Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ với đề tài "Phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ trống có cơ tính biến thiên theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Phạm Minh Vương dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Nguyễn Đình Đức. Công trình thuộc chuyên ngành Cơ học vật rắn (mã số: 9440109.02), bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội vào năm 2023.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM) được cấu tạo từ hai hoặc nhiều thành phần vật liệu với tỷ lệ thể tích biến đổi liên tục trong không gian kết cấu. Nhờ sự phân bố trơn và liên tục, vật liệu FGM loại bỏ được hiện tượng tập trung ứng suất, sự tách lớp giữa các pha và đứt gãy sợi vốn là nhược điểm của vật liệu composite phân lớp truyền thống. Thành phần gốm đem lại khả năng chịu nhiệt cao, chống ăn mòn và độ cứng lớn, trong khi thành phần kim loại cung cấp tính dẻo dai, khắc phục tính giòn của gốm.

Kết cấu vỏ trống là dạng vỏ hai độ cong tròn xoay, được ứng dụng trong các bộ phận chịu lực thuộc ngành công nghiệp hàng không vũ trụ, thiết bị lặn, bồn chứa chịu áp lực và công trình quốc phòng. Hầu hết các nghiên cứu trước đây về vỏ trống FGM chủ yếu dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển (Classical Shell Theory - CST). Lý thuyết này bỏ qua biến dạng trượt ngang nên chỉ phù hợp với các kết cấu vỏ mỏng; đối với các kết cấu vỏ có chiều dày trung bình và vỏ dày, CST thường đánh giá quá cao độ cứng và tải tới hạn của kết cấu. Việc áp dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (Higher-order Shear Deformation Theory - HSDT), cụ thể là lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (Third-order Shear Deformation Theory - TSDT), vào phân tích ứng xử cơ học của vỏ trống FGM còn rất hạn chế do tính phức tạp của hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Do đó, việc xây dựng mô hình giải tích và nửa giải tích dựa trên TSDT để phân tích ổn định tĩnh, ổn định động và dao động của vỏ trống FGM là một nhiệm vụ khoa học cấp thiết nhằm hoàn thiện cơ sở lý thuyết và hỗ trợ công tác tính toán thiết kế kỹ thuật.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu tổng quát của luận án là giải quyết hai nhóm vấn đề cơ học chính:

  1. Phân tích ổn định tĩnh của vỏ trống FGM dưới tác dụng của tải cơ và tải nhiệt: Xác định tải tới hạn (bắt đầu rẽ nhánh trạng thái cân bằng) và thiết lập biểu thức giải tích liên hệ giữa tải trọng và độ võng cực đại nhằm khảo sát đáp ứng sau tới hạn (postbuckling). Các trường hợp tải trọng bao gồm áp lực ngoài phân bố đều, tải xoắn thuần túy, tải nén dọc trục kết hợp nhiệt độ và áp lực ngoài đối với vỏ có gân gia cường.
  2. Phân tích ổn định động và dao động của vỏ trống FGM: Xác định tải tới hạn động dưới tác dụng của lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian theo tiêu chuẩn Budiansky-Roth; xác định biểu thức giải tích của tần số dao động tự do tuyến tính; thiết lập các đường cong đáp ứng biên độ – tần số và biên độ – thời gian trong dao động cưỡng bức phi tuyến dưới tác dụng của kích động điều hòa.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Vỏ trống làm từ vật liệu FGM, FGM sandwich ba lớp, kết cấu không gân và có hệ thống gân gia cường trực giao.
  • Phạm vi hình học: Nghiên cứu giới hạn ở mô hình vỏ trống thoải (shallow barrel shell) hai độ cong với bán kính xích đạo $R$ và bán kính kinh tuyến lớn $a$. Vỏ có độ cong Gauss dương ứng với vỏ trống lồi ($a > 0$), độ cong Gauss âm ứng với vỏ trống lõm ($a < 0$), và suy biến thành vỏ trụ tròn khi $a \to \infty$.
  • Phạm vi liên kết và môi trường đàn hồi: Vỏ chịu điều kiện biên tựa đơn ở hai đầu. Tương tác giữa vỏ và môi trường xung quanh được mô hình hóa bằng mô hình nền đàn hồi Pasternak hai tham số ($K_1, K_2$) liên tục trong cả bài toán tĩnh và động.
  • Phạm vi gân gia cường: Hệ thống gân dọc và gân vòng có kích thước nhỏ, bố trí mau, được tính toán thông qua quan điểm san đều độ cứng của Lekhnitskii.
  • Phạm vi tải trọng: Áp lực ngoài đều $q$, tải xoắn $\tau$, lực nén dọc trục $P$ (tĩnh và biến thiên theo thời gian), tải nhiệt độ tăng đều $\Delta T$.
  • Phạm vi lý thuyết vỏ: Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT) của Reddy và Liu kết hợp quan hệ biến dạng phi tuyến hình học von Kármán.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Vật liệu FGM lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1984 bởi một nhóm các nhà khoa học Nhật Bản. Các nghiên cứu ban đầu tập trung vào tối ưu hóa phân bố vật liệu kháng nhiệt (như nghiên cứu của các tác giả quốc tế) và công nghệ chế tạo (lắng đọng hơi, luyện kim bột, đúc ly tâm, in 3D). Về sau, hướng nghiên cứu phân tích ứng xử cơ học của các kết cấu tấm và vỏ FGM phát triển mạnh mẽ.

