏi các phương pháp tối ưu hóa để giảm thiểu độ phức tạp mà vẫn đảm bảo tính chính xác và hiệu quả. Việc rút gọn mô hình giúp giảm thiểu khối lượng tính toán và tăng tốc độ xử lý trong các ứng dụng thực tiễn.

1.1. Khái niệm về Hệ Động Lực Tuyến Tính Rời Rạc

Hệ động lực tuyến tính rời rạc được định nghĩa bởi các phương trình trạng thái, trong đó các biến trạng thái và đầu vào được mô tả bằng các ma trận. Việc hiểu rõ về cấu trúc của hệ thống này là cần thiết để áp dụng các phương pháp rút gọn hiệu quả.

1.2. Tầm quan trọng của Rút Gọn Hệ Động Lực

Rút gọn hệ động lực không chỉ giúp giảm thiểu chi phí tính toán mà còn cải thiện khả năng điều khiển và quan sát của hệ thống. Điều này đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực như tự động hóa, robot và công nghệ hàng không.

II. Các Thách Thức trong Rút Gọn Hệ Động Lực Tuyến Tính Rời Rạc

Mặc dù có nhiều phương pháp rút gọn, nhưng việc duy trì các đặc tính quan trọng của hệ thống như tính ổn định và khả năng điều khiển vẫn là một thách thức lớn. Các vấn đề như sai số trong mô hình và mất mát thông tin có thể xảy ra trong quá trình rút gọn.

2.1. Vấn đề Sai Số trong Mô Hình

Sai số giữa mô hình gốc và mô hình rút gọn có thể dẫn đến những quyết định sai lầm trong quá trình điều khiển. Việc xác định và kiểm soát sai số này là rất quan trọng để đảm bảo hiệu quả của hệ thống.

2.2. Khó Khăn trong Việc Duy Trì Tính Ổn Định

Tính ổn định của hệ thống là một yếu tố quan trọng. Việc rút gọn có thể làm mất đi tính ổn định, do đó cần phải có các phương pháp kiểm tra và đảm bảo tính ổn định trong quá trình rút gọn.

III. Phương Pháp Rút Gọn Hệ Động Lực Tuyến Tính Rời Rạc Hiệu Quả

Có nhiều phương pháp khác nhau để rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc, mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của từng ứng dụng.

3.1. Phương Pháp Chặt Cân Bằng

Phương pháp chặt cân bằng là một trong những phương pháp phổ biến nhất, giúp rút gọn mô hình mà vẫn giữ được các đặc tính quan trọng của hệ thống. Phương pháp này dựa trên việc tối ưu hóa các ma trận trong mô hình.

3.2. Phương Pháp Dựa Vào Impulse Response Gramian

Phương pháp này sử dụng Impulse Response Gramian để xác định các trạng thái quan trọng trong hệ thống, từ đó rút gọn mô hình mà không làm mất đi thông tin cần thiết.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn của Phương Pháp Rút Gọn Hệ Động Lực

Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như tự động hóa, robot, và công nghệ hàng không. Những ứng dụng này cho thấy tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp rút gọn trong thực tế.

4.1. Ứng Dụng Trong Ngành Tự Động Hóa

Trong ngành tự động hóa, việc rút gọn mô hình giúp cải thiện hiệu suất của các hệ thống điều khiển, từ đó nâng cao độ chính xác và giảm thiểu chi phí.

4.2. Ứng Dụng Trong Công Nghệ Robot

Các phương pháp rút gọn cũng được áp dụng trong công nghệ robot, giúp tối ưu hóa các thuật toán điều khiển và cải thiện khả năng phản ứng của robot trong các tình huống phức tạp.

V. Kết Luận và Tương Lai của Phương Pháp Rút Gọn Hệ Động Lực

Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc đang ngày càng trở nên quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng kỹ thuật điều khiển. Tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn sẽ có nhiều tiến bộ với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp mới.

5.1. Xu Hướng Nghiên Cứu Tương Lai

Các nghiên cứu trong tương lai sẽ tập trung vào việc phát triển các phương pháp rút gọn mới, hiệu quả hơn, đồng thời đảm bảo tính ổn định và khả năng điều khiển của hệ thống.

5.2. Tác Động Của Công Nghệ Mới

Sự phát triển của công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy có thể mở ra những hướng đi mới cho việc rút gọn hệ động lực, giúp tối ưu hóa hơn nữa các quy trình và ứng dụng thực tiễn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.3 Tính ổn định của hệ rời rạc 1.1 Định nghĩa tính ổn định Định nghĩa 1. Hệ tuyến tính rời rạc x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), được gọi là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của A nằm trong vòng tròn đơn vị. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có phương trình trạng thái như sau:     2 1 1 1 2 0 1 x(k + 1) = 1 2 1 x(k) + 3 0 −1 2 u(k).

4 0 2 Tính các giá trị riêng của ma trận A:   4.0000 Ta thấy ma trận A có tồn tại một giá trị riêng lớn hơn 1, một giá trị riêng bằng 1. Như vậy hệ là không ổn định.2 Phương trình Lyapunov rời rạc Định lý 1. Giả sử hệ tuyến tính rời rạc (1.2) là tiệm ổn định tiệm cận. Khi đó nếu với bất kỳ ma trận xác định dương M luôn tồn tại duy nhất một ma trận đối xứng X xác định dương thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc sau đây: X − AT XA = M.

Cho ma trận X được xác định bởi công thức sau: ∞ X
k X := AT MAk (1.12) k=0 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Do hệ là ổn định nên ma trận A có các giá trị riêng nằm trong đường tròn đơn vị, do đó chuỗi trên là hội tụ. Dễ dàng kiểm tra X là ma trận đối xứng, xác định dương. Ta sẽ chứng minh X là nghiệm duy nhất của phương trình Lyapunov.

Thay X vào phương trình ta có ∞ X ∞ X
T k
k T X − A XA = A MA − k AT MAk = M.13) k=0 k=1 Vậy X là nghiệm của phương trình Lyapunov. Tiếp theo ta sẽ chứng minh X là duy nhất. Giả sử rằng X1 là nghiệm đối xứng xác định dương của phương trình, tức là X1 − AT X1A = M. Khi đó, ta có: ∞ X ∞ X
T k k
k
X= A MA = AT X1 − AT X1 A Ak k=0 k=0 ∞ X ∞ X
T k k
k = A X1 A − AT X1 Ak = X1.

k=0 k=1 Vậy ta có điều phải chứng minh. 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Chương 2 Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1 Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc với phương trình trạng thái x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k). Ta cần tìm hệ rút gọn có bậc r << n sao cho: xr (k + 1) = Ar xr (k) + Br ur (k), yr (k) = Cr xr (k) + Dr ur (k). Hệ rút gọn cần tìm phải thỏa mãn các tính chất sau: • Có sai số ky − yr k nhỏ nhất.

• Bảo toàn các tính chất của hệ gốc (như tính ổn định, điều khiển được, quan sát được,. • Quá trình tính toán hiệu quả.2 Phương pháp chặt cân bằng Định nghĩa 2. Cho (A, B, C, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z) và Wc và Wo là các nghiệm đối xứng, xác định dương của các phương trình Lyapunov tương ứng sau: Wc − AWcAT = BB T , Wo − AT WoA = C T C. 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Nếu Wc = Wo = Σ = diag(σ1 ,. Các giá trị σ1 ≥ · · · ≥ σn > 0 được gọi là các giá trị kỳ dị Hankel của hệ. Thuật toán sau sẽ đưa một biểu diễn tối thiểu bất kỳ của hệ về dạng biểu diễn cân bằng. 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Thuật toán 1: • Đầu vào: A: ma trận cỡ n × n. B : ma trận cỡ n × m. C : ma trận cỡ r × n. D: ma trận cỡ r × m.

Giả sử (A, B) điều khiển được, (A, C) quan sát được và A là ổn định. • Đầu ra: T : ma trận không suy biến n × n. e B, A, e C, e De là biểu diễn cân bằng của hệ, với: Ae = T −1AT, B e = T −1 B, C e = CT, D e = D. T −1Wc T −T = T T Wo T = Σ: là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính dương.

• Các bước thực hiện: Bước 1: Tính Wc và Wo bằng cách giải lần lượt các phương trình Lyapunov: Wc − AWcAT = BB T , (2.1) Wo − AT Wo A = C T C.2) Bước 2: Tìm nhân tử Cholesky Lc và L0 của Wc và Wo. Wc = Lc LTc , (2.3) Wo = Lo LTo .4) Bước 3: Tìm các giá trị suy biến của ma trận LTo Lc : LTo Lc = U ΣV T  1 1 1  Bước 4: Tính Σ − 21 = diag √ , √ , · · · , √ , trong đó Σ = σ1 σ2 σn diag(σ1, σ2, · · · , σn). Bước 5: Tính T = LC V Σ− 2. 1 Bước 6: Tính ma trận của biểu diễn cân bằng: Ae = T −1AT, Be = T −1 B, Ce = CT, De = D.

15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Ví dụ 2. Xét hệ rời rạc cho bởi các ma trận (A, B, C) như sau:     0, 0010 1 1 1 A =  0 0, 1200 1  , B = 1 ,  0 0 −0, 1000 1
C = 1 1 1. Bước 1: Tính Wc và Wo :   6, 0507 3, 2769 0, 8101 Wc = 3, 2769 2, 2558 0, 8883 , 0, 8101 0, 8883 1, 0101   1 1, 0011 1, 0019 Wo = 1, 0011 2, 2730 3, 2548.