Các hướng nghiên cứu trước trong y văn

  1. Phân tích tĩnh và ổn định tĩnh tấm, vỏ FGM:
    • Shariyat và Alipour (2011) tính toán đáp ứng tĩnh của tấm, vỏ trụ và vỏ nón P-FGM bằng CST và chuỗi Taylor. Praveen và Reddy (1998) dùng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) và phần tử hữu hạn (FEM) phân tích tấm FGM trong môi trường nhiệt. Reddy (2000) dùng lý thuyết bậc ba và dạng nghiệm Navier khảo sát tấm FGM chịu tải cơ - nhiệt. Hoàng Văn Tùng (2010) phân tích uốn tấm FGM sandwich bằng FSDT và Galerkin.
    • Về ổn định tĩnh: Javaheri và Eslami (2002) dùng CPT và sau đó (2007) dùng HSDT khảo sát ổn định tấm FGM chịu nén. Nguyễn Đình Đức và cộng sự (2009, 2011) nghiên cứu ổn định tấm và panel trụ FGM bằng phương pháp Galerkin. Sofiyev (2003–2011), Naj và cộng sự (2008), Torabi và cộng sự (2013), Xu và cộng sự (2014) khảo sát ổn định vỏ nón FGM thuần nhất và áp điện. Đào Văn Dũng và cộng sự (2014, 2016) mở rộng bài toán cho vỏ nón FGM có gân gia cường bằng CST và HSDT.
    • Đối với vỏ trụ tròn FGM: Mirzavand và Eslami (2006) dùng CST; Wu và cộng sự (2005) dùng HSDT; Shen (2005–2011) áp dụng phương pháp nhiễu; Huang và Han (2008, 2010) dùng phương pháp năng lượng Ritz; Shariyat (2009) dùng mô hình Mori-Tanaka và FEM; Đào Văn Dũng và cộng sự (2013, 2015), Nguyễn Đình Đức và cộng sự (2012, 2013) nghiên cứu vỏ trụ FGM có gân gia cường chịu tải cơ - nhiệt.
  2. Phân tích ổn định động và dao động kết cấu FGM:
    • Huang và Han (2008) khảo sát ổn định động của vỏ trụ FGM dưới lực nén tăng tuyến tính theo thời gian theo tiêu chuẩn Budiansky-Roth và đề xuất chọn điểm uốn của đường cong độ võng làm thời điểm mất ổn định. Sofiyev (2011) nghiên cứu ổn định động vỏ nón FGM; Gao và cộng sự (2011) xét tải vận tốc nén không đổi; Ganapathi (2007), Zhang và Li (2010) nghiên cứu vỏ cầu FGM; Sirivolu và Hoo Fatt (2014) xét tải áp lực vụ nổ. Tại Việt Nam, Đào Văn Dũng và cộng sự (2013, 2015), Đoàn Hồng Bích và cộng sự (2012, 2014), Nguyễn Văn Thắng và Ngô Đức Thời (2015) đã phân tích ổn định động vỏ trụ và vỏ trống FGM dựa trên CST.
    • Về phân tích dao động: Huang và Shen (2004) dùng HSDT phân tích dao động phi tuyến của tấm FGM; Loy và cộng sự (1999), Du và Li (2014), Shen và Wang (2010, 2012) dùng HSDT khảo sát dao động vỏ trụ và panel FGM; Đoàn Hồng Bích và Đỗ Quang Ninh (2012), Trần Quốc Quân và Nguyễn Đình Đức (2016) nghiên cứu dao động vỏ FGM.
  3. Các nghiên cứu riêng về kết cấu vỏ trống:
    • Stein và McElman (NASA Langley, 1965) là những tác giả đầu tiên đưa ra giả thiết vỏ trống thoải và phân tích dao động, ổn định của vỏ trống thuần nhất bằng CST. Tiếp đó, Hutchinson (Harvard, 1968) phát triển cho vỏ trống thoải không hoàn hảo; Stroud và Sykes (1969), Weingarten và cộng sự (1965), Oyesanya (2006) khảo sát ổn định vỏ trống thuần nhất.
    • Đối với vỏ trống FGM và FGM sandwich: Đoàn Hồng Bích và cộng sự (2012, 2013, 2016, 2017) đã khảo sát ổn định tĩnh và dao động vỏ trống FGM dựa trên CST và lý thuyết Donnell cải tiến; Đào Văn Dũng và Phạm Minh Vương (2014) tính tải tới hạn động của vỏ trống FGM chịu xoắn bằng CST. Chỉ có rất ít nghiên cứu sử dụng HSDT cho vỏ trống như Ali và Hasan (2019) xét vỏ E-FGM, Hoàng Văn Tùng và cộng sự (2020) xét ổn định tĩnh vỏ trống FGM.

Khoảng trống nghiên cứu được lựa chọn giải quyết

Tổng quan tài liệu cho thấy các nghiên cứu về ứng xử cơ học của vỏ trống FGM dày và có chiều dày trung bình sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (TSDT) còn rất thiếu vắng. Đa phần các công trình trước đây chỉ áp dụng CST hoặc giải quyết bài toán bằng phương pháp số thuần túy. Luận án lựa chọn giải quyết khoảng trống này bằng cách thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo phi tuyến theo TSDT của Reddy và Liu, kết hợp phương pháp giải tích và nửa giải tích để tìm ra các công thức hiển về tải tới hạn tĩnh, tải tới hạn động, tần số dao động và mối quan hệ tải – độ võng sau tới hạn cho vỏ trống P-FGM, FGM sandwich và vỏ FGM có gân trên nền đàn hồi Pasternak.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Mô hình vật liệu FGM và các thuộc tính hiệu dụng

Luận án xem xét loại vật liệu FGM phân bố theo một chiều bề dày (1D-FGM) theo quy luật hàm lũy thừa (P-FGM). Tỷ phần thể tích của thành phần gốm ($V_c$) và kim loại ($V_m$) được xác định bởi: $$V_c(z) = \left(\frac{2z + h}{2h}\right)^k, \quad V_m(z) = 1 - V_c(z), \quad -\frac{h}{2} \le z \le \frac{h}{2}$$ trong đó $h$ là chiều dày của vỏ, $k$ ($k \ge 0$) là chỉ số tỷ phần thể tích. Khi $k = 0$, vỏ trở thành thuần gốm; khi $k \to \infty$, vỏ trở thành thuần kim loại. Mặt trong ($z = h/2$) là mặt giàu gốm và mặt ngoài ($z = -h/2$) là mặt giàu kim loại.

Các đặc trưng cơ lý hiệu dụng (mô đun đàn hồi $E$, hệ số giãn nở nhiệt $\alpha$, khối lượng riêng $\rho$, hệ số dẫn nhiệt $\kappa$, ký hiệu chung là $P_{eff}$) được xác định theo mô hình tuyến tính Voigt: $$P_{eff}(z) = P_m + (P_c - P_m)\left(\frac{2z + h}{2h}\right)^k$$ Do hệ số Poisson $\nu$ của gốm và kim loại chênh lệch không đáng kể nên được giả thiết là hằng số ($\nu = \text{const}$).

Vật liệu $E$ ($\text{N/m}^2$) $\nu$ $\alpha$ ($\text{K}^{-1}$) $\kappa$ ($\text{W/mK}$) $\rho$ ($\text{kg/m}^3$)
Gốm Silicon Nitride ($\text{Si}_3\text{N}_4$) $322{,}2 \times 10^9$ $0{,}24$ $1{,}2 \times 10^{-6}$ $2{,}09$ $3000$
Kim loại Thép không gỉ (Stainless Steel) $207{,}78 \times 10^9$ $0{,}3177$ $15{,}3 \times 10^{-6}$ $12{,}08$ $8166$

Mô hình hình học và nền đàn hồi

  • Vỏ trống thoải có bán kính đường tròn xích đạo $R$, bán kính cong kinh tuyến lớn $a$, chiều dài $L$ và độ dày $h$. Với giả thiết vỏ thoải của Stein và McElman ($sin\varphi \approx 1, cos\varphi \approx 0$), bán kính vĩ tuyến tại điểm bất kỳ xấp xỉ bằng $R$. Mô hình được quy về vỏ hai độ cong với bán kính cong chính không đổi $a$ và $R$.
  • Nền đàn hồi tiếp xúc với vỏ được mô tả theo mô hình Pasternak hai tham số: $$q_{sf} = K_1 w - K_2 \nabla^2 w = K_1 w - K_2 \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right)$$ trong đó $K_1$ ($\text{N/m}^3$) là độ cứng nền Winkler, $K_2$ ($\text{N/m}$) là độ cứng lớp cắt Pasternak, $w$ là độ võng của vỏ.