1, 0019 3, 2548 5, 4787 Bước 2: Nhân tử Cholesky của Wc và Wo là:   2, 4598 0 0 Lc = 1, 3322 0, 6936 0 , 0, 3293 0, 6482 0, 6939   1 0 0 Lo = 1, 0011 1, 1273 0 . 1, 0019 1, 9975 0, 6963 Bước 3: Phân tích giá trị kỳ dị SVD của LTo Lc: [U, Σ, V ] = svd(LTo Lc),
ta thu được Σ = diag 5, 3574 1, 4007 0, 1238 ,   0, 8598 −0, 5055 0, 0725 V = 0, 4368 0, 6545 −0, 6171. Bước 5: Tính ma trận:   1 0, 9137 −1, 0506 0, 5068 T = Lc V Σ− 2 = 0, 6257 −0, 1854 −0, 9419. 0, 3240 0, 5475 0, 4759 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Bước 6: Biểu diễn cân bằng là:   0, 5549 0, 4098 0, 0257 Ae = T −1AT = −0, 4098 −0, 1140 0, 2629  , 0, 0257 −0, 2629 −0, 4199   1, 8634 e = T −1 B = 0, 6885 , B 0, 0408
e = CT = 1, 8634 −0, 6885 0, 0408. C Thử lại:
T −1Wc T −T = T T Wo T = Σ = diag 5, 3574 1, 4007 0, 1238. Từ biểu diễn cân bằng (A, B, C, D) của hệ, để thu được hệ rút gọn, ta chỉ cần bỏ đi các biến ứng với giá trị kỳ dị Hankel lớn. Việc bỏ đi các giá trị kỳ dị Hankel lớn sẽ làm cho sai số giữa hệ rút gọn và hệ gốc sẽ nhỏ theo.

Hơn nữa hệ rút gọn sẽ bảo toàn các tính chất của hệ gốc, như tính ổn định, tính điều khiển được, tính quan sát được. Tất cả những điều này được đảm bảo nhờ vào định lý dưới đây: Định lý 2. Giả sử rằng A, B , C , Σ được phân hoạch dưới dạng sau:       Ar A12 Br   Σr 0 A= ,B = , C = Cr C2 , Σ =. A21 A22 B2 0 Σ2 Khi đó hệ   A r Br Gr (z) = Cr D là hệ rút gọn bậc r của G(z) và thỏa mãn các tính chất sau: (a) Hệ rút gọn Gr (z) = (Ar , Br , Cr , D) bảo toàn tính ổn định (tức là Ar là có các giá trị riêng nằm bên trong đường tròn đơn vị).

Từ Định lý trên ta có thuật toán sau đây: 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Thuật toán 2: Tìm mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng. • Đầu vào: Biểu diễn tối thiểu (A, B, C, D) của hệ với A là ma trận ổn định. • Đầu ra: Hệ rút gọn Gr (z) = (Ar , Br , Cr , D) thỏa mãn các tính chất của Định lý trên.

• Các bước thực hiện: Bước 1: Sử dụng Thuật toán 1, tìm biểu diễn cân bằng (A, B, C, D) của hệ. Bước 2: Chọn r là bậc của mô hình rút gọn. Bước 3: Phân hoạch biểu diễn cân bằng tìm được ở Bước 1 dưới dạng:       Ar A12 Br   Σr 0 A= ,B = , C = Cr C2 , Σ =. A21 A22 B2 0 Σ2 Bước 4: Hệ rút gọn   A r Br Gr (z) =.

Xét lại ví dụ trước với (A, B, C) được cho bởi:     0, 0010 1 1 1
A=  0 0, 1200 1  , B = 1 , C = 1 1 1.  0 0 −0, 1000 1 Lấy kết quả của ví dụ trước ta có các ma trận cân bằng là:   0, 5549 0, 4098 0, 0257 Ae = T −1AT = −0, 4098 −0, 1140 0, 2629  , 0, 0257 −0, 2629 −0, 4199   1, 8634 Be = T −1 B = 0, 6885 , 0, 0408
Ce = CT = 1, 8634 −0, 6885 0, 0408. Chọn r = 2, Ar   = 2 × 2 là ma trận con của Ae và Ar = 0, 5549 0, 4098. Các giá trị riêng của Ar là: 0, 2204 + 0, 2368i −0, 4098 −0, 1140 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC và 0, 2204 − 0, 2368i, do đó Ar là ổn định. Các ma trận Br , Cr lần 1, 8634
lượt là: Br = , Cr = 1, 8602 −0, 6885 .