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT) và hệ phương trình cơ bản

Trường chuyển vị tại điểm bất kỳ $(x, y, z)$ theo TSDT của Reddy và Liu: $$u^(x,y,z) = u\left(1 - \frac{z}{a}\right) + z\phi_x - \frac{4z^3}{3h^2}\left(w_{,x} + \phi_x\right)$$ $$v^(x,y,z) = v\left(1 - \frac{z}{R}\right) + z\phi_y - \frac{4z^3}{3h^2}\left(w_{,y} + \phi_y\right)$$ $$w^*(x,y,z) = w(x,y)$$ trong đó $u, v, w$ là các chuyển vị tại mặt giữa; $\phi_x, \phi_y$ là các góc xoay pháp tuyến của mặt giữa.

Quan hệ biến dạng – chuyển vị phi tuyến von Kármán: $$\epsilon_x = u_{,x} - \frac{w}{a} + \frac{1}{2}w_{,x}^2, \quad \epsilon_y = v_{,y} - \frac{w}{R} + \frac{1}{2}w_{,y}^2, \quad \gamma_{xy} = u_{,y} + v_{,x} + w_{,x}w_{,y}$$ $$\gamma_{xz} = \phi_x + w_{,x}, \quad \gamma_{yz} = \phi_y + w_{,y}$$

Các phương trình cân bằng nội lực tĩnh và phương trình tương thích biến dạng được kết hợp thông qua hàm ứng suất Airy $F(x,y)$ ($N_x = F_{,yy}, N_y = F_{,xx}, N_{xy} = -F_{,xy}$), dẫn đến hệ 4 phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến chứa 4 ẩn hàm: $F(x,y), w(x,y), \phi_x(x,y), \phi_y(x,y)$.

Phương pháp nghiên cứu

  • Sử dụng phương pháp giải tích cho bài toán ổn định tĩnh và phương pháp nửa giải tích cho bài toán động lực học.
  • Dạng nghiệm của hàm độ võng $w$ thỏa mãn điều kiện biên tựa đơn được lựa chọn:
    • Dạng nghiệm 3 số hạng: $w = W_0 + W_1 \sin(Mx)\sin(Ny) + W_2 \sin^2(Mx)$ áp dụng cho bài toán áp lực ngoài và bài toán tải xoắn.
    • Dạng nghiệm 1 số hạng: $w = W_1 \sin(Mx)\sin(Ny)$ áp dụng cho bài toán nén dọc trục kết hợp nhiệt độ và bài toán động lực học.
  • Từ dạng nghiệm của $w$, biểu thức giải tích chính xác của các ẩn hàm $F, \phi_x, \phi_y$ được xác định thông qua việc cân bằng các hàm điều hòa.
  • Áp dụng phương pháp Galerkin để tích phân phương trình trên toàn miền kết cấu, chuyển hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng thành hệ phương trình đại số phi tuyến (đối với bài toán tĩnh) hoặc phương trình vi phân thường phi tuyến theo thời gian (đối với bài toán động).
  • Phương pháp cân bằng điều hòa (Harmonic Balance Method) được sử dụng để phân tích dao động phi tuyến cưỡng bức.
  • Tiêu chuẩn Budiansky-Roth với cách xác định điểm uốn trên đường cong biên độ – thời gian được áp dụng để tìm tải tới hạn động.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Chương này tổng kết toàn diện các kiến thức nền tảng và cơ sở khoa học liên quan đến đề tài:

  • Khái niệm và đặc tính vật liệu FGM: Phân tích bản chất biến đổi trơn của FGM nhằm hạn chế sự tập trung ứng suất và hiện tượng bong tách lớp. Trình bày các mô hình xác định thuộc tính hiệu dụng (Voigt, Mori-Tanaka, Reuss, Hashin-Shtrikman, Tamura) và các quy luật phân bố 1D-FGM gồm quy luật hàm lũy thừa (P-FGM), hàm sigmoid (S-FGM) và hàm mũ (E-FGM).
  • Ứng dụng và công nghệ chế tạo FGM: Tổng thuật các ứng dụng trong hàng không vũ trụ (cánh tuabin, mũi tên lửa, tấm trao đổi nhiệt), công nghiệp ô tô, quốc phòng (áo giáp, thân xe bọc thép), năng lượng (vách lò phản ứng hạt nhân, pin mặt trời) và quang điện tử. Điểm qua các công nghệ chế tạo FGM dạng màng mỏng (PVD, CVD) và FGM dạng khối (luyện kim bột, đúc ly tâm, công nghệ in 3D).
  • Tổng quan tình hình nghiên cứu: Phân tích có hệ thống các công trình trong và ngoài nước về phân tích tĩnh, ổn định tĩnh, ổn định động và dao động của tấm, panel, vỏ trụ, vỏ nón, vỏ cầu và vỏ hai độ cong FGM.
  • Đánh giá tổng quan: Khẳng định sự hoàn thiện tương đối của các nghiên cứu sử dụng CST cho vỏ mỏng, đồng thời chỉ ra khoảng trống lớn về nghiên cứu vỏ trống dày và có chiều dày trung bình sử dụng TSDT.

Chương 2: Phân tích ổn định tĩnh vỏ trống FGM

Chương 2 xây dựng hệ phương trình cơ bản theo TSDT của Reddy và Liu và giải quyết 4 bài toán ổn định tĩnh cụ thể cho vỏ trống FGM tựa đơn:

  1. Vỏ trống FGM không gân chịu áp lực ngoài đều ($q$): Sử dụng dạng nghiệm 3 số hạng cho hàm độ võng $w$, thiết lập nghiệm tương ứng cho $F, \phi_x, \phi_y$. Bằng phương pháp Galerkin, dẫn ra biểu thức hiển của áp lực ngoài tới hạn $q_{cr}$ và phương trình quan hệ tải – độ võng cực đại $q - w_{max}/h$.
  2. Vỏ trống FGM không gân chịu tải xoắn thuần túy ($\tau$): Thiết lập phương trình cân bằng và xác định tải xoắn tới hạn $\tau_{cr}$ cùng đáp ứng sau tới hạn. So sánh kết quả thu được từ TSDT với CST cho thấy CST luôn cho giá trị tải xoắn tới hạn lớn hơn TSDT.
  3. Vỏ trống FGM sandwich chịu tải nén dọc trục ($P$) và tải nhiệt ($\Delta T$): Nghiên cứu vỏ sandwich ba lớp với lớp lõi FGM và hai lớp mặt (hoặc ngược lại). Sử dụng dạng nghiệm 1 số hạng, thiết lập biểu thức xác định lực nén tới hạn tĩnh $P_{cr}$, độ tăng nhiệt độ tới hạn $\Delta T_{cr}$ và khảo sát ứng xử sau tới hạn.
  4. Vỏ trống FGM có gân gia cường chịu áp lực ngoài ($q$): Tích hợp độ cứng của hệ thống gân dọc và gân vòng dựa trên mô hình san đều Lekhnitskii vào hệ phương trình TSDT. Dẫn ra biểu thức giải tích xác định $q_{cr}$ và khảo sát sự thay đổi khả năng chịu lực theo số lượng, kích thước gân.

Khảo sát số trong Chương 2 làm rõ các quy luật:

  • Tải tới hạn của vỏ trống lồi ($a > 0$) luôn lớn hơn vỏ trụ ($a \to \infty$), và vỏ trụ lớn hơn vỏ trống lõm ($a < 0$). Khi tỷ số bán kính $a/R$ tăng, tải tới hạn của vỏ lồi giảm dần tiệm cận về vỏ trụ, trong khi tải tới hạn của vỏ lõm tăng dần tiệm cận về vỏ trụ.
  • Tải tới hạn giảm khi tỷ số $R/h$ tăng (vỏ mỏng dần), khi tỷ số $L/R$ tăng (vỏ dài hơn) và khi chỉ số thể tích $k$ tăng (hàm lượng kim loại tăng, độ cứng giảm).
  • Nền đàn hồi Pasternak làm tăng đáng kể tải tới hạn tĩnh và nâng cao độ cứng sau tới hạn của vỏ, trong đó hệ số cắt $K_2$ có ảnh hưởng mạnh hơn hệ số Winkler $K_1$.
Thông số khảo sát Xu hướng thay đổi Ảnh hưởng đến tải tới hạn tĩnh ($q_{cr}, \tau_{cr}, P_{cr}, T_{cr}$)
Chỉ số thể tích $k$ Tăng ($0 \to \infty$) Tải tới hạn giảm (do hàm lượng gốm giảm, độ cứng kết cấu giảm)
Bán kính kinh tuyến $a$ (vỏ lồi $a>0$) Tăng ($a/R$ tăng) Tải tới hạn giảm dần về giá trị của vỏ trụ tròn
Bán kính kinh tuyến $a$ (vỏ lõm $a<0$) Giảm ($ a
Tỷ số kích thước $R/h$ Tăng (vỏ mỏng hơn) Tải tới hạn giảm rõ rệt
Tỷ số kích thước $L/R$ Tăng (vỏ dài hơn) Tải tới hạn giảm
Hệ số nền đàn hồi ($K_1, K_2$) Tăng Tải tới hạn tăng đáng kể; $K_2$ có mức độ ảnh hưởng lớn hơn $K_1$
Hệ gân gia cường ($n_r, n_s$) Tăng số lượng/kích thước Tải tới hạn tăng vượt trội so với vỏ không gân cùng khối lượng

Chương 3: Phân tích dao động và ổn định động của vỏ trống FGM

Chương này tập trung vào bài toán động lực học phi tuyến của vỏ trống FGM theo TSDT:

  1. Dao động tự do tuyến tính và dao động phi tuyến cưỡng bức:
    • Thiết lập biểu thức giải tích tường minh cho tần số dao động tự do tuyến tính $\omega$ và tần số không thứ nguyên $\omega^*$.
    • Thiết lập phương trình vi phân chuyển động phi tuyến mô tả đáp ứng của vỏ khi chịu kích động áp lực ngoài biến thiên điều hòa theo thời gian $q(t) = Q \sin(\Omega t)$. Dùng phương pháp cân bằng điều hòa xác định quan hệ biên độ – tần số, khảo sát hiện tượng uốn cong đường cong cộng hưởng và hiện tượng nhảy biên độ đặc trưng của hệ phi tuyến cứng.
  2. Ổn định động dưới tác dụng của lực nén dọc trục biến thiên tuyến tính:
    • Khảo sát tải trọng nén $P(t) = C \cdot t$ (với $C$ là tốc độ đặt tải, $\text{Pa/s}$).
    • Sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth với quy tắc chọn điểm uốn trên đường cong độ võng cực đại theo thời gian ($w_{max} - t$) do Huang và Han đề xuất để xác định lực nén tới hạn động $P_{dcr}$.

Khảo sát số trong Chương 3 cho thấy:

  • Tần số dao động tự do tuyến tính $\omega$ giảm khi chỉ số $k$ tăng, giảm khi nhiệt độ môi trường $\Delta T$ tăng (do ứng suất nhiệt làm mềm kết cấu), và tăng khi các hệ số nền $K_1, K_2$ tăng.
  • Tải tới hạn động $P_{dcr}$ luôn lớn hơn tải tới hạn tĩnh $P_{cr}$ tương ứng. Khi tốc độ đặt tải $C$ tăng, tải tới hạn động $P_{dcr}$ tăng lên do quán tính cản trở sự phát triển tức thời của biến dạng mất ổn định.
  • Vỏ trống lồi có tần số tự nhiên và tải tới hạn động cao hơn vỏ trống lõm và vỏ trụ tương ứng.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp mới về mặt lý luận khoa học

  • Thiết lập thành công hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến hoàn chỉnh gồm 4 phương trình chứa 4 ẩn hàm ($F, w, \phi_x, \phi_y$) cho bài toán ổn định và dao động của vỏ trống FGM hai độ cong dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT) của Reddy và Liu, có tính đến phi tuyến hình học von Kármán.
  • Xây dựng thành công dạng nghiệm giải tích cho các hàm góc xoay ($\phi_x, \phi_y$) và hàm ứng suất ($F$) tương thích với dạng nghiệm hàm độ võng 3 số hạng và 1 số hạng, giải quyết khó khăn toán học khi áp dụng TSDT cho vỏ hai độ cong.
  • Thiết lập các công thức giải tích tường minh xác định tải tới hạn tĩnh ($q_{cr}, \tau_{cr}, P_{cr}, \Delta T_{cr}$), tải tới hạn động ($P_{dcr}$), tần số dao động tự do ($\omega$) và phương trình quan hệ tải – độ võng sau tới hạn cho vỏ trống FGM, FGM sandwich và vỏ có gân trên nền đàn hồi Pasternak.

Đóng góp mới về mặt thực tiễn và tính toán kỹ thuật

  • Cung cấp các công thức giải tích hiển, thuận tiện cho việc lập trình tính toán nhanh, kiểm tra và tối ưu hóa kết cấu vỏ trống trong thực tế kỹ thuật mà không bắt buộc phải sử dụng các phần mềm phần tử hữu hạn thương mại cồng kềnh.
  • Chứng minh định lượng rằng lý thuyết cổ điển CST đánh giá quá cao khả năng chịu tải của vỏ trống dày, khẳng định tính tất yếu của việc áp dụng TSDT trong thiết kế các kết cấu vỏ dày làm việc trong môi trường tải trọng cơ – nhiệt khắc nghiệt.
  • Đánh giá định lượng hiệu quả tăng cứng của hệ thống gân trực giao và nền đàn hồi Pasternak, cung cấp các biểu đồ và bảng dữ liệu số làm tài liệu tham khảo cho việc thiết kế vỏ chịu áp lực và vỏ tàu bay.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của đề tài

  • Mô hình hình học: Nghiên cứu chỉ áp dụng cho vỏ trống thoải với giả thiết góc pháp tuyến $\varphi \approx \pi/2$ ($sin\varphi \approx 1, cos\varphi \approx 0$). Chưa xét đến mô hình vỏ trống có độ cong lớn hoặc không thoải.
  • Điều kiện biên: Luận án mới chỉ khảo sát điều kiện biên tựa đơn ở hai đầu kết cấu; các điều kiện biên thực tế khác như ngàm cố định, tự do hoặc liên kết đàn hồi chưa được khảo sát trong hệ phương trình giải tích.
  • Quy luật vật liệu: Phân tích chỉ giới hạn cho vật liệu P-FGM một chiều theo bề dày (1D-FGM) với hệ số Poisson coi là hằng số; chưa xét đến FGM đa chiều (2D, 3D-FGM) hoặc sự thay đổi của hệ số Poisson.
  • Tương tác nền và kết cấu gân: Nền đàn hồi giả thiết tiếp xúc lý tưởng không có hiện tượng tách rời; hệ gân gia cường được san đều độ cứng theo lý thuyết Lekhnitskii, chưa mô tả được ứng xử cục bộ giữa các khoang gân.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng bài toán phân tích ổn định và động lực học cho vỏ trống không thoải (độ cong lớn) và vỏ trống chịu các điều kiện biên hỗn hợp (ngàm, đàn hồi).
  • Khảo sát các dạng vật liệu tiên tiến khác như FGM có lỗ xốp (porous FGM), composite gia cường ống nano carbon (FG-CNTRC) hoặc tấm graphene (FG-GRC).
  • Xem xét ảnh hưởng của vết nứt, khuyết tật hình học ban đầu ngẫu nhiên và sự phụ thuộc phi tuyến của tính chất vật liệu vào nhiệt độ.
  • Nghiên cứu ổn định động dưới các dạng tải trọng phức tạp khác như tải xung nổ phi tuyến, tải sóng địa chấn và tải trọng nhiệt thay đổi theo thời gian.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Cơ học vật rắn, Cơ học kết cấu và Khoa học vật liệu:

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học: Luận án cung cấp quy trình chi tiết từng bước về việc ứng dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (TSDT), kỹ thuật đưa vào hàm ứng suất Airy, phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa để giải tích hệ phương trình vi phân phi tuyến bậc cao của vỏ hai độ cong.
  • Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu: Công trình cung cấp tài liệu phục vụ giảng dạy các chuyên đề cao học về cơ học vật liệu composite/FGM, lý thuyết tấm vỏ phi tuyến và phương pháp giải tích trong cơ học kết cấu.
  • Đối với kỹ sư tính toán và thiết kế: Các công thức giải tích hiển về tải tới hạn tĩnh, tải tới hạn động và tần số dao động tự do có thể được sử dụng trực tiếp để tính toán nhanh, kiểm tra độ bền, độ ổn định của các bồn chứa áp lực, vỏ tàu ngầm, thân tên lửa và kết cấu hàng không làm từ vật liệu FGM.

Câu hỏi thường gặp

1. Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT) của Reddy và Liu khắc phục nhược điểm gì của lý thuyết vỏ cổ điển (CST) khi áp dụng cho vỏ trống FGM?

Lý thuyết CST giả thiết đường pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt giữa sau khi biến dạng, tức là hoàn toàn bỏ qua biến dạng trượt ngang ($\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$). Giả thiết này chỉ phù hợp với vỏ mỏng và khiến CST đánh giá độ cứng cũng như tải tới hạn của kết cấu cao hơn thực tế. Lý thuyết TSDT của Reddy và Liu đưa vào trường chuyển vị bậc ba theo tọa độ bề dày $z$, thỏa mãn điều kiện ứng suất tiếp xúc bằng không tại hai bề mặt tự do của vỏ mà không cần sử dụng hệ số hiệu chỉnh trượt, giúp phản ánh chính xác phân bố ứng suất và biến dạng của vỏ có chiều dày trung bình và vỏ dày.

2. Dạng nghiệm hàm độ võng ba số hạng được sử dụng cho bài toán nào trong luận án và vì sao cần cấu trúc nghiệm này?

Dạng nghiệm ba số hạng: $$w(x,y) = W_0 + W_1 \sin(Mx)\sin(Ny) + W_2 \sin^2(Mx)$$ được sử dụng cho bài toán phân tích ổn định tĩnh của vỏ trống FGM chịu áp lực ngoài đều và chịu tải xoắn. Cấu trúc nghiệm này bao gồm thành phần võng đều $W_0$, thành phần sóng uốn hai chiều $W_1 \sin(Mx)\sin(Ny)$ và thành phần uốn một chiều theo phương trục $W_2 \sin^2(Mx)$, cho phép mô tả chính xác cả trạng thái trước tới hạn và hình thái mất ổn định sau tới hạn (postbuckling) khi vỏ bị móp méo phi tuyến dưới áp lực hoặc lực xoắn.

3. Tiêu chuẩn Budiansky-Roth được áp dụng như thế nào để xác định tải tới hạn động của vỏ trống FGM?

Trong bài toán vỏ trống FGM chịu lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian $P(t) = C \cdot t$, độ võng của vỏ biến đổi theo thời gian. Tiêu chuẩn Budiansky-Roth xác định thời điểm mất ổn định động là thời điểm mà tốc độ biến thiên của độ võng tăng vọt (độ dốc đường cong $w_{max} - t$ thay đổi đột ngột). Luận án áp dụng đề xuất của Huang và Han, xác định chính xác thời điểm mất ổn định động tại điểm uốn của đường cong $w_{max} - t$ trong giai đoạn trước khi đạt cực đại đầu tiên; tải trọng tác dụng tại thời điểm đó chính là tải tới hạn động $P_{dcr}$.

4. Hình thái hình học vỏ trống lồi ($a > 0$) và vỏ trống lõm ($a < 0$) ảnh hưởng như thế nào đến khả năng chịu lực so với vỏ trụ tròn?

Theo kết quả khảo sát số của luận án, độ cong kinh tuyến có ảnh hưởng mang tính quyết định: vỏ trống lồi ($a > 0$) có độ cứng, tần số dao động tự nhiên và tải tới hạn (cả tĩnh và động) cao nhất; tiếp đến là vỏ trụ tròn ($a \to \infty$); vỏ trống lõm ($a < 0$) có độ cứng và tải tới hạn thấp nhất. Khi tăng tỷ số $a/R$ (bán kính cong kinh tuyến lớn dần), các đặc trưng ổn định của vỏ lồi giảm dần tiệm cận về vỏ trụ, trong khi của vỏ lõm tăng dần tiệm cận về vỏ trụ.

5. Sự thay đổi của chỉ số thể tích $k$ trong quy luật P-FGM chi phối ứng xử ổn định và động lực học của vỏ trống ra sao?

Chỉ số thể tích $k$ quyết định tỷ lệ giữa pha gốm và pha kim loại trong kết cấu. Khi $k = 0$, vỏ hoàn toàn bằng gốm nên có mô đun đàn hồi cao nhất, dẫn đến tải tới hạn tĩnh, tải tới hạn động và tần số dao động tự do đạt giá trị cực đại. Khi $k$ tăng dần ($k \to \infty$), hàm lượng kim loại tăng lên làm giảm mô đun đàn hồi tổng thể của kết cấu, dẫn tới độ võng tăng, tải tới hạn tĩnh và động giảm, đồng thời làm giảm tần số dao động riêng của vỏ trống FGM.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Phạm Minh Vương đã giải quyết thành công bài toán phân tích ổn định tĩnh, ổn định động và dao động phi tuyến của vỏ trống FGM hai độ cong trên nền đàn hồi Pasternak dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT) của Reddy và Liu. Công trình đã xây dựng được hệ phương trình vi phân chủ đạo 4 phương trình phi tuyến hoàn chỉnh và thiết lập các biểu thức giải tích tường minh xác định tải tới hạn tĩnh, tải tới hạn động, tần số dao động cũng như quan hệ tải – độ võng sau tới hạn. Các kết quả nghiên cứu và khảo sát số cung cấp cơ sở khoa học tin cậy, làm phong phú thêm lý thuyết cơ học kết cấu tấm vỏ và hỗ trợ thiết thực cho công tác tính toán thiết kế kỹ thuật các kết cấu FGM chịu tải trọng cơ – nhiệt phức tạp